Khéo tay hay làm Khéo tay hay làm Khéo tay hay làmkl le thu ha

TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC TƠN ĐỨC THẮNG KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN &TỐN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng Giảng viên hướng dẫn: Thầy HUỲNH VĂN KHA Sinh viên thực hiện: 070447M LÊ THU HÀ 070478M NGUYỄN THỊ THANH NGỌC Lớp : 07TN1D Khóa : 11 TP.Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2011 Lời Cảm Ơn Luận văn tốt nghiệp bước ngoặt đánh dấu chuyển tiếp từ sinh viên trở thành kĩ sư hay cử nhân chúng em Quá trình làm luận văn trình mà chúng em học tập, tích lũy kiểm tra lại kiến thức học áp dụng vào thực tế Trong trình thực luận văn, chúng em nhận hỗ trợ động viên nhiều từ gia đình, thầy hướng dẫn bạn Nay khó khăn qua, luận văn hồn thành, với lịng biết ơn sâu sắc, chúng em xin chân thành gởi lời cám ơn đến gia đình cá nhân giúp đỡ động viên chúng em lúc khó khăn thời gian vừa qua Chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Huỳnh Văn Kha thầy hướng dẫn trực tiếp đề tài Trong trình làm luận văn, thầy tận tình hướng dẫn, định hướng hỗ trợ việc thực đề tài, giúp chúng em giải khó khăn luận Và chúng em xin cảm ơn quý thầy cô khoa Công Nghệ Thông Tin Toán Ứng Dụng giúp cho chúng em có kiến thức năm học trường Đại học Tôn Đức Thắng Chúng em xin chân thành cảm ơn Xin chúc tất người sức khỏe thành đạt Tp.Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng 07 năm 2011 Sinh viên thực 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Nhận xét Giảng Viên Hướng Dẫn Nhaän xét Giảng Viên Phản Biện Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng MỤC LỤC Danh mục hình vẽ Trang Lời mở đầu Trang Chương I Những khái niệm biến đổi Laplace: 1.1 Định nghĩa hàm gốc Trang 10 1.1.1 Định nghĩa Trang 10 1.1.2 Nhận xét Trang 10 1.1.3 Quy ước Trang 11 1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Trang 11 1.2.1 Định nghĩa Trang 11 1.2.2 Định lý tồn ảnh Trang 11 1.3 Biến đổi Laplace số hàm thông dụng Trang 12 1.3.1 Hàm bậc thang đơn vị 1.3.2 Hàm Trang 12 Trang 12 1.3.3 Hàm Trang 12 1.3.4 Hàm Trang 13 Chương II Các tính chất phép biến đổi Laplace: 2.1 Tính đẳng cấp Trang 14 2.2 Tính cộng Trang 14 2.3 Tính đồng dạng Trang 15 2.4 Đạo hàm gốc Trang 16 2.5 Đạo hàm ảnh Trang 17 2.6 Tích phân gốc Trang 19 SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng 2.7 Tích phân ảnh Trang 21 2.8 Tịnh tiến gốc Trang 22 2.9 Tịnh tiến ảnh Trang 25 2.10 Đạo hàm theo tham số Trang 25 2.11 Hàm Gamma Trang 26 2.11.1 Định nghĩa Trang 26 2.11.2 Định lý Trang 26 2.11.3 Tính chất hàm Gamma Trang 28 2.12 Hàm tuần hoàn Trang 29 2.13 Tích chập Trang 36 2.13.1 Định nghĩa Trang 36 2.13.2 Tính chất Trang 36 2.13.3 Tích chập gốc Trang 37 2.13.4 Công thức Duhamel Trang 38 2.13.5 Tích chập ảnh Trang 38 2.14 Hàm xung (Impulse) biến đổi Laplace Trang 39 Chương III Phép biến đổi Laplace ngược 3.1 Tính biến đổi ngược Trang 42 3.2 Điều kiện đủ để hàm có biến đổi ngược Trang 42 3.3 Một vài phương pháp tìm hàm ngược Trang 42 3.3.1 Tính chất biến đổi thuận tính biến đổi ngược Trang 42 3.3.2 Khai triển thành chuỗi lũy thừa Trang 43 3.3.3 Sử dụng thặng dư tích phân phức Trang 44 3.3.4 Tìm hàm gốc phân thức hữu tỉ Trang 46 SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng Chương IV Ứng dụng phép biến đổi laplace: 4.1 Khái quát phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân Trang 49 4.1.1 Phương trình vi phân thường Trang 49 4.1.2 Phương pháp tổng quát giải phương trình vi phân Trang 49 4.1.3 Hệ phương trình vi phân Trang 49 4.2 Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính Trang 51 4.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số Trang 51 4.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số Trang 55 4.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên Trang 56 4.3 Ứng dụng giải phương trình tích phân Trang 57 4.4 Ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng Trang 58 4.4.1 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng Trang 58 4.4.2 Phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng Trang 59 4.5 Ứng dụng giải toán vật lý Trang 61 4.5.1 Toán tử Dirac Trang 61 4.5.2 Mạch điện Trang 68 Kết luận Trang 71 Tài liệu tham khảo Trang 72 PHỤ LỤC Phụ lục A: Bảng tóm tắt tính chất biến đổi Laplace Trang 73 Phụ lục B: Biến đổi Laplace số hàm thường gặp Trang 75 SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1: Ví dụ 14 Trang 23 Hình 2: Ví dụ 15 Trang 23 Hình 3: Ví dụ 16 Trang 24 Hình 4: Hàm Gamma theo công thức Euler Trang 27 Hình 5: Hàm sóng vuông Trang 30 Hình 6: Hàm sin chỉnh lưu nửa chu kỳ Trang 31 Hình 7: Hàm sin chỉnh lưu toàn chu kỳ Trang 32 Hình 8: Bài tập a) Trang 33 Hình 9: Bài tập b) Trang 34 10 Hình 10: Bài tập c) Trang 34 11 Hình 11: Bài tập d) Trang 35 12 Hình 12: Hàm xung Trang 39 13 Hình 13: Hàm dốc Trang 40 14 Hình 14: Hàm xung tam giác đơn vị Trang 41 15 Hình 15: Sử dụng thặng dư tìm biến đổi ngược Trang 45 16 Hình 16: Hàm bước nhảy đơn vị Trang 62 17 Hình 17: Ví dụ 48 Trang 65 18 Hình 18: Ví dụ 48 Trang 65 19 Hình 19: Ví dụ 49 Trang 65 20 Hình 20: Mạch điện RLC Trang 68 21 Hình 21: mắc nối tiếp Trang 69 22 Hình 22: mắc song song Trang 69 SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng LỜI MỞ ĐẦU Toán học ngành khoa học khơng phục vụ cho nó, mà đặc biệt trở thành cơng cụ hữu ích cho việc phát triển ngành khoa học khác, có vật lý học Tính chất vật lý học tính thực nghiệm Nhưng muốn trình bày định luật định lượng vật lý học cách xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học Phương pháp toán học sử dụng từ lâu vật lý Nó giao thoa tốn học vật lý học Nhiều vấn đề kỹ thuật, điện tử viễn thông, lý thuyết mạch…, đưa giải phương trình, hệ phương trình chứa đạo hàm, tích phân hàm đó, nghĩa phải giải phương trình vi phân, tích phân hay phương trình đạo hàm riêng Việc giải trực tiếp phương trình nói chung khó Kỹ sư Heaviside người vận dụng phép biến đổi Laplace để giải toán liên quan đến mạch điện Phép biến đổi Laplace biến hàm gốc theo biến thành hàm ảnh theo biến Với phép biến đổi này, việc tìm hàm gốc thỏa mãn biểu thức chứa đạo hàm, tích phân (nghiệm phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng…) quy tính tốn biểu thức đại số hàm ảnh Khi biết hàm ảnh, ta sử dụng phép biến đổi ngược để tìm hàm gốc cần tìm Đây ý tưởng việc ứng dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, tích phân hay phương trình đạo hàm riêng Nội dung đề cập đến luận văn xoay quanh thuộc tính phép biến đổi Laplace ứng dụng vào giải phương trình vi phân, tích phân đạo hàm riêng Kết cấu nội dung gồm chương trình bày sau: Chương I Chương II Chương III Chương IV Những khái niệm biến đổi Laplace Các tính chất phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace ngược Ứng dụng phép biến đổi laplace Do phạm vi điều kiện tìm hiểu hạn chế nên luận văn chúng em tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, nhóm chúng em mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến quý thầy cô Một lần nữa, chúng em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn thầy Huỳnh Văn Kha giúp đỡ chúng em hoàn thành luận văn SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng Chương 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.1 Định nghĩa hàm gốc: 1.1.1 Định nghĩa: Hàm gốc hàm phức đơn trị ( ) với biến số thực t, thỏa mãn điều kiện: a ( ) đạo hàm cấp cao liên tục khúc (nghĩa hàm liên tục trừ số điểm gián đoạn hữu hạn mà hàm có giới hạn trái giới hạn phải hữu hạn) b ( ) | ( )| c cho Khi đó, gọi số mũ tăng ( ) 1.1.2 Nhận xét:  Điều kiện b) đặt ứng dụng, biến số t thường thời gian, hàm ( ) biểu diễn q trình mà ta cần khảo sát lúc  Hàm gốc ( ) hữu hạn tăng (tiến) , không nhanh hàm mũ  Ví dụ 1: Hàm bậc thang đơn vị (hàm Heaviside) ( ) hàm số định nghĩa bởi: ( ) Hàm Heaviside ( ) (còn gọi hàm nấc đơn vị hay hàm bước nhảy đơn vị) hàm gốc Ta có: ( ) Với hàm ( ) xác định ( ) thì: ( ) ( ) { ( ) Như vậy, xét hàm gốc ( ) ( ) ( )  Ví dụ 2: Hàm trễ đơn vị thời gian: ( Hàm ( SV thực hiện: 070447M 070478M ) ) hàm gốc Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 10 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng Vậy tác động hàm liên tục gọi toán tử, tức là: , - Và ta thấy toán tử ∫ ( ) ( ) tuyến tính , Với ( ) - , - , - số Một thuộc tính quan trọng tốn tử ∫ là: ( ) b Biến đổi Laplace toán tử Dirac: Theo tích phân R-S biến đổi Laplace ứng với hàm cho bởi: ( ) ( ) ( ) Từ đó, tích phân tồn ta lấy tích phân từ ( với Đặc biệt, với SV thực hiện: , 070447M 070478M ), ln đặt , thì: ( Khi ) ( ) ∫ ∫ ( ) xác định , ) ( ) ∫ ( ) ( ) Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 63 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng  Ví dụ 48: Một viên đạn có khối lượng bắn từ súng với vận tốc ban đầu Nếu viên đạn bắn vào mơi trường nhớt, phương trình chuyển động biểu diễn sau: ( ) ( ) ( ) Với ( ) quãng đường viên đạn đến thời điểm số Tại đó, ( ) tương đương với thực tế viên đạn ban đầu trạng thái đứng yên Lấy biến đổi Laplace vế phương trình, ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) / Ta biến đổi thành: / Ta tìm được: ( ) ⁄ ⁄ ⁄ Lấy biến đổi Laplace ngược, ta nghiệm phương trình: ( ) SV thực hiện: 070447M 070478M ( Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc ) Trang 64 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng (Hình 17) Tính vận tốc: ( ) Và ( ) tức thời vận tốc , thêm vào ( ) , cho thấy bước nhảy , từ trạng thái đứng yên đến trạng thái (Hình 18)  Ví dụ 49: Giả sử thời điểm , hàm xung áp dụng vào mạch điện RCL (Hình 19) SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 65 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng , ( ) Với diễn sau: điện dung tụ điện Phương trình biểu ∫ ( ) Với ( ) số dương, và: () ( ) Áp dụng biến đổi Laplace được: * + * + * + Tức là, * + [ / ( )] Đặt Kết hợp với (i) ta được: * + ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Vậy thì: SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc / Trang 66 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng Kết hợp với (ii), (*) trở thành: * + ( ( ) ( ) ) Với Ta được: ( )  Ví dụ 50: Với / , giả sử rằng: ( ) ( ) ( ) Biểu diễn phản ứng hệ thống khí xung đơn vị Do đó, * + * + * + * + Cho nên: * + ( ) ( ) Và, ( ) √ √ / Đây trường hợp dao động tắt dần SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 67 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng 4.5.2 Mạch điện: Một số tốn tính tốn mạch điện đưa giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng… Vì vậy, chuyển qua ảnh biến đổi Laplace việc giải toán đơn giản Giả sử đoạn mạch có điện trở , cuộn dây có hệ số tự cảm tụ điện có điện dung (Hình 20) Gọi ( ) hiệu điện hai đầu đoạn mạch, ( ) cường độ dòng điện mạch thời điểm ( ) ( ) thỏa mãn đẳng thức sau: ( ) ( ) ( ) (∫ ( ) ( ) { ( ) } * ( )+ ( ) ( ) ,∫ ( ) ) * ( )+ - Trong điện lượng ban đầu ( ) thành tụ điện Trong toán đóng mạch điều kiện ban đầu 0: ( ) Lúc tỉ số điện ảnh cường độ ảnh gọi trở kháng ảnh Như trở kháng ảnh điện trở , cuộn dây có hệ số tự cảm điện có điện dung tương ứng là: SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc tụ Trang 68 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng Khi tính tốn mạng gồm nhiều mạch điện kín ta áp dụng định luật thứ Kirchoff cho nút định luật thứ hai cho mạch kín, sau chuyển phương trình tìm sang phương trình ảnh Áp dụng hai định luật Kirchoff ta tìm trở kháng ảnh tương đương mạch mắc nối tiếp mạch song song sau:  Trở kháng ảnh tương đương trở kháng Gọi Kirchoff ta có: hai trở kháng mắc nối tiếp tổng hai (Hình 21) hiệu điện A,B; B,C A,C Theo định luật Chuyển qua ảnh Vậy:  Nghịch đảo trở kháng ảnh tương đương hai trở kháng song tổng nghịch đảo hai trở kháng mắc song (Hình 22) SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 69 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng Gọi cường độ ảnh mạch 1, mạch mạch điện ảnh A B Áp dụng định luật Kirchoff nốt A ta có: Vậy: ==============  ============== SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 70 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng Kết luận Đề tài “Một Số Tính Chất Của Phép Biến Đổi Laplace Và Ứng Dụng” đề tài không lạ lẫm sinh viên khối kỹ thuật, viễn thông Nhiều vấn đề kỹ thuật, điện tử viễn thông, lý thuyết mạch … đưa giải phương trình, hệ phương trình chứa đạo hàm, tích phân hàm đó, nghĩa phải giải phương trình vi phân, tích phân hay phương trình đạo hàm riêng Việc giải trực tiếp phương trình nói chung khó Với đề tài “Một Số Tính Chất Của Phép Biến Đổi Laplace Và Ứng Dụng”, chúng em nhận thấy đề tài thông dụng số tốn tính tốn mạch điện đưa giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng… Vì vậy, chuyển qua ảnh biến đổi Laplace việc giải toán mạch điện đơn giản Khi tìm hiểu đề tài này, thời gian có hạn chế nên chúng em chưa sâu cặn kẽ số phần toán tử Dirac, cách giải cách tốn mạch điện hồn chỉnh, ứng dụng Laplace để giải phương trình đạo hàm riêng Nhưng qua đó, chúng em nắm rõ tính chất phép biến đổi Laplace để ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số Qua thời gian thực luận văn này, chúng em củng cố lại nhiều kiến thức quan trọng cần thiết Bên cạnh đó, đề tài gây hứng thú với thành viên nhóm thực tính chất thực tiễn đề tài Chúng em hy vọng nhận góp ý Q Thầy Cơ đề tài Kính chúc Quý Thầy Cô người nhiều sức khỏe thành cơng! Tp.Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng 07 năm 2011 Sinh viên thực SV thực hiện: 070447M 070478M 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 71 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO: Tiếng việt [1] Ts Lê Bá Long, 2006, Tốn chun ngành, Học viện Cơng Nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, Hà Nội [2] Trịnh Đức Tài, 2008, Bài giảng Phương Trình Vi Phân, Khoa Tốn Tin Học, Đại học Đà Lạt [3] Ths Nguyễn Hải Đăng, Phép biến đổi Laplace, Trường Cao đẳng Công Nghiệp Nam Định Tiếng Anh [4] Joel L.Schiff , The Laplace Transform: Theory and Applications SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 72 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng PHỤ LỤC A: Bảng tóm tắt tính chất phép biến đổi Laplace ( ) Hàm ( ) Tính chất ( ) Tuyến tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) Tịnh tiến ảnh ( Trễ ) ( ( ) ( ) ( ) Đạo hàm gốc ( ) ( ) Đạo hàm ảnh ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) 11 Tích chập 070447M 070478M ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 Tích phân ảnh ( ) ( ) ( ∫ ( ) Tích phân ) ) ( ) Đạo hàm SV thực hiện: Biến đổi Laplace ( ) ( ) Đồng dạng Tích phân ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc ( ) ( ) Trang 73 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng ( ) 12 Duhamel ( ) ( 13 Tuần hoàn 14 √ ) ( ) ( ) ( ) ∫ 16 ∑ 17 070447M 070478M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc ( ) ( ) ∫ (√ ) ( ) ∫ 15 SV thực hiện: ( ) √ √ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) Bậc bậc ( ), ( ) có nghiệm đơn Trang 74 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng PHỤ LỤC B: Biến đổi Laplace số hàm thường gặp ( ) STT ∫ ( ) Ảnh biến đổi Laplace ( ) Hàm gốc ( ) 1 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 10 11 SV thực hiện: ( ) ( ) 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 75 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng 12 13 14 15 16 17 18 19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 ( ) 21 22 ( ) 23 ( ) 24 SV thực hiện: √ 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 76 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ứng dụng 25 26 ( ( 27 SV thực hiện: ) )( ( 070447M 070478M ) ) Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 77 ... 2.10 Đạo hàm theo tham số:  Định lý 2.10: Nếu ( ) ( ) xem hàm với tham số * ( )+ ( ) ∫ ( gốc và: ) Thì: * SV thực hiện: ( 070447M 070478M )+ ( ) ∫ ( Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc ) ( ) Trang... em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn thầy Huỳnh Văn Kha giúp đỡ chúng em hoàn thành luận văn SV thực hiện: 070447M 070478M Lê Thu Hà Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang Một số tính chất phép biến đổi Laplace... hữu hạn tăng (tiến) , không nhanh hàm mũ  Ví dụ 1: Hàm bậc thang đơn vị (hàm Heaviside) ( ) hàm số định nghĩa bởi: ( ) Hàm Heaviside ( ) (còn gọi hàm nấc đơn vị hay hàm bước nhảy đơn vị) hàm