CÔNG THỨC ITÔ VÀ MỘT VÀI VÍ DỤ MINH HỌA CÁCH TÍNH

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 2022 ISSN 2354 1482 95 CÔNG THỨC ITÔ VÀ MỘT VÀI VÍ DỤ MINH HỌA CÁCH TÍNH Nguyễn Thành Tâm1 TÓM TẮT Bài viết phân tích, nghiên cứu công thức Itô trường hợp một.

TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 ISSN 2354-1482 CÔNG THỨC ITÔ VÀ MỘT VÀI VÍ DỤ MINH HỌA CÁCH TÍNH Nguyễn Thành Tâm1 TĨM TẮT Bài viết phân tích, nghiên cứu cơng thức Itô trường hợp chiều công thức Itô tổng quát, với ví dụ chi tiết rõ ràng tương ứng với cơng thức Các ví dụ cụ thể cơng thức Itơ có ích cho việc tiếp cận giải tích ngẫu nhiên, từ sâu nghiên cứu vi tích phân ngẫu nhiên Từ khóa: Itơ, vi phân, tích phân, q trình ngẫu nhiên Mở đầu Wt  (Wt1 , Wt , ,Wt m )t Các trình Fsi , Gsij trình Ft đo dần thỏa điều kiện: t F ds  ;  G  ij s ds   t  ; i, j h.c.c Nếu trình X t1 , X t2 , , X tn Ft - thích nghi thỏa hệ thức: t m t j 1 X ti  X 0i   Fsi ds    Gsij dWs j (2) Khi ta nói X t  ( X t1 , X t2 , , X tn ) ' trình Itơ n – chiều Ta viết q trình Itơ dạng ma trận là: t t 0 X t  X   Fs ds   Gs dWs Xét không gian xác suất (3) Hoặc viết dạng vi phân Itô là: lọc (, F , Ft t 0 , P) , ta xác định dX t  Ft dt  Gt dWt m-chiều Với Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp Email: nttam@dtcc.edu.vn (1) (h.c.c: Hầu chắn) 2.1 Quá trình Itơ Wiener t i s Nội dung phương pháp nghiên cứu trình trình Wiener độc lập nhau) [1] Vi tích phân Itơ khái niệm quan trọng giải tích ngẫu nhiên, có nhiều nghiên cứu từ lý thuyết đến ứng dụng Cơng thức Itơ tảng để nghiên cứu sâu giải tích ngẫu nhiên, viết nhằm phân tích ví dụ chi tiết công thức Itô theo hướng dễ tiếp cận với hy vọng tạo thêm nguồn tài liệu tham khảo cho sinh viên quan tâm đến giải tích ngẫu nhiên Phạm vi viết đề cập công thức Itô chiều công thức Itô tổng quát với ví dụ minh họa cho cơng thức giúp cho việc tiếp cận q trình Itơ dễ dàng hơn, từ khai thác sâu ứng dụng vi tích phân Itơ q (W ti , i  1, 2, , m 95 (4) TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022  Fs1    Fs    ;  Fsn    Gs   Gsik  ; nm ISSN 2354-1482   ( s, X s )ds   ( s, X s )dX s s x t0 t0  dWs1    dWs     dWsm    t t K t  K t0    2 ( s, X s )  (t ,  )ds t0 x t  2.2 Công thức Itô trường hợp chiều ví dụ minh họa 2.2.2 Ví dụ minh họa 2.2.1 Cơng thức Itơ trường hợp chiều a) Xét trình ngẫu nhiên K t  tWt n Áp dụng công thức Itô tìm Cho X t q trình Itơ có vi dK t ? phân ngẫu nhiên Itô dạng: Kt  tWt n   (t ,  )  0,  (t ,  )  dX t   (t ,  )dt   (t ,  )dWt Ta xét  (t , x)  tx n Giả sử  (t , x) : R  R hàm   (t , x)  x n ; (t , x)  ntx n 1; t x  (t , x)  n(n  1)tx n 2 x lần khả vi liên tục theo biến thứ t, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x Khi trình ngẫu nhiên Kt   (t , X t ) có vi phân Itơ tính theo cơng thức sau:   (t , X t )dt  (t , X t )dX t t x  2  (t , X t ). (t ,  )dt x Áp dụng công thức Itô (5) ta được: dKt  dKt  d (tWt n )  Wt n dt  ntWt n 1dWt (5)  n(n  1)tWt n 2 dt Hay viết theo cách khác là:   (t , X t )   (t ,  ) (t , X t ) t x 1  (t , X t )  (t ,  )]dt 2 x    (t ,  ) (t , X t )dWt x b) Xét trình ngẫu nhiên dK t  [ Yt  (6) Wt 1 t Tìm dYt ? Ta xét  (t , x )  Cơng thức Itơ cho trường hợp cịn viết dạng tích phân sau [2]: Ta có: 96 x 1 t TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022  x  (t , x)   ; (t , x)  ; t (1  t ) x 1 t Trong  2 (t , x)  x ui (t , x)  u '(t , x )  u (t , x ) t u (t , x) x i Để giảm bớt độ phức tạp tính tốn, ta viết lại công thức Itô dạng vi phân Itô sau [2], [3]: Áp dụng công thức Itô (5) ta được: Wt W  d Yt   d  t    dt  dWt 1 t  1 t  1  t   ISSN 2354-1482 du (t , X t )  u '(t , X t )dt  (t , X t )* dX t Yt dt  dWt 1 t 1 t  Tr  2u (t , X t )dX t (dX t )*  2.3 Công thức Itơ tổng qt ví dụ minh họa (8) Trong đó: Tr(A): Vết ma trận A; ( dX t )* ma trận chuyển vị dX t 2.3.1 Công thức Itô tổng quát Với: Cho X t q trình Itơ thỏa phương trình vi phân ngẫu nhiên (4) u(t , x) vectơ cột với phần tử dX t  Ft dt  Gt dWt u :[0, )  Rn  R ui (t , x) hàm thỏa u (t , x) hai lần khả vi liên  2u (t , x) ma trận với phần tử tục theo x , lần khả vi liên tục theo uij (t , x ) t, xác định hàm u (t , X t ) Khi dX ti dX t j tính sau: u (t , X t ) q trình Itơ thỏa: dt.dt  dWt i dt  dt.dWt i  0, u (t , X t )  u (t0 , X t0 ) n m dWt i dWt j   ij dt t    ui ( s, X s )Gsik dWsk (  ij  i  j ;  ij  i  j ) i 1 k 1 t0 t n   {u '( s, X s )   ui ( s, X s ) Fsi (7) 2.3.2 Ví dụ minh họa i 1 t0 n a) Cho X t , Yt hai q trình Itơ m    uij ( s, X s )Gsik Gsjk }ds i , j 1 k 1 chiều Xem u(t , z)  u(t, x, y)  xy Khi u hàm hai lần khả vi liên tục theo x, y Công thức Itô viết là: 97 TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 m X tYt  X t0 Yt0   k 1 t   X sGs2k  YsGs1k  dWsk t0   Tr  2u(t , Zt )dZ ISSN 2354-1482  dZt  * t   2dX dY t t Thế tất vào công thức (8) ta được: m      X s Fs2  Ys Fs1   Gs1k Gs2 k ds k 1  t0  t d ( X tYt )  u '(t , zt )dt  u (t , zt )dZ t  Tr ( 2u (t , Z t )dZ t (dZ t )* )  Yt dX t  X t dYt  dX t dYt Viết dạng cơng thức vi phân tích là: d ( X tYt )  X t dYt  Yt dX t  dX t dYt Đặc biệt X t , Yt q trình có Với vi phân ngẫu nhiên tương ứng là: dX t  1 (t , X t )dt  1 (t , X t )dWt ; dX t  1 (t , X t )dt  1 (t , X t )dWt ; dYt   (t , X t )dt   (t , X t )dWt dYt   (t , X t )dt   (t , X t )dWt  dX t dYt  1  dt   1 dtdWt Khi ta có:  1 dWt dt  1 dWt dWt  1 dt d ( X tYt )  X t dYt  Yt dX t  1 dt Chứng minh: Vậy d ( X tYt )  X t dYt  Yt dX t  12dt Xét u(t, z)  u(t, x, y)  xy với z  ( x, y) b) Cho X t , Yt hai q trình Itơ u '(t , z )  u2 (t, z)  u (t , z )  t u1 (t , z )  u (t, z)  x y u(t, Zt )*  Yt X t  chiều u (t , z )  y x u (t , z )  u (t , x, y )  xem x ; y  Khi u y Cơng thức Itô viết là:  dX  Xt  t   dYt   Yt dX t  X t dYt t X t X t0 m  1k X s k       Gs  Gs  dWsk Yt Yt0 k 1 t0  Ys Ys  t X   { Fs1  2s Fs2 Y Y s s t0 0 1  2u (t , Z t )    1 0 m X     3s Gs2 k Gs2 k  Gs1k Gs2 k }ds Ys k 1  Ys   2u (t , Z t )dZ t (dZ t )*  dY    t   dX t  dX t  Yt  , hàm hai lần khả vi liên tục theo x, y u (t , Zt )* dZt  Yt    dX t     dX t    dYt  Viết lại công thức vi phân thương là: dYt   dX t dYt  dYt 2   dYt      dX 2 dX dY  t t t   98 TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 X d t  Yt    u (t , Zt )    Y2  t  Xt   dX t  dYt  dX t dYt Yt Yt  Yt X  3t  dYt  Yt     Y2  t có vi phân ngẫu nhiên tương ứng là: dX t  1 (t , X t )dt  1 (t , X t )dWt ; dYt   (t , X t )dt   (t , X t )dWt Khi ta có:  X  Y dX  X dY  X   Y d  t   t t t t  t t  dt ; Yt Yt  Yt  Yt    Yt   dX t     dX t X t   dYt  Yt  dYt     dYt   Yt   dX t    2Xt   Y dX t  Y dYt  t  t  dYt   y  0, X  d  u (t , Zt )   d  t   Yt  u u '(t , z )  (t , z )  t  u '(t , Z t )   (t , Z t )* dZ t u (t , z )  x y  *  Tr  2u (t , Z t )dZ t  dZ t  u x u2 (t , z )  (t , z )   y y 1 u (t , z )*   y  2X 2 dX t dYt  t  dYt  Yt Yt Thế tất vào công thức Itô (8) ta được: với z  ( x, y) u1 (t , z )    Tr   2u (t , Z t )dZ t (dZ t )*  Chứng minh: x y  Yt   2Xt  Yt    2u (t , Z t )dZ t (dZt )* Đặc biệt X t , Yt trình Xét u(t , x)  u(t , x, y)  , ISSN 2354-1482  x   y2   X X 1 dX t  2t dYt  dX t dYt  3t  dYt  Yt Yt Yt Yt Với: dX t  1 (t , X t )dt  1 (t , X t )dWt ; u (t , Zt )* dZ t dYt   (t , X t )dt   (t , X t )dWt 1 X  dX    2t  t  Yt   dYt   Yt X  dX t  2t dYt Yt Yt  dX t dYt  1  dt   1 dtdWt  1 dWt dt  1 dWt dWt  1 dt 99 TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 H t để đưa định Việc Và  dYt  phân tích sâu ứng dụng giải tích Itơ nghiên cứu thêm nghiên cứu sau   22  dt   2  dtdWt  22  dWt   22 dt Vậy: X d t  Yt  ISSN 2354-1482 Kết luận  Xt   dX t  dYt Yt  Yt X  1 dt  3t  22 dt Yt Yt Lý thuyết q trình ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng chương trình xác suất thống kê, vi tích phân Itơ khái niệm tảng để sâu nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên Nghiên cứu phân tích kỹ q trình Itơ, công thức Itô trường hợp chiều tổng quát tạo tảng để tiến đến phân tích sâu khai triển Itơ-Taylor, từ xây dựng phương pháp số để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên Với việc phân tích chi tiết ví dụ tính theo cơng thức Itơ, tác giả báo hy vọng bổ sung phần nhỏ vào đề tài nghiên cứu tốn ứng dụng, góp phần làm phong phú thêm nguồn tham khảo công thức Itô, giúp cho việc tiếp cận giải tích ngẫu nhiên dễ dàng Yt dX t  X t dYt  X t  1Yt   dt Yt Yt Giải tích Itơ đặc biệt cơng thức Itơ có ý nghĩa ứng dụng cao lĩnh vực kinh tế, đặc biệt lĩnh vực tài chính, theo dõi, phân tích thay đổi giá cả, thị trường chứng khoán Giá cổ phiếu tài sản giao dịch khác mơ hình hóa q trình ngẫu nhiên Cơng thức Itơ, tích phân ngẫu nhiên Itơ đại diện cho lợi nhuận chiến lược giao dịch thời gian liên tục Qua phân tích ta nắm q trình H t thời điểm t (q trình tích phân), từ theo dõi thơng tin biến động TÀI LIỆU THAM KHẢO Dương Tôn Đảm (2010), Quá trình ngẫu nhiên (Phần II: Các phép tốn Malliavin), Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Hồ Chí Minh Nguyễn Thành Tâm (2010), “Các phép tính vi tích phân ngẫu nhiên q trình Itơ”, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Hồ Chí Minh Bernt Oksendal (2005), Stochastic Differential Equations – An introduction with Application, Dover Publications, Inc, Mineola, New York 100 TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 24 - 2022 ISSN 2354-1482 ITO FORMULA AND EXAMPLES OF CALCULATION ABSTRACT The paper analyzes and studies the one-dimensional case and the General Ito formula, with examples that correspond to each formula Specific examples of the Ito formula will be useful for accessing random arithmetic, from there, we can go deeper into the study of random integrals Keywords: Ito, differential, integral, random process (Received: 27/1/2021, Revised: 16/6/2022, Accepted for publication: 31/8/2022) 101 ... )ds t0 x t  2.2 Công thức Itơ trường hợp chiều ví dụ minh họa 2.2.2 Ví dụ minh họa 2.2.1 Cơng thức Itơ trường hợp chiều a) Xét q trình ngẫu nhiên K t  tWt n Áp dụng công thức Itơ tìm Cho X... (t , x ) t u (t , x) x i Để giảm bớt độ phức tạp tính tốn, ta viết lại công thức Itô dạng vi phân Itô sau [2], [3]: Áp dụng công thức Itô (5) ta được: Wt W  d Yt   d  t    dt  dWt... (t , X t )dX t (dX t )*  2.3 Cơng thức Itơ tổng qt ví dụ minh họa (8) Trong đó: Tr(A): Vết ma trận A; ( dX t )* ma trận chuyển vị dX t 2.3.1 Công thức Itô tổng quát Với: Cho X t q trình Itơ