[Giáo trình Sức bền vật liệu]- chương 4

Chương 4: Tải trọng dọc trục Trang co ng c om CHƯƠNG 4: TẢI TRỌNG DỌC TRỤC Hình 4-2 th an Hình 4-1 I Biến dạng đàn hồi chịu tải trọng dọc trục Xét có mặt cắt ngang thay đổi dần dọc theo chiều dài L hình vẽ 4-3 · Tại hai đầu có hai lực P1, P2, tải trọng phân bố dọc theo chiều dài · (G: tải trọng phân bố trọng lượng dầm thẳng đứng lực ma sát du on g · Mục đích: tìm chuyển vị tương đối d đầu so với đầu cu · u bề mặt thanh) dx x P2 P1 L Hình 4-3 · P(x) P(x) dd dx d Hình 4-4 Bỏ qua biến dạng cục vị trí đặt lực, ứng suất xem phân bố mặt cắt ngang · Xét đoạn nhỏ có chiều dài dx vị trí x Diện tích mặt cắt ngang đoạn A(x) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 4: Tải trọng dọc trục Trang · Nội lực hai mặt cắt P(x) · Đầu bên phải phần tử dịch chuyển so với đầu bên trái phần tử đoạn dd (hình 44) · Ứng suất: s = P( x ) A( x ) · Biến dạng: e= dd dx · Xét vùng đàn hồi tuyến tính, áp dụng định luật Hooke: Û P(x ) ỉ dd = Eỗ ữ A( x ) ố dx ứ Þd = ò L Û dd = P(x ) dx A( x )E P( x )dx A( x )E om s = Ee c Trong đó: d : chuyển vị điểm so với điểm khác o L : khoảng cách hai điểm o P(x) : nội lực mặt cắt, vị trí x o A(x) : tiết diện cắt ngang o E : môđun đàn hồi vật liệu th an co ng o g Nếu tải trọng diện tích mặt cắt ngang không đổi: on · PL EA EA : gọi độ cứng kéo hay nén · cu u o du d= Nếu có n đoạn, đoạn có P A không đổi: n d =å i =1 · Pi Li Ei Ai Quy ước dấu: +P +d Hình 4-5a CuuDuongThanCong.com +x +x +P +d Hình 4-5b https://fb.com/tailieudientucntt Chương 4: Tải trọng dọc trục Trang Ví dụ 4-1: Thanh chịu lực hình vẽ 4-6a Cho E = 200000 MPa, A = 20 mm2 Hãy xác định dA Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất, chuyển vị kN kN kN B A C D 300 mm 200 mm 300 mm Hình 4-6a Lần lượt xét mặt cắt hình vẽ 4-6b, 4-6c, 4-6d kN A NAB = kN A B kN 200 mm Hình 4-6b c Hình 4-6c N AB 5000( N ) = = 250 MPa A 20 mm s BC = N BC - 3000( N ) = = -150 MPa A 20 mm s CD = N CD - 7000( N ) = = -350 MPa A 20 mm ) u cu 200 mm s 0.5 mm - CuuDuongThanCong.com kN C D 300 mm 300 mm - - - - kN + 150 MPa d Hình 4-6d + kN 250 MPa kN B A kN D g du kN ) on ( 7kN an ( N ng ) co ( NCD = -7 kN th s AB = NBC = -3 kN om kN 0.750 mm - 0.525 mm - https://fb.com/tailieudientucntt 350 MPa Chương 4: Tải trọng dọc trục Trang dA = dA/B + dB/C + dC/D Þ dA = N AB ´ L AB N BC ´ LBC N CD ´ LCD + + AE AE AE Þ dA = (N AB ´ L AB + N BC ´ LBC + N CD ´ LCD ) AE Þ dA = [5000(N ) ´ 200(mm ) - 3000(N ) ´ 300(mm ) - 7000(N ) ´ 300(mm )] 20 mm ´ 200000 MPa Þ d A = 0.25 - 0.225 - 0.525 Þ d A = -0.5(mm ) Ví dụ 4-2: Thanh chịu lực hình vẽ 4-7 Cho E = 200000 MPa Hãy xác định dD Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng om suất, chuyển vị 30 kN C 50 kN 300 mm an 300 mm ng A = 200 mm 20 kN D co B A c A = 600 mm 400 mm on 20 kN D 30 kN NBC = -10 kN C D 20 kN u du NCD = 20 kN g th Hình 4-7 cu NAB = 40 kN B 50 kN 30 kN s CD = N CD 20000( N ) = = 100 MPa ACD 200 mm s AB = N AB 40000( N ) = = 66.70 MPa AAB 600 mm ( ( ) 20 kN D N BC - 10000( N ) = = -16.7 MPa ABC 600 mm ( ) ) dD = dD/C + dC/B + dB/A Þ dD = s BC = C Þ dD = N CD ´ LCD N BC ´ LBC N AB ´ L AB + + ACD E ABC E AAB E é 20000( N ) ´ 400(mm ) 10000( N ) ´ 300(mm ) 40000( N ) ´ 300(mm ) ù + ê ú 200000 MPa ë 200 mm 600 mm 600 mm û Þ d D = 0.2 - 0.025 + 0.1 CuuDuongThanCong.com Þ d D = 0.275(mm ) https://fb.com/tailieudientucntt Chương 4: Tải trọng dọc trục Trang A = 600 mm 30 kN B A 50 kN 300 mm 40 kN N A = 200 mm 300 mm 20 kN 400 mm + + + d ng + + 0.275mm th + 100 MPa -16.7 MPa co an - c -10 kN + 66.7 MPa 20 kN om - s D C 0.1 mm g 0.075 mm on Ví dụ 4-3: Hệ hình vẽ 4-8a gồm ống nhôm AB có diện tích mặt cắt ngang 400 mm2 du thép có đường kính 10 mm bắt xuyên qua ống nhôm vòng đệm tuyệt đối cứng Nếu ta kéo u thép với lực 80 kN, xác định chuyển vị đầu C thép Cho Ethép = 200 GPa, Enhoâm = 71 GPa cu 400 mm B A C 80 kN PBC = 80 kN 600 mm PAB = 80 kN 80 kN Hình 4-8a 80 kN Hình 4-8b Phân tích lực ta thấy thép chịu kéo 80 kN ống nhôm chịu nén 80 kN hình 4-8b Chuyển vị C so với B: dC / B = PLthép Athép Ethép CuuDuongThanCong.com = 80000( N ) ´ 600 (mm ) ´ = 3.056 mm p ´ 10 mm ´ 200000(MPa ) ( ) https://fb.com/tailieudientucntt Chương 4: Tải trọng dọc trục Trang Nghóa điểm C dịch chuyển bên phải so với điểm B khoảng 3.056 mm Chuyển vị B so với đầu cố định A: dB = PLnhoâm - 80000( N ) ´ 400 (mm ) = = -1.143 mm Anhoâm E nhoâm 400 mm ´ 70000(MPa ) ( ) Nghóa điểm B dịch chuyển phía phải so với điểm A khoảng 1.143 mm Vậy dịch chuyển C so với đầu cố định A là: Þ d C = 4.20 mm dC = dB + dC/B = 1.143 mm + 3.056 mm Ví dụ 4-4: Dầm AB xem cứng tuyệt đối đặt hai cột ngắn hình 4-9a AC làm thép om có đường kính 20 mm, BD làm nhôm có đường kính 40 mm Xác định chuyển vị điểm F AB c dầm chịu tải thẳng đứng 90 kN hình vẽ 4-9a Cho Ethép = 200 GPa, Enhoâm = 70 GPa 90 kN 200 mm A ng 400 mm co B 400 mm an F 90 kN 200 mm th 300 mm 30 kN 60 kN D Hình 4-9b du Hình 4-9a on g C 60 kN cu u 30 kN 0.102 mm 600 mm 0.286 mm 0.184 mm PAC = 60 kN 400 mm F A dF Hình 4-9d PBD = 60 kN Hình 4-9c + åM A = 0; Chuyển vị A B: dA = – 90000 N × 200 mm + RB ì 600 mm = ị RB = 30000 N Þ RA = 90000 N – 30000 N = 60000 N PAC L AC - 60000( N ) ´ 300(mm ) ´ = = -0.286 mm AAC Etheùp p ´ (20 mm )2 ´ 200000(MPa ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt B 0.102 mm Chương 4: Tải trọng dọc trục Trang Vậy điểm A xuống khoảng 0.286 mm dB = PBD LBD - 30000( N ) ´ 300(mm ) ´ = = -0.102 mm ABD E nhoâm p ´ (40 mm )2 ´ 70000(MPa ) Vậy điểm B xuống khoảng 0.102 mm Từ hình 4-9d, chuyển vị điểm F là: d F = 0.102 mm + (0.184 mm ) ´ 400(mm ) = 0.225 mm 600(mm ) Vậy điểm F xuống khoảng 0.225 mm om Ví dụ 4-5: Dầm AD xemlà cứng tuyệt đối liên kết với CB hình vẽ 4-10a Diện tích mặt cắt ngang CB 14 mm2 Hãy xác định chuyển vị điểm D theo phương thẳng đứng ng c Cho EBC = 70000 MPa co C th an 1.5 m 300 N/m A 2m Hình 4-10a C y 300 N/m cu u NCB du on g 2m D B a HA B A RA 2m H 2m B’ Hình 4-10b Hình 4-10c BC = 1.5 + 2 = 2.5 m + åM A = 0; – 300 N/m × m × m + NCB × Sina × m = Þ N CB = CuuDuongThanCong.com D 300 ´ ( N ) 300 ´ ( N ) ´ 2.5 = = 2000( N ) Sina https://fb.com/tailieudientucntt D’ Chương 4: Tải trọng dọc trục ìCB » CH í ˆ ˆ ỵCBA » HBB' Do biến dạng bé: HB' = DLCB = Sina = Trang N CB ´ LCB 2000( N ) ´ 2500(mm ) = = 5.102(mm ) ECB ´ ACB 70000(MPa ) ´ 14 mm ( HB' BB' Þ BB' = Þ DD' = ´ 8.503(mm ) ) HB' 5.102(mm ) ´ 2.5 = Sina Þ BB'= 8.503(mm ) Þ DD'= 17(mm ) om II Bài toán siêu tónh Định nghóa: Hệ siêu tónh hệ mà dùng phương trình cân tónh học giải c tất phản lực hay nội lực Số phương trình thiếu gọi bậc siêu tónh ng Phương pháp giải hệ siêu tónh Hệ có bậc siêu tónh n, thêm vào n phương trình o Phương trình thêm vào lập từ điều kiện biến dạng hệ (phương trình biến dạng) Các co o th an phương trình thêm vào gọi điều kiện tương thích FB + FA – P = Điều kiện tương thích: FA A u dA/B = on + - å Fy = ; du g Ví dụ 4-6: Cho ngàm hai đầu chịu lực hình vẽ 4-11 Tìm phản lực ngàm FA ´ L AC FB ´ LBC =0 AE AE cu L AC ổL ị FA = Pỗ BC ữ ố L ứ L C ổL ị FB = Pỗ AC ÷ è L ø L CB Cả hai phản lực giải dương, chiều chọn B chúng FB Hình 4-11 Ví dụ 4-7: Một thép có đường kính mm hình vẽ 4-12a Đầu A gắn cố định vào tường, đầu B cách tường mm Nếu lực P = 20 kN tác dụng lên hình vẽ, xác định phản lực A B’ Bỏ qua kích thước vòng đệm C Cho E thép = 200 GPa CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 4: Tải trọng dọc trục Trang mm P = 20 kN A B’ C B 400 mm 800 mm Hình 4-12a Nếu tường đầu B, chuyển vị B chuyển vị C so với đầu cố định A PAC ´ L AC 20000( N ) ´ 400(mm ) ´ = = 2.037(mm ) A´ E p ´ (5 mm ) ´ 200000 (MPa ) P = 20 kN Vaäy điểm B đụng vào tường toán siêu tónh + ® å Fx = ; A (1) Hình 4-12b c – FA – FB + 20000 N = Điều kiện tương thích: ng Hình 4-12c an - FB ´ 800 (mm ) ´ th FA ´ 400(mm ) ´ p ´ (5 mm ) ´ 200000(MPa ) p ´ (5 mm ) ´ 200000(MPa ) 2 g mm = FA ´ L AC FB ´ LCB AE AE FB FB co Từ hình vẽ 4-12b 4-12c, ta có: d B / A = mm = FA FA d B / A = 1(mm ) FB om dC / A = FA = 16.6 kN FB = 3.40 kN du Giaûi hệ (1) (2) ta có: (2) on Þ FA ´ 400 mm – FB ´ 800 mm = 3927 Nmm u Ví dụ 4-8: Ba thép liên kết khớp lề với cu dầm xem tuyệt đối cứng AE hình vẽ 4-13a Nếu D B F dầm chịu tải 15 kN hình vẽ, xác định lực dọc 0.5 m Diện tích mặt cắt ngang AB EF 25 mm2, CD 15 mm2 A Đây toán siêu tónh có ẩn số ta có 0.2 m phương trình cân + - å Fy = ; FA + FC + FE – 15 kN = 15 kN Hình 4-13a – FA ´ 0.4 m + 15 kN × 0.2 m + FE × 0.4 m = (2) CuuDuongThanCong.com 0.2 m (1) + åMC = 0; E C https://fb.com/tailieudientucntt 0.4 m Chương 4: Tải trọng dọc trục FA Trang 10 FC FE C 0.4 m A dE 0.2 m 0.4 m 0.2 m 0.4 m C dA C’ A’ 15 kN E E’ dC dE Hình 4-13c Hình 4-13b d A -dE dC - dE = 0.8(m ) 0.4(m ) ) ( ) Þ FC = 0.3 ´ FA + 0.3 ´ FE ( ) (3) FE = 2.02 kN th FC = 3.46 kN an Giải hệ phương trình (1), (2) (3), ta được: FA = 9.52 kN c ( ù 1é ù FE ´ L ú+ ê ú ûú ëê 25 mm ´ Etheùp úû ng FC ´ L FA ´ L 1é = ê 15 mm ´ Ethép êë 25 mm ´ Ethép co Þ 1 Þ dC = d A + d E 2 om Điều kiện tương thích: Các điểm A, B, C dịch chuyển thành điểm A’, B’ C’ Từ hình 4-13b, ta có: III Ứng suất nhiệt Sự thay đổi nhhiệt độ vật liệu thay đổi kích thước · Nhiệt độ on g · tăng vật liệu dãn u Biến dạng (độ co lại độ dãn) có chiều dài L: cu · du giảm vật liệu co lại o · d T = a ´ DT ´ L Trong đó: § a : hệ số dãn nở nhiệt [độ] § DT : độ tăng độ giảm nhiệt độ § dT : độ co độ giãn Nếu nhiệt độ thay đổi dọc theo chiều dài L d T = ò a ´ DT ´ x · Biến dạng nhiệt làm dãn co lại, nhiên biến dạng thường bị cản trở liên kết gây ứng suất nhiệt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 4: Tải trọng dọc trục Trang 11 Ví dụ 4-9: Một thép ngàm hai đầu nhiệt độ T1 = 150C hình vẽ 4-14a Nếu nhiệt độ tăng T2 = 500C, xác định ứng suất nhiệt trung bình Cho a = 1.2 ´ 10-5 0C-1, E = 200 GPa 13 mm F 13 mm dT A dF 610 mm om B F Hình 4-14a Hình 4-14c c Hình 4-14b + - å Fy = ; ng Từ hình vẽ 4-14b, ngoại lực, lực A cân với B ngược chiều co FA = FB = F an Đây toán siêu tónh ta giải lực từ điều kiện cân · th Điều kiện tương thích: Vì dB/A = 0, chuyển vị nhiệt dT A xuất chuyển vị bị cản lại lực F Do điều kiện tương thích A là: du · on g chuyển vị lực F gây dF vị trí ban đầu (hình 4-14c) Þ = a ´ DT ´ L - dB/A = = dT – dF u F cu Mặt khác, ta có: FL AE = a ´ DT ´ A ´ E = 1.2 ´ 10-5 0C-1 ´ 350C ´ 13 mm ´ 13 mm ´ 200000 MPa F = 14196 N Ứng suất nhieät: s = CuuDuongThanCong.com F 14196( N ) = A 13 ´ 13 mm ( ) Þ s = 84 MPa https://fb.com/tailieudientucntt ... ´ 10-5 0C-1, E = 200 GPa 13 mm F 13 mm dT A dF 610 mm om B F Hình 4- 14a Hình 4- 14c c Hình 4- 14b + - å Fy = ; ng Từ hình vẽ 4- 14b, ngoại lực, lực A cân với B ngược chiều co FA = FB = F an Đây toán... 0 .4 m 0.2 m 0 .4 m C dA C’ A’ 15 kN E E’ dC dE Hình 4- 13c Hình 4- 13b d A -dE dC - dE = 0.8(m ) 0 .4( m ) ) ( ) Þ FC = 0.3 ´ FA + 0.3 ´ FE ( ) (3) FE = 2.02 kN th FC = 3 .46 kN an Giải hệ phương trình. .. 4- 13a – FA ´ 0 .4 m + 15 kN × 0.2 m + FE × 0 .4 m = (2) CuuDuongThanCong.com 0.2 m (1) + åMC = 0; E C https://fb.com/tailieudientucntt 0 .4 m Chương 4: Tải trọng dọc trục FA Trang 10 FC FE C 0.4