108 đề vào 10 chuyên tuyên quang 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN CHUN NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề có 01 trang) Câu (3 điểm) 1) Giải phương trình: x    x  ( x  3)(6  x)  x  y  z  2) Giải hệ phương trình:  2 x  y  xy  z  3) Tìm nghiệm nguyên (x, y) phương trình x2  x  y  y  Câu (2 điểm) Cho phương trình: x4 - 2(m2+2)x2 + m4 +3 = 1) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 với giá trị m 2) Tìm giá trị m cho nghiệm phương trình thỏa mãn: x12 + x22 + x32 + x42 + x1x2x3x4 =11 Câu (1 điểm) Chứng minh: A= n3 + 11n chia hết cho với n  N Câu (3 điểm) Cho góc xOy có số đo 60o Đường trịn có tâm K nằm góc xOy tiếp xúc với tia Ox M tiếp xúc với tia Oy N Trên tia Ox lấy điểm P cho OP = 3OM Tiếp tuyến đường tròn (K) qua P cắt tia Oy Q khác O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN E Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN F a) Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ b) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp đường tròn c) Gọi D trung điểm đoạn PQ Chứng minh tam giác DEF tam giác Câu (1 điểm) Chứng minh: 1 1     5 1 3 5 119  120 -HếtGhi chú: + Giám thị coi thi khơng giải thích thêm + Thí sinh khơng sử dụng tài liệu làm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN (Đáp án có 04 trang) Câu Câu Hướng dẫn giải 1) Giải pt: x    x  ( x  3)(6  x)  x    3  x  6  x  đ/k:  Điểm 1,0 điểm 0,25 u  x  , u, v  v   x u  v  pt trở thành:  u  v  uv  Đặt:  (u  v)  2uv    u  v   uv  (3+uv)2 - 2uv = uv   uv  4  u   v   x3    6 x    x  3  x  Vậy pt có nghiệm x=-3; x= 2) Giải hệ pt: x  y  z    x  y  xy  z  x  y  1 z   xy  z  2( x  y )  x  y  1 z  2  xy  z  z   (1  z)  2xy = (x+y)2  x2 + y2 =  x=y=0; z=1 Hệ pt có nghiệm nhất: (x,y,z)=(0,0,1) 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm 3) Tìm nghiệm nguyên (x,y): x x y  y 3 x  y  x y 3  ( x  y )( x  y )  x  y   ( x  y )( x  y  1)  2 2 Để phương trình có nghiệm ngun thì: 0,5 Trường hợp 1:  x  x  y  x  y        x  y 1  x  y   y  1  (loại) 0,25 Trường hợp 2:  x  x  y  x  y      x  y   x  y    y   (loại) Trường hợp 3: 5  x   x  y  1  x  y  1     (loại)  x  y   3  x  y   y   Trường hợp 4: 5   x   x  y  3  x  y  3     x  y   1  x  y  2  y  1  0,25 (loại) Vậy pt khơng có nghiệm ngun Cho phương trình: x4 - 2(m2+2)x2 + m4 +3 = 1,0 điểm 1) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt x4 - 2(m2+2)x2 + m4 +3 = (1) 0,25 Đặt: t = x (t  0) pt trở thành: t2 - 2(m2+2)t + m4 +3 = (2) Ta chứng tỏ (2) ln có nghiệm