chỉ số và khả nghịch Drazin của Ma trận khối. CỤC THÔNG TIN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUỐC GIA NATIONAL AGENCY FOR SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION ... Địa chỉ: Số 2426 Lý Thường Kiệt, Q. Hoàn. Trong đại số tuyến tính, một ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến là một ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo trong phép nhân ma trận.
CH S À KH NGH CH DRAZ N C A MA TR N KH V T n c Khoa oán Khoa khoa h c t nh n Ema l ducvt dhhp edu Ngày nh n bài: 03/3/2022 Ngày PB ánh giá: 28/3/2022 Ngày t ng: 29/3/2022 TÓM T T Trong báo c p n m t s k t qu v ch s ngh ch M i quan h gi a ch s c a A ch s c a BC c ng ví d c a minh h a cho quan h o Drazin c a ma tr n kh i c làm rõ, ng th i ó T khóa Ch s Drazin, kh ngh ch Drazin, ma tr n kh i THE INDEX AND THE DRAZIN INVERSE OF A BLOCK MATRIX ABSTACT In this paper , some results about the index and the Drazin inverse of a block matrix are given Relationships between the index of A and the index of BC are determined, and examples are given to illustrate all such possible relationships Keyword Drazin index, Drazin inverse, block matrices GIỚI THIỆU Cho A ma trận vuông phức cấp n Số nguyên không âm k nhỏ thỏa mãn , gọi số ma trận A ký hiệu indA Cho ma trận vuông phức A cấp n với indA = k Ma trận vuông phức X cấp n gọi khả nghịch Drazin A thỏa mãn điều kiện sau AX = XA (1) XAX = X (2) Ak +1 X = Ak (3) Ký hiệu khả nghịch Drazin ma trận A AD Khi indA = ind( A) = th AD gọi nghịch đảo nhóm A , ký hiệu A# Nếu A ma trận lũy linh bậc k th indA = k A D = O ; cịn A ma trận khả nghịch indA = AD = A-1 TR NG I H C H I PH NG Vấn đề tìm kiếm biểu diễn cách chi tiết cho nghịch đảo Drazin ma trận khối tổng quát Campbell Meyer đặt [1] Kể từ đó, trường hợp đặc biệt vấn đề nghiên cứu Một số báo gần đề cập đến vấn đề biểu diễn nghịch đảo Drazin ma trận khối [2 , , [5 , , nhi n nhiều vấn đề chung bỏ ngỏ Trong báo ta nghiên cứu khả nghịch Drazin ma trận khối: A= O B C O ma trận cỡ p (n - p ) , , (4) ma trận cỡ (n - p) p CÁC KHỐI BIỂU DIỄN CỦA AD Định lí 2.1 Xét ma trận có dạng (4) Khi đó: O ( BC ) D B C ( BC ) D O D A = Hơn , indBC = q th indA 2q + Chứng minh Kí hiệu: X = O ( BC ) D B C ( BC ) D O Ta có AX = O B C O XA = O C ( BC ) D ( BC ) D B O C ( BC ) D O ( BC ) D B O = BC ( BC ) D O O C ( BC ) D B O B ( BC ) D BC O = C O O C ( BC ) D B Lại có BC ( BC ) D = ( BC ) D BC n n AX = XA Mặt khác O XAX = C ( BC ) D ( BC ) D B O O B C O O = C ( BC ) D ( BC ) D B O BC ( BC ) D O O = D C ( BC ) BC ( BC ) D O C ( BC ) D ( BC ) D B , O O , C ( BC ) D B ( BC ) D BC ( BC ) D B O T P CH KHOA H C, S 52, tháng n m 2022 Lại có ( BC ) D BC ( BC ) D = ( BC ) D , suy XAX = O ( BC ) D B C ( BC ) D O Vậy X khả nghịch Drazin ma trận =X Đặt indBC = q , O B O B BC O = C O C O O CB A2 = ( BC ) q +1 O O (CB) q +1 ( BC ) q +1 ( BC ) D B O = O (CB ) q +1 C ( BC ) D ( BC ) q B O A2 q + = Suy ( BC ) q +1 O O (CB) q +1 A2 q + X = O (CB ) q +1 C ( BC ) D = O C ( BC ) D ( BC ) D B , O V (CB) q +1 C = C ( BC )( BC ) ( BC ) = C ( BC ) q +1 n n A q+2 X = ( BC ) q B O = O C ( BC ) q O C ( BC ) q +1 ( BC ) D ( BC ) q B = A2 q +1 O , Im A2 q +2 = Im A2 q +1 Ta có Vậy indA 2q + Bổ đề 2.1 Nếu T ma trận vng (T ) D = (T D ) Chứng minh Ta có: (T D ) T = T D (T DT )T = (T DT )(T DT ) = (TT D )(TT D ) = T (T DT )(T D ) = T (T D ) D 2 D D D D D (T ) T (T ) = (T T T )(TT T ) = (T DTT D )(T DTT D ) = T D T D = (T D ) Vậy (T ) D = (T D ) Bổ đề 2.2 Với P ma trận cỡ m n Q ma trận cỡ n m th ( PQ) D = P ((QP) ) D Q Chứng minh Đặt TR NG = P ((QP) ) D Q , ta có: I H C H I PH NG ( PQ) = P ((QP ) ) D Q( PQ) P ((QP ) ) D Q, = P ((QP) D ) Q( PQ) P ((QP ) D ) Q, = P (QP) D (QP) D (QP )(QP )(QP ) D (QP ) D Q, = P (QP) D (QP)(QP) D (QP ) D (QP )(QP ) D Q V (QP) D (QP)(QP) D = (QP) D , suy ( PQ) = P(QP) D (QP) D Q = Mặt khác ( PQ ) = ( PQ ) P ((QP ) ) D Q = P (QP )(QP ) D (QP ) D Q, = P (QP ) D (QP )(QP ) D Q = P (QP ) D Q ( PQ) = P((QP) ) D Q( PQ) = P(QP) D (QP) D (QP)Q, = P (QP ) D (QP )(QP ) D Q = P (QP ) D Q Suy ( PQ ) = ( PQ) , ( PQ) D = P((QP) ) D Q Bổ đề 2.3 Với ma trận B, C xác định (4), ta có: ( BC ) D B = B(CB) D (CB) D C = C ( BC ) D Chứng minh Bởi Bổ đề 2.1 Bổ 2.2, ta có: ( BC ) D B = B ((CB ) D ) CB = B (CB ) D (CB ) D CB, = B(CB) D (CB)(CB ) D = B(CB ) D Thay đổi vai trò ma trận B, C cho ta được: (CB) D C = C ( BC ) D Hệ 2.1 Với ma trận khối A xác định (4), ta có: AD = O (CB ) D C B (CB ) D O Nhận xét 1) Nếu A ma trận khả nghịch B, C ma trận khả nghịch Khi cơng thức Hệ 2.1 thành: O C -1 A = -1 B O D 2) Nếu BC ma trận lũy linh ( BC ) D = O , AD = O 3) Nếu C = B* với rank( B) < p , BB* ma trận suy biến ma trận Hermite suy indBB* = Khi A ma trận Hermite indA = Trong trường hợp AD = A+ , với A+ nghịch đảo Moore-Penrose A : T P CH KHOA H C, S 52, tháng n m 2022 AD = ( BB* ) + B O * * + B ( BB ) O = B *+ O B + O = A+ MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỈ SỐ A VÀ CHỈ SỐ CỦA BC Kết phần mà nêu số BC nêu theo cách khác CB số Với ma trận (4) Với j = 0,1,2, A2 j = A j +1 O = C ( BC ) j ( BC ) j O O (CB) j ( BC ) j B O = O (CB ) j C theo BC số B (CB ) j CB O Như rankA2 j = rank( BC ) j + rank(CB) j rankA2 j +1 = rank( BC ) j B + rankC ( BC ) j = rankB(CB) j + rank(CB) j C (5) (6) Đặt indBC = q , giả sử q = Nếu n = p th B, C ma trận vuông cấp p khả nghịch, indA = Trong trường hợp ta có AD = A-1 n p , rankBC = rankB = rankC = rankCB Suy rankA = rankA2 , indA = AD = A# , với A# nghịch đảo nhóm A Nếu Sau ta sử dụng bất đẳng thức hạng ma trận (xem , trang 13) Frobenius số chứng minh phần Bổ đề 2.4 ( Bất đẳng thức Frobenius) Với ma trận U cỡ m k , V k n W n p th : rankUV + rankVW rankV + rankUVW Định lí 2.2 Cho ma trận A có dạng (4) giả sử indBC = q Khi indA = 2q - 1, 2q 2q + Chứng minh Theo Định lí 2.1 ta có indA 2q + Theo Bổ đề 2.4, ta có: rank( B(CB)q -1 ) + rank((CB)q -1 C ) rank(CB)q -1 + rank( BC )q V indBC = q n n rank( BC ) q < rank( BC ) q -1 , suy rank( B(CB) q -1 ) + rank((CB)q -1 C ) < rank(CB) q -1 + rank( BC ) q -1 TR NG I H C H I PH NG (7) Từ (5) , (6) (7), suy rankA2 q - < rankA2 q -1 , indA = 2q - 1, 2q 2q + Ở định lí đây, ta đưa điều kiện cần đủ cho giá trị số ma trận xác định Định lí 2.1 Định lí 2.3 Cho ma trận có dạng (4) giả sử indBC = q Khi ind( A) = 2q - hai điều kiện sau thỏa mãn: i rank( BC ) q = rank( BC )q -1 B rank(CB) q = rank(CB) q -1 C ii rank( BC ) q = rank(CB) q -1 C rank(CB) q = rank( BC ) q -1 B 2q q -1 Chứng minh Từ (5) (6) ta có, rankA = rankA rank(CB)q -1 + rank( BC )q = rankB (CB )q -1 + rank(CB )q -1 C (8) Ta chứng minh (8) thỏa mãn hai điều kiện i) ii) thỏa mãn Rõ ràng i) ii) thỏa mãn (8) thỏa mãn Ngược lại, (8) thỏa m n th i) ii) thỏa m n Thật vậy, ta có: rank( BC ) q rank(BC )q -1 B rank(CB) q rank(CB) q -1 C rank( BC ) q rank(CB) q -1 C rank(CB ) q rank(BC ) q -1 B Rõ ràng i) ii) kh ng thỏa m n th (8) kh ng xảy Do ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.5 Nếu indBC = q th rank( BC ) q +1 = rank( BC )q = rank( BC )q B = rankC ( BC )q = rank(CB)q +1 Chứng minh Đặt rank( BC ) q = s Ta có: s = rank( BC ) q = rank( BC ) q +1 rank( BC ) q B rank( BC ) q = s s = rank( BC ) q = rank( BC ) q +1 rankC ( BC ) q rank( BC ) q = s Do rank( BC )q +1 = rank( BC )q = rank( BC )q B = rankC ( BC ) q = s Mặt khác theo Bổ đề 2.4, ta có: s = rankC ( BC ) q + rank( BC ) q B rank(BC ) q +1 + rank(CB) q+1 Theo (5), ta có: rank(BC )q +1 + rank(CB)q +1 = rankA2 q + rankA2 q +1 Theo (6), ta có: T P CH KHOA H C, S 52, tháng n m 2022 rankA2 q +1 = rank(BC )q B + rankC (CB )q = 2s Suy rank(BC ) q +1 + rank(CB) q +1 = s rank(CB)q +1 = s Định lí 2.4 Cho ma trận A có dạng khối (4) giả sử indBC = q Khi indA = 2q ind(CB) = q rank( BC ) q < rank( BC ) q -1 B rank(CB) q < rankC ( BC )q -1 Chứng minh Giả sử indA = 2q , đặt s = rank( BC ) q Khi đó: rankA2 q = rankA2 q +1 = s < rankA2 q -1 Lại có rankA2 q = rank(BC ) q + rank(CB ) q , suy rank(CB) q = s Theo (6) th rankA2 q -1 = rank(B(CB))q -1 + rank((CB) q -1 C ) rank(CB) q -1 + rank( BC ) q Do rankA2 q -1 rank(CB) q -1 + s , suy 2s < rankA2 q -1 rank(CB) q -1 + s rank(CB) q -1 > s V rank(CB) q +1 = s n n ind(CB ) = q Nếu rank( BC ) q = rank( BC )q -1 B rank(CB) q < rankC ( BC ) q -1 theo Định lí 2.3 ta có indA = 2q - , mâu thuẫn với giả thiết Do rank( BC )q < rank( BC )q -1 B rank(CB) q < rankC ( BC )q -1 Ngược lại, giả sử indCB = q rank( BC )q < rank( BC )q -1 B rank(CB) q < rankC ( BC )q -1 V indCB = q n n rank(CB) q = rank(CB) q +1 = s theo Bổ đề 2.5 Từ Định lí 2.3 ta có indA 2q - Nếu indA = 2q + th rankA2 q +1 < rankA2 q rank( BC )q B + rankC ( BC )q < rank( BC )q + rank(CB )q Từ Bổ đề 2.5 suy s < rank(CB) q , mâu thuẫn Kết hợp với Định lí 2.2 ta có indA = 2q Định lí 2.5 Cho ma trận A có dạng khối (4) giả sử indBC = q q Khi q indA = 2q + rank(CB) > rank(CB) C Chứng minh Đặt rank( BC ) q = s giả sử indA = 2q + Ta có: rankA2 q +1 = rankA2 q + = 2s < rankA2 q Theo (5) th rankA2 q = rank( BC ) q + rank(CB) q TR NG I H C H I PH NG rank(CB)q > s Bởi Bổ đề 2.5, ta có: rankC ( BC ) q = rank(CB) q +1 = s rank(CB) q C = rank(CB) q +1 = s Do rank(CB ) q > rank(CB) q C Ngược lại, rank(CB) q > rank(CB) q C = rankC ( BC ) q , ta có: rank( BC ) q + rank(CB) q > rank( BC ) q B + rankC (CB )q rankA2 q > rankA2 q +1 Do indA = 2q + Hệ 2.2 Cho ma trận có dạng khối (4) giả sử indBC = q indA = 2q + indCB = 2q + Khi Chứng minh Giả sử indA = 2q + Theo Định lí 2.5 rank(CB ) q > rank(CB) q C Suy indCB rank(CB )q +1 q + Ta có rankA2 q + = rankA2 q + rank( BC )q +1 + rank(CB )q +1 = rank( BC )q + + rank(CB )q + V rank( BC ) q +1 = rank( BC ) q + n n rank(CB) q+1 = rank(CB) q+ Do indCB = q + Ngược lại, giả sử indCB = q + , suy rank(CB) q > rank(CB) q +1 , rankA2 q > rankA2 q + q +1 = rankA2 q + Sử dụng (5), (6) Bổ đề 2.5 ta có rankA Do indA = 2q + Ví dụ Xét ma trận A viết dạng khối: A= O B C O , với 1 1 B = -2 ; C = 1 -1 Khi 1 0 -1 0 -1 BC = -1 -1 -3 ; ( BC ) = 0 -1 ; ( BC )3 = 0 -1 0 0 0 T P CH KHOA H C, S 52, tháng n m 2022 Ta có rankBC = 2; rank( BC ) = rank( BC ) = n n indBC = = s Lại có rankA = 4; rankA = 3; rankA = rankA = n n indA = = s - Dễ kiểm tra điều kiện i) ii) Định lí 2.3 thỏa mãn Ví dụ Xét ma trận cho dạng khối: A= O B C O , với -1 0 B= 1 0 ;C = 1 0 -1 0 -1 0 Khi -1 -1 -1 BC = 1 ;( BC ) = -2 -1 -1 -1 CB = -1 0 -1 -1 -1 0 1 ; CBC = -1 -1 -1 -1 0 -1 Ta có rankBC = rank(BC ) = indBC = = s Chú ý rankCB = > rankCBC = indCB = Khi theo Hệ 2.2 ind A = 2s + = th KẾT LUẬN Trong báo này, ta nghiên cứu số khả nghịch Drazin ma trận khối đặc biệt A = O B C O Ta đưa cơng thức tìm khả nghịch Drazin mối quan hệ số ma trận khối với khối ma trận thành phần Một số ví dụ đưa để minh họa cho định lí trình bày báo TR NG I H C H I PH NG T I LI U THAM KH O S L Campbell and C D Meyer (1991), Generali ed Inverses of Linear Transformations Pitman, London, 1979; Dover Publications, Inc., New York N Castro-Gonzales and E Dopazo (2005), Representations of the Dra in inverse for a class of block matrices Linear Algebra and its Applications J Chen, Z Xu, and Y Wei (2009), Representations for the Dra in inverse of the sum P + Q + R + S and its applications Linear Algebra and its Applications R Hartwig, X Li, and Y Wei (2005), Representations for the Dra in inverse of a 2 block matrix SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2005 R.A Horn and C.R Johnson (1985), Matrix Analysis Cambridge University Press, New York X Li and Y Wei (2007), A note on the representations for the Dra in inverse of 2 block matrices Linear Algebra and its Applications T P CH KHOA H C, S 52, tháng n m 2022 ... này, ta nghiên cứu số khả nghịch Drazin ma trận khối đặc biệt A = O B C O Ta đưa công thức tìm khả nghịch Drazin mối quan hệ số ma trận khối với khối ma trận thành phần Một số ví dụ đưa để minh... ngỏ Trong báo ta nghiên cứu khả nghịch Drazin ma trận khối: A= O B C O ma trận cỡ p (n - p ) , , (4) ma trận cỡ (n - p) p CÁC KHỐI BIỂU DIỄN CỦA AD Định lí 2.1 Xét ma trận có dạng (4) Khi đó: O... vai trò ma trận B, C cho ta được: (CB) D C = C ( BC ) D Hệ 2.1 Với ma trận khối A xác định (4), ta có: AD = O (CB ) D C B (CB ) D O Nhận xét 1) Nếu A ma trận khả nghịch B, C ma trận khả nghịch