Bài giảng sức bền vật liệu CHƯƠNG 7 uốn THẲNG THANH PHẲNG

Bài giảng sức bền vật liệu Chương UỐN PHẲNG THANH THẲNG I.KHÁI NIỆM CHUNG P M Thanh chịu uốn có trục bị uốn cong P2 q dưói tác dụng ngoại lực P1 02 Thanh có trục nằm ngang chủ yếu chịu uốn gọi dầm (Thanh có trục thẳng đứng gọi cột) 01 P5  Ngoại lực:  P4 Lực tập trung P, lực phân bố q tác dụng vng  góc với trục dầm hay momen (ngẫu lực) M nằm H.7.1 Tải trọng tác dụng lên dầm mặt phẳng chứa trục dầm  Mặt phẳng tải trọng: Mặt phẳng () chứa ngoại lực trục dầm Đường tải trọng: Giao tuyến mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang Giới hạn toán: + Chỉ khảo sát mặt cắt ngang có trục đối xứng Trục đối xứng nầy trục hợp thành mặt phẳng đối xứng Tải trọng nằm mặt phẳng đối xứng Mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng đối xứng thanh, Đường tải trọng trục đối xứng mặt cắt ngang Trục dầm sau bị cong nằm mặt phẳng () gọi uốn phẳng + Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng bé so với chiều cao  H.7.3: giới thiệu số loại dầm đơn giản thường gặp q P q b) a b L a) P M c) H.7.3 Các loại dầm: a) Dầm đơn giản b) Dầm chèn kẹp; c) Dầm có đầu mút thừa  Tùy theo nội lực mặt cắt ngang dầm mà phân loại sau:  Phân loại: Uốn túy phẳng: Nội lực có mơmen uốn Mx= số Uốn ngang phẳng : Nội lực có lực cắt Qy mơmen uốn Mx  Dầm H.7.4 có đoạn CD chịu uốn túy, đoạn dầm AC DB dầm H.7.4 chịu uốn ngang phẳng Dầm H.7.5 chịu uốn túy _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu P P M a) a b) + M A B A B a L-2a P D C _ a) Qy M A P P B c) Mx Pa Pa H.7.4 Dầm với vùng chịu uốn túy b) M B H.7.5 Dầm chịu uốn túy II UỐN THUẦN TÚY PHẲNG 1.Định nghĩa: Thanh chịu uốn túy phẳng mặt cắt ngang có nội lực Mx Dấu Mx : Mx  làm căng (kéo) thớ bên dầm (tính từ trục dầm) Tính ứng suất mặt cắt ngang: (thí dụ chọn mặt cắt ngang hình chữ nhật ) a) Thí nghiệm quan sát biến dạng: H.7.6.a) Thanh trước biến dạng b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng Kẻ lên mặt thanh, đường song song với trục tượng trưng cho thớ dọc đường vuông góc với trục tượng trưng cho mặt cắt ngang; đường tạo thành lưới ô vuông.Sau có Mx tác dụng trục bị biến dạng cong, đường thẳng song song với trục thành đường cong song song với trục thanh; đường vng góc với trục cịn vng góc với trục thanh, nghĩa góc vng bảo tồn q trình biến dạng Ngồi ra, quan sát thấy thớ bên dãn (bị kéo) thớ bên co lại (bị nén) Như thế, từ thớ bị dãn sang thớ bị co tồn thớ mà chiều dài không thay đổi trình biến dạng, gọi thớ trung hòa Các thớ trung hòa tạo thành lớp trung hòa Giao tuyến lớp trung hoà với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hịa.Vì mặt cắt ngang có chiều rộng bé nên đường trung hòa xem thẳng (H.7.6.cĐường trung hòa chia mặt cắt ngang hai miền:miền chịu kéo miền chịu nén (do momen uốn Mx gây ra) _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu Mặt phẳng tải trọng Lớp trung hoà Phần bị nén z z Mx Mx z x y Đường trung hoà Phần bị kéo Đường tải trọng Sau biến dạng mặt cắt ngang 1-1 2-2 ban đầu cách đoạn vi phân dz cắt tâm cong hợp thành góc d Gọi  bán kính cong thớ trung hịa, tức khoảng cách từ đến thớ trung hòa Độ dãn dài tương đối thớ ab cách thớ trung hòa khoảng cách y cho :(mặc định hệ trục hình vẽ trên) ab  010   y  d  dz   y  d  d y z      y (a) 010 dz d  k   độ cong dầm Hệ thức chứng tỏ biến dạng dọc trục dầm tỉ lệ với độ cong biến thiên tuyến tính với khoảng cách y từ thớ trung hòa đến điểm muốn tính ứng suất O d O1 a O2 y dz b M O1 s a a) Truớc biến dạng r M O2 y b s b) Sau biến dạng H.7.7 Đoạn vi phân dz b) Thiết lập cơng thức tính ứng suất: -Mỗi thớ dọc dầm chịu kéo nén (nên điểm mặt cắt ngang trạng thái ứng suất đơn) - Định luật Hooke ứng với trạng thái ứng suất đơn :  z  E z  Ey (b) Ứng suất pháp tác dụng mặt cắt ngang biến thiên bậc với khoảng cách y từ thớ trung hòa _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu -Xét hợp lực ứng suất pháp toàn mặt cắt ngang + Liên hệ z Nz Gĩa sữ trục x đường trung hòa N z    z dA   EydA  (c) A A ( theo định nghĩa N z = 0) Mx Đườngtrung hồ Vì độ cong  mơđun đàn hồi E số nên đưa ngồi dấu tích phân Ek  ydA   A x y ta biết  A ydA  S x z d  Ax z A(x,y) momen tĩnh mặt cắt ngang, mômen y tĩnh mặt cắt ngang trục trung hồ x khơng  trục trung hồ x qua trọng tâm mặt cắt ngang Tính chất cho phép xác định trục trung hoà mặt cắt ngang Nếu trục y trục đối xứng, hệ trục (x, y) hệ trục quán tính trung tâm + Liên hệ z Mx M x    z ydA  E  y dA = kEIx (c) A A đó: I x   y dA A (d) mơmen qn tính mặt cắt ngang trục trung hòa x Biểu thức (c) viết lại sau (độ cong trục thanh) k  Mx EI x (7.1)  EIx gọi độ cứng uốn dầm Thế(7.1) vào (b)  Công thức tính ứng suất pháp điểm mặt cắt ngang dầm: M z  x y (7.2) Ix Ứng suất biến thiên bậc theo tung độ y, tung độ y khoảng cách điểm tính ứng suất đến trục trung hoà x (Chú ý M x y mang dấu đại số) Công thức kỹ thuật: Nếu mômen uốn dương, dầm bị căng (bị kéo)thớ dưới,và âm thớ bị nén Do thực hành, ta sử dụng cơng thức kỹ thuật để tính ứng suất z   Mx Ix |y| (7.3) ta lấy: dấu (+) Mx gây kéo điểm cần tính ứng suất dấu (–) Mx gây nén điểm cần tính ứng suất Thí dụ 1: Cho tiết diện chữ nhật b = 8cm, h =12cm _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu Trị số momen mặt cắt Mx =12kNm Tính ứng suất điểm K cách đáy 2cm (h vẽ)  zK   Mx Ix | y |  1200   4,17kN / cm  12 12 b Mx Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị:  Biểu đồ ứng suất pháp: h x + Những điểm xa trục trung hịa có trị số ứng suất K lớn z 2cm + Những điểm có khoảng cách tới thớ trung hịa có y trị số ứng suất Biểu đồ phân bố ứng suất pháp đồ thị biểu diễn giá trị ứng suất điểm mặt cắt ngang Dấu (+) ứng suất kéo Dấu (-) ứng suất nén (Miền kéo, hay nén phụ thuộc Mx biểu đồ nội lực mặt cắt ngang muốn tính) Tổng quát: a) Biểu đồ ứng suất pháp cho mặt cắt ngang có trục trung hịa khơng đối xứng  Min  Min _ Mx y + N Max Mx x +_  Max y x y KMax + + y KMax y NMax  Max y Ứng suất pháp cực trị: Tính ưng suất pháp kéo nén lớn mặt cắt ngang dầm điểm xa đường trung hòa k n Gọi ymax , ymax khoảng cách thớ chịu kéo thớ chịu nén xa đường trung hịa nhất.Khi ứng suất chịu kéo lớn  max ứng suất chịu nén lớn  tính cơng thức: M M k  max  x y max  kx (7.4a) Ix Wx   Đặt : Wxk  Mx Ix n y max  Ix k y max ' Mx (7.4b) Wxn ; Wxn  Ix n y max (7.5) _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu n k Các đại lượng Wx Wx gọi suất tiết diện mômen chống uốn mặt cắt ngang (cũng đặc trưng hình học mặt cắt ngang) b) Biểu đồ ứng suất pháp cho mặt cắt ngangg có trục trung hịa đối xứng Trục x (trục trung hòa) trục đối xứng (như mặt cắt chữ nhật, tròn,,…) :  Min Mx _ x y NMax y KMax z +  Max y k n ymax  ymax Khi : Ta có ứng suất nén kéo cực đại có trị số nhau:  max    Mx Wx c) Tính mơmen chống uốn mặt cắt thường dùng  Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b chiều cao h : 2I x bh bh ; Wx  W  W  Wx  , Ix  12 h k x n x  Mặt cắt ngang hình tròn: d Ix  64  0,05d ; Wx  d 32  0,1d  Mặt cắt ngang hình vành khăn: đường kính ngồi D, đường kính trong, d Ix  D 64 (1   ) ; Wx  D 32 (1   ) với  = d/ D  Mặt cắt ngang thép hình ,C,L…: Tra bảng thép định hình có sẵn Ý nghĩa vật lý mơmen chống uốn: mômen chống uốn lớn dầm chịu mơmen uốn lớn Thí dụ: Tìm WX hình bên WX  b 4b b Ng  6b(8b) 4b(6b)  I x  I xTR      46b 4b 4b  12 12    b 3b x 3b (Tính Wx khơng lấy hình ngồi trừ hình trong) b Điều kiện bền- Ba toán Điều kiện bền: + Dầm vật liệu dòn:  k   n min  n _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu max   k + Dầm vật liệu dẻo:  k = n =  maxz  Ba toán bản: +Bài toán kiểm tra bền +Bài tốn chọn kích thước mặt cắt ngang +Bài toán chọn tải trọng cho phép Bài toán 1: Kiểm tra bền (7.6a) (7.6b) Kiểm tra chịu lực có đảm bảo độ bền hay khơng Thí dụ2: Trên dầm chịu uốn túy có mặt cắt ngang hình chữ T ngược (H.7.11), mơmen uốn nội lực mặt cắt ngang biết trước Mx=1,25kNm Dầm làm vật liệu có ứng suất cho phép kéo nén khác nhau: [  ]k =2kN/cm2; [  ]n =3 kN/cm2 Kiểm tra bền dầm Cho biết: xoy hệ trục quán tính trung tâm, Ix = 5312,5 cm4 Giải k Momen hình vẽ nên: y max = 7,5 cm ynmax = 12,5 cm (x trục trung hòa) Wxk  Ix 5312,5   708,3 cm k 7,5 y max I 5312,5 W  nx   425cm 12,5 y max 12,5cm Mx O x n x 7,5cm z  max  Mx 1250   1,76kN/cm   K k 708,3 Wx y   M x 1250   2,94kN/cm   N n 425 Wx Dầm chữ T chịu uốn H 7.11 dầm Vậy dầm đủ bền Bài tốn 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang Từ điều kiện bền tổng quát ta biết tải trọng ứng suất cho phép.Từ tìm mơmen chống uốn tính kích thước mặt cắt ngang Thí dụ 3: Cho dầm có mặt cắt ngang hình chữ I chịu lực hình vẽ.Chọn số hiệu thép chữ  để dầm thỏa điều kiện bền Biết   =16kN/cm2,(hay160MPa) Giải M0 = 40kNm Dầm chịu uốn túy; mặt cắt ngang dầm có Mx= 40kNm x Áp dụng công thức ( 7.10b) ta được: I Wx  M max 4000   250cm [ ] 16 Tra bảng thép hình ta chọn .22a có Wx = 254cm3>250cm3 Chọn .22a _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu -Giả sử chọn tiết diện hình chữ nhật bxh (với h=2b), Từ điều kiện bền ta viết M max 4000 bh b(2b) Wx    250cm    b  7,2cm [ ] 16 6 -Nếu hình trịn có đường kính d, Wx  M max d  250 cm   d  13,7cm [ ] 32 Bài toán 3: Định tải trọng cho phép [P] Thí dụ 4: Một dầm gang có mặt cắt ngang H.7.13.Xác định trị số mômen uốn cho phép M (mơmen có chiều hình vẽ) Biết:   k =1,5kN/cm2 , [  ]n =3kN/cm2 Hỏi với trị số mơmen uốn cho phép đó, ứng suất nén lớn dầm bao nhiêu? Cho biết Ix =25470 cm4 Giải Từ điều kiện bền  max   M x    k  Mx k y max  Ix Mx Wxk   k Mx Ix 25470  1,5   3537,5 kNcm k 10,8 y max 19,2cm x z 10,8cm Từ Mx vừa tìm ta tính ứng suất chịu nén :    M x  y n Ix max y  3537,5  19,2   2,67 kN/cm   n 25470 H.7.13 Vậy chọn Mx vừa tìm Chú ý nầy từ điều kiện bền min tìm [Mx] chọn Mmin Hình dáng hợp lý mặt cắt ngang Hình dáng hợp lý thiết kế cho khả chịu lực dầm lớn đồng thời tốn vật liệu Điều kiện:  max  Mx Ix k y max   ,  k k Lập tỉ số ứng suất : y max   k  n - Nếu vật liệu dịn:  < :  k   n n y max  Mx Ix n y max   n  k n nên y max  y max Ta chọn mặt căt ngang không đối xứng qua trục trung hoà k n - Nếu vật liệu dẻo:  =1 nên y max  y max Ta chọn mặt căt ngang đối xứng qua trục trung hoà Theo biểu đồ ứng suất ta thấy gần trục trung hoà ứng suất nhỏ, nên vật liệu làm việc _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu điểm xa trục trung hịa, thường cấu tạo hình dáng mặt cắt cho vật liệu xa trục trung hịa.Ví dụ hình chữ I,U,vành khăn ,hình rỗng… III UỐN NGANG PHẲNG Định nghĩa- Dầm gọi chịu uốn ngang phẳng mặt cắt ngang có thành phần nội lực là: mômen uốn Mx lực cắt Qy (H 7.14) Các thành phần ứng suất: a)Thí nghiệm quan sát biến dạng Kẻ đường song song vng góc với trục thanh(H.a).Sau biến dạng góc vng khơng cịn vng(H.b) 1 L P Mx Qy + P Mx H.7.14 Só đồ dầm  chịu uốn ngang Qy X  Z PL   zy  Y z z zy z H.7.15 Mặt cắt ngang dầm chịu uốn ngang phẳng   a ) P  d z z H 7.16 b) P z yz   z c) zy a) Thanh trước biến dạng b) Thanh sau biến dạng c) Trạng thái ứng suất phẳng b) Trạng thái ứng suất: Khác với trường hợp uốn túy, ứng suất pháp z mơmen Mx gây cịn có ứng suất tiếp zy lực cắt Qy gây ra.Trạng thái ứng suất phân tố có mặt song song trục tọa độ biểu diển hình c) Cơng thức tính ứng suất pháp: Trong trường hợp uốn ngang phẳng, xuất lực cắt gây vênh mặt cắt ngang, giả thiết mặt cắt ngang phẳng khơng cịn nữa.Tuy nhiên nhiều nghiên cứu thực nghiệm chứng tỏ ứng suất tính trường hợp uốn ngang phẳng không thay đổi đáng kể có diện lực cắt.Do công thức ứng suất pháp (7.2) sử dụng cho hai trường hợp  z  Mx y Ix _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu d) Cơng thức tính ứng suất tiếp: d Giả thiết: z -Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng b M bé so với chiều cao h dz x -Ứng suất tiếp phân bố theo bề Q rộng mặt cắt chiều với Q y1 y M x + dM x y1 lực cắt Qy (nghĩa điểm nằm  z2 G cách đường trung hòa có y A yz Q y2 trị số ứng suất tiếp) F D -Xác định quy luật phân bố ứng suất B  z1 z tiếp dọc theo chiều cao mặt cắt E C ngang zy y Tách phần tử vi phân giới hạn mặt cắt 1-1 2-2 cách khoảng dz Để khảo sát ứng suất tiếp điểm K cách đường trung hòa khoảng y, ta dùng mặt cắt qua K vng góc với lực cắt -Xét cân phần ABCDEFGH Theo giả thiết nêu, ứng suất tiếp  zy thẳng đứng có phương song song với lực cắt phân bố mặt thẳng đứng ABCD Ngoài theo định luật đối ứng ứng suất tiếp,trên mặt vng góc với mặt cắt ngang ABFG có ứng suất tiếp  yz có giá trị với  zy Như vậy, tồn ứng suất phương ngang lớp song song với trục dầm ứng suất tiếp thẳng đứng mặt cắt ngang dầm Tại điểm, ứng suất có giá trị Gọi Ac diện tích ABCD(diện tích bị cắt) bc bề rộng tiết diện cắt Phương trình cân theo phương z(xét phần bị cắt) dọc trục cho: N1  N2  T  (a) đó: N1 : hợp lực tác dụng mặt 1-1 tính bởi:   N1   Ac  z1dA   M ydA Ac I x (b) N2 - hợp lực tác dụng mặt 2-2 tính bởi: N2   Ac   z dA  Ac M x  dM x ydA Ix (c) T - hợp lực tác dụng mặt ABEG phần tử: T   yz bc dz (d) Thay (b), (c), (d) vào (a)    Ac Mx M x  dM x ydA   ydA   yz b c dz  Ac Ix Ix  zy   yz  dM x dz    I bc  x    ydA  Ac  (e) (f) thay Qy = dMx/dz ta được: _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh 10 Bài giảng sức bền vật liệu  zy   yz  I x bc  Ac ydA (g)   zy   yz  Đặt: S   A ydA c x Qy Qy S xc (7.7) I x bc Công thức (7.10) gọi công thức D.I Zhuravski c S cx :momen tỉnh phần diện tích bị cắt (A c )đối với trục trung hòa bc : bề rộng tiết diện cắt I x : Momen quán tính tiết diện e) Phân bố ứng suất tiếp số mặt cắt thường gặp: + Mặt cắt ngang chữ nhật (H.7.18): b m m h/ max h/ 2M M+d M p p1 n x h y n1 A a) c b) y c) H.7.18 Phân bố ứng suất tiếp mặt cắt ngang chữ nhật Diện tích bị cắt Ac hình chữ nhật: h /  y  b  h2 h  2 S xc  b  y  y      y   2 2   Thay vào (7.10)   zy  Qy  h    y  2I x   (i) (7.8) Hệ thức chứng tỏ ứng suất tiếp dầm tiết diện chữ nhật biến thiên theo quy luật bậc hai theo khoảng cách y từ trục trung hòa biểu đồ theo chiều cao dầm có dạng H.7.18c  zy = y   h / ( điểm biên trên, mặt cắt)  zy = max y = ( điểm trục trung hòa):  max  Qy h 8I x  Qy A (7.9) đó: A = bh - diện tích mặt cắt ngang Cơng thức xem xác bề rộng bé so với chiều cao Nếu b=h ứng suất tiếp cực đại lớn trị số cho cơng thức (7.9) khoảng 13% Thí dụ 5: a) Tính ứng suất pháp ứng suất tiếp cực đại dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật b=15cm, h=30cm _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh 11 Bài giảng sức bền vật liệu b) Tính  zy K với yK =10cm mặt cắt gối tựa A Cho biết: q =12kN/m, L=4m;   =1,1kN/cm2,   = 0,22kN/cm2 Giải Mômen cực đại dầm: M max  °K Qy ql/2 ql 12     24 kN 2 ql/2 Ứng suất cực đại:  max B L Lực cắt cực đại hai gối tựa: Qmax h A ql 12    10   2400 kNcm 8 b q M 2400   max   1.07 kN/cm  1,1 kN/cm 2 W 15  30 Mx ql2/8 H.7.19 3Qmax  24   0,08 kN/cm  0,22 kN/cm 2bh  15  30 24  937,5 k   0,044kN / cm với : S xc  15   12,5cm  937,5cm (cắt qua K xét bên dưới) 33750  15  max    + Mặt cắt ngang hình trịn hình vành khăn (H.7.20) Qy t2 max R b(y) y x t1 t1 b(x) dx b(y) C a) b) c) H.7.20 Ứng suất tiếp mặt cắt ngang hình trịn Khi dầm có mặt cắt ngang hình trịn, ứng suất tiếp mặt cắt ngang khơng cịn song song với lực cắt Nếu khơng có lực tác dụng mặt dầm, ứng suất tiếp hai diện tích vi phân điểm vùng sát chu vi mặt cắt ngang phải hướng theo phương tiếp tuyến với chu vi (H.7.20a) Các tiếp tuyến có phương đồng quy điểm C phương tác dụng lực cắt Bởi lực cắt Qy hợp ứng suất tiếp (H.7.20), nên ứng suất tiếp diện tích vi phân có khoảng cách y tới trục trung hịa có phương ngang điểm C _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh 12 Bài giảng sức bền vật liệu Mỗi ứng suất tiếp phân thành hai thành phần: thành phần thẳng đứng  nằm ngang  Các thành phần nằm ngang tác dụng hai phần trái phải tự cân tính đối xứng, thành phần thẳng đứng hợp lại thành lực cắt Qy Như vậy, dầm có mặt cắt ngang trịn, thành phần  đóng vai trị  dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật Mơmen tĩnh phần diện tích giới hạn biên mặt cắt ngang mặt cắt song song với mặt trung hòa khoảng cách y từ trục trung hòa x cho bởi: (j) S xc   dA   b( )d A Â c ta có: b  b  R2  y2 đó: R - bán kính hình trịn mặt cắt ngang r 3/ Do vậy: Sxc   y R2  y2 .d  R2  y2  c (k) (l) thành phần ứng suất phương thẳng đứng có trị số:  zy  zy = Qy  A  y2  1    R  y  h / (7.10) ( điểm biên trên, mặt cắt)  zy = max y= ( điểm trục trung hòa):  max  Qy , A (A: diện tích hình trịn) (7.11) + Mặt cắt ngang hình chữ , hay chữ T b 2 d h a h1/2 f c  max h1/2 x y e b h1/2 1 h1/2 d 2 1 b) a) H.7.17 Ứng suất tiếp lòng dầm chữ I  ứng với b = d,  ứng với b = b(vì b lớn so so với d nên biểu đồ ứng suất có bước c c nhảy) Các mặt cắt ngang chữ  hay chữ T xem cấu tạo hình chữ nhật ghép nên với mức độ xác định, công thức dùng cho dầm mặt cắt ngang chữ nhật _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh 13 Bài giảng sức bền vật liệu dùng cho loại mặt cắt Ứng suất tiếp tính cơng thức Zhuravski:   Qy Sxc I x bc  zy bụng: Xét điểm có tung độ y (khoảng cách đến trục trung hồ) bc bề rộng bụng: bc = d Sxc mômen tĩnh phần diện tích gạch chéo trục trung hịa Sxc tính mơmen tĩnh nửa hình  (trong bảng tra ghi Sx) trừ mômen tĩnh phần diện tích (y x d) Vậy y S xc  S x  (d  y  )  Ứng suất tiếp zy bụng dầm chữ   zy Qy  y2   S x  (d  ) Ixd   (p) (p) ứng suất tiếp bụng dầm chữ I biến thiên theo quy luật parabol dọc theo chiều cao dầm  zy = max y = (các điểm trục trung hòa):  max  Qy I xd Sx (7.12)  t )  h1 (điểm tiếp giáp bụng cánh)  lớn Q  h2    y  S x  d   (7.13) Ixd    zy = 1 y  ( và: h Đọc thêm:  zy cánh: Xét điểm cánh, bề rộng cắt b c = b lớn so với d, nên zy cánh bé, bỏ qua  zx cánh: Xét điểm cánh bc = t(chiều dày cánh) b  h t  S xc  t    x      2   2   zx b  h t  Qy    x      2   2  Ix  z2 (7.14) z  zx b/2 - x Ứng suất tiếp zx phân bố bậc theo x, Thí dụ 6: Tính ứng suất tiếp trục trung hoà K (vị trí thay đổi tiết diện) dầm có mặt cắt ngang hình chữ U, cho Qy=20kN Giải _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh 14 Bài giảng sức bền vật liệu Khoảng cách trọng tâm mặt cắt ngang xác định bởi: (chọn hệ trục qua đáy) 12   0,5  2(18   10)  7,625 cm 12   2(18  1) yc  Mơmen qn tính Ix mặt cắt ngang:  1 183  12  13 Ix   (7,125)  12   2  (2,375)  18  1  1777,98cm 12  12  + Ứng suất tiếp trục trung hịa: bc =1cm+1cm= 2cm Mơmen tĩnh phần diện tích trục trung hịa đối 1cm 1cm với trục là: S xc  11,375cm 18cm  max x + Ứng suất tiếp điểm K với bc =2 cm S xc 12 1 7,125  85,5 cm (tại vị trí thay đổi tiêt 7,625cm 1cm y 12cm 1777,98cm 2(1  11,375 )  129,39 cm 20  129,39   0,73 kN/cm 1777,98  diện)    20  85,5  0,48 kN/cm 1777,98  Thí dụ7: Cho dầm có mặt cắt ngang (đường trung hịa khơng đối xứng) chịu lực hình a) Vẽ biểu đồ Mx Qy b) Tính ứng suất pháp lớn  max  c) Tính ứng suất tiếp đường trung hịa K (vị trí thay đổi tiết diện) 4kN 2kN-m 4kN/m B 1cm D C 1m 16cm 12,25cm 3m x 4,75cm kN 4kN + K kN y 2kNm 1cm cm 16cm Ix= 920,67cm4 6kNm kNm m a)Tính mặt cắt có Mx= 800kNcm  max  Mx Ix max y kmax  800  4,75  4,13kN / cm 920,67 _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh 15 Bài giảng sức bền vật liệu Mx    Ix y nmax   800  12,25  10,64kN / cm 920,67 b)Tính mặt cắt có Mx= 200kNcm  max  Mx y kmax  Ix Mx    200  12,25  2,66kN / cm 920,67 y nmax   Ix 200  4,75  1,03kN / cm 920,67 c)Tính ứng suất tiếp đường trung hòa:  max  Qy max S c x  I x  bc (12,25) 2  0,65kN / cm 920,67  1 d)Tính ứng suất tiếp vị trí thay đổi tiét diện K 1  Qy max  S xc Ix b c   16  (4,75  0,5)  0,59kN / cm 920,67  Chú ý: Nếu vật liệu dẻo cần tính mặt cắt có M x max KIỂM TRA BỀN DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Trên mặt cắt ngang dầm chịu uốn ngang phẳng có ứng suất: - Ứng suất pháp  z mômen uốn Mx gây - Ứng suất tiếp  zy lực cắt Qy gây Từ biểu đồ phân bố ứng suất pháp ứng suất chiều cao mặt cắt ngang hình chữ nhật, ta thấy có ba loại phân tố trạng thái ứng suất khác a) Những điểm biên mặt cắt ngang  = 0, có  z = max  nên TTƯS phân tố điểm trạng thái ứng suất đơn b) Những điểm nằm trục trung hịa z = 0, có zy=  max ≠ nên TTƯS phân tố điểm trạng thái ứng trượt túy c) Các điểm khác có  z   zy  0, trạng thái ứng suất phẳng đặt biệt min min max max max     Qmax Mmax a) + max b ) c)  Khi kiểm tra bền toàn dầm, phải bảo đảm phân tố thỏa điều kiện bền _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh 16 Bài giảng sức bền vật liệu a) Kiểm tra bền cho phân tố TTƯS đơn (những điểm biên dầm), xét mặt cắt có M max sử dụng thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất: + Dầm làm vật liệu dẻo, [k ]  [n ]  [] , điều kiện bền: max   [] (7.15) + Dầm làm vật liệu dòn, [k ]  [n ] , điều kiện bền :  max  [ k ] (7.16)   [ n ] b) Kiểm tra bền cho phân tố TTƯS trượt túy (những điểm nằm trục trung hịa), xét mặt cắt có Qy max ta có: + Dầm vật liệu dẻo:  max  []  TheoTB ứng suất tiếp lớn (TB3): [] (7.17) [ ] + Dầm vật liệu dòn: sử dụng thuyết bền Mohr (TB5): Theo TB biến đổi hình dáng (TB 4):  max  [ ]  (7.18) [ ] [] 1 m k (7.19) với m  [ ] n c) Kiểm tra bền cho phân tố trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: Xét mặt cắt có mơmen uốn Mx lực cắt Qy lớn, (có thể nhiều mặt cắt loại nầy) cần kiểm tra vị trí nguy hiểm vị trí tiếp giáp lòng đế mặt cắt chữ , chữ C… Các ứng suất phân tố tính cơng thức quen thuộc:  max  []  Qy Sxc Mx z  y  zy  Ix I x bc Sau tính ứng suất      1   4 ,      4 2 2 thay vào điều kiện bền (chương 5) ta có: +Dầm làm vật liệu dẻo: Theo TB 3: t3  1  3  Theo TB 4:  t4  2z  42zy  [] 2z  32zy  [] (7.20) + Dầm làm vật liệu dòn: Dùng TB  t5  1m 1 m z  2z  42zy  [] 2 (7.21) Từ điều kiện bền có ba tốn bản: Bài toán 1: Kiểm tra bền Bài toán 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh 17 Bài giảng sức bền vật liệu Thường ban đầu dựa vào điều kiện bền phân tố trạng thái ứng suất đơn để chọn sơ kích thước mặt cắt ngang dầm Sau đó, tiến hành kiểm tra bền phân tố trạng thái ứng suất khác lại (chủ yếu cho dầm dài L  12 ) h Nếu khơng đạt thay đổi kích thước mặt cắt ngang kiểm tra lại Bài toán 3: Định tải trọng cho phép Từ điều kiện bền phân tố trạng thái ứng suất đơn, xác định sơ tải trọng cho phép sau tiến hành kiểm tra bền phân tố cịn lại Thí dụ 8: Kiểm tra bền dầm ABC có tiết diện chữ hình chữ nhật rỗng (đường trung hịa đối xứng) chịu lực hình vẽ Cho   =16kN/cm2., L =1m , q =10kN/m P= qL 0,5cm q 0,5cm 7cm C A 1cm B L y qL 4L K K qL _ qL ql2 ql/2 x qL VA = 15 qL 7cm 7cm 1cm y Ix=1130cm4 M max =1,53ql2= 15,3kNm x 1,53ql2 a) Phân tố TTƯS đơn (ở biên hay )  max  M x ,max Wx  1,53qL2 1,5  10  1 100   10,83kN / cm  16kN / cm 141,25 141,25 b) Phân tố TTƯS trượt tuý (tại đường trung hòa ).Qy=9/4qL  max  qL(8   4  (7   3,5))  22,5  84,5     1,68kN / cm  c Ix b 1130  1130  Qy  SCx c) Phân tố TTƯS phẳng đặc biệt: (vị trí phân tố nơi thay đổi tiết diện) Tính ứng suất mặt cắt bên trái điểm B điểm k tiết diện sau: Chọn mặt cắt bên trái B có thành phần nội lực: (có Mx Qy lớn ) M x  qL2  10 1100kNcm  1000kNcm Q y  qL  22,5 kN 1000 22,5  60  7   6,19kN/cm ,  k   1,19 kN/cm -Tính ứng suất K:  zk  1130 1130 1 _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh 18 Bài giảng sức bền vật liệu (S cx =8x1x3,5=60cm) -Tính ứng suất K: 1  k   1  k  4 k  -0,235kN/cm  k  4 k  6,42kN/cm ,   k  2 -Kiểm tra bền theo TB3:  t   k2  4 k2  6,192  41,19  6,63kN / cm  16kN / cm Thí dụ 9: Kiểm tra bền (theo điều kiện bền bản) dầm có tiết diện chịu lực hình vẽ Cho:   k=3kN/cm2[  ]n = 9kN/cm2, L=1m q =5kN/m (Tiết diện không đối xứng) Chỉ kiểm tra bền cho TTỨS đơn M= qL2 P q qL 2 cm A qL 2qL 2L C BL 9,2cm 12 cm 6cm 1cm + + qL qL qL qL x 6cm 6cm K 1cm y 7cm cm qL2 x x0 4,8cm K y y 10 cm Ix=829,23cm4 qL2  Tại mặt cắt có Mx=qL2 =5kNm (dương), ykmax=4,8cm, ynmax= 9,2cm  max  Mx   Mx Ix Ix y kmax  500  4,8  2,97kN / cm   k 829,23 y nmax  500  9,2  5,55kN / cm   n 829,23  Tại mặt cắt có Mx= 0,5qL2 = 2,5kNm (âm), ykmax=9,2cm,và ynmax =4,8cm  max  Mx   Mx Ix Ix y kmax  250  9,2  2,5kN / cm   k 829,23 y nmax  250  4,8  1,48kN / cm   n 829,23 _ Chương 7: Uốn phảng thẳng Lê đức Thanh 19 Bài giảng sức bền vật liệu Thí dụ 10 Cho dầm chịu lực thí dụ thay tiết diện chữ nhật rỗng (hình bên).Tìm q  theo điều kiện bền dầm TB3 (Tiết diện đối xứng) Cho   =16kN/cm2., L =1m , 6cm  14 12  WX      105,24cm , I x  736,67cm  12 12  1cm S  (7   3,5)  (6   )  63,5cm (tại đường trung hòa) c x 6cm Từ điều kiện bền TTƯS đơn  max  M x ,max Wx 6cm qL2   16kN / cm  q  0,168416kN / cm 105,24 1cm Sơ chọn q=16kN/m để kiểm tra cho phân tố lại a) Kiểm tra phân tố TTƯS trượt túy  max  Q y  S xc Ix b c  7cm   1,5  16   63,5  2,07kN / cm  736,67  b) Kiểm tra phân tố TTƯS phẳng đăc biệt: qL2 Mx   800kNcm , Q y  qL  24 kN 2  zk  800 24  1 6,5   6,52 kN/cm ,  k   1,48 kN/cm 736,67 736,67 1  t   k2  4 k2  6,522  41,48  7,16kN / cm  16kN / cm : Chọn q=16kN/m Thí dụ 9: Xác định kích thước mặt cắt ngang theo ứng suất pháp, cho trường hợp có mặt cắt ngang hình vẽ bên dưới: Nếu   =16kN/cm2, q =10kN/m, L=1m P= qL q M0= qL2 A x C h=2b B 11 qL 11 qL L 4L 14 qL qL b Wx=2Wx x d d 11 qL d d 14 qL qL2 x Wx = d 32 y 146 qL2 _ 50 Chương 7: Uốn phảng thẳng bh y + _ Wx  Lê đức Thanh 20 Bài giảng sức bền vật liệu   max Điều kiện bền: M xmax M xmax 2,92  10  1 100   [ ] , WX   Wx   16 a)Tính WX cho hình chữ nhật: bh 2b 2,92  10   100  WX   273,75cm , b  6,5cm ,Với h = 2b  WX   b3  16  b) Tính WX cho hình trịn trường hợp 1: WX  2Wx    d 32 d  2,92  10   100  16   16 chọn : d=10cm c) Tính WX cho hình trịn trường hợp (thực tế lấy Wtính tốn=kWX với k