ĐỀ Tuyển sinh vào LỚP 10 MÔN TOÁN chuyên năm 2022 2023 Trường THCS Quốc học Huế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT THỪA THIÊN HUẾ CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM HỌC 2022 2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gia. ĐỀ Tuyển sinh vào LỚP 10 MÔN TOÁN chuyên năm 2022 2023 Trường THCS Quốc học Huế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN (CHUN TỐN) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)  x 2 x    x x  x  x  0; x  1 Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức A    x 1   x  x    a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất số nguyên x cho biểu thức A nhận giá trị số nguyên Câu 2: (1,5 điểm) a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol  P  : y  x đường thẳng d  : y  kx  Gọi I giao điểm d  trục tung Tìm tất giá trị để đường thẳng d  cắt  P  hai điểm phân biệt A x1; y1  , B  x2 ; y2  thỏa mãn x1  x2 IA  IB  x3  xy   x  y  1 x  y   b) Giải hệ phương trình:   x  y  y    Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm m để phương trình: x  m 1 x  m  4m   ( x ẩn số) có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức P  x13 x23 đạt giá trị lớn  x23 x13 b) Giải phương trình  x  6 x  x  12  3 x  10 x  28 x   Câu 4: (3.0 điểm ) Cho đường tròn O  dây BC cố định không qua O Điểm A thay đổi cung lớn BC cho tam giác ABC tam giác nhọn  AB  AC  Gọi AD, BE , CF đường cao H trực tâm tam giác ABC Gọi K giao điểm hai đường thẳng BC EF ; I giao điểm thứ hai KA với O ; M trung điểm BC ; N giao điểm thứ hai AH O  Chứng minh: a) Tứ giác AIFE tứ giác nội tiếp b) Ba điểm M , H , I thẳng hàng c) Tứ giác INMO tứ giác nội tiếp d) Đường thẳng IN qua điểm cố định A thay đổi Câu 5: (2,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x3  x  y  1  x 7  y    y  b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  Chứng minh x y z 3 x  y  z    2 32    x 15 y 15 z 15 HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN CHI TIẾT  x 2 x   Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức A     x x  x  x  0; x  1  x  x  x 1    a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất số nguyên x cho biểu thức A nhận giá trị số nguyên Lời giải:  x 2 x    x x  x a) A    x 1   x  x       x    x  x  x 1        x x 1  x     x 1  x  x    x   x x 1    x 1 x 1      x  x   x  x       x x 1 x    x 1 x 1      x 2x  x x 1 x      x 1 x 1   x        b) Ta có A                        phải số nguyên x 1 x  số nguyên   x  1(loai ) x 1 Thử lại Với x   A  (TM) Vậy x  A số nguyên  x 1 2x  x 2 x 1 x 1 Để A số nguyên x Ta có  Câu 2: (1,5 điểm) a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol  P  : y  x đường thẳng d  : y  kx  Gọi I giao điểm d  trục tung Tìm tất giá trị để đường thẳng d  cắt  P  hai điểm phân biệt A x1; y1  , B  x2 ; y2  thỏa mãn x1  x2 IA  IB  x3  xy   x  y  1 x  y   b) Giải hệ phương trình:   x  y  y    Lời giải a) Vì I giao điểm d  trục tung nên I 0; 2 Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d  x  kx   x  kx   1 Ta có  k   với k Và x1.x2  2  Nên phương trình 1 ln có nghiệm phân biệt thỏa mãn x1   x2 với k  x1  x2  k Theo hệ thức vi-ét, ta có:   x1.x2  2  x1  x2 Vì IA  IB nên ta có   x1  2 x2  Mà x1   x2 nên x1  2 x2  x1  x2  k   2 x2  2  x   x x      x1   x2   Ta có   x   x2  k  1   x2  k   x1  2 x2 Vậy k  1 thõa mãn yêu cầu toán  x3  xy   x  y  1 x  y    x  x  y  x  y    x  y  1 x  y     b) Ta có:  2  x  y  y    x  y  y    x  y     x y     x  y  y   (1)     x y x xy x y                  x  xy  x  y        x  xy  x  y 1      x  y  y 1    (2)  x  y  y 1    x  y  y       x  1       1   y   x  y  x  y     Giải hệ phương trình 1 :       2    1  x  y  y 1   2 y  y     x        1  y      x  xy  x  y 1   x  xy  2 y 1 1   x  xy  y      Giải hệ phương trình 2 :    x  y  y    x  y  y 1    x  y  y 1    x  1     y  1     1  x   y    x   x  y  x  y    x  y  y 1        1   x  y  y 1  x  y   y       x  y  y 1    x    y     x  1   y  1   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: 1 1   1  1   1  ;   ; 2;1; 1;  ; ;  x; y       2    Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm m để phương trình: x  m 1 x  m  4m   ( x ẩn số) có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức P  x13 x23 đạt giá trị lớn  x23 x13 b) Giải phương trình  x  6 x  x  12  3 x  10 x  28 x   Lời giải a) Ta có: ac  3m 12m 15  3m  2   0, m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt trái dấu   4m   x1  x2    Theo hệ thức vi-ét, ta có:    m  4m   x1.x2       x1 3 Đặt t    t  0  x   1 Lúc đó: P  t   t    2  t  t P đạt giá trị lớn 2 t   t   x1  x2  m  t b)  x  6 x  x  12  3 x  10 x  28 x   Điều kiện : x  1 Ta có:  x2  6 x2  x 12 3x2 10 x  28 x 1    x  6  x  6   x  1  3 x  6  10  x  1   x   1 a  x  6, a  Đặt  b  x  1, b   Phương trình 1 trở thành: a a  6b  3a  10b  b   a a  6b  3a  10b  b 2  a a  6b   3a  10b  b  a a  6b   3a  10b  b   a 3  a 2 a  a  3a 2b  60ab 100b6      3   60 100   b   b  b a   10 b  a Giải phương trình ta   2 (l ) b  a   5 (l )  b  x   29 Suy a  10b  x   10  x  1  x 10 x     (TM )  x   29 Vậy x   29; x   29 Câu 4: (3.0 điểm ) Cho đường tròn O  dây BC cố định không qua O Điểm A thay đổi cung lớn BC cho tam giác ABC tam giác nhọn  AB  AC  Gọi AD, BE , CF đường cao H trực tâm tam giác ABC Gọi K giao điểm hai đường thẳng BC EF ; I giao điểm thứ hai KA với O ; M trung điểm BC ; N giao điểm thứ hai AH O  Chứng minh: a) Tứ giác AIFE tứ giác nội tiếp b) Ba điểm M , H , I thẳng hàng c) Tứ giác INMO tứ giác nội tiếp d) Đường thẳng IN qua điểm cố định A thay đổi Lời giải A E I O F H K B D C M N T S a) Vì tứ giác AIBC nội tiếp đường tròn nên KI KA  KB.KC Dễ thấy tứ giác BEFC nội tiếp nên KF KE  KB.KC Suy KI KA  KF KE Vậy tứ giác AIFE nội tiếp b) Kẻ đường kính AT đường trịn O  Khi đó,  AIT  90o (1) Xét tứ giác BHCT , ta có: CC //BT (cùng  AB ); CC //BT (cùng  AC ) Nên tứ giác BHCT hình bình hành Suy M trung điểm HT hay M , H , T thẳng hàng Tứ giác AFHE tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AH Ta có tứ giác AIFE nội tiếp nên I thuộc đường trịn đường kính AH AIH  90o (2) hay  Từ (1) (2) suy I , H , T thẳng hàng Vậy M , I , H thẳng hàng   NOT  c) Ta có NIT 3 Ta có  ANT  90o  NT  AN ; BC  AN nên NT //BC Mà OM  BC nên OM  NT  Xét NOT có ON  OT OM  NT nên OM tia phân giác góc NOT   NOT   4 Suy NOM   NOM  Từ 3 4 suy NIM d) Gọi S giao điểm tiếp tuyến đường tròn O  B OM Suy S cố định Ta cần chứng minh I , N , S thẳng hàng Gọi L giao điểm IS đường tròn O  Vì OBS vng nên SB  SM SO  SL.SI Suy tứ giác OMLI nội tiếp Ta có tứ giác OMLI OMNI nội tiếp đường tròn ngoại tiếp OMI cắt O  giao điểm thứ hai L N nên N L trùng Vậy I , N , S thẳng hàng hay IN qua S cố định Câu 5: (2,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x3  x  y  1  x 7  y    y  b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  Chứng minh 3 x  y  z x y z    32 15 15 15 x y z    Lời giải a) Ta có: x  x  y  1  x 7  y    y   x3  x  x   y  x  x  1    x  x  1 x  y    x  x  1   x  x  3   x  x  1 x  y  2   x 1 x  3 Biện luận theo x ta có số thỏa mãn  x; y   0; 4; 1;3; 3;5 b) Ta có: x x x x x     x  15 x   12 x  xy  yz  zx  12  x  y  x  z   12  x  y  x  z      1  1  1    x    (Theo bất đẳng thức     ) a  b  a b     x  y  y  z      x   1   (Theo bất đẳng thức    16   x  y z   1  1     ) ab  a b   x x x   32  x  y  32  y  z  32 Tương tự y y y y    y  15 32  y  z  32  z  x  32 z z x z    z  15 32  z  x 32  x  y  32 Suy x y z   2 x  15 y  15 z  15 x x x y y y z x z          32  x  y  32  y  z  32 32  y  z  32  z  x  32 32  z  x  32  x  y  32  3 x  y  z 32 Vậy: x y z 3 x  y  z    32 x  15 y  15 z  15 Dấu "  " xảy x  y  z   ... TẠO THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM HỌC 2022- 2023 Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC... THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM HỌC 2022- 2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN (CHUN TỐN) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)  x 2... 6b  3a  10b  b   a a  6b  3a  10b  b 2  a a  6b   3a  10b  b  a a  6b   3a  10b  b   a 3  a 2 a  a  3a 2b  60ab ? ?100 b6      3   60 ? ?100   b