[Giáo trình Sức bền vật liệu]- chương 5

Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn Trang th an co ng c om CHƯƠNG 5: THANH TRÒN CHỊU XOẮN Hình 5-1 Xét tròn với hệ lưới hình vẽ 5-2 cu u du · on g I Biến dạng ứng suất tròn chịu xoắn Đường tròn đường tròn Đường thẳng song song trục trở thành đường xoắn ốc Mz z Mz Bán kính thẳng Hình 5-2 – Trước biến dạng · Hình 5-3 – Sau biến dạng Khi chịu tác dụng moment xoắn hai đầu, hệ lưới biến đổi hình 5-3: o Đường tròn đường tròn o Đường thẳng song song trục trở thành đường xoắn ốc o Đường bán kính thẳng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn · Trang Các giả thuyết: o Giả thuyết mặt cắt ngang: mặt cắt ngang phẳng vuông góc trục thanh, khoảng cách chúng không đổi o Giả thuyết bán kính: bán kính thẳng có chiều dài không đổi o Giả thuyết thớ dọc: trình biến dạng thớ dọc không ép không đẩy lên · Xét trục cố định đầu, đầu lại chịu mômen xoắn hình vẽ 5-4 o Mặt a bị xoắn biến thành mặt a’ o Tại vị trí z bất kỳ, đường bán kính bị xoay góc f(z), gọi góc xoắn: phụ thuộc om vị trí z thay đổi dần dọc theo trục (hình 5-4) f(z) th an co z ng x a’ on Mz z + dz r R Mz z Hình 5-5 du Hình 5-4 u C cu · x z g a z y c y q g Xét phần tử nhỏ cách trục khoảng r, vị trí z, chiều dài phần tử dz (hình 5-5) · Mặt sau phần tử (tại vị trí z) có góc xoắn f(z) · Mặt trước phần tử (tại vị trí z+dz) có góc xoắn D g B a’’ f(z) + df · Trước biến dạng: AB ^ AC · Sau biến dạng: AB AD Þ Biến dạng góc: g = DAˆ B = a p p - q ' = - CAˆ D 2 z CuuDuongThanCong.com f(z) df Hình 5-6 https://fb.com/tailieudientucntt A Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn Trang Ta có: BD = r ´ df (1) Trong DABD: tan g = BD AB Þ BD = AB ´ tan g » AB ´ g Þ BD = dz ´ g (2) r ´ df = dz ´ g Từ (1) (2): r ´ df dz Þg = (3) df = const dz Vì dz df cho tất phần tử nằm mặt cắt vị trí z nên Þ Biến dạng góc thay đổi tuyến tính dọc theo bán kính, có giá trị không trục c om (r = 0), có giá trị lớn biên (r = R) (hình 5-7) ng df rg tmax t th an R co gmax r tmax t c Mz g t dA on tmax du Hình 5-7 Tại vị trí r: biến dạng góc g u Hình 5-8 cu Tại vị trí R: biến dạng góc gmax Ta coù: df g g max = = dz r R Suy ra: ổrử g = ỗ ữ g max èRø Theo định luật Hoke: t = G ´ g (4) (5) Þ Dọc theo bán kính: biến dạng góc thay đổi tuyến tính Þ Ứng suất tiếp thay đổi tuyến tính Từ (4) (5), suy ra: ỉrư t = ỗ ữ t max ốRứ (6) Lửùc taực dụng lên phần tử diện tích dA, vị trí r: CuuDuongThanCong.com (Hình 5.8) dF = t ´ dA https://fb.com/tailieudientucntt Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn Trang Mômen xoắn sinh lực dF: dMz = r ´ dF = r ´ t ´ dA Trên toàn mặt cắt thanh: ỉrư M z = ị r ´ (t dA) = ũ r ỗ ữt max dA A A èRø t max = const R Đặt J = ị A Þ Mz = r ´ dA = t max R ò A r ´ dA (8) p ´ R4 : mômen quán tính độc cực trụ tròn Vậy t max = Mz ´R J Đại lượng W = J : R mômen chống xoắn (9) Þ t max = c Trong đó: Mz W om Vì (7) tmax : ứng suất tiếp lớn trục, xuất bên o Mz : mômen xoắn nội lực mặt cắt tính ứng suất o J : mômen quán tính độc cực mặt cắt ngang o R : bán kính trục an th Mz ´r J on t= (t = (r/R) ´ tmax) vaø (9): (10) g Từ phương trình (6): co ng o J= du Đối với trụ tròn đặc bán kính R: p ´ R4 J= · p ´ (Ro4 - Ri4 ) cu u Đối với trụ tròn rỗng bán kính Ri, bán kính Ro : Theo định luật đối ứng ứng suất tiếp, phân tố ứng suất tách từ vật có thành phần ứng suất tiếp hình vẽ 5-9, 5-10, 5-11, 5-12 tmax t tmax tmax z Mz Hình 5-10 Hình 5-9 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn Trang tmax tmax tmax Mz tmax tmax Hình 5-12 om Hình 5-11 c Mômen xoắn nội lực Mz không gây ứng suất tiếp phân bố tuyến tính theo phương bán kính mà gây ng thành phần ứng suất tiếp phân bố tuyến tính theo phương dọc trục co Ví dụ 5-1: Ống hình vẽ 5-13 có đường kính 80 mm đường kính 100 mm Đầu A ống an bắt chặc vào tường, đầu B chịu lực hình vẽ Hãy xác định ứng suất tiếp thành thành g th mặt cắt ngang C ống vẽ phân tố ứng suất biểu diễn ứng suất cu 80 N z 200 mm 300 mm 80 N 300 mm B Hình 5-13 Hình 5-14 Cân mômen quanh trục y: SMy = 0: 80 (N) ´ 0.3 (m) + 80 (N) ´ 0.2 (m) – My = Þ My = 40 Nm = 40000 Nmm Mômen quán tính độc cực mặt cắt ngang: J= [ ] p ´ 50 - 40 (mm ) CuuDuongThanCong.com y My A C u 200 mm du on 80 N ( Þ J » 5796234 mm ) https://fb.com/tailieudientucntt 80 N x Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn Trang Ứng suất tiếp thành trong: D M ´ Ri 40000( Nmm ) ´ 40(mm ) ti = z = J 5796234 mm ( x ) Þ t i = 0.276(MPa ) tE = 0.276 MPa Ứng suất tiếp thành ngoaøi: to = tD = 0.345 MPa M z ´ Ro 40000( Nmm ) ´ 50(mm ) = J 5796234 mm ( ) Þ t o = 0.345(MPa ) E My y Các phân tố ứng suất biểu diễn hình 5-15 om Hình 5-15 Ví dụ 5-2: Một trục AB dùng để truyền công suất 5hp từ động hình 5-16 Nếu trục quay với vận co M ng c tốc w = 175 vòng/phút, xác định đường kính trục trục có ứng suất tiếp cho phép [t] = 100 MPa th an A B du on g w u Hình 5-16 cu Ta có: P = hp = ´ 745.7 W = 3728.5 (W) w = 175 vòng/phút = Mặt khác: P = Mz ´ w Từ phương trình (9): Suy ra: 175 ´ ´ p ổ rad ỗ ữ 60 ố s ứ ị Mz = [t ] = M z ´ R J P 3728.5(W ) = w 18.33(rad / s ) với J = J p R4 M z = ´ = R R [t ] é ´ 203.41 ù ÞR=ê ú ë p ´ 100 ´ 10 û Þ w = 18.33 (rad/s) p ´ R4 é2´ M z ù ÞR=ê ú ë p ´ [t ] û ( 13 ) Þ Mz = 203.41 (Nm) ( 13 ) Þ R » 0.011(m ) Vậy đường kính trục cần tìm d = 22 mm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn Trang Ví dụ 5-3: Một trục rỗng đường kính 30 mm, đường kính 42 mm, dùng để truyền động công suất 90 kW Hãy xác định tần số quay trục để ứng suất tiếp không vượt 50 MPa Ta có: t max = M xoắn ´ Ro J Þ 50(MPa ) = M xoaén ´ 21(mm ) ´ ( )( p ´ 214 - 15 mm ) Þ Mxoắn » 538020 Nmm Tần số quay: P = ´ p ´ f ´ Mxoaén Û 90000 W = ´ p ´ f ´ 538.020 Nm Þ f = 26.62 Hz om Ví dụ 5-4: Trục AB thép có đường kính 25 mm đặt hai ổ đở D E Động truyền công suất kW cho trục với vận tốc 50 vòng/s Bánh A B tiêu thụ công suất kW kW Xác định an co 25 mm kW D ng kW kW E B th A c ứng suất tiếp lớn đoạn AB BC trục C MB A B MA MC du MA on g Hình 5-17a A u C Hình 5-17c cu Hình 5-17b w = 50 voøng 50 ´ ´ p (rad ) = s s MC = PC 3000(W ) = = 9.55( Nm ) w 100 ´ p (rad s ) MA = PA 1000(W ) = = 3.18( Nm ) w 100 ´ p (rad s ) J= ( p ´R p ´ 12.5 mm = t max AB = 4 Þ w = 100 ´ p (rad / s ) MB = ) » 38350(mm ) PB 2000(W ) = = 6.37( Nm ) w 100 ´ p (rad s ) MA MB A B M AB ´ R 3180( Nmm ) ´ 12.5(mm ) = » 1.04(MPa ) J 38350 mm ( CuuDuongThanCong.com M AB = 3.18 Nm ) Hình 5-17d https://fb.com/tailieudientucntt M BC = 9.55 Nm Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn t max BC = Trang M BC ´ R 9550( Nmm ) ´ 12.5(mm ) = » 3.11(MPa ) J 38350 mm ( ) Ví dụ 5-5: Tương tự ví vụ 5-4, tìm ứng suất tiếp lớn trục hình vẽ 5-18a D kW kW A B 12 kW kW 25 mm E C F MB MC A B C ( Þ w = 100 ´ p (rad / s ) ) ( ) an p ´ R p ´ 12.5 mm = » 38350 mm th J= voøng 50 ´ ´ p (rad ) = s s co w = 50 F ng Hình 5-18b MF c MA om Hình 5-18a PF 12000(W ) = = 38.2( Nm ) w 100 ´ p (rad s ) t max = M F ´ R 38200( Nmm ) ´ 12.5(mm ) = » 12.45(MPa ) J 38350 mm on g MF = ) z cu u du ( II Góc xoắn · Xét trục chịu xoắn có tiết diện thay đổi dần M x3 dọc theo chiều dài trục hình vẽ 5- y 19 · x Vật liệu xem đồng đàn hồi dx tuyến tính áp đặt mômen xoắn Þ Mục đích: tìm góc xoắn tương đối M x2 đầu trục so với đầu lại trục x M x1 Hình 5-19 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn Trang df gmax g g R dx df Hình 5-20 om r M(x) Xét đóa tròn có chiều dày dx từ vị trí x hình vẽ 5-19 · Mômen nội lực mặt cắt M(x) · Góc xoắn tương đối mặt trước so với mặt sau df · Tại vị trí bán kính r, phần tử có biến dạng góc g · Từ phương trình (3): an dx r t G (11) th df = g ´ co ng c · Theo định luật Hooke: g = · Mặt khác: · Suy ra: g = · Lấy tích phân toàn chiều dài L trục, ta có góc xoắn toàn truïc: on M (x ) ´ r J (x ) du t= M (x ) ´ r J (x ) ´ G u Þ df = cu f=ị L · g · Trong đó: M (x ) dx J (x ) ´ G M (x ) dx J (x ) ´ G (12) f : góc xoắn đầu so với đầu lại t(x): mômen xoắn nội lực vị trí x J(x): mômen quán tính độc cực trục G: mômen đàn hồi trượt · Nếu trục có mômen xoắn diện tích mặt cắt ngang không đổi: M(x) = M, J(x) = J: f= CuuDuongThanCong.com M ´L J ´G (13) https://fb.com/tailieudientucntt Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn · Trang 10 Nếu chia thành nhiều đoạn đoạn có mômen xoắn diện tích mặt cắt ngang không đổi: f=å · M ´L J ´G (14) Quy ước dấu: + f (x) + M(x) c om + f (x) ng Hình 5-21 Tìm ứng suất tiếp đoạn · Vẽ biểu đồ mômen xoắn · Tìm góc xoắn đầu tự cuûa th an · 360 Nm B 600 mm 40 mm cu 28 mm u du 1220 Nm C 400 mm 200 mm 570 Nm D E 28 mm on g Cho G = 80000 MPa A co Ví dụ 5-6: Cho trục chịu mômen xoắn hình vẽ 5.22 Hãy : 400 mm Hình 5.22 930 Nm Mx 290 Nm - CuuDuongThanCong.com + + 570 Nm https://fb.com/tailieudientucntt + M(x) Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn t max AB = Trang 11 M AB ´ RoAB 290000( Nmm ) ´ 14(mm ) ´ = J AB p ´ (14mm )4 M BC ´ RoBC 930000( Nmm ) ´ 20(mm ) ´ = J BC p ´ (20mm )4 M ´ RoCE 570000( Nmm ) ´ 20(mm ) ´ = CE = J CE p ´ 20 - 14 mm t max BC = t max CE ( ) Þ t max AB = 67.28(MPa ) Þ t max BC = 74(MPa ) Þ t max CE = 59.69(MPa ) Góc xoắn đầu tự do: f E = f E / D + f D / C + fC / B + f B ( ´ 10 N / m ) om 570( Nm ) ´ 0.2(m ) ´ ù é 570( Nm ) ´ 0.4(m ) ´ + ê ú 4 p ´ 0.02 - 0.014 mm p ´ 0.02 mm ú ´ê ê 930(Nm ) ´ 0.4(m ) ´ 290( Nm ) ´ 0.6(m ) ´ ú ê+ ú p ´ 0.02 mm p ´ 0.014 mm ë û ( ) c Þ fE = é M DE ´ LDE M CD ´ LCD M BC ´ LBC M AB ´ L AB ù ´ê + + + ú G ë J DE J CD J BC J AB û ng Þ fE = an co Þ f E = 3.051 ´ 10 -3 (rad ) Ví dụ 5-7: Để xác định công suất tuabin nước, người ta đo góc xoắn trục đoạn chiều th dài 5m Đường kính trục 25 cm đường kính 17 cm Vận tốc quay n=250 g vòng/phút, G = 8´106 N/cm2 Xác định công suất tuabin, biết góc xoắn đo 10 Tính ứng suất lớn ( )( ) ( p 125 - 85 mm = 9597 ´ 10 ´ p mm ) u J= du on mặt cắt ngang N cm = 8´ Mômen xoắn: ÞM = 10 cu G = ´ 10 N 10 mm f= = 80000(MPa ) f = 10 = p rad 180 M ´L J ´G ( ) f ´ J ´G p = ´ 9597 ´ 10 mm ´ 80000(MPa ) ´ L 180 5000(mm ) Þ M = 84194305.3( Nmm ) = 84194.3( Nm ) P = M ´ w = 84194.3( Nm ) ´ Þ P » 2204.2(kW ) CuuDuongThanCong.com 250 ´ ´ p ổ rad ỗ ữ = 2204199.8(W ) 60 ố s ø Þ t max = M ´ R0 = 35(MPa ) J https://fb.com/tailieudientucntt Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn Trang 12 Ví dụ 5-8: Các bánh gắn trục AE có đầu E cố định chịu mômen xoắn hình vẽ 5-23a Cho G = 80 GPa, đường kính trục 14 mm Xác định quãng đường dịch chuyển P bánh A biết trục quay tự B E 40 Nm D 280 Nm 0.5 m C 150 Nm B om 0.3 m 0.4 m A c P 100 mm M CD = 130 Nm ng Hình 5-23a co M AC = 150 Nm 150 Nm 150 Nm th an 280 Nm Hình 5-23c on g Hình 5-23b u du M DE = 170 Nm cu fA = 0.212 rad P sP 100 mm 40 Nm 150 Nm 280 Nm A +x Hình 5-23d Hình 5-23e Ta có: J= ( ) p ´ (0.007 m )4 = 3.77 ´ 10 -9 m CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn Trang 13 Góc xoắn A: fA = å Þ fA = Mx ´L J ´G [ ( 3.77 ´ 10 -9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] (mm )´ 80 ´ 10 (N / m ) 150 Nm ´ 0.4 m - 130 Nm ´ 0.3 m - 170 Nm ´ 0.5 m Þ f A = -0.212(rad ) Do fA < 0, theo quy ước dấu A có chiều quay hình 5-22e Quãng đường dịch chuyển P cung tròn sP Þ sp = 21.2 mm om sp = fA ´ R = 0.212 (rad) ´ 100 (mm) Ví dụ 5-9: Hai trục thép có đường kính 20 mm với bánh chịu mômen xoắn A hình vẽ 5- c 24a Trục AB xoay tự E F, trục CD có đầu D cố định Cho G = 80 GPa Hãy xác định góc xoắn đầu A trục AB 75 mm ng D C E A F 150 mm th 2m D an 45 Nm co 1.5 m on g Hình 5-24a du MD z Dz u M D x = 22.5 Nm cu MD y C Dy + D 0.075 Nm F = 300 N fC Hình 5-24b fB = 0.0134 rad 45 Nm F = 300 N R Ey 0.150 m R Fy R Ez R Fz Hình 5-24c CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn Trang 14 Cân mômen theo trục x trục AB (hình 5-23c), ta có phản lực tiếp tuyến F bánh raêng: F = 45 Nm/ 0.15 m = 300 N Mômen phản lực MDx: MDx = 300 N ´ 0.075 m = 22.5 Nm Khi xét đoạn DC, mômen nội lực đoạn DC MDC = + 22.5 Nm Góc xoắn bánh C: fC = M DC ´ LDC 22.5( Nm ) ´ 1.5(m ) ´ = = +0.0269(rad ) J ´G p ´ 0.010 m ´ 80 ´ 10 N / m ( ) ( ) Do hai bánh ăn khớp nên bánh C quay góc fC làm bánh B quay góc fB: Þ fB = 0.0134 rad Góc xoắn A so với B mômen xoắn 45 Nm gây ra: M AB ´ LAB + 45( Nm ) ´ 2(m ) ´ = = +0.0716(rad ) J ´G p ´ 0.010 m ´ 80 ´ 10 N / m ( ) ( III Điều kiện bền điều kiện cứng Điều kiện bền: co th · Þ fA = 0.0850 rad an fA = fA/B + fB = 0.0716 rad + 0.0134 rad ng Vậy góc xoắn tổng cộng A là: ) c fA/ B = om fB ´ 0.15 m = fC ´ 0.075 m = 0.0269 rad ´ 0.075 m M xoaén ´ R M xoaén ´ R = £ [t ] p ´ R4 J on g t max = du ´ M xoắn p ´ [t ] Điều kiện cứng: cu · u ÞR³3 q max = q M xoắn ´ R £ [q ] : góc xoắn cho phép J ´G góc xoắn tương đối mặt cắt cách đơn vị chiều dài góc xoắn tỉ đối Ví dụ 5-10: Động điện M truyền sang puli trục I công suất N1 = 20 kW Các puli 2, 3, nhận công suaát N2 = 15 kW, N3 = 2kW, N4 = kW Các puli 5, 6, trục II nhận công suất N5 = kW, N6 = kW, N7 = kW Hãy xác định đường kính trục, biết: [t] = 30 MPa [q] = 0.25o/m Vận tốc góc trục động laø: CuuDuongThanCong.com D = 200 mm D1 = 400 mm D2 = 200 mm n = 1000 vòng/phút https://fb.com/tailieudientucntt D3 = 600 mm Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn Trang 15 IV Bài toán siêu tónh Xét trục chịu mômen xoắn M hình vẽ 5.26a · Mục đích: xác định mômen xoắn phản lực A B ng c om · MA an co A M L AC th C L Hình 5-26b B MB du on g L BC Hình 5-26a M cu u Phương trình cân bằng: SMx = 0; M – MA – MB = (*) Điều kiện tương thích: fA/B = Û M A ´ L AC M B ´ LBC =0 J ´G J ´G (**) Giải (*) (**) ý L = LAB + LBC, ta coự: ổL M A = M ỗ BC ữ ố L ứ ổL M B = M ỗ AC ÷ è L ø Ví dụ 5-11: Trục thép có đường kính 20 mm chịu mômen xoắn hình 5-27a Xác định phản lực A B CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 5: Thanh tròn chịu xoaén 500 Nm Trang 16 A 500 Nm MA D 0.3 m 800 Nm 800 Nm C 0.2 m x MB Hình 1-27b u du on g th an co ng c om Hình 1-27a cu B 1.5 m CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... = 9 .55 Nm Chương 5: Thanh tròn chịu xoắn t max BC = Trang M BC ´ R 955 0( Nmm ) ´ 12 .5( mm ) = » 3.11(MPa ) J 38 350 mm ( ) Ví dụ 5- 5: Tương tự ví vụ 5- 4, tìm ứng suất tiếp lớn trục hình veõ 5- 18a... 0.3 45 MPa M z ´ Ro 40000( Nmm ) ´ 50 (mm ) = J 57 96234 mm ( ) Þ t o = 0.3 45( MPa ) E My y Các phân tố ứng suất biểu diễn hình 5- 15 om Hình 5- 15 Ví dụ 5- 2: Một trục AB dùng để truyền công suất 5hp... suất tách từ vật có thành phần ứng suất tiếp hình vẽ 5- 9, 5- 10, 5- 11, 5- 12 tmax t tmax tmax z Mz Hình 5- 10 Hình 5- 9 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 5: Thanh tròn