Khóa luận tốt nghiệp phương pháp toán tử cho bài toán exciton hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ o0o  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giáo viên hướng dẫn: ThS HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM Sinh viên thực hiện: TRƯƠNG MẠNH TUẤN Tp HỐ HỒ CHÍ MINH 05/2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 Lời cảm ơn Trong q trình thực hồn thành khóa luận này, ngồi nỗ lực thân, tơi nhận ñược quan tâm giúp ñỡ ñộng viên quý thầy cô khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Tơi xin đựơc bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới ThS Hồng Đỗ Ngọc Trầm giáo viên hướng dẫn luận văn – tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho tơi kiến thức bổ ích, kinh nghiệm q báu để tơi thực khóa luận này, đồng thời truyền cho tơi lịng nhiệt tình nghiên cứu khoa học Tơi xin cảm ơn anh Lê Q Giang, chị Nguyễn Thị Mận thành viên ñề tài Nghiên cứu khoa học ñã hướng dẫn, giúp đỡ tơi việc lập trình với ngơn ngữ lập trình FORTRAN 77 Xin cảm ơn gia đình, người thân hỗ trợ tinh thần tơi hồn thành khóa luận Một lần tơi xin chân thành cảm ơn Trương Mạnh Tuấn SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 Luận văn tốt nghiệp MỞ ĐẦU Ngày với phát triển vũ bão khoa học kỹ thuật, hệ lượng tử ñược xét ñến ngày ña dạng, ñó có nhiều tốn chưa tìm lời giải, từ phát sinh nhu cầu xây dựng phát triển phương pháp giải toán học lượng tử - cụ thể giải phương trình Schrưdinger Một phương pháp mạnh phổ biến kể ñến phương pháp lý thuyết nhiễu loạn Ý tưởng lý thuyết nhiễu loạn tách Hamiltonian tốn thành hai thành phần: phần xác định nghiệm xác, phần cịn lại “nhiễu loạn” đóng góp vào kết thơng qua bổ chính; điều kiện áp dụng thành phần “nhiễu loạn” phải nhỏ so với thành phần Đây hạn chế lớn phương pháp này, thực tế số trường hợp thành phần tách khơng đủ nhỏ để coi “nhiễu loạn” Như vậy, việc xây dựng phương pháp để giải tốn phi nhiễu loạn cần thiết Phương pháp toán tử (Operator Method, viết tắt OM) ñược xây dựng từ thập niên 80 kỉ trước Đây phương pháp mạnh cho dải rộng toán phi nhiễu loạn nêu [7] Ý tưởng OM [7] nằm bốn bước sau: (1) - Biểu diễn toán tử Hamiltonian qua toán tử sinh hủy: H ( x, p) → H (aˆ , aˆ + , ω ) ; (2) - Tách Hamiltonian thành phần trung hịa khơng trung hịa: H (aˆ , aˆ + , ω ) = H (aˆ + aˆ , ω ) + V (aˆ , aˆ + , ω ) ; (3) Chọn tham số ω cho H (aˆ + aˆ , ω ) thành phần Hamiltonian từ ta có nghiệm riêng H (aˆ + aˆ , ω ) lượng gần bậc khơng; (4)- Xem V (aˆ , aˆ + , ω ) thành phần nhiễu loạn tính bổ bậc cao theo sơ đồ thích hợp Qua nghiên cứu ứng dụng loạt toán cụ thể lý thuyết trường, chất rắn, vật lý nguyên tử… OM ñã chứng tỏ tính ưu việt hiệu [7] Một số ưu điểm kể như: (1) - Đơn giản hóa việc tính tốn yếu tố ma trận phức tạp, ñưa phép biến đổi đại số Vì sử dụng chương trình SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010 tính tốn biểu tượng Matlab, Mathematica để tự động hóa q trình tính tốn; (2) - Cho phép xét hệ lượng tử với trường ngồi có cường độ Từ tìm giá trị lượng hàm sóng hệ tồn miền thay đổi tham số trường ngồi Một khó khăn chung áp dụng OM ña phần tốn có tốn tử Hamilton chứa biến động lực mẫu số trong dấu nên đơn chuyển sang biểu diễn tốn tử sinh hủy gây khó khăn tính tốn Để giải vấn đề này, cơng trình trước [2], [7] tác giả ñã sử dụng mối liên hệ toán nguyên tử hydro tốn dao động tử điều hịa thơng qua phép biến ñổi Levi-Civita giúp ñưa phương trình dạng tốn dao động tử phi hịa quen thuộc – cách giải “đẹp mắt” hình thức ñã phát huy tác dụng ñối với số tốn [7] Tuy nhiên, tốn phức tạp hơn, việc xác ñịnh lượng cách gián tiếp gây số khó khăn tính tốn, lập trình để tìm nghiệm Do đó, đề tài tơi sử dụng phương pháp tốn tử tìm lượng E cách trực tiếp cách sử dụng phép biến ñổi Laplace ñể ñưa phần tọa ñộ khỏi mẫu số dấu Đây ñược coi bước phát triển OM Với ý nghĩa ñóng góp vào phát triển OM, luận văn áp dụng OM cho tốn đơn giản, dễ dàng tìm nghiệm xác phương pháp giải tích để tiện đối chiếu, so sánh rút kết luận: tốn exciton hai chiều, từ có sở để áp dụng cho tốn phức tạp sau Tuy tốn ñơn giản toán ñược quan tâm ý nghĩa thực tiễn [3], [8] Một khâu quan trọng sử dụng OM chọn giá trị tham số tự ω , việc chọn ω phù hợp tối ưu hóa tốc độ tính tốn khảo sát hội tụ phương pháp theo tham số ω nhiệm vụ quan trọng Với mục tiêu tìm hiểu sâu số vấn ñề học lượng tử bước ñầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tác giả tự đặt cho nhiệm vụ sau: SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 - Tìm hiểu lý thuyết nhiễu loạn, cụ thể nhiễu loạn dừng, tính lại sơ đồ xác định bổ lượng, hàm sóng, áp dụng cho toán phổ biến học lượng tử tốn dao động tử phi điều hịa - Tìm hiểu OM (sơ đồ tính tốn, ưu điểm ) sở ñối chiếu, so sánh với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc giải tốn dao động tử phi điều hịa - Hồn thiện kĩ tính tốn: tính tốn tốn tử sinh hủy, biến đổi giải tích - Bước đầu làm quen với ngơn ngữ lập trình (FORTRAN 77, 90) - Đưa lời giải cho toán exciton hai chiều phương pháp toán tử, so sánh với kết thu lời giải giải tích - Khảo sát tính hội tụ phương pháp tốn tử theo tham số ω Phương pháp nghiên cứu: - Tính tốn đại số để tìm biểu thức giải tích - Sử dụng ngơn ngữ lập trình FORTRAN 77 để tìm nghiệm số - Đối chiếu, so sánh kết số thu lời giải giải tích lời giải theo OM Bố cục luận văn ñược tác giả chia làm chương: Chương 1: Giới thiệu phương pháp tốn tử qua tốn dao động tử phi điều hịa Tác giả giới thiệu OM thơng qua ví dụ tốn dao động tử phi điều hịa, đồng thời ñối chiếu với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn truyền thống để thấy tính hiệu phương pháp Trước hết tác giả viết lại sơ ñồ lý thuyết nhiễu loạn Rayleigh-Schrưdinger áp dụng cho tốn nêu Sau tác giả đưa bước OM áp dụng cho toán Kết số cho thấy phương pháp nhiễu loạn áp dụng ñược cho trường hợp tham số phi điều hịa λ ≪ 0.1 phương pháp toán tử cho kết hội tụ nhanh nhiều lần ñúng cho giá trị tham số λ Chúng ta sử dụng phương pháp ñể giải vấn ñề nêu luận văn SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 Chương 2: Exciton – Bài toán exciton hai chiều Chương tác giả giới thiệu kiến thức exciton, thiết lập phương trình Schrưdinger cho tốn đưa lời giải giải tích Đây kiến thức nền, làm sở cho phần Chương 3: Phương Pháp Toán Tử Bài toán exciton hai chiều Tác giả tiến hành áp dụng OM để giải tốn exciton hai chiều Dùng chương trình FORTRAN 77 để giải phương trình truy tốn, tìm số mức lượng exciton hai chiều, ñồng thời khảo sát hội tụ tương ứng với mức lượng theo giá trị ω Phần kết luận: Việc áp dụng phép biến đổi Laplace OM giải hiệu toán exciton hai chiều Kết thu từ tốn exciton hai chiều ngồi trường hợp mức lượng bản, trường hợp mức lượng kích thích hồn tồn phù hợp với kết thu từ phương pháp giải tích Với việc khảo sát tham số ω tốn, ta xác ñịnh ñược giá trị ω ñặc biệt trường hợp mức lượng kích thích Hướng phát triển tiếp ñề tài là: tiếp tục khảo sát ω ñể tìm quy luật tối ưu hóa tốc độ tính tốn, sử dụng sơ đồ khác để tính tốn nghiệm xác, chọn sơ đồ tính tốn phù hợp Từ ứng dụng OM cho toán exciton âm exciton dương từ trường… SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA Trong chương ta giới thiệu bước OM thơng qua ví dụ tốn dao động tử phi điều hịa Để minh họa ưu điểm phương pháp ta trình bày song song với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn [1], [4] so sánh kết số hai phương pháp 1.1 Sơ đồ Rayleigh- Schrưdinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng Xét phương trình Schrưdinger dừng: Hˆ Ψ ( x) = E Ψ ( x) , (1.1) ta tách toán tử Hamilton toán thành hai thành phần: Hˆ = Hˆ + β Vˆ ; (1.2) thành phần Hˆ tốn tử Hamilton có nghiệm riêng xác: Hˆ 0ψ n = ε nψ n , (1.3) thành phần Vˆ lại ñược gọi nhiễu loạn, ñiều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ , Vˆ q≥0 ( p , q∈ Z ) k k ( 2k + m + 1) − Z 2 ω∑ i=0 ( −t ) q +∞ k 2i (k )!( k + m ) ! (k − i )!( k + m − i ) ! (1 + 2τ )( k + m +1) (k )!( k + m ) ! ∫ dt (1 + t 2i +∞ 2d ) ( i !) (2 = −Z =− ω k ( k + m )δ k + s , k −1 + 2ω π ( +∞ ∫ dτ τ ∞ ∑ i =0 (i ≠ j ) ) (k − i )!( k + m − i )! I 22ki + m +1 π ( −1) (2 p − 2q − 3)!!( 2q − 1)!! p −1 ( p − 1)! ( ω 2τ q p (k )!( k + m )! ω ˆ 2ω H km ,( k + s , m ) = H ( k + s , m ), km = m , k + s Vˆ k , m = m, k + s − M + Mˆ + − Z π =− ( 2i (k )!( k + m )! +∞ ω k ( −2τ ) dt ∑ π i = ( i !)2 (k − i )!( k + m − i )! ∫0 (1 + 2τ )( k + m +1) ( 2k + m + 1) − 2Z ω = dτ τ dτ 2τ Đặt t = 2τ → dt = H k ,k = +∞ dτ ˆ S1 k , m ( −2τ ) ∑ ∫ π i = ( i !) (k − i )!( k + m − i ) ! (1 + 2τ )( k + m +1) 2ω ( 2k + m + 1) − Z ∫ ( −2τ ) ∑ ∫ π τ i =0 ( i !)2 2ω ( 2k + m + 1) − Z +∞ ( k + 1) ( k +  −2τ  ∑   j = i ! j !  + 2τ  k k ( k + m )δ s , −1 + i+ j ( k + 1) ( k + m + 1)δ k + s , k +1 ) +∞ ) ( k )!( k + m ) !( k + s ) !( k + m + s ) ! ( k + s − i )!( k + m + s − i ) ! m + 1)δ s ,1 ∫ dτ ˆ S2 k , m τ (1 + 2τ )( k + s + m +1) δ k + s ,k +i − j ) ( k )!( k + m )!( k + s ) !( k + m + s ) ! +∞ −t ) ( ω k+s − 2Z ∑ ∫0 k + s + m +1) π i = s i !(i − s )! ( k + s − i )!( k + m + s − i ) ! (1 + t )( 2i − s =− ω ( k ( k + m )δ s , −1 + k+s − Z ω∑ i=s ( k + 1) ( k + m + 1)δ s ,1 ) ( k )!( k + m ) !( k + s ) !( k + m + s ) ! i − s I k + m + s +1 i !( i − s ) ! ( k + s − i )!( k + m + s − i ) ! H ( k , m ), ( k − s , m ) = H ( k − s , m ) ,( k , m ) = H ( k1 , m ), ( k1 + s , m ) ( k1 = k − s ) SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 69 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 Luận văn tốt nghiệp H k ,k +1 = − ω k +1 ( k + 1) ( k + m + 1) − Z ω ∑ i =1 i !( i − 1) ! k +s H k ,k + s = −Z ω ∑ ( s >1) i=s (k )!( k + m ) !( k + 1) !( k + m + 1) ! (k + − i )!( k + m + − i ) ! I 22ki −+1m + (k )!( k + m )!( k + s )!( k + m + s )! 2i − s I k + m + s +1 i !( i − s )! (k + s − i )!( k + m + s − i )! * Xác ñịnh f (ω ) : Ta có: ε k( 0) = H kk = = ω ( 2k + m + 1) − Z k ω∑ ∂ε n( 0) Z 0= = ( 2k + m + 1) − ∂ω 2 ω i =0 k ∑ (k )!( k + m )! ( i !) (k − i )!( k + m − i )! (k )!( k + m )! i = ( i !) ( k − i )!( k + m − i )! I 22ki + m +1 I 22ki + m +1 k   Z ( k )! ( m + k )! i ω= I ∑ 2 k + m +1   (2k + m + 1) i = ( i !) (k − i )! ( m + k − i )!  SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 70 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 Luận văn tốt nghiệp Hàm Gamma Phụ lục 11: Hàm Gamma định nghĩa đẳng thức tích phân sau ñây: ∞ Γ (α ) = ∫ e − x xα −1dt (α > ) Tính tích phân phần, ta có: Γ (α + 1) = ∫ e − x xα dx − ∫ xα d ( e − x ) = − xα e − x ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 0 +α ∫ e − x xα −1 dx = α ∫ e − x xα −1 dx hay Γ (α + 1) = αΓ (α ) Khi α = α = , hàm Γ (α ) có giá trị: 1 Γ (1) = 1, Γ   = π 2 Từ ta xác ñịnh ñược giá trị hàm Γ (α ) ñối với α nguyên bán nguyên sau: Γ ( n ) = ( n − 1)!  ( 2n − 1)!!  Γn +  = π 2 2n  n=1,2,3 Đối với giá trị khác α , hàm Γ (α ) tìm bảng riêng Tích phân có dạng I qp ( pp,>qq∈≥Z0) SVTH: Trương Mạnh Tuấn = π +∞ ( −t ) ∫ dt (1 + t q )p = ( −1) q 1  1  Γ p − q − Γq +  2  2  π Γ( p) Trang 71 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 Luận văn tốt nghiệp với 1 1 π (2 p − 2q − 3)!!   Γ p − q −  = Γ p − q −1+  = , 2 2 p − q −1   π ( 2q − 1) !! 1  Γ q +  = , 2 2q  Γ ( p ) = ( p − 1)! tích phân có dạng: I qp = π p > q ≥0 ( p ,q∈Z ) +∞ ( −t ) q ∫ dt (1 + t )p SVTH: Trương Mạnh Tuấn π ( −1) (2 p − 2q − 3)!!( 2q − 1) !! q = p −1 ( p − 1)! , với p, q = 1, 2, Trang 72 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 Phụ lục 12: Lập trình fortran cho mức lượng exciton hai chiều c Calculate Exciton2D excited energy PROGRAM MAIN integer i,m,k double precision w,Hmatrix * From the mininum of energy -> omega=Pi w=0.0021 m=6 k=0 CALL MAINSUB(w,k,m) END * MAIN subroutine calculate approximated energy SUBROUTINE MAINSUB(w,k,m) INTEGER Z,i,j,s,L,m,k DOUBLE PRECISION w,Hmatrix,E,C,H,tuso,mauso,temp,msum PARAMETER (smax=100,kmax=101) * Chu y thay kmax=smax+k DIMENSION E(0:smax),C(0:kmax,0:smax),H(0:kmax,0:kmax) Z=1 * Initialize matrix Hmatrix DO i=0,smax+k write(*,*) i DO j=0,i H(i,j)= Hmatrix(w,Z,m,i,j) H(j,i)=H(i,j) ENDDO ENDDO WRITE(*,*) 'Hmatrix done!' * Initialize C coefficient matrix DO i=0,smax DO j=0,smax+k C(j,i)=0.0 ENDDO C(k,i)=1.0 ENDDO WRITE(*,*) 'C matrix done!' SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 73 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 Luận văn tốt nghiệp * Initialize E(s) DO i=0,smax E(i)=0.0 ENDDO E(0)=H(k,k) * Calculate E(s): Energy in s th approximation OPEN(10,FILE='Energy.dat',STATUS='Unknown') WRITE(10,*) 's=0','E=',E(0) DO s=1,smax * Calculate C(L,s) DO L=0,s+k IF (L.NE.k) THEN tuso=H(L,k) mauso=E(s-1)-H(L,L) DO i=0,k+s IF (i.NE.k.AND.i.NE.L) THEN tuso=tuso+C(i,s-1)*H(L,i) ENDIF ENDDO IF (mauso.EQ.(0.0)) STOP 'Error, division by zero' C(L,s)=tuso/mauso ENDIF ENDDO * Calculate E(s) from C(L,s) msum=0.0 DO L=0,k+s IF (L.NE.k) msum=msum+C(L,s)*H(L,k) ENDDO E(s)=H(0,0)+msum WRITE(10,*) 's=',s,'E=',E(s) ENDDO RETURN END * function calculate Hmatrix C Calculate elements of H matrix H(omega,Z,m,row,col) FUNCTION Hmatrix(w,Z,m,row,col) INTEGER Z,row,col,r,c,s,k,p,q,I,m1 DOUBLE PRECISION Hmatrix,w,H,msum,coeff1,coeff2 PARAMETER (pi=3.14159265358979323846) SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 74 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 IF (row