ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Bài tập lớn GT2 soạn bằng latex, có vẽ hình 2D bằng tikz đầy đủ, danh mục hình ảnh, bảng biểu, mục lục, tài liệu tham khảo chuẩn báo cáo, báo cáo này đã đạt 10 điểm, bao gồm file .tex của báo cáo để tham khảo code latex được lập trình như thế nào (bìa BTL, bảng biểu, hình đồ thị 2D, heading, mục lục tự động, tài liệu tham khảo,...)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN: GIẢI TÍCH Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Văn Thìn Lớp: L17 Nhóm: 16 Họ tên Phạm Trần Phúc Hậu Nguyễn Tuấn Khanh Lê Minh Đinh Gia Phú Lâm Sơn Tùng MSSV 2113328 2110251 2114046 2114411 2112612 TP Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2022 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích tốn học nhánh toán học liên quan đến giới hạn lý thuyết liên quan, chẳng hạn đạo hàm, tích phân, đo lường, chuỗi vơ hạn hàm giải tích Cụ thể, mơn học Giải tích cung cấp cho ta nhiều kiến thức nâng cao mà Giải tích chưa thể cung cấp hàm nhiều biến, tích phân bội, chuỗi, Bài báo cáo có ba phần xoay quanh nội dung kiến thức quan trọng, mang tính tiền đề Giải tích giúp ta có nhìn trực quan hơn: • Phần I Lý thuyết hàm nhiều biến, chuỗi • Phần II Bài tập tính tốn tích phân bội • Phần III Ứng dụng tích phân bội, tích phân đường Mặc dù chúng em cố gắng để hoàn thành báo cáo tập lớn chắn khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng em mong nhận thông cảm ý kiến đóng góp thầy hội đồng chun mơn để chúng em rút kinh nghiệm hoàn thiện đề tài tốt Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Văn Thìn Huỳnh Thị Vu ln tận tình hướng dẫn, giải đáp cho chúng em suốt q trình hồn thiện báo cáo MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH ẢNH i DANH MỤC BẢNG BIỂU ii TĨM TẮT BÁO CÁO iii PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC iv Phần I Lý thuyết 1.1 Chương Hàm nhiều biến 1.1.1 Định nghĩa hàm nhiều biến 1.1.2 Đạo hàm riêng, vi phân hàm nhiều biến 1.1.3 Đạo hàm hàm hợp 1.1.4 Đạo hàm hàm ẩn 1.1.5 Đạo hàm theo hướng – Vecto gradient – Vecto pháp 1.1.6 Công thức Taylor – Maclaurint 1.1.7 Mặt bậc hai 1.1.8 Cực trị hàm hai biến - Cực trị tự 12 1.1.9 Cực trị hàm hai biến - Cực trị có điều kiện 14 1.1.10 Cực trị hàm hai biến - Giá trị lớn - Giá trị nhỏ 1.2 14 Chương Chuỗi 15 1.2.1 Tổng quát chuỗi - Điều kiện cần hội tụ 15 1.2.2 Tiêu chuẩn Cauchy - Tiêu chuẩn D’Alembert 1.2.3 Chuỗi lũy thừa 18 1.2.4 Chuỗi Taylor – Maclaurint 20 Phần II Bài tập tính tốn 17 23 2.1 Bài 2.2 (Công thức Fubini) 23 2.2 Bài 2.3 (Công thức đổi biến) 35 Phần III Ứng dụng 44 3.1 Bài 3.7 (Ứng dụng tích phân bội) 44 3.2 Bài 3.11 (Tích phân đường) 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 1.1 Đồ thị hàm Hình 1.2 Đồ thị đường mức Hình 1.3 Đồ thị tiếp tuyến theo phương Ox Hình 1.4 Đồ thị tiếp tuyến theo phương Oy Hình 1.5 Đồ thị tiếp diện mặt cong có tiếp điểm P Hình 1.6 Đồ thị tiếp tuyến theo phương vecto u Hình 1.7 Mặt Ellipsoid Hình 1.8 Mặt Ellipsoid Hình 1.9 Mặt Paraboloid Hyperbolic 10 Hình 1.10 Trường hợp & Trường hợp 10 Hình 1.11 Mặt trụ Ellipse 11 Hình 1.12 Mặt trụ Parabol 11 Hình 1.13 Mặt trụ Hyperpol 11 Hình 1.14 Mặt nón 12 Hình 1.15 Đồ thị mô miền đạt cực trị hàm 12 Hình 2.16 23 Hình 2.17 25 Hình 2.18 27 Hình 2.19 29 Hình 2.20 31 Hình 2.21 32 Hình 2.22 34 Hình 2.23 36 Hình 2.24 37 Hình 2.25 42 Hình 3.26 Sơ đồ thiết kế cầu Akashi- Kaikyo 45 Hình 3.27 Cầu Akashi- Kaikyo 46 i DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 0.1 Phân công công việc ii iv TÓM TẮT BÁO CÁO Bài báo cáo bao gồm ba phần chính: • Phần I Lý thuyết • Phần II Bài tập tính tốn • Phần III Ứng dụng Phần I Lý thuyết: Báo cáo cung cấp sở lý thuyết hai nội dung hàm nhiều biến chuỗi Ở nội dung đầu, báo cáo định nghĩa hàm nhiều biến qua rút định lý, tính chất, ứng dụng xoay quanh nội dung mở rộng nghiên cứu mối tương quan hàm nhiều biến lý thuyết quen thuộc Giải tích đạo hàm, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Và tiếp cận kiến thức mặt bậc hai, đạo hàm theo hướng, Ở nội dung tiếp theo, ta tìm hiểu lý thuyết chuỗi thơng qua định nghĩa, định lý, tính chất, ứng dụng đề cập sâu chuỗi với chủ đề tiêu chuẩn Cauchy, tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi lũy thừa, chuỗi Taylor-Maclaurint, Phần II Bài tập tính tốn: Bài báo cáo trình bày cách giải tốn tích phân bội (Cơng thức Fubini, cơng thức đổi biến) Từ có nhìn trực quan hình dạng hàm khơng gian, cách xử lý cận, miền hàm, có loại tọa độ tích phân bội xử lý nào, Phần III Ứng dụng: Trong thực tế, Giải tích có ứng dụng rộng khoa học kỹ thuật, để giải toán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ khơng hiệu Vì vậy, thơng qua hai ứng dụng nội dung tích phân đường tích phân bội giúp để thấy ứng dụng rộng rãi vai trị quan trọng Giải tích đời sống nói chung lĩnh vực ứng dụng tích phân iii PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC Bảng 0.1 Phân cơng cơng việc STT 01 02 03 04 05 Họ tên Nội dung công việc Phạm Trần Phúc Hậu Giải phần II Bài 2.2 (Công thức Fubini) Dựng khối 3D 2.2 câu 1, Nguyễn Tuấn Khanh Lê Minh (Nhóm trưởng) Đinh Gia Phú Lâm Sơn Tùng Soạn phần III Ứng dụng 3.7 3.11 Dựng khối 3D 2.2 câu 3, Kiểm tra Word biên dịch qua Latex Dựng khối 3D 2.2 câu 5, Soạn phần I Lý thuyết chương 1, Dựng khối 3D 2.2 câu 2.3 câu Giải phần II Bài 2.3 (Công thức đổi biến) Dựng khối 3D 2.3 câu 2, Ngày bắt đầu 13/04/2022 Ngày kết thúc 23/04/2022 Hoàn thành 100% 30/04/2022 02/05/2022 100% 13/04/2022 23/04/2022 100% 30/04/2022 02/05/2022 100% 20/04/2022 05/05/2022 100% 30/04/2022 02/05/2022 100% 13/04/2022 20/04/2022 100% 30/04/2022 02/05/2022 100% 13/04/2022 23/04/2022 100% 30/04/2022 02/05/2022 100% Hình thức họp nhóm: Google Meet Nhóm trưởng người phân cơng cơng việc chấp thuận thành viên Lần lượt thành viên hồn thành cơng việc thời hạn Nhóm mở phiên họp để thống nội dung lần (lỗi trình bày, thêm nội dung, ) nhóm trưởng theo mà biên soạn Nhóm trưởng người chấm mức độ hồn thành cơng việc cho thành viên thành viên thống chấm mức độ hồn thành cơng việc cho nhóm trưởng iv Phần I Lý thuyết 1.1 Chương Hàm nhiều biến 1.1.1 Định nghĩa hàm nhiều biến Cho D tập R2 Hàm biến f (x, y) ánh xạ f : D −→ R (x, y) 7−→ f (x, y) = z Định nghĩa 1.1 Miền (Tập) xác định hàm tập tất giá trị (x, y) làm biểu thức hàm có nghĩa Định nghĩa 1.2 Miền (Tập) giá trị hàm tập tất giá trị mà hàm nhận Định nghĩa 1.3 Cho f (x, y) hàm biến với miền xác định D Đồ thị hàm f tập hợp tất điểm M (x, y, z) ∈ R3 , với (x, y) ∈ D, z = f (x, y) Hình 1.1 Đồ thị hàm Định nghĩa 1.4 Đường mức hàm biến f (x, y) đường cong f (x, y) = k (k số tùy ý thuộc tập giá trị hàm) mặt phẳng Oxy Hình 1.2 Đồ thị đường mức • Như vậy: đồ thị hàm tập hợp điểm có độ cao k thỏa phương trình đường mức f (x, y) = k • Đường mức f (x, y) = k hình chiếu giao tuyến đồ thị hàm với mặt phẳng z = k • Tính chất: đường mức khơng cắt • Ứng dụng thực tế: địa lý (nhiệt độ, độ cao, ), Ví dụ: địa lý để biểu thị độ cao đồi người ta sử dụng đường mức Khi có tập hợp đường mức hàm biến, hình dung chúng nâng lên độ cao tương ứng, ta có hình dung đồ thị hàm 1.1.2 Đạo hàm riêng, vi phân hàm nhiều biến Định nghĩa 1.5 Cho hàm biến f (x, y), điểm (x0 , y0 ) thuộc miền xác định hàm f Đặt g(x) = f (x, y0 ), hàm g(x) có đạo hàm x = x0 ta gọi đạo hàm riêng theo biến x hàm f điểm (x0 , y0 ) ký hiệu là: f (x0 , y0 ) = ∂y (x0 , y0 ) = Dx f (x0 , y0 ) = g ′ (x0 ) ∂x Nếu f hàm nhiều biến, ta định nghĩa đạo hàm riêng tương tự Quy tắc: Khi tính đạo hàm riêng hàm nhiều biến theo biến đó, ta coi biến khác số Các đạo hàm riêng hàm n biến x1 , x2 , , xn (nói chung) lại hàm n biến x1 , x2 , , xn Ý nghĩa hình học đạo hàm riêng hàm f (x, y) (a, b): Gọi S mặt cong z = f (x, y) Xét mặt phẳng y = y0 : C1 giao tuyến mặt phẳng với mặt S phương trình C1 z = f (x, y0 ), T1 tiếp tuyến C1 P (x0 , y0 ) đạo hàm fx′ (x0 , y0 ) hệ số góc tiếp tuyến T1 Tức fx (x0 , y0 ) tốc độ biến thiên đường cong C1 thời điểm x = x0 , ta gọi tốc độ biến thiên (hoặc hệ số góc) mặt cong S theo phương Ox điểm P (x0 , y0 , fx (x0 , y0 )) Hình 1.3 Đồ thị tiếp tuyến theo phương Ox Tương tự cho đạo hàm riêng theo y: Xét mặt phẳng x = x0 : C2 giao tuyến mặt phẳng với mặt S phương trình C2 z = f (x0 , y), T2 tiếp tuyến C2 P (x0 , y0 ) đạo hàm fy′ (x0 , y0 ) hệ số góc tiếp tuyến T2 Tức fy (x0 , y0 ) tốc độ biến thiên đường cong C2 thời điểm y = y0 , ta gọi tốc độ biến thiên (hoặc hệ số góc) mặt cong S theo phương Oy điểm P (x0 , y0 , fx (x0 , y0 )) Hình 1.4 Đồ thị tiếp tuyến theo phương Oy Tiếp diện mặt cong: Cho mặt cong S có phương trình z = f (x, y) Xét điểm P (x0 , y0 , z0 ) mặt cong: giao tuyến với mặt phẳng x = x0 , y = y0 có tiếp tuyến T1 , T2 ; qua tiếp tuyến có mặt phẳng gọi tiếp diện mặt cong P Phương trình tiếp diện có dạng: z − z0 = a(x − x0 ) + b(y − y0 ) Giao tuyến tiếp diện với mặt phẳng y = y0 T1 , có phương trình là: z − z0 = a(x − x0 ) ⇒ a = f ′ x (x0 , y0 ) Tương tự: b = fy′ (x0 , y0 ) Hình 1.5 Đồ thị tiếp diện mặt cong có tiếp điểm P Vậy phương trình tiếp diện là: z − z0 = fx′ (x0 , y0 ).(x − x0 ) + fy′ (x0 , y0 ).(y − y0 ) Sử dụng khai triển Maclaurint hàm biến để khai triển hàm f (x, y) Sắp xếp theo thứ tự bậc X, Y, X.Y tăng dần Thay X = x − x0 , Y = y − y0 vào để khai triển cần tìm 1.1.7 Mặt bậc hai Nhắc lại: Đường bậc hai mặt phẳng Oxy có phương trình tổng quát Ax2 + By + Cxy + Dx + Ey + F = Rút gọn phương trình tổng qt, ta có phương trình tắc đường bậc hai là: ax2 + by + c = ax2 + by + c = Tương tự: Mặt bậc hai khơng gian Oxyz có phương trình tổng quát Ax2 + By + Cz + Dxy + Eyz + F zx + Gx + Hy + Kz + L = Rút gọn phương trình tổng qt, ta có phương trình tắc mặt bậc hai là: ax2 + by + cz + d = ax2 + by + cz + d = ax2 + cz + d = Mặt Ellipsoid: x2 y z + + = a2 b c Cách gọi tên mặt: Nếu giao tuyến mặt cong S với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ ellipse ta gọi mặt S mặt Ellipsoid Phương trình tắc: Cách vẽ hình: Vẽ giao tuyến S với mặt tọa độ x2 y Vẽ đường ellipse: + = mặt phẳng z = a b y z2 Vẽ đường ellipse: + = mặt phẳng x = b c x2 y z Vẽ mặt ellipsoid: + + = a b c Hình 1.7 Mặt Ellipsoid Mặt Paraboloid Elliptic: x2 y + = z a2 b Cách gọi tên mặt: Nếu giao tuyến với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ Parabol, giao tuyến lại Ellipse ta gọi mặt S Paraboloid Elliptic Phương trình tắc: Cách vẽ hình: Vẽ đường parabol y = z mặt phẳng x=0 Vẽ đường ellipse x2 + y = mặt phẳng z = Vẽ mặt parabolid z = x2 + y Hình 1.8 Mặt Ellipsoid Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt Yên ngựa): z x2 y Phương trình tắc: + = a b c Cách gọi tên mặt: Nếu giao tuyến với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ Parabol, giao tuyến cịn lại Hyperbol ta gọi mặt S Paraboloid Hyperbolic Cách vẽ hình: x2 z Vẽ parabol − = mặt phẳng y = a c y x2 Vẽ hyperbol − = k mặt phẳng z = k b a y2 z Vẽ parabol = mặt phẳng x = b c Hình 1.9 Mặt Paraboloid Hyperbolic Mặt Hyperboloid Elliptic: x2 y z Phương trình tắc: + − = ±1 a b c Cách gọi tên mặt: Cho x = 0, y = giao tuyến với mặt tọa độ đường Hyperbol Khi cho z = 0: có trường hợp Trường hợp 1: Nếu vế phải +1 giao tuyến ellipse Trường hợp 2: Nếu vế phải -1 cho z = k với |k| ≥ z ta có giao tuyến ellipse Hình 1.10 Trường hợp & Trường hợp Căn vào hình dạng mặt Hyperboloid Elliptic mà ta gọi tên mặt là: x2 y z • + − = Mặt hyperboloid tầng a b c • x2 y z + − = −1 Mặt hyperboloid tầng a2 b c Mặt Trụ bậc hai: Định nghĩa 1.10 Mặt trụ bậc hai mặt tạo đường thẳng song song với phương cố định tựa lên đường cong bậc cố định Các đường thẳng gọi đường sinh mặt trụ, đường cong cố định gọi đường chuẩn mặt trụ 10 Ta gặp mặt trụ có đường sinh song song với trục tọa độ Mặt trụ song song với trục phương trình mặt thiếu biến đó, cịn phương trình bậc chứa biến cịn lại phương trình đường chuẩn mặt trụ mặt tọa độ tương ứng ta gọi tên mặt trụ theo tên đường chuẩn Hình 1.11 Mặt trụ Ellipse Hình 1.12 Mặt trụ Parabol Hình 1.13 Mặt trụ Hyperpol Mặt nón bậc hai: Định nghĩa 1.11 Mặt nón bậc hai mặt tạo đường thẳng qua điểm cố định tựa lên đường cong bậc cố định Các đường thẳng gọi đường sinh mặt nón, đường cong cố định gọi đường chuẩn mặt nón điểm cố định gọi đỉnh nón 11 Hình 1.14 Mặt nón 1.1.8 Cực trị hàm hai biến - Cực trị tự Định nghĩa 1.12 Hàm f (x, y) gọi đạt cực đại chặt M0 (x0 , y0 ) tồn hình trịn mở B(M0 , r) cho f (M ) < f (M0 ), ∀M (x, y) ∈ B(M0 , r) Tức là: ∃ r > 0, ∀ M, d(M, M0 ) < r : f (x, y) < f (x0 , y0 ) Định nghĩa 1.13 Hàm f (x, y) gọi đạt cực đại không chặt M0 (x0 , y0 ) tồn hình trịn mở B(M0 , r) cho f (M ) ≤ f (M0 ), ∀M (x, y) ∈ B(M0 , r) Tức là: ∃ r > 0, ∀ M, d(M, M0 ) < r : f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ) Định nghĩa tương tự cho khái niệm cực tiểu chặt cực tiểu không chặt Nhận xét: Khái niệm cực trị mang tính địa phương, khác với khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm miền (Xem hình vẽ) Hình 1.15 Đồ thị mơ miền đạt cực trị hàm Điều kiện cần cực trị: Nếu hàm f (x, y) có cực trị điểm M0 (x0 , y0 ) M0 hàm có đạo hàm riêng đồng thời không tồn Điểm mà đạo hàm riêng đồng thời khơng tồn gọi điểm tới hạn hàm tức điểm nghi ngờ có cực trị Điểm mà đạo hàm riêng đồng thời gọi điểm dừng hàm Điểm M mà đạo hàm riêng đồng thời lân cận tồn điểm M1 , M2 cho f (M1 ) < f (M ) < f (M2 ) gọi điểm yên ngựa 12 Điều kiện đủ cực trị: Cho hàm f (x, y) xác định, liên tục có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận điểm dừng Mi (xi , yi ) Ta viết công thức Taylor hàm bậc Mi (lưu ý df (Mi ) = 0) f (x, y) = f (Mi ) + + d2 f (Mi ) + R2 ⇔ f (x, y) − f (Mi ) = d2 f (Mi ) + R2 Suy dấu f (x, y) − f (xi , yi ) dấu d2 f (Mi ) Nhắc lại: ′′ ′′ ′′ (Mi ).dxdy (Mi ).dy + 2fxy (Mi ).dx2 + fyy d2 f (Mi ) = fxx Ta viết lại: !2 f xy f xy f ′′ xy 2 ′′ 2 ′′ d f = f xx d + ′′ dxdy + dy + f yy − ′′ f xx f ′′ xx f xx !2 ′′ f xy dy = f ′′ xx dx + ′′ dy + (f ′′ xx f ′′ yy − f ′′ xy ) ′′ f xx f xx ′′ ′′ ! dy Đặt A B A = f ′′ xx (Mi ) , B = f ′′ xy (Mi ) , C = B = f ′′ yy (Mi ) , D = = AC − B B C ... trình tắc: Cách vẽ hình: Vẽ giao tuyến S với mặt tọa độ x2 y Vẽ đường ellipse: + = mặt phẳng z = a b y z2 Vẽ đường ellipse: + = mặt phẳng x = b c x2 y z Vẽ mặt ellipsoid: + + = a b c Hình 1.7 Mặt... Paraboloid Elliptic Phương trình tắc: Cách vẽ hình: Vẽ đường parabol y = z mặt phẳng x=0 Vẽ đường ellipse x2 + y = mặt phẳng z = Vẽ mặt parabolid z = x2 + y Hình 1.8 Mặt Ellipsoid Mặt Paraboloid... mặt S Paraboloid Hyperbolic Cách vẽ hình: x2 z Vẽ parabol − = mặt phẳng y = a c y x2 Vẽ hyperbol − = k mặt phẳng z = k b a y2 z Vẽ parabol = mặt phẳng x = b c Hình 1.9 Mặt Paraboloid Hyperbolic