SKKN Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suất để tìm xác suất SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TỐN XÁC SUẤT TỪ ĐĨ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ TÌM XÁC SUẤT Người thực hiện: Lê Văn Thượng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT hiệu Hóa SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HÓA NĂM 2019 SangKienKinhNghiem.net Mục lục Phần I Mở đầu trang Lí chọn đề tài trang Mục đích nghiên cứu trang Đối tượng nghiên cứu trang Phương pháp nghiên cứu trang Phần II Nội dung .trang Cơ sở lí luận .trang Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến trang Giải pháp thực hiện: Hướng dẫn học sinh phân tích tốn xác suất từ vận dụng hai quy tắc đếm quy tắc tính xác st để tìm xác suất trang Tính xác suất định nghĩa trang Áp dụng quy tắc tính xác suất để tính xác suất trang Bài tập tổng hợp .trang 13 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường .trang 22 Phần III Kết luận kiến nghị trang 24 Bài tập kiến nghị trang 26 Tài liệu tham khảo trang 29 SangKienKinhNghiem.net Phần I : MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình sách giáo khoa đại số giải tích 11 chương II đề cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất Để giải toán Tổ hợp - xác suất học sinh phải nắm vững hai quy tắc đếm bản, quy tắc tính xác suất đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải tốn vào tình cụ thể Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 ôn tập cho hoc sinh thi THPT quốc gia nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo khái niệm xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…Đặc biệt tốn tính xác suất theo định nghĩa em chưa nắm rõ biến cố tập hợp kết thuận lợi cho biến cố, chưa biết cách phân chia tập hợp kết thuận lợi biến cố thành nhiều nhóm kết thuận lợi cho việc đếm kết thuận lợi dễ dàng hơn, chưa biết cách phân tích biến cố thành hợp biến cố xung khắc giao biến cố độc lập từ vận dụng linh hoạt quy tắc để tính xác suất Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Do đặc thù chuyên ngành nên tốn xác suất có nhiều điểm khác biệt so với tốn đại số, giải tích, hình học Chính vậy, đứng trước tốn xác suất học sinh thường lúng túng, cách giải nào, chí có nhiều em làm xong băn khoăn không dám làm hay chưa Để giúp học sinh nắm rõ tốn xác suất tơi chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh phân tích tốn xác suất từ vận dụng hai quy tắc đếm quy tắc tính xác suất để tìm xác suất 1.2 Mục đích Với mong muốn giúp em học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức xác suất đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải tốn xác suất nhiều tình khác giúp em học sinh lơp 12 ôn tập tốt phần xác suất SangKienKinhNghiem.net 1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: Học sinh khối 11 học sinh ơn thi cuối khóa trường THPT Thiệu Hóa - Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm quy tắc xác suất, toán xác suất - Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức xác suất chương trình SGK nâng cao mơn tốn lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu a) Kết hợp linh hoạt phương pháp dạy học b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ giải toán học sinh c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm khó khăn, thuận lợi giải toán xác suất trước sau học phương pháp phân tích 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Tập trung phân tích tập tổng hợp nâng cao phổ biến kì thi học sinh giỏi tỉnh, kì thi THPT quốc gia SangKienKinhNghiem.net PHẦN II: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 1) Hai quy tắc đếm ( quy tắc cộng quy tắc nhân) 2) Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà: - Khơng đốn trước kết - Có thể xác định tập hợp kết xảy phép thử Khơng gian mẫu tập hợp kết xảy phép thử Khơng gian mẫu phép thử kí hiệu 3) Biến cố Biến cố kiện liên quan đến phép thử mà việc xảy hay không xảy biến cố phụ thuộc vào kết phép thử Biến cố thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C,… cho dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt lời dạng mệnh đề xác định tập Tập A mô tả cho biến cố A tập kết thuận lợi cho biến cố A Trong phép thử ln có hai biến cố đặc biệt: - Tập mô tả cho biến cố ( gọi tắt biến cố không) - Tập mơ tả cho biến cố chắn Phép tốn biến cố Trước hết ta giả thiết biến cố xét liên quan đến phép thử T kết phép thử đồng khả - Cho hai biến cố A B Biến cố “ A B xảy ra” kí hiệu A B , gọi hợp hai biến cố A B mô tả tập A B - Cho hai biến cố A B Biến cố “ A B xảy ra” kí hiệu AB , gọi giao hai biến cố A B mô tả tập A B - Biến cố A không xảy gọi biến cố đối biến cố 𝐴, kí hiệu A Và A xảy 𝐴 không xảy - Nếu A B ta nói 𝐴 𝐵 xung khắc - Hai biến cố 𝐴 𝐵 gọi độc lập với việc xảy hay SangKienKinhNghiem.net không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố 4) Định nghĩa cổ điển xác suất Giả sử 𝐴 biến cố liên quan đến phép thử T có số hữu hạn kết đồng khả năng, kí hiệu n( X ) số phần tử tập X Ta gọi tỉ số suất biến cố 𝐴, kí hiệu P(A) Vậy P( A) n( A) xác n () n( A) n () 5) Tính chất xác suất: a) Tính chất bản: P( ) = P( ) = P (A) với biến cố A P ( A ) = 1- P(A) b) Quy tắc cộng xác suất Nếu A B xung khắc thì: P( A B) P( A) P( B) Với biến cố 𝐴 𝐵 ta có: P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ) c) Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A B độc lập ta có: P ( AB ) P ( A).P ( B ) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 ôn tập cho hoc sinh thi THPT quốc gia nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo khái niệm xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…Đặc biệt tốn tính xác suất theo định nghĩa em chưa nắm rõ biến cố tập hợp kết thuận lợi cho biến cố, chưa biết cách phân chia tập hợp kết thuận lợi biến cố thành nhiều nhóm kết thuận lợi cho việc đếm kết thuận lợi dễ dàng hơn, chưa biết cách phân tích biến cố thành hợp biến cố xung khắc giao biến cố độc lập từ vận dụng linh hoạt quy tắc để tính xác suất SangKienKinhNghiem.net Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Do đặc thù chuyên ngành nên tốn xác suất có nhiều điểm khác biệt so với toán đại số, giải tích, hình học Chính vậy, đứng trước tốn xác suất học sinh thường lúng túng, khơng biết cách giải nào, chí có nhiều em làm xong băn khoăn không dám làm hay chưa 2.3 HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TỐN XÁC SUẤT TỪ ĐĨ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY TẮC TÍNH XÁC ST ĐỂ TÌM XÁC SUẤT Tính xác suất định nghĩa cổ điển xác suất Xác suất biến cố A là: P( A) n( A) n () Như chất việc tính xác suất biến cố A việc đếm số phần tử phép thử ngẫu nhiên số kết thuận lợi cho biến cố A Chính em học sinh cần nắm vững hai quy tắc đếm biết cách phân tích biến cố hay kiện hay công việc cần thực thành phương án, phương án lại thực theo cơng đoạn từ tìm bước giải toán Bài toán Gieo ba đồng xu cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố sau: a) Có hai mặt sấp xuất b) Có mặt sấp xuất c) Có nhiều mặt sấp xuất Hướng dẫn học sinh phân tích: Thực chất toán đếm số kết xảy phép thử gieo ba đồng xu cân đối đồng chất đếm số kết thuận lợi cho biến cố Ta kí hiệu S mặt sấp xảy , N mặt ngữa xảy Các khả xảy là: khả năng: NNN ; NNS ; NSN ; SNN ; NSS ; SNS ; SSN ; SSS a) Gọi A biến cố có hai mặt sấp xuất Số kết thuận lợi cho A gồm NSS; SNS; SSN Vậy P( A) b) Gọi B biến cố có mặt sấp xuất Số kết thuận lợi cho B gồm hai sấp NSS; SNS; SSN , sấp SNN; NSN; NNS ba sấp SSS Vậy P( B) Nhậ xét: Ta đếm phần bù B NNN suy P( B) P( B) a) Gọi C biến cố có nhiều mặt sấp xuất Số kết thuận lợi cho C gồm SNN; NSN; NNS NNN Vậy P(C ) Bài toán Gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố sau: SangKienKinhNghiem.net a) Tổng số chấm xuất mặt hai xúc xắc b) Số chấm xuất mặt hai xúc xắc c) Tích số chấm xuất mặt hai xúc xắc số chẵn Hướng dẫn học sinh phân tích: Thực chất toán đếm số kết xảy phép thử gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất đếm số kết thuận lợi cho biến cố Các khả xảy là: 6.6 36 khả : (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 6) (2,1), (2, 2), (2,3), (2, 6) (6,1), (6, 2), (6,3), (6, 6) a) Xét biến cố A: tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc Tập A kết thuận lợi A : A (2, 6), (6, 2), (3,5), (5,3), (4, 4) suy n( A ) Vậy P( A) 36 b) Gọi B biến cố số chấm xuất mặt hai xúc xắc Ta có: A (1,1);(2, 2);(3,3);(4, 4);(5,5);(6, 6) suy n( B ) Vậy P( B) 36 c) Gọi C biến cố tích số chấm xuất mặt hai xúc xắc số chẵn Trong trường hợp ta liệt kê tất kết thuận lợi C 27 kết Vậy P(C ) 27 36 Nhận xét: Tuy nhiên ta đếm tích số chấm xuất mặt hai xúc xắc số lẻ có 3.3 kết là: C (1,1);(1,3);(1,5);(3,1);(3,3);(3,5);(5,1);(5,3);(5,5) Suy P(C ) P (C ) Cách đếm thuận lợi 36 4 Bài tốn Một hộp đựng thẻ có đánh số 1, 2, 3, , đó.Bốc ngẫu nhiên ba thẻ Tìm xác suất để ba thẻ thu có: a) Tổng số ghi ba thẻ số chẵn b) Tích số ghi ba thẻ số chẵn Hướng dẫn học sinh phân tích: Mỗi phần tử không gian mẫu tập ba phần tử tập chín phần tử, nên số phần tử không gian mẫu C93 a) Gọi A biến cố tổng số ghi ba thẻ số chẵn Mỗi kết thuận lợi A hai thẻ lẻ thẻ chẵn ba thẻ chẵn nên số kết thuận lợi A C52 C41 C43 Vậy xác suất biến cố A P( A) C52 C41 C43 11 C93 21 SangKienKinhNghiem.net b) Gọi B biến cố tích số ghi ba thẻ số chẵn Mỗi kết thuận lợi B thẻ chẵn hai thẻ lẻ, hai thẻ chẵn thẻ lẻ ba thẻ chẵn nên số kết thuận lợi A C41 C52 C42 C51 C43 C41 C52 C42 C51 C43 37 Vậy xác suất biến cố A P( B) C93 42 Nhận xét: Tuy nhiên ta đếm phần bù tích số ghi ba thẻ số lẻ có C53 kết C53 5 37 Suy P( B) P( B) Cách đếm thuận lợi C9 42 42 42 Bài tốn 4: Một đội niên tình nguyện gồm người, có An Bình Người ta phân cách ngẫu nhiên thành hai nhóm nhóm người Tính xác suất để An Bình thuộc nhóm Hướng dẫn học sinh phân tích: Không gian mẫu tập hợp tất cách phân chia người thành hai nhóm, nhóm người Mỗi cách phân nhóm lại cho ta hai nhóm Nên số cách phân nhóm C8 Gọi A biến cố " An Bình thuộc nhóm" Số kết thuận lợi A số cách phân nhóm cho An Bình thuộc nhóm Nên số kết thuận lợi n(A ) C62 Vậy P( A) C62 C8 2 Áp dụng quy tắc để tính xác suất Cần nhấn mạnh rằng: Nếu A B xung khắc thì: P( A B) P( A) P( B) Nếu A B độc lập ta có: P ( AB ) P ( A).P ( B ) Với biến cố 𝐴 𝐵 ta có: P( A B) P( A) P( B) P( AB) Bài toán 5: Một hộp đựng 18 viên bi kích thước chất liệu có bi trắng, bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để: a) Bốn bi lấy màu b) Bốn bi lấy có đủ ba màu Phân tích để giúp học sinh đưa nhận xét: Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A chia thành nhiều nhóm kết ta coi biến cố A biến cố hợp biến cố A1 , …, An xung khắc tương ứng Sau sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất biến cố A Trong không gian mẫu gồm C18 phần tử Gọi A biến cố lấy bi màu Gọi A1 biến cố bi lấy màu trắng, n( A1 ) C5 Gọi A2 biến cố bi lấy màu xanh, n( A2 ) C6 SangKienKinhNghiem.net Gọi A3 biến cố bi lấy màu đỏ, n( A3 ) C7 Các biến cố A1 , A2 , A3 biến cố xung khắc đôi A A1 A2 A3 Vậy xác suất để bốn bi lấy màu là: P( A) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) C54 C64 C74 11 C18 C18 C18 612 b) Gọi B biến cố lấy bi có đủ ba màu Gọi B1 biến cố bi lấy có hai bi màu trắng, bi xanh, bi đỏ Ta có C52 C61 C71 C184 Gọi B2 biến cố bi lấy có hai bi màu xanh, bi trắng, bi đỏ Ta có P ( B1 ) C62 C51.C71 P ( B2 ) C184 Gọi B3 biến cố bi lấy có hai bi màu đỏ, bi xanh, bi trắng Ta có C72 C61 C51 P ( B3 ) C184 Các biến cố B1 , B2 , B3 biến cố xung khắc đôi B B1 B2 B3 Vậy xác suất để bốn bi lấy có đủ ba màu là: C52 C61 C71 C62 C51.C71 C72 C51.C61 35 P( B) P( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) C184 C184 C184 68 Bài toán Có hai hộp chứa cầu kích thước Hộp thứ chứa trắng đen Hộp thứ hai chứa trắng đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp cầu Tính xác suất để lấy được: a) Hai cầu trắng b) Hai màu c) Hai cầu khác màu Hướng dẫn học sinh phân tích: Việc lấy bình cầu độc lập với để lấy hai cầu có màu quy định bình phải lấy có màu cho hai lấy phải màu quy định Điều khiến phải vận dụng quy tắc nhân cho giao biến cố độc lập quy tắc cộng cho hợp biến cố xung khắc Cụ thể ta tiến hành sau: Gọi A1 , A2 biến cố lấy cầu trắng từ hộp thứ hộp thứ hai Gọi B1 , B2 biến cố lấy cầu đen từ hộp thứ hộp thứ hai Các biến cố độc lập với 9 9 Ta có: P( A1 ) , P( A2 ) , P( B1 ) , P( B2 ) Gọi A, B, C biến cố lấy hai màu trắng, hai màu hai khác màu Khi ta có: A A1 A2 , B A1 A2 B1 B2 , C A1 B2 A2 B1 10 SangKienKinhNghiem.net 9 a) Xác suất lấy hai cầu trắng là: P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ).P( A2 ) 42 81 b) Xác suất lấy hai cầu màu là: 48 P ( B ) P ( A1 A2 B1 B2 ) P ( A1 A2 ) P ( B1 B2 ) 9 9 81 c) Xác suất lấy hai khác màu là: 11 P (C ) P ( A1 B2 A2 B1 ) P ( A1 B2 ) P ( A2 B1 ) 9 9 27 Bài toán Chọn ngẫu nhiên vé số có năm chữ số từ đến Tìm xác suất để số vé khơng có mặt chữ số khơng có chữ số Hướng dẫn học sinh phân tích: Khi chọn ngẫu nhiên vé số có chữ số từ đến 9, ta có khả xảy n() 105 Gọi A biến cố chọn vé số mà số vé khơng có mặt chữ số khơng có chữ số Khi n( A) 95 95 85 95 95 85 2.(0,9)5 (0,8)5 0,8533 10 Nhận xét: Trong ta gọi A1 biến cố khơng có chữ số A2 biến Vậy P( A) 95 85 (0,9) P ( A A ) (0,8)5 5 10 10 5 Từ P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2 ) 2.(0,9) (0,8) 0,8533 cố khơng có chữ số Thì ta có P( A1 ) P( A2 ) Bài toán Xạ thủ A bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng A lần bắn Xạ thủ B bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn 10 trúng B lần bắn Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn 10 Hướng dẫn học sinh phân tích: 10 Gọi A2 biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai P( A2 ) A1, A2 độc lập 10 A A1 A2 biến cố A bắn trượt hai lần bắn Ta có: P ( A) P ( A1 ).P ( A2 ) ( ) 10 B B1 B2 B3 biến cố B bắn trượt ba lần bắn Ta có: P ( B ) P ( B1 ).P ( B2 ) P ( B3 ) ( )3 10 A, B độc lập A B biến cố mục tiêu không trúng đạn Ta có: 32 P ( A B ) P ( A).P ( B ) 10 Gọi A1 biến cố A bắn trượt lần bắn thứ P( A1 ) Từ giúp học sinh đưa nhận xét: Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác ta coi biến cố A biến cố giao biến cố A1, , An độc lập tương ứng Sau sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất biến cố A 11 SangKienKinhNghiem.net Bài toán 9: Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy 0,25 Lớp học không đủ ánh sáng có bóng cháy Tính xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng Hướng dẫn học sinh phân tích: Mỗi bóng có xác suất bị cháy 0,25, bóng có xác suất sáng 0,75 Gọi A1 biến cố bóng cháy bóng sáng, A1 biến cố hợp C6 biến cố con, P ( A1 ) C64 (0, 75) (0, 25) Gọi A2 biến cố bóng cháy bóng sáng, A2 biến cố hợp C6 biến cố con, P( A2 ) C65 0, 75.(0, 25)5 Gọi A3 biến cố bóng cháy P ( A3 ) C66 (0, 25)6 A A1 A2 A3 biến cố lớp học không đủ ánh sáng Vậy xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng là: P ( A) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 0, 03759766 Bài toán 10: Một người bắn viên đạn Xác suất để viên trúng vòng 10 0,008; xác suất để viên trúng vòng 0,15; xác suất để viên trúng vịng 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt 28 điểm Hướng dẫn học sinh phân tích: Theo xác suất trúng vòng 10 0,2; xác suất trúng vòng 0,25 Gọi A1 biến cố viên 10, viên 9, A1 biến cố hợp C3 biến cố con, P ( A1 ) C31.0, 2.0, 252 Gọi A2 biến cố viên 10, viên 9, A2 biến cố hợp C3 biến cố con, P ( A2 ) C31.0, 22.0, 25 Gọi A3 biến cố viên 10, viên 8, A3 biến cố hợp C3 biến cố con, P ( A3 ) C31.0, 22.0,15 Gọi A4 biến cố viên 10, P ( A4 ) 0, 008 A A1 A2 A3 A4 biến cố xạ thủ đạt 28 điểm Vậy P ( A) 0, 0935 Bài tốn 11 Có lơ hàng Người ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Xác suất để sản phẩm chất lượng tốt lô hàng 0,7;0, Hãy tính xác suất để: a) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt b) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt Hướng dẫn học sinh phân tích: Đây tốn cho trước xác suất nên chắn ta phải sử dụng phép toán tính xác suất để giải Biến cố sở “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai” Lời giải: Gọi biến cố 𝐴: “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” 12 SangKienKinhNghiem.net 𝐵: “Lấy sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai” Khi ta có: P(A) = 0,7 P( A) = – 0,7 = 0,3 P(B) = 0,8 P( B) = – 0,8 = 0,2 a) Gọi 𝑋 biến cố “Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt” Suy X = AB Do hai biến cố A,B độc lập nên ta có P(X) = P(A)P(B) = 0,06 ⇒P(X) = ‒ P(X) = 0,94 b) Gọi 𝑌 biến cố “Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt” Suy Y AB AB Do AB, AB xung khắc biến cố A B; A B độc lập nên ta có: P (Y ) P ( AB AB ) P ( AB ) P ( AB ) P ( A).P ( B ) P ( A).P ( B ) 0,3.0,8 0, 7.0, 0,38 Bài tập tổng hợp vận dụng hai quy tắc đếm quy tắc tính xác suất Trong trình giảng dạy tơi nhận thấy em học sinh thường gặp kho khăn tốn tính xác suất định nghĩa thường gặp khó khăn đếm kết thuận lợi cho biến cố phức tạp Các em thường chưa biết cách phân tích để chia tập kết thuận lợi cho biến cố thành nhiều tập hợp kết thuận lợi Giáo viên hướng dẫn cho học sinh xem tốn xác suất dạng tìm tỉ số sản phẩm thỏa mãn yêu cầu với tồn thể sản phẩm tạo Khi toán tiến hành sau: Bước Cần xác định nguyên liệu để tạo sản phẩm, cơng đoạn tạo sản phẩm Từ vận dụng quy tắc đếm để đếm tổng số sản phẩm tạo Bước Cần xác định nguyên liệu để tạo sản phẩm thỏa mãn yêu cầu Bước Cần phân tích sản phẩm đạt yêu cầu phân chia thành nhóm sản phẩm Bước Cần xác định công đoạn để tạo sản phẩm nhóm cách thức tiến hành để tạo sản phẩm Cuối xác định xem cách phân nhóm sản phẩm có tạo sản phẩm khác biệt hồn tồn khơng hay có trùng lặp, trùng lặp trùng lặp Từ vận dụng hai quy tắc đếm để đém tổng số sản phẩm thỏa mãn yêu cầu tìm xác suất toán Bài toán 12 Chọn ngẫu nhiên quân cỗ tú lơ khơ ta xấp Tính xác suất để xấp có chưá hai đơi (tức có hai thuộc bộ, hai thuộc thứ hai thứ thuộc khác) Hướng dẫn học sinh phân tích: Mỗi sản phẩm hay kết phép thử chọn quân 52 quân Vậy có C525 kết Gọi A biến cố chọn quân có chưá hai đôi Mỗi kết thuận lơị cho A hay sản phẩm đạt yêu cầu chọn quân ba một quân, hai khác đơi Từ ta suy cách để tạo xấp sau: Cách Trước hết ta chọn 13 bộ, số cách chọn C133 Tiếp theo ta 13 SangKienKinhNghiem.net chọn số cách chọn C31 , ta chọn quân, số cách chọn Tiếp theo hai lại chon quân, số cách chọn quân C42 Vậy có tất C133 C31.4.C42 C42 123552 cách chọn xấp qn có chưá hai đơi xác suất cần tìm P( A) 123552 198 C525 4165 Cách Trước hết ta chọn 13 bộ, số cách chọn 13 Trong vưà chọn ta chọn lấy số cách chọn Tiếp theo ta chọn 12 lại số cách chọn C122 Trong chon quân, số cách chọn quân C42 Vậy có tất 13.4.C122 C42 C42 123552 cách chọn xấp quân có chưá hai đơi xác suất cần tìm P( A) 123552 198 C525 4165 Cách Trước hết ta chọn đôi 13 bộ, số cách chọn C132 Trong hai vưà chọn ta chọn lấy quân, số cách chọn hai quân C42 Lúc 44 quân ta chọn lấy quân Vậy có tất C132 C42 C42 44 123552 cách chọn xấp quân có chưá hai đơi xác suất cần tìm P( A) 123552 198 C525 4165 Bài toán 13 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để: a) Số chọn số chẵn nhỏ 2015 b) Số chọn số chẵn nhỏ 2015 có chữ số khác Hướng dẫn học sinh phân tích: Mỗi sản phẩm số tự nhiên có chữ số dạng abcd Nguyên liệu tạo sản phẩm số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Công việc tạo số dạng abcd gồm bốn cơng đoạn: Chữ số a có cách chọn a khác 0, chữ số cịn lại có cách chọn nên theo quy tắc nhân ta lập tất 6.73 số có bốn chữ số a) Gọi A biến cố chọn số chẵn nhỏ 2015 Mỗi kết thuận lợi A chọn số dạng abcd cho d 0; 2; 4;6, a 1; 2 Ta nhận thấy a chữ số việc chữ số b, c khác với a chữ số Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: a = b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn Trường hợp lập 7.7.4 = 196 (số) Trường hợp 2: a = b 0, c 0, d có cách chọn Trường hợp lập (số) Trường hợp 3: a = b 0, c 1, d có cách chọn Trường hợp lập (số) Suy số số chẵn nhỏ 2015 là: 203 (số) Vậy xác suất chọn số chẵn nhỏ 2015 P( A) 203 29 2058 294 14 SangKienKinhNghiem.net b) Gọi B biến cố chọn số chẵn nhỏ 2015 có chữ số khác Mỗi kết thuận lợi A chọn số dạng abcd cho d 0; 2; 4;6, a 1; 2, a, b, c, d đôi khác Ta nhận thấy a chữ số việc chọn chữ số b, c, d khác với a chữ số Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: a = d có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Trường hợp lập 4.5.4 = 80 (số) Trường hợp 2: a = b 0, c 1, d Trường hợp lập (số) Suy số số chẵn nhỏ 2015 có chữ số khác là: 81 (số) Vậy xác suất chọn số chẵn nhỏ 2015 có chữ số khác P ( A) 81 27 2058 686 Bài toán 14 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để: a) Số chọn số chẵn có chữ số đôi khác b) Số chọn số lẻ nhỏ 600.000 có chữ số khác Hướng dẫn học sinh phân tích: Mỗi sản phẩm số tự nhiên có chữ số dạng abcdef Công việc tạo sản phẩn việc lập số tự nhiên dạng abcdef Nguyên liệu tạo sản phẩm số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Công việc tạo số dạng abcdef gồm sáu công đoạn: Chữ số a có cách chọn a khác 0, năm chữ số cịn lại có 10 cách chọn nên theo quy tắc nhân ta lập tất 9.105 số có sáu chữ số a) Gọi A biến cố chọn số chẵn có chữ số đơi khác Mỗi kết thuận lợi A chọn số dạng abcdef cho f 0; 2; 4;6;8, a hay a 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 a, b, c ,d, e, f đôi khác Ta nhận thấy f chữ số a có cách chọn f khác chữ số a có cách chọn Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: f = a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn, e có cách chọn Trường hợp lập 9.8.7.6.5 = 15120 Trường hợp 2: f f có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn, e có cách chọn Trường hợp lập 4.8.8.7.6.5 = 53760 Suy số số chẵn có chữ số khác đôi là: 68880 Vậy xác suất chọn số chẵn có chữ số đơi khác P ( A) 68880 287 9.105 3750 b) Gọi B biến cố số chọn số lẻ nhỏ 600.000 có chữ số khác 15 SangKienKinhNghiem.net Mỗi kết thuận lợi B chọn số dạng abcdef cho a 1; 2;3; 4;5, f 1;3;5;7;9 a, b, c ,d, e, f đôi khác Ta nhận thấy f 1;3;5 a có cách chọn cịn f 7;9 a có cách chọn Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: f 1;3;5 f có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn, e có cách chọn Trường hợp chọn 3.4.8.7.6.5 = 20160 Trường hợp 2: f 7;9 f có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn, e có cách chọn Trường hợp chọn 2.5.8.7.6.5 = 16800 Suy số số lẻ có chữ số khác đôi nhỏ 600000 là: 20160 + 16800 = 36960 Vậy xác suất chọn số lẻ có chữ số khác đơi nhỏ 600000 P( B) 36960 77 9.10 1875 Bài toán 15 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để: a) Số chọn số chẵn có chữ số đơi khác b) Số chọn số chia hết cho có chữ số khác c) Số chọn số chia hết cho 25 có chữ số khác d) Số chọn số chia hết cho có chữ số khác Hướng dẫn học sinh phân tích: Mỗi sản phẩm số tự nhiên có chữ số đôi khác dạng abcd Công việc tạo sản phẩn việc lập số tự nhiên dạng abcd cho chữ số không chọn lập lại Nguyên liệu tạo sản phẩm số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Công việc tạo số dạng abcd gồm bốn công đoạn: Chữ số a có cách chọn a khác 0, cách chọn chữ số lại chỉnh hợp chập chữ số lại nên theo quy tắc nhân ta lập tất 6.A63 số có bốn chữ số đơi khác a) Gọi A biến cố chọn số chẵn có bốn chữ số đơi khác Mỗi kết thuận lợi A chọn số dạng abcd cho d 0; 2; 4;6, a hay a 1; 2;3; 4;5;6 a, b, c ,d đôi khác Ta nhận thấy d chữ số a có cách chọn d khác chữ số a có cách chọn Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: d = a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Trường hợp chọn 6.5.4 = 120 (số) Trường hợp 2: d d có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Trường hợp chọn 3.5.5.4 = 300 (số) Suy số số chẵn có bốn chữ số khác đôi là: 120 + 300 = 420 (số) 16 SangKienKinhNghiem.net Vậy xác suất chọn số chẵn có bốn chữ số đơi khác P ( A) 420 720 12 b) Gọi B biến cố chọn số chia hết cho có bốn chữ số đơi khác Mỗi kết thuận lợi B chọn số dạng abcd cho d 0;5, a 1; 2;3; 4;5;6 a, b, c ,d đôi khác Ta nhận thấy d chữ số a có cách chọn cịn d chữ số a có cách chọn Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: d = a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Trường hợp chọn 6.5.4 = 120 (số) Trường hợp 2: d = a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Trường hợp chọn 5.5.4 = 100 (số) Suy số số chia hết cho có bốn chữ số khác đơi là: 120 + 100 = 220 (số) Vậy xác suất chọn số chia hết cho có bốn chữ số đơi khác P( B) 220 11 720 36 c) Gọi C biến cố số chọn chia hết cho 25 có chữ số đôi khác Mỗi kết thuận lợi B chọn số dạng abcd cho hai chữ số cd 25, 50 Trường hợp cd 25 a khác c, d va nên a có cách chọn, b khác c, d a nên b có cách chọn Trường hợp có 16 (số) Trường hợp cd 50 a khác c, d nên a có cách chọn, b khác c, d a nên b có cách chọn Trường hợp có 20 (số) Suy số số chia hết cho 25 có bốn chữ số khác đôi là: 36 (số) Vậy xác suất số chọn chia hết cho 25 là: P(C ) 36 720 20 d) Gọi D biến cố số chọn số chia hết cho có chữ số khác Ta biết số chia hết cho số có tổng chữ số chia hết trước hết ta cần xác định số tập gồm chữ số chia hết cho Tập chữ số chia hết cho E 0;3;6, tập chữ số chia dư F 1; 4 tập chữ số chia dư G 2;5 Chọn từ ba tập hợp phần tử để tập có phần tử chữ số có tổng chia hết hai phần tử chọn từ E, phần tử chọn từ F, phần tử chọn từ G hai phần tử chọn từ F hai phần tử chọn từ G nên có tất 3.2.2 + = 13 tập Trong tập có tập có phần tử tập phần tử khác Mỗi tập có phần tử lập 3.3.2.1 18 (số), tập có phàn tử khác lập 4! = 24 (số), suy lập tất 8.18 5.24 264 (số) Vậy xác suất số chọn chia hết cho P( D) 264 11 720 30 17 SangKienKinhNghiem.net Bài toán 16 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để số chọn có chữ số xuất ba lần chữ số cịn lại có mặt lần Hướng dẫn học sinh phân tích: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số tương đương với bỏ chữ số 0, 1, 2, 3, vào ô trống sau Ơ có cách chọn số cịn lại có cách chọn số Nên số số lập 4.56 = 62500(số) Để tạo số có cữ số mà chữ số xuất ba lần chữ số lại có mặt lần cơng việc ttương đương với bỏ chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, vào trống Chữ số có cách bỏ, chọn cịn lại số cácg chọn C63 , cách chọn ta có cách bỏ ba chữ số 1, ba cịn lại bỏ ba chữ số 2, 3, có 3! cách bỏ Vậy số số cữ số mà chữ số xuất ba lần chữ số cịn lại có mặt lần 6.C63 3! 720 (số) Suy xác suất cần tìm P 720 36 62500 3125 Bài toán 17 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 7, 8, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số phân biệt Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để số chọn có mặt chữ số lẻ chữ số nằm hai chữ số lẻ Hướng dẫn học sinh phân tích: Số số có chữ số phân biệt 9.9.8.7.6.5.4.3.2 9.9! (số) Việc tạo số tự nhiên có chữ số có mặt chữ số lẻ chữ số nằm hai chữ số lẻ tương đương với bỏ năm chữ số chẵn bốn chữ số lẻ vào ô trống sau cho chữ số nằm hai chữ số lẻ Vì có chữ số lẻ nên ta xét trường hợp sau: Trường hợp Khơng có mặt chữ số Khi chữ chữ số có cách chọn để bỏ, có cách bỏ số lẻ vào ô liền trước cách bỏ chữ số lẻ vào liền sau có chữ số 0, sáu cịn lại có 6! cách bỏ chữ số lại Trường hợp lập 7.4.3.6! (số) Tương tự cho trường hợp khơng có chữ số 3, 5, 7, Có trường hợp vậy, nên lập tất 5.7.4.3.6! (số) Suy xác suất cần tìm P 5.7.4.3.6! 9.9! 54 Bài toán 18 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 7, 8, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số phân biệt Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để số chọn có mặt chữ số chữ số không đứng cạnh Hướng dẫn học sinh phân tích: Số số có chữ số phân biệt A96 544320 (số) Việc tạo số tự nhiên có chữ số có mặt chữ số chữ số không đứng cạnh tương đương với bỏ chữ số vào ô trống sau cho chữ số chữ số ln có mặt khơng đứng cạnh 18 SangKienKinhNghiem.net Số cách bỏ hai chữ số khơng đứng cạnh 30 cách Trong có 10 cách có Trường hợp Ơ có số cách bỏ vào cịn lại A85 Trường hợp có 10.A85 (số) Trường hợp Ơ khơng có có cách bỏ số cách bỏ vào cịn lại A74 Trường hợp có 20.7.A74 (số) Suy xác suất cần tìm P 10 A85 20.7 A74 184800 55 A96 544320 162 Bài toán 19 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số phân biệt a) Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để số chọn số chẵn ln có mặt chữ số b) Chọn ngẫu nhiên hai số vưà lập Tính xác suất để hai số chọn có số lớn 2015 Hướng dẫn học sinh phân tích: Gọi S tập số tự nhiên có chữ số đơi khác nhau, lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Ta có n( S ) 5.5.4.3 300 (số) a) Gọi A biến cố số chọn số chẵn ln có mặt chữ số Vơí abcd S , abcd chẵn ln có mặt chữ số 1, ta phân tập hợp số loại thành tập hợp số sau: Loại số mà a d có trường hợp 0, 2, số trường hợp b c A42 Số số loại A42 36 (số) Loại số mà b , d số trường hợp a c A42 Số số loại 12 (số) Loại số mà b , d d có trường hợp, số trường hợp a c 3.3 Số số loại 18 (số) Tương tự vơí loại số có c có 12 18 30 (số) Vậy có tất 36 30 30 96 (số) Suy xác suất cần tìm P( A) 96 300 25 b) Số cách lấy hai số thuộc S C300 Gọi B biến cố hai số chọn có số lớn 2015 Biến cố đối B B hai số chọn nhỏ 2015 Số abcd 2015 , a a Trường hợp a số trường hợp ba chữ số b, c, d A53 Số số loại 60 (số) Trường hợp a có ba số 2013, 2014, 2015 Nên có tất 63 (số) có bốn chữ số đôi khác không lớn 2015 Suy C632 cách lấy hai số nhỏ 2015 Vậy P( B) P( B) C632 42897 C300 44850 Bài toán 20: Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác chọn từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Lấy ngẫu nhiên số thuộc S Tính 19 SangKienKinhNghiem.net xác suất để lấy số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Hướng dẫn học sinh phân tích: Khơng gian mẫu S Số phần tử S n( S ) A94 3024 Gọi số tự nhiên thuộc S có dạng abcd A tập số thuộc S chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Vì abcd 1000a 100b 10c d 1001a 99b 11c (a c) (b d ) nên abcd chia hết cho 11 b d (a c) chia hết cho 11 Từ giả thiết a b c d chia hết cho 11 suy a c, b d chi hết cho 11 Các cặp có tổng chi hết cho 11 (2;9), (3;8), (4;7), (5;6) Nên số số abcd thuộc A n( A) 2! 2! 48 Vậy P( A) 48 3024 63 Bài toán 21: Xếp ngẫu nhiên chữ cụm từ " THANH HOA'' thành hàng ngang Tính xác suất để có hai chữ H đứng cạnh Hướng dẫn học sinh phân tích: Số cách xếp khác chữ cụm từ " THANH HOA'' có cữ H, chữ A thành hàng ngang n() 8! 3360 3!.2! Gọi A biến cố " có hai chữ H đứng cạnh nhau" có hai trường hợp: - Có chữ H đứng cạnh số cách xếp chữ H 6, nên số cách xếp chữ có chữ H cạnh C52 3! 360 - Có chữ H đứng cạnh có hai trường hợp: chữ H nằm hai vị trí đầu (hoặc cuối) có cách xếp chữ H lai chữ H nằm vị trí có cách xếp chữ Cái H lại nên số cách xếp chữ có chữ H cạnh (5 5) C52 3! 1800 Vậy xác suất để có hai chữ H đứng cạnh P( A) 360 1800 3360 14 Bài tốn 22: Một lớp học có 42 học sinh xếp thành vòng tròn chọn ngẫu nhiên học sinh để tham gia vào trò chơi Tính xác suất để học sinh chọn khơng có hai học sinh đứng kề Hướng dẫn học sinh phân tích: Số phần tử khơng gian mẫu số cách chọn học sinh tùy ý C42 11480 Số cách chọn học sinh có hai học sinh đứng cạnh có hai trường hợp có học sinh cạnh học sinh cạnh 42 38 42 1638 Suy số cách chọn học sinh khơng có học sinh cạnh 11480 1638 9842 Vây xác suất cần tìm P 9842 703 11480 820 Bài toán 23: Gieo súc sắc cân đối đồng chất ba lần liên tiếp Gọi P tích ba số ba lần tung (mỗi số số chấm mặt xuất lần tung), tính xác suất cho P khơng chia hết cho 20 SangKienKinhNghiem.net ... học sinh nắm rõ toán xác suất chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh phân tích tốn xác suất từ vận dụng hai quy tắc đếm quy tắc tính xác suất để tìm xác suất 1.2 Mục đích Với mong muốn giúp em học sinh. .. DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TỐN XÁC SUẤT TỪ ĐĨ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY TẮC TÍNH XÁC SUÁT ĐỂ TÌM XÁC SUẤT Tính xác suất định nghĩa cổ điển xác suất Xác suất biến cố A là: P( A) n(... .trang Cơ sở lí luận .trang Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến trang Giải pháp thực hiện: Hướng dẫn học sinh phân tích tốn xác suất từ vận dụng hai quy tắc đếm quy tắc tính xác