bài giảng kĩ thuật số chương 2

Chương 2: ĐẠI SỐ BOOLE – CỔNG LOGIC Trạng thái logic tín hiệu số (Digital Signal): Giản đồ xung (Waveform) tín hiệu số: I Cấu trúc đại số Boole: Là cấu trúc đại số định nghóa tập phần tử nhị phân B = {0, 1} phép toán nhị phân: AND (.), OR (+), NOT (’ ) x y 0 1 1 x y (x AND y) 0 x x y 0 1 1 x x’ (NOT x) x + y (x OR y) 1 * Thứ tự phép toán: theo thứ tự dấu ngoặc ( ), NOT, AND, OR Các tiên đề (Axioms): a Tính kín (Closure Property): kq phép toán thuộc tập nhị phân B b Phần tử đồng (Identity Element): x.1 = 1.x = x x+0 = 0+x = x c Tính giao hoán (Commutative Property): x.y = y.x x+y = y+x d Tính phân bố (Distributive Property): x.(y+z) =x.y + x.z x+(y.z) = (x+y) (x+z) e Phần tử bù (Complement Element): x+x =1 x.x =0 Các định lý (Basic Theorems): a Định lý 1: x = x b Định lý 2: x+x = x x.x = x c Định lý 3: x+1 = x.0 = d Định lý 4: định lý hấp thu (Absorption) x+ x.y = x x (x + y) = x e Định lý 5: định lý kết hợp (Associative) x + (y + z) = (x + y) + z x (y z) = (x y) z f Định lý 6: định lý De Morgan x+y = x.y Mở rộng: x.y = x+y x1 + x2 + + xn = x1 x2 xn x1 x2 xn = x1 + x2 + + xn II Haøm Boole (Boolean Function): Định nghóa: * Hàm Boole biểu thức tạo biến nhị phân phép toán nhị phân NOT, AND, OR F (x, y, z) = x y + x y z * Với giá trị cho trước biến, hàm Boole có giá trị * Bảng giá trị: x y z F 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 Bù hàm: - Sử dụng định lý De Morgan: F = x.y + x.y.z F = x.y + x.y.z = (x.y) (x.y.z) F = (x+y).(x+y+z) - Lấy biểu thức đối ngẫu lấy bù biến: * Tính đối ngẫu (Duality): Hai biểu thức gọi đối ngẫu ta thay phép toán AND OR, phép toán OR AND, thaønh vaø thaønh F = x.y + x.y.z Lấy đối ngẫu: ( x + y ) ( x + y + z ) Bù biến: F = (x+y).(x+y+z) III Dạng tắc dạng chuẩn hàm Boole: Các tích chuẩn (minterm) tổng chuẩn (Maxterm): - Tích chuẩn (minterm): mi (0 ≤ i ≤ 2n-1) số hạng tích (AND) n biến mà hàm Boole phụ thuộc với quy ước biến có bù không bù - Tổng chuẩn (Maxterm): Mi (0 ≤ i ≤ 2n-1) số hạng tổng (OR) n biến mà hàm Boole phụ thuộc với quy ước biến có bù không bù x y z 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 minterm m0 = m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = x x x x x x x y y y y y y y z z z z z z z m7 = x y z Maxterm M0 = M1 = M2 = M3 = M4 = M5 = M6 = x x x x x x x + + + + + + + y y y y y y y + + + + + + + z z z z z z z M7 = x + y + z mi = Mi Dạng tắc (Canonical Form): a Dạng tắc 1: dạng tổng tích chuẩn (minterm) làm cho hàm Boole có giá trò x y z F 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 F(x, y, z) = x y z + x y z + x y z + x y z + x y z = m1 + m2 + m5 + m6 + m7 = m(1, 2, 5, 6, 7) = (1, 2, 5, 6, 7) F(x, y, z) = (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) = M0 M3 M4 = M(0, 3, 4) = (0, 3, 4) b Dạng tắc 2: dạng tích tổng chuẩn (Maxterm) làm cho hàm Boole có giá trị * Trường hợp hàm Boole tùy định (don’t care): Hàm Boole n biến không định nghóa hết tất 2n tổ hợp n biến phụ thuộc Khi tổ hợp không sử dụng này, hàm Boole nhận giá trị tùy định (don’t care), nghóa hàm Boole nhận giá tri x y z F 0 0 1 1 X 1 0 1 X 0 1 0 1 1 1 F (x, y, z) = = (1, 2, 5, 6) + d (0, 7) (3, 4) D (0, 7) Dạng chuẩn (Standard Form): a Dạng chuẩn 1: dạng tổng tích (S.O.P – Sum of Product) F (x, y, z) = x y + z * F (x, y, z) = x y + z = x y (z + z) + (x + x) (y + y) z = xyz+xyz+ xyz+xyz+xyz+xyz = m6 + m7 + m1 + m5 + m3 = (1, 3, 5, 6, 7) * F (x, y, z) = = = = = = xy + z (x + z) (y + z) (x + y y + z) (x x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) M2 M0 M4 (0, 2, 4) 10 t n m sau F AB CD 00 00 01 11 1 01 11 1 10 1 F ( A, B, C, D) A B C D 10 AB BC t n m sau F(A, B, C, D) F AB (0,1,4,5,6,7,14,15) 00 01 CD 00 1 01 1 11 11 1 10 1 F(A, B, C, D) AC 10 BC * Trường hợp rút gọn hàm Boole có tùy định: ta coi Ô tùy định Ô_1 Ô_0 cho có lợi liên kết (nghóa có liên kết nhiều Ô kề cận nhất) F(A, B, C, D) = = (0, 4, 8, 10) + d (2, 12, 15) BD +CD F AB CD 00 01 11 10 00 1 X CD 01 11 10 X X BD 33 F(A, B, C, D) = (0, 2, 3, 4, 6, 10, 14) D (8, 9, 11, 12, 13) = D (B + C) F AB CD 00 01 11 10 00 0 X X 01 X 11 10 X X 0 D (B + C) 34 * Chú ý: - Ưu tiên liên kết cho ô có kiểu liên kết (phải liên kết có nhiều ô nhất) - Khi liên kết phải đảm bảo có chứa ô chưa liên kết lần - Có thể có nhiều cách liên kết có kết tương đương - Ta coi tùy định ô liên kết Vd: Rút gọn hàm F1(A, B, C, D) = (1, 3, 5, 12, 13, 14, 15) + d (7, 8, 9) F2(A, B, C, D) = F1(A, B, C, D, E) = F2(A, B, C, D, E) = (1, 3, 7, 11, 15) D(0, 2, 5) (1, 3, 5, 7, 12, 14, 29, 31) + d (13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23) (0, 8, 12, 13, 16, 18, 28, 30) 35 D(2, 6, 10, 14, 15, 24, 26) VI Thực hàm Boole cổng logic: Cấu trúc cổng AND _ OR: Cấu trúc AND_OR sơ đồ logic thực cho hàm Boole biểu diễn theo dạng tổng tích (S.O.P) F(A, B, C, D) = A B D + C D A B F(A, B, C, D) C D AND 0R 36 Cấu trúc cổng OR _ AND : Cấu trúc OR_AND sơ đồ logic thực cho hàm Boole biểu diễn theo dạng tích tổng (P.O.S) F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D) A B F(A, B, C, D) C D OR AND 37 Cấu trúc cổng AND _ OR _ INVERTER (AOI): Cấu trúc AOI sơ đồ logic thực cho hàm Boole biểu diễn theo dạng bù (INVERTER = NOT) tổng tích F(A, B, C, D) = A D + B C A F(A, B, C, D) B C D AND NOR 38 Cấu trúc cổng OR _ AND _ INVERTER (OAI): Cấu trúc OAI sơ đồ logic thực cho hàm Boole biểu diễn theo dạng bù tích tổng F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C) A F(A, B, C, D) B C D OR NAND 39 Cấu trúc toàn cổng NAND: Cấu trúc NAND sơ đồ logic thực cho hàm Boole có biểu thức dạng bù số hạng tích - Dùng định lý De-Morgan để biến đổi số hạng tổng thành tích - Cổng NOT thay coång NAND F(A, B, C, D) = A B D + C D = ABD CD A B F(A, B, C, D) C D NAND NAND 40 F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D) = AD BCD A B F(A, B, C, D) C D 41 - Trong thực tế người ta sử dụng loại cổng NAND ngõ vào; ta phải biến đổi biểu thức cho có dạng bù số hạng tích có bieán F (A, B, C, D) = A B D C D = ABD CD A B F(A, B, C, D) C D 42 Cấu trúc toàn cổng NOR: Cấu trúc NOR sơ đồ logic thực cho hàm Boole có biểu thức dạng bù số hạng tổng - Dùng định lý De-Morgan để biến đổi số hạng tích thành tổng - Cổng NOT thay cổng NOR F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D) = (A + D) + (B + C+ D) A B F(A, B, C, D) C D NOR NOR 43 F(A, B, C, D) = A B D + C D = (A + B + D) + (C + D) A B F(A, B, C, D) C D 44 F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C) (C + D) = (A + D) + (B + C) + (C + D) = (A + D) + (B + C) + (C + D) A B F(A, B, C, D) C D 45 ... * Bìa biến: * Bìa bieán: F 00 12 01 13 11 15 11 10 14 10 A BC 00 01 11 10 10 11 01 00 DE 00 12 24 28 20 16 01 13 25 29 21 17 11 15 11 27 31 23 19 10 14 10 26 30 22 18 19 b Rút gọn bìa Karnaugh:... 12, 13, 14, 15) + d (7, 8, 9) F2(A, B, C, D) = F1(A, B, C, D, E) = F2(A, B, C, D, E) = (1, 3, 7, 11, 15) D(0, 2, 5) (1, 3, 5, 7, 12, 14, 29 , 31) + d (13, 15, 17, 19, 20 , 21 , 22 , 23 ) (0, 8, 12, ... 10 00 00 0 01 1 1 01 0 11 1 1 11 0 10 0 10 D B - Liên kết 2k: ta liên kết 2k Ô_1 2k Ô_0 kề cận với ta loại k biến (k biến khác 2k ô) 22 Các ví dụ kế cận F CD AB 00 00 01 11 1 10 F CD AB 00 01