ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ***** BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI 2 1 Trình bày ý tưởng và thuật toán phương pháp cầu phương Gauss 2 Giải bài tập Projec[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ***** BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI 2: Trình bày ý tưởng thuật toán phương pháp cầu phương Gauss Giải tập Project Giảng viên lý thuyết: Cô Đoàn Thị Thanh Xuân Giảng viên tập: Thầy Lê Văn Lai LỚP: L10 – DH_HK212 NHÓM: 20 STT Họ tên Lê Quang Quốc Phú MSSV 2112017 Nhiệm vụ Soạn lý thuyết Vũ Minh Hiếu 2113366 Giải tập Trần Huy Hùng 2110221 Soạn báo cáo Mục lục Lời cảm ơn PHẦN I : LÝ THUYẾT Ý tưởng phương pháp cầu phương Gauss Thuật toán phương pháp cầu phương Gauss : Code MATLAB PHẦN II : BÀI TẬP 10 Bài 1: 10 a 10 b 11 c 13 d 14 Bài 2: 15 a 15 b 17 Bài 18 a 19 b 19 Danh mục tài liệu tham khảo 20 Lời cảm ơn Để hoàn thành đề tài tập lớn lần này, trước hết nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ, quan tâm từ quý thầy cô, anh chị bạn bè Đặc biệt, nhóm xin gửi đến Cơ Đồn Thị Thanh Xuân Thầy Lê Văn Lai - người sức truyền đạt, dẫn chúng em đề tài báo cáo lần lời cảm ơn sâu sắc Vì cịn tồn hạn chế mặt kiến thức, q trình trao đổi, hồn thành tập lớn này, chúng em không tránh khỏi sai sót, kính mong nhận đóng góp từ q thầy, Những góp ý từ thầy động lực để chúng em hoàn thiện Một lần nữa, nhóm xin gửi lời biết ơn chân thành đến thầy, giúp chúng em đạt kết PHẦN I : LÝ THUYẾT Ý tưởng phương pháp cầu phương Gauss Các công thức Newton-Cotes rút cách tích phân đa hạng tử nội suy Thuật ngữ lỗi đa thức nội suy bậc n liên quan đến (n + l) đạo hàm hàm tính gần đúng, cơng thức Newton-Cotes xác tính gần tích phân đa thức bậc nhỏ n Tất công thức Newton-Cotes sử dụng giá trị hàm điểm cách Điều tiện lợi công thức kết hợp để tạo thành quy tắc tổng hợp , làm giảm đáng kể độ xác hình ảnh xấp xỉ Ví dụ, xem xét cơng thức Hình thang áp dụng để xác định tích phân hàm có đồ thị hiển thị Hình 4.15 Hình 4.15 : Quy tắc Hình thang xấp xỉ tích phân hàm số cách tích phân tuyến tính hàm bao gồm điểm cuối đồ thị hàm Nhưng khơng phải cách tốt để tính gần tích phân Các đường thể Hình 4.16 đưa giá trị gần tốt hầu hết trường hợp Trong phép cầu phương Gauss điểm chọn theo hướng tối ưu khoảng cách Các nút , ,… , khoảng [a, b] hệ số , , …., chọn để giảm thiểu sai số dự kiến thu giá trị gần b a n f ( x)dx ci f ( xi ) i =1 Để đo độ xác này, ta giả định chọn lọc tốt giá trị tạo giá trị xác kết cho lớp đa thức lớn nhất, nghĩa là, chọn lọc mang lại độ xác cao Các hệ số tùy ý , nút bị hạn chế chúng nằm khoảng [a, b] miền hội tụ Điều cho 2n tham số để lựa chọn Nếu hệ số đa thức coi tham số, hạng đa thức bậc nhiều 2n - chứa 2n tham số Do đó, lớp đa thức lớn mà hợp lý cơng thức xác Với chọn lọc thích hợp giá trị số, độ xác giá trị lấy Thuật toán phương pháp cầu phương Gauss : Để minh họa quy trình chọn tham số thích hợp, ta trình bày cách để chọn hệ số nút n = khoảng tích phân [- 1, 1] Sau ta thảo luận trường hợp tổng quát chọn lọc tùy ý nút hệ số cho biết cơng thức thay đổi tích phân khoảng thời gian tùy ý Giả sử ta muốn xác định c1,c2,x1 x2 để tính tích phân Cho kết xác f(x) đa thức bậc 2(2) – = nhỏ hơn, Cho tập hợp số a0 , a1 , a2 a3 điều tương đương với việc cho thấy công thức cho kết xác f ( x) c ,c , x 1, x, Do ta cần x2 Ta có tham số cho thấy hệ phương trình có nghiệm Đưa công thức gần Công thức có độ xác ba; nghĩa là, tạo kết xác cho đa thức bậc ba trở xuống Định lý: Giả sử 𝑥1 , 𝑥2 , , 𝑥𝑛 mốc đa thức Legendre thứ n: 𝑃𝑛 (𝑥) 𝑣à đ𝑖ề𝑢 𝑣ớ𝑖 𝑚ỗ𝑖 𝑖 = 1,2, , 𝑛, ,các số c xác định bởi: Nếu P(x) đa thức bậc nhỏ 2n thì: Chứng minh: Trước hết ta xem xét trường hợp đa thức P(x) bậc nhỏ n Viết lại P(x) theo (n - l) st đa thức hệ số Lagrange với nút gốc đa thức Legendre thứ n: 𝑃𝑛 (𝑥) Thuật ngữ lỗi cho biểu diễn liên quan đến đạo hàm thứ n P(x) Vì P (x) có bậc nhỏ n nên đạo hàm cấp n P (x) 0, đại diện xác Cho nên: Và Do đó, kết với đa thức bậc nhỏ n Bây xem xét đa thức P (a) bậc n nhỏ 2n Chia P (a) cho đa thức Legendre thứ n: 𝑃𝑛 (𝑥) Điều cho ta hai đa thức Q(x) R (x), đa thức độ nhỏ n, với: P ( x ) = Q ( x ) Pn ( x) + R ( x ) Lưu ý 𝑥𝑖 gốc 𝑃𝑛 (𝑥) với i =1,2, ,n Vì ta có: P ( xi ) = Q ( xi ) Pn ( xi ) + R ( xi ) = R ( xi ) Bây ta đa thức bậc đa thức Legendre Đầu tiên, mức độ đa thức Q(x) nhỏ n, (theo thuộc tính Legendre (2)) ∫−1 Q(x)𝑃𝑛 (𝑥)dx = Sau đó, R (x) đa thức bậc nhỏ n, đối số mở đầu ngụ ý rằng: ∫−1 𝑅(𝑥)𝑑𝑥 = ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖 𝑅(𝑐𝑖 ) Kết hợp kiện với xác minh cơng thức xác cho đa thức P(x): 1 ∫−1 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−1[𝑄(𝑥)𝑃𝑛 (𝑥) + 𝑅(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫−1 𝑅(𝑥)𝑑𝑥 =∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖 𝑅(𝑐𝑖 ) Các số c, cần thiết cho quy tắc vuông góc tạo từ phương trình định lý, số gốc đa thức Legendre lập bảng rộng rãi Bảng liệt kê giá trị cho n = 2, 3, n Mốc 𝑟𝑛,𝑖 Hệ số 𝑐𝑛,𝑖 0.5773502692 -0.5773502692 1.0000000000 1.0000000000 0.7745966692 0.0000000000 -0.7745966692 0.8611363116 0.3399810436 -0.3399810436 -0.8611363116 0.9061798459 0.5384693101 0.0000000000 -0.5384693101 -0.9061798459 0.5555555556 0.8888888889 0.5555555556 0.3478548451 0.6521451549 0.6521451549 0.3478548451 0.2369268850 0.4786286705 0.5688888889 0.4786286705 0.2369268850 Code MATLAB function q = quadadapt(f,a,b,tol,varargin) % Evaluates definite integral of f(x) from a to b if nargin < | isempty(tol),tol = 1.e−6;end c = (a + b)/2; fa = feval(f,a,varargin{:}); fc = feval(f,c,varargin{:}); fb = feval(f,b,varargin{:}); q = quadstep(f, a, b, tol, fa, fc, fb, varargin{:}); end function q = quadstep(f,a,b,tol,fa,fc,fb,varargin) % Recursive subfunction used by quadadapt h = b − a; c = (a + b)/2; fd = feval(f,(a+c)/2,varargin{:}); fe = feval(f,(c+b)/2,varargin{:}); q1 = h/6 * (fa + 4*fc + fb); q2 = h/12 * (fa + 4*fd + 2*fc + 4*fe + fb); if abs(q2 − q1) n ≥ 8.9657 => n=9 n a(+) 0.74 0.74 0.74 0.74 0.74 0.74 0.74 0.74 0.74 0.74 b(-) 0.75 0.745 0.7425 0.74125 0.740625 0.7403125 0.74015625 0.740078125 0.7400390625 0.7400195313 h = 0.7400097656 Phương pháp dây cung: Ta có f (h) = 22.cos −1 ( 2−h ) − (2 − h) 4h − h − / [0,74; 0,75] 𝑙à 𝑘ℎ𝑜ả𝑛𝑔 𝑝ℎâ𝑛 𝑙𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 Theo công thức dây cung 12 h 0.745 0.7425 0.74125 0.740625 0.7403125 0.74015625 0.740078125 0.7400390625 0.7400195313 0.7400097656 Sign(f(h)) + + + + + + + + + + b−a f (a ) f (b) − f (a ) a = 0, 74; h=a− b = 0, 75 h1 = a − b−a f (a ) = 0.7400151787 f (b) − f (a ) f (h1 ) f (a ) = a = x1 = 0.740015218 a = 0.7400151787 b = 0, 75 h2 = a − b−a f (a ) = 0.740015218 f (b) − f (a ) f (h 2) = −1.5848*10−9 10 −5 Kết luận h= 0.740015218 nghiệm phường trình với sai số -1.5848* 10^-9 c Dựa đề ta cần tìm hàm ℎ = 𝑓(ℎ) V = [r cos −1 ( r −h ) − (r − h) 2rh − h ].L r V r −h + (r − h) 2rh − h = r cos −1 ( ) L r V L + (r − h) 2rh − h cos r2 r−h = r V L + (r − h) 2rh − h h = r − r.cos r2 Nhận thấy hàm có dạng ℎ = 𝑓(ℎ) Theo phương pháp lặp: • ℎ𝑛 = 𝑓(ℎ𝑛−1 ) • (0,74; 0,75) khoảng ly nghiệm theo chứng minh câu 1b suy ta chọn h0=0,74 1, + (2 − h) 4h − h • Thay liệu vào hàm ta được: h = − 2cos 13 n 𝑓(ℎ𝑛 ) 0,74 0,7400183562 0,7400145709 0,7400153515 0,7400151905 0,7400152237 0,7400152169 0,7400152183 0,740015218 0,7400152181 10 0,7400152181 Suy h9 điểm bất động, độ sâu chất lỏng Công thức sai số hậu nghiệm cảu phương pháp lặp :|ℎ𝑛 − ℎđ | ≤ • 𝑘 = 𝑚𝑎𝑥|𝑓′(ℎ)| 𝑣ớ𝑖 ℎ ∈ (0,74; 0,75) ⇒ 𝑘 = 0,2173818065 • ℎ9 = 0,7400152181 ⇒ |ℎ9 − ℎđ | ≤ 2,7777 × 10−11 d Ta có: • 𝑓′(ℎ) ln dương (0,74;0,75) • 𝑓 ′′ (ℎ) > ⇒ 𝑓 ′′ (0,75)𝑓(0,75) > Suy h=0,75 điểm Fourier Chọn h0=0,75 Công thức nghiệm Newton: ℎ0 ℎ1 ℎ2 ℎ3 ℎ4 ℎ5 f (hn −1 ) f '(hn −1 ) hn = hn −1 − 0,75 0,7400408932 0,7400152182 0,7400152181 0,7400152181 0,7400152181 Suy h=0,7400152181 điểm biến động Công thức sai số tổng quát hn − hd f ( hn ) m 14 𝑘 1−𝑘 |ℎ𝑛 − ℎ𝑛−1 | • 𝑓(ℎ5 ) = 6,8434 × 10−11 • 𝑚 = 15,53190265 Thế vào cơng thức sai số ta h5 − hd 4, 4061.10( −11) Bài 2: Giải a A= input('nhập ma trận A: '); B= input('nhập ma trận B: '); N= length (A); % Nhập ma trận L,U rỗng với phần tử L=zeros (N,N); U=zeros (N,N); %Cách tìm L U theo phương pháp Doolitle for a= 1:N L(a,a)= 1; end U(1,:) = A(1,:); L(:,1)= A(:,1)/ U(1,1); 15 for i= 2:N for j=i:N U(i,j)= A(i,j) - L(i,1:i-1)*U(1:i-1,j); end for k=i+1:N L(k,i)= (A(k,i)- L(k,1:i-1)*U(1:i-1,i))/U(i,i); end end L,U % Tính Y theo công thức LY=B Y= zeros(N,1); Y(1) =B(1)/L(1,1); for k= 2:N Y(k)=(B(k)- L(k,1:k-1)* Y(1:k-1))/L(k,k); end Y %Tính X theo cơng thức UX=Y X= zeros(N,1); X(N)= Y(N)/U(N,N); for k=N-1:-1:1 X(k)= (Y(k)- U(k,k+1:N)* X(k+1:N))/U(k,k); end X 16 b Nhập ma trận A: [15 17 19; 0.3 0.4 0.55; 1.2 1.5]; Nhập ma trận B: [3890; 95; 282]; Ta có kết quả: 17 Bài 18 Giải a Ta có diện tích mặt theo dz 2 dz = 8 dz ➔ Diện tích bề mặt theo tích phân từ 0->L là: L S = (d )dz Theo hình vẽ ta có V = r dz = V= L d2 0 d2 -> thể tích theo tích phân từ -> L dz b z(in) d(in) 0 1.5 2.9 3.0 4.8 19 4.5 5.8 6.2 Phương pháp hình thang h S = ( (( y0 + y4 ) + 2( y1 + y2 + y3 ))) 1.5 S = ( ((0 + 6.2) + 2(2.9 + 4.8 + 5.8))) S = 24.9 (m ) V= h ( (( y0 + y4 ) + 2( y12 + y2 + y32 ))) 1.5 V = ( ((02 + 6.2 ) + 2(2.9 + 4.82 + 5.82 ))) V = 31.61625( m3 ) Phương pháp Simpson h *(( y0 + y4 ) + 4( y1 + y3 ) + y2 ) 1.5 S = *((0 + 6.2) + 4(2.9 + 5.8) + 2* 4.8) S = 25.3 (m ) S = V= h * *(( y0 + y4 ) + 4( y12 + y32 ) + y2 ) 1.5 V = * *((02 + 6.2 ) + 4(2.9 + 5.82 ) + 2* 4.82 ) V = 31.59 (m3 ) Danh mục tài liệu tham khảo [1] [Richard L Burden, J Douglas Faires, Annette M] Numerical Analysis (z-lib.org) [2] [Steven C Chapra, Raymon P Canale] Numerical Methods for Engineers 7th Edit [3][Steven C Chapra]Applied Numerical Methods with MATLAB® for Engineers and Scientists Fourth Edition [4] Giáo trình Phương pháp tính – Lê Thái Thanh – NXB ĐHQG TPHCM 20 ... PHẦN I : LÝ THUYẾT Ý tưởng phương pháp cầu phương Gauss Thuật toán phương pháp cầu phương Gauss : Code MATLAB PHẦN II : BÀI TẬP 10 Bài 1:... 5.8))) S = 24 .9 (m ) V= h ( (( y0 + y4 ) + 2( y 12 + y2 + y 32 ))) 1.5 V = ( (( 02 + 6 .2 ) + 2( 2.9 + 4. 82 + 5. 82 ))) V = 31.61 625 ( m3 ) Phương pháp Simpson h *(( y0 + y4 ) + 4( y1 + y3 ) + y2 ) 1.5... y2 ) 1.5 S = *((0 + 6 .2) + 4 (2. 9 + 5.8) + 2* 4.8) S = 25 .3 (m ) S = V= h * *(( y0 + y4 ) + 4( y 12 + y 32 ) + y2 ) 1.5 V = * *(( 02 + 6 .2 ) + 4 (2. 9 + 5. 82 ) + 2* 4. 82 ) V = 31.59 (m3 ) Danh