Bài giảng sức bền vật liệu CHƯƠNG 11 ổn ĐỊNH của THANH CHỊU nén ĐÚNG tâm

Bài giảng Sức bền Vật Liệu Chương 11 ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM I.KHÁI NIỆM VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG Để đáp ứng yêu cầu chịu lực bình thường, phải thỏa mãn điều kiện bền cứng, trình bày chương trước đây.Tuy nhiên, nhiều trường hợp, phải thỏa mãn thêm điều kiện ổn định Đó khả trì hình thức biến dạng ban đầu bị nhiễu (nhiễu xãy thời gian ngắn) Trong thực tế, nhiễu yếu tố sai lệch so với sơ đồ tính như: độ cong ban đầu, nghiêng lệch tâm lực tác dụng Bài toán ổn định mang ý nghĩa thực tế lớn Ta định nghĩa cách khái quát: độ ổn định kết cấu khả trì, bảo tồn đƣợc dạng cân ban đầu trƣớc nhiễu xãy Khái niệm ổn định minh họa cách xét cân cầu mặt lõm, lồi phẳng H.11.1 H.11.1 Sự cân vị trí cầu Nếu cho cầu chuyển dịch nhỏ (gọi nhiễu) từ vị trí ban đầu sang vị trí lân cận bỏ nhiễu thì: -Trên mặt lõm, cầu quay vị trí ban đầu: cân vị trí ban đầu ổn định - Trên mặt lồi, cầu chuyển động xa vị trí ban đầu: cân vị trí ban đầu khơng ổn định -Trên mặt phẳng, cầu giữ nguyên vị trí mới: cân vị trí ban đầu phiếm định Hiện tượng tương tự xảy cân trạng thái biến dạng hệ đàn hồi.Chẳng hạn với chịu nén Trong điều kiện lý tưởng (thanh thẳng tuyệt đối, lực P hồn tồn tâm ) giữ hình dạng thẳng, co ngắn chịu nén tâm Nếu cho điểm đặt lực P chuyển vị bé  lực ngang R gây (bị nhiễu), sau bỏ lực P P > Pth P< Pth P = Pth xảy trường hợp biến  dạng sau: R R R + Nếu lực P nhỏ giá trị Pth đó, gọi lực tới hạn, tức P < Pth, phục hồi lại trạng thái biến dạng thẳng Ta nói làm việc trạng thái cân ổn định + Nếu P > Pth chuyển vị  tăng TT tới hạn TTmất ổn định TT ổn định bị cong thêm Sự cân Chương 11:Ổn định Tháng 06-2015 Lê đức Thanh Bài giảng Sức bền Vật Liệu trạng thái thẳng ( = 0) khơng ổn định Ta nói trạng thái ổn định Trong thực tế có chuyển vị  chuyển sang hình thức biến dạng bị uốn cong, khác trước tính chất, bất lợi điều kiện chịu lực + Ứng với P = Pth giữ nguyên chuyển vị  trạng thái biến dạng cong Sự cân trạng thái thẳng phiếm định Ta nói trạng thái tới hạn H.11.2 giới thiệu thêm vài kết cấu bị ổn định dầm chịu uốn, vành tròn chịu nén đều… Khi xảy ổn định dù dẫn tới sụp đổ tồn kết cấu.Tính chất phá hoại ổn định đột ngột nguy hiểm Trong lịch sử ngành xây dựng xảy thảm họa sập cầu ổn định dàn chịu q>q P > Pth nén cầu Mekhelstein Thụy Sĩ(1891),cầu Lavrentia Mỹ (1907) H 11.2 Các dạng ổn định Vì thiết kế chịu nén cần phải đảm bảo điều kiện ổn định, độc lập với điều kiện bền điều kiện cứng nêu trước Pth P N z  Pôđ  th Điều kiện ổn định: P  Pôđ  hay : kôđ kôđ th kơđ : Hệ số an tồn mặt ổn định, quy định, thường lớn hệ số an toàn độ bền P (hay Nz): Lực nén (nội lực nén ) II KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN ĐÀN HỒI 1- Tính lực tới hạn (Pth) có kết khớp hai đầu (Bài tốn Euler) Xét thẳng liên kết khớp hai đầu, chịu nén lực tới hạn Pth Khi bị nhiễu, bị uốn cong cân hình dạng H.11.3a Đặt hệ trục toạ độ (x,y, z) H.11.3a Xét mặt cắt có hồnh độ z Độ võng mặt cắt nầy y(z).Ta có phương trình vi phân đường đàn hồi: M y ''   EI Với : mômen uốn M = Pth y(z) (từ điều kiện cân H.11.3b) Thay (b) vào (a)  Đặt:   Pth  EI y ''  Pth (11.1) y (11.2) z L Pth y0 EI y''  2 y  y(z) (11.3) Nghiệm tổng quát (c) là: z a) y  A sin( z)  B cos( z) (11.4) Các số A,B xác định từ điều kiện biên: y(0) = y(L) = Với: y(0) =  y =A.0+ B.1 =  B = Chương 11:Ổn định Pth b) H 11.3 Tháng 06-2015 Lê đức Thanh M Pth Bài giảng Sức bền Vật Liệu y(L) =  A sin( L)  để tốn có nghĩa y( z)   A  ,  sin( L)  n 2 phương trình có nghiệm  L  n , với n = 1, 2, 3,    L n 2 EI Từ (c) (e)  Pth  (11.5) L2 Thực tế, lực nén đạt đến giá trị tới hạn nhỏ theo (11.5) ứng với n =1 bị cong Vì vậy, giá trị ứng với n > khơng có ý nghĩa Ngồi ra, cong mặt phẳng có độ cứng uốn nhỏ Do đó, cơng thức tính lực tới hạn thẳng hai đầu liên kết khớp là:  EI Pth  (11.6) L Đường đàn hồi tương ứng có dạng nửa sóng hình sine: z y  A sin( ) (11.7) L với: A số bé, thể độ võng nhịp 2- Tính Pth có liên kết khác đầu Áp dụng phương pháp cho có liên kết khác hai đầu, ta m 2 EI công thức tính lực tới hạn có dạng chung: Pth  (11.8) L với: m : số nửa sóng hình sine đường đàn hồi ổn định , gọi hệ số quy đổi, m  EI P  Ta được: (11.9) th (L ) Đặt   gọi chung công thức Euler Dạng ổn định hệ số  có liên kết hai đầu khác thể m= m= 1,43 m=1/2 m= = 1/2 hình.11.4 = 0,7 = = 3- Ứng suất tới hạn Ứng suất thẳng chịu nén H 11.4 Dạng ổn định hệ số  tâm lực Pth gọi ứng suất tới hạn xác định theo công thức: Pth  EI  2E I  th    A ( L) A  L  , với: imin  A bán kính quán tính nhỏ tiết   i   diện L  2E   Đặt: : gọi độ mảnh ,   th  (11.10) imin  Chương 11:Ổn định Tháng 06-2015 Lê đức Thanh Bài giảng Sức bền Vật Liệu Độ mảnh  khơng có thứ ngun, phụ thuộc vào chiều dài thanh, điều kiện liên kết đăc trưng hình học tiết diện; Nhƣ có độ mảnh lớn ơth dễ ổn định 4- Giới hạn áp dụng công thức Euler Iasinski ơ0 Công thức Euler xây dựng sở phương tl Hyperbola Euler trình vi phân đường đàn hồi, áp dụng vật liệu làm việc giai đoạn đàn hồi, tức ứng suất nhỏ giới hạn tỷ lệ:  th 2 E    tl hay:  2 E  tl Nếu đặt:  o    2 E  tl λ1 λ0 λ H 11.5 Ứng suất tới hạn (k) kiện áp dụng công thức Euler là:    o (11.11) o : gọi độ mảnh giới hạn số loại vật liệu Thí dụ: Thép xây dựng thông thường o = 100, gỗ :o = 75; gang :o = 80 * Nếu   o gọi độ mảnh lớn Như vậy, cơng thức Euler áp dụng đƣợc cho có độ mảnh lớn III ỔN ĐỊNH NGOÀI MIỀN ĐÀN HỒI 1- Ý nghĩa: Công thức Euler áp dụng vật liệu đàn hồi Đồ thị phương trình(11.10) hyperbola H.11.5,  th   tl Khi  th   tl  vật liệu làm việc miền đàn hồi, cần thiết phải có cơng thức khác để tính Pth 2- Công thức thực nghiệm Iasinski Công thức Iasinski đề xuất dựa nhiều số liệu thực nghiệm, phụ thuộc vào độ mảnh - Thanh có độ mảnh vừa : 1    o : th  a  b (11.12) với: a b số phụ thuộc vật liệu, xác định thực nghiệm:  Thép xây dựng:a =33,6kN/cm2; b = 0,147kN/cm2  Gỗ: a = 2,93kN/cm2; b = 0,0194kN/cm2 độ mảnh 1 xác định từ công thức: 1  a   tl b , (lấy  th  TL ) (11.13) thực nghiệm cho thấy phạm vi giá trị 1  30  40 - Thanh có độ mảnh bé:   1 - Khi không ổn định mà đạt đến trạng thái phá hoại vật liệu Vì vậy, ta coi: Chương 11:Ổn định Tháng 06-2015 Lê đức Thanh Bài giảng Sức bền Vật Liệu  th     b vật liệu dòn  th     ch vật liệu dẻo lực tới hạn : Pth =  th A Thí dụ.1 Tính Pth th cột làm thép số có mặt cắt ngang hình chữ  số 22 Cột có liên kết khớp hai đầu Xét hai trường hợp: a) Chiều cao cột 3,0m b) Chiều cao cột 2,25m Biết: E = 2,1.104kN/cm2; tl = 21kN/cm2 ; o =100 Các số công thức Iasinski : a = 33,6kN/cm2, b = 0,147kN/cm2 Giải P= 230kN Tra bảng thép định hình(phụ lục)ta có số liệu thép  No22: imin  i y  2,27 cm; A  30,6 cm ; theo liên kết ta có   + Trƣờng hợp a)  l 1.300    132  o  100 Độ mảnh : imin 2,27 Thanh có độ mảnh lớn, áp dụng cơng thức Euler  E  2,1.104  th    11,88 kN / cm 2  132 Pth   th A  11,88.30,6  363,62 kN  + Trƣờng hợp b)  Độ mảnh : 1  l imin  L= 3m I 1.225  99,11  0 2,27 a   tl 33,6  21   85,7 b 0,147  1     Thanh có độ mảnh vừa, dùng công thức Iasinski:  th  a  b  33,6  0,147.99  20,37 kN / cm Pth   th A  20,37.30,6  623,32 kN Chú ý: - Nếu liên kết hai mặt phẳng qn tính giống cơng thức có dụng Imin imin - Nếu liên kết hai mặt phẳng quán tính khác ổn định cong mặt phẳng có độ mảnh lớn đại lượng I, i lấy mặt phẳng Thí dụ.2 Kiểm tra ổn định thép I.24 có A =34,8cm2, Iy = Imin =198cm4, iy = imin= 2,37cm, 0 = 100, Ix=3460cm4, ix=9,97cm, E = 2.104kN/cm2 , Kođ =2, Giải Tính x   xl ix  Chương 11:Ổn định 2.600  120,4  > 0 9,97 Tháng 06-2015 Lê đức Thanh Bài giảng Sức bền Vật Liệu  yl y  iy  0,5.600  126,6  > 0 2,37 P P=150kN Dùng Euler: Lấy max để tính  2E (3,14)  2.10 A   34,8  428kN (max ) (126,6) P 428  th   214kN  P  150kN (đã cho) K oñ Pth   th A  Pôđ I.24a L= m Thanh thỏa điều kiện ổn định x x Ghi -Nếu tiết diện hình chữ nhật bxh: ix  bh 12  h , bh 12 Ix  A iy  A hb 12  b bh 12  y y Iy y b d h D x y d -Nếu tiết diện trịn đường kính d, hình vành khăn D,d : D  d ix  i y  Ix  A 64  d d , ix  i y  IX  A  d      64   D  D d  1   D D   d       D  Thí dụ.3 Kiểm tra điều kiện ổn định 0 =100, Kođ = 4, E =2.104kN/cm2 Giải imin  b 12  10 12  2,89cm   l imin  P=200kN 1.400  138,4 2,89 > 0 dùng Euler Pth   th A  L= 4m  2E (3,14) 20000 A  150  1544,2kN 2 (138,4) Pôđ  15cm 10cm Pth  386,1, kN  200kN K Thanh thỏa điều kiện ổn đinh Thí dụ.4 Xác địmh P  để ổn định Cho biết : Kođ = 2, E = 2.104kN/cm2,thép có đường kính d=8cm, 0 =100, Chương 11:Ổn định Tháng 06-2015 Lê đức Thanh Bài giảng Sức bền Vật Liệu Giải   th  l imin P 0,7.300   105  0  E (3,14) 20000   17,9kN / cm 2 (105) Pôđ   th A K oñ 17,9  82    450kN L= 3m d=8cm IV PHƢƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN 1.Phƣơng pháp tính: Thanh chịu nén cần phải thỏa : Điều kiện bền:  P  [ ]n ; Agyeáu o n với: []n  đó: n - hệ số an tồn độ bền ,kG/c m2 2400 Agyếu :diện tích tiết diện giảm yếu(bị kht lỗ); khơng kht lỗ Agyếu = A tiết diện nguyên  Điều kiện ổn định:   với: [ ]ôđ  P  [ ]ôđ A  th 2000 2400 140 100 k =1,7 k Euler Hyperbola k = 3,5 k Đƣờng giới hạn ứng suất  100 15 20 25 0 0 Hình.11.7 Hệ số an tồn kơđ cho thép kôđ đó: kơđ ( hay k)- hệ số an tồn ổn định Vì giảm yếu cục số tiết diện có ảnh hưởng không đáng kể đến ổn định chung Do tính chất nguy hiểm tượng ổn định xét đến yếu tố không tránh độ cong ban đầu, độ lệch tâm lực nén … nên chọn kôđ > n, k thay đổi phụ thuộc vào độ mảnh Thép xây dựng có kơđ =1,8  3,5 minh họa H.11.7; gang kôđ =  5,5; gỗ kôđ = 2,8  3,2 Để thuận tiện cho tính tốn thực hành, người ta đưa vào khái niệm hệ số uốn dọc hệ số giảm ứng suất cho phép  định nghĩa sau:  [ ]ôđ  th n   [ ]n  o k  < 1, hai tỉ số: n  th   k o từ đó: [ ]ơđ   [ ] điều kiện ổn định trở thành: Chương 11:Ổn định Tháng 06-2015 Lê đức Thanh Bài giảng Sức bền Vật Liệu   P P  [ ]n ;   [ ]n , hay: A A Hay viết: P  Pơđ  [ ]n A Điều kiện ổn định thoả, điều kiện bền không cần kiểm tra Hệ số  =  [ E, , k ] cho bảng sau Bảng hệ số  thường gặp Độ mảnh  40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 Thép số 2,3,4 0,92 0,89 0,86 0,81 0,75 0,69 0,60 0,52 0,45 0,40 0,36 0,29 0,29 0,26 0,23 0,21 0,19 Trị số  Thép Thép Gang số CK 0,89 0,87 0,69 0,86 0,83 0,54 0,82 0,79 0,44 0,76 0,72 0,34 0,70 0,65 0,26 0,62 0,55 0,20 0,51 0,43 0,16 0,43 0,35 0,36 0,30 0,33 0,26 0,29 0,23 0,24 0,19 0,24 0,19 0,21 0,17 0,19 0,15 0,17 0,14 0,16 0,13 Gỗ 0,87 0,80 0,71 0,60 0,48 0,38 0,31 0,25 0,22 0,18 0,16 0,12 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 Vì  < nên thường cần kiểm tra điều kiện ổn định đủ Tuy nhiên, có giảm yếu cục liên kết bu lơng, đinh tán… cần kiểm tra hai điều kiện bền ổn định - Điều kiện bền: - Điều kiện ổn định: P  [ ]n A P     [ ]n A   (a) (b) thực tế, thỏa (a) thường thỏa (b) Đối với tốn ổn định có ba tốn: P   [ ]n A 2.Xác định tải trọng cho phép: [P]   A [ ]n 1.Kiểm tra điều kiện ổn định:   Chương 11:Ổn định Tháng 06-2015 Lê đức Thanh Bài giảng Sức bền Vật Liệu Trong hai tốn trên, tiết diện biết nên suy hệ số  theo trình tự: có : A,  I    3.Chọn tiết diện: A l I/A   (tra bảng) P [ ]n Việc tìm A phải làm dần, công thức chứa hai biến: A  (A) Trình tự tìm A sau: - Giả thiết: o = 0,5 ; tính được: Ao  - Từ P  o  o [ ]n  o tra bảng ta  o' Nếu o' o Ao chọn ' Nếu  o   o lấy: 1   o  'o  A1  P 1 [ ]n  1  1' thường lặp lại q trình tính khoảng -3 lần sai số tương đối hai lần tính đủ nhỏ ( 5%) lúc dừng lại kiểm tra lại điều kiện ổn định với tiết diện vừa tìm Thí dụ : Cho ABC tuyệt đối cứng chịu lực hình vẽ Thanh chống BK có tiết diện tròn làm vật liệu gỗ Hãy chọn d  từ điều kiện ổn định Cho biết L=1m, q=5kN/m, P =10kN, [ ]n  kN / cm Giải C A B NBK  M / A   N KB  5L  6qL  3L  P  3L  2P  6L d  N KB  48kN K a) Chọn lần thứ nhất: Giả sử lấy   0,38 ,  A 2P P q 3L 2L L P 48   126,32cm [ ]n  1 0,38 Ta tính d = 12,69cm , imin= 3,17cm , tính   l imin  1.300  94,64 3,17 4,64  0,07  0,348 10 Hệ số khác nhiều với giả sử ban đầu nên ta phải chọn lại b) Chọn lần thứ hai: Từ bảng quan hệ   ta nội suy   0,38   48 0,38  0,348 131,87m suy d=12,96cm, imin= 3, 24cm  0,364  A  0,364.1 1.300  92,59 nội suy từ bảng tra ta tìm 3,24 2.59  0,07   0,38   0,362 gần 0,364 10 Kiểm tra lại điều kiện ổn định: Độ mảnh:   Chương 11:Ổn định Tháng 06-2015 Lê đức Thanh Bài giảng Sức bền Vật Liệu P  [ ]n A 48 1,006 kN / cm #    1kN / cm 0,362.131,87 là: Vậy ta chọn đường kính d=13cm Thí dụ Cho ABC có tiết diện hình chữ I.18 có Wx=143cm3, Ix= 1290cm4 chống BK tiết diện hình vành khăn có D=6cm, d=5cm chịu lực hình vẽ Kiểm tra điều kiện ổn định cột chống BK điều kiện bền dầm ABC Cho: L=1m, cột chống vật liệu thép số có [ ]  16 kN / cm , q = 6kN/m, Giải M / A   N KB 2qL  5L  6qL  3L  2qL  L  q N KB  6qL  36kN C A Kiểm tra điều kiện ổn định 1.300  153,64 Tính :   1 ( ) 3.64  0,03   0,32   0,31 10 B NBK 3L D 5L d K L N od     A     0,31  (62  52 )  16  42,83kN N BK  N od BK Kiểm tra điều kiện bền  max  M xMax Wx   , theo toán cho ta có M Max x qL2  2qL   15kNm 2 1500  10,5kN / cm    148 Thí dụ7 Cho dầm BCD tuyệt đối cứng, chống CK vật liệu gỗ tiết diện chữ nhật chịu lực hình vẽ Chọn [q] từ điều kiện ổn định, [ ]n  kN / cm Giải  max  M / D   N CK  3L   4qL  L  qL  L  qL  L  N CK  4,92qL 3,162 .LBC 1 316,2   109,53    0,253 Tính:   i 10 12 Nod     A     0,253 10 12 1  30,34kN Điều kiện ổn định N CK  N od CK  4,92qL  30,34kN  q  6,17kN / m Chọn q  6kN / m Chương 11:Ổn định Thanh 10 Tháng 06-2015 Lê đức Bài giảng Sức bền Vật Liệu Thí dụ Cho AB tuyệt đối cứng, chống BC, BK thép có mặt cắt ngang trịn d1,và d2, chịu lực hình vẽ Xác định [q] từ P=qL P=qL điều kiện ổn định chống q Cho [ ] =16kN/cm2, L =1m d1 = 4cm, d2 = 5cm D Giải B C a) Xác định lực cho phép ổn định .LBC 1 173,25 3L 1    138,6    0,366 h =12cm imin K b=10cm 52 Pôđ BC  0,366. 16  114,9kN L 2L L=1m 2  .LBK imin 1 150   150    0,32 4 A B d2 42 16  64,3kN b) Xác định nội lực tải trọng gây (Đây tốn siêu tĩnh) Pơđ BK  0,32.  M / A   4N BK  3N BC  d1 600 C 4L L q A N2 L B LBK H B1 N BC  2,54qL Điều kiện ổn định: N BK  Pod BK  2,17qL  63,4kN  q  29,22kN / m N BC  Pod BC  2,54qL  114,9kN  q  45,96kN / m Kết luận : Chọn q  29kN / m Chương 11:Ổn định Thanh 11 B1 N1 4L LBC qL B H N BC LBC N BK LBK  EABC EABK N BC 1,732 L N BK 1,5L  d 22 d12 E E 4 N BC 1,5 d2   ( )  1,172 N BK 1,732 d1 Giải hệ phương trình ta N BK  2,17qL , 1.5L K 35 qL Điều kiện biến dạng LBC  LBK cos 300 qL q Tháng 06-2015 Lê đức Bài giảng Sức bền Vật Liệu Chương 11:Ổn định Thanh 12 Tháng 06-2015 Lê đức ... đến trạng thái phá hoại vật liệu Vì vậy, ta coi: Chương 11: Ổn định Tháng 06-2015 Lê đức Thanh Bài giảng Sức bền Vật Liệu  th     b vật liệu dòn  th     ch vật liệu dẻo lực tới hạn :... điều kiện ổn định trở thành: Chương 11: Ổn định Tháng 06-2015 Lê đức Thanh Bài giảng Sức bền Vật Liệu   P P  [ ]n ;   [ ]n , hay: A A Hay viết: P  Pôđ  [ ]n A Điều kiện ổn định thoả,... (11. 4) Các số A,B xác định từ điều kiện biên: y(0) = y(L) = Với: y(0) =  y =A.0+ B.1 =  B = Chương 11: Ổn định Pth b) H 11. 3 Tháng 06-2015 Lê đức Thanh M Pth Bài giảng Sức bền Vật Liệu y(L) =  A