Sự Tồn Tại Của Sóng Lưu Động Ứng Với Sốc Lax Trong Một Số Hệ Hyperbolic Các Định Luật Bảo Toàn Ứng Với Hệ Số Tán Xạ Và Khuyếch Tán

❛❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜❝ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❞❞❞ ❡❡❡ ❢❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❣❤ ĐẠI QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HỮU HIỆP SỰ TỒN TẠI CỦA SÓNG LƯU ĐỘNG ỨNG VỚI SỐC LAX TRONG MỘT SỐ HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ỨNG VỚI HỆ SỐ TÁN XẠ VÀ KHUẾCH TÁN Ngành: Tốn Giải tích Mã số ngành: 62460102 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TP.Hồ Chí Minh - 2022 Cơng trình hồn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học: HDC: PGS.TS Mai Đức Thành HDP: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Phản biện 1: PGS.TS Trần Vũ Khanh Phản biện 2: PGS.TS Lê Thị Phương Ngọc Phản biện 3: TS Nguyễn Thành Nhân Phản biện độc lập 1: PGS.TS Trần Vũ Khanh Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Thành Nhân Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp sở đào tạo họp trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM, vào lúc ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Khoa học Tổng hợp TP.HCM Thư viện trung tâm Đại học Quốc gia TP.HCM Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia TP HCM ii GIỚI THIỆU Luận án trình bày kết nghiên cứu tồn sóng lưu động số phương trình hệ phương trình định luật bảo tồn với nhớt mao dẫn sau đây: Bài tốn Mơ hình nhiệt động lực học với nhớt mao dẫn (được trình bày chương 2) vt − ux = 0, λ µv ux − (µvx )xx + v , v x x x µv λ Et + (up)x = uux + uv − u(µvx )x v x x ut + px = x + (µux vx )x + κ Tx v (2.1) Bài tốn Mơ hình lưu chất van der Waals có nhớt mao dẫn (được trình bày chương 2) vt − ux = 0, ut + px = Et + (up)x = λ , ux − µvx xx v x λ uux − u(µvx )x v x (2.2) x + (µux vx )x , với x ∈ R, t > Trong v = v(x, t) hàm thể tích; T nhiệt độ; S = S(v, T ) entropy; p = p(v, S) hàm áp suất; u = u(x, t) hàm vận tốc; hệ số không âm λ = λ(v, S), µ = µ(v, S), κ = κ(v, S) hệ số nhớt, mao dẫn nhiệt độ; ε nội Các kết chương cơng bố báo khoa học [P1,P2] Bài tốn Phương trình định luật bảo toàn với hệ số khuếch tán phân tán phi tuyến (được trình bày chương 3) ut + (f (u))x = β(b(u)ux )x + γ(c1 (u)(c2 (u)ux )x )x , x ∈ R, t > 0, (3.1) x u = u(x, t) ẩn hàm cần tìm; số β > γ > b(u), c1 (u), c2 (u) hàm dương, khả vi cấp R; c2 (u) khả vi cấp hai R; hàm thông lượng f = f (u) khả vi cấp hai không lồi Với dáng điệu hàm áp suất, toán triệt tiêu nhớt mao dẫn Các kết chương cơng bố báo khoa học [P3,P4] Bài toán Hệ phương trình động lực học lưu chất hệ trục tọa độ Lagrange với hệ số phân tán khuếch tán phi tuyến (được trình bày chương 4) ∂t v − ∂x u = 0, ∂t u + ∂x p(v) = ε(φ(v)ux )x − δvxxx , x ∈ R, t ≥ 0, (4.1) u(x, t) v(x, t) > ẩn hàm vận tốc thể tích riêng chất lỏng; φ(v) hàm nhớt; ε > δ > số nhớt mao dẫn; p = p(v), v > hàm áp suất kiểu lưu chất van der Waals Chúng giả thiết rằng, hàm áp suất p = p(v) khả vi cấp hai khoảng (0, ∞), khơng lồi khơng đơn điệu Kết chương công bố báo khoa học [P5] Ngoài phần giới thiệu ba chương chứa nội dung trên, luận án cịn bao gồm phần sau: ❼ Kiến thức tổng quan Trình bày lý thuyết nghiệm yếu, sóng giãn, sóng sốc, sóng lưu động phương trình hệ phương trình định luật bảo tồn Các lý thuyết tính ổn định Lyapunov ❼ Kết luận kiến nghị phần tóm tắt nội dung luận án, đồng thời nêu số vấn đề chưa giải đề xuất số hướng nghiên cứu Chương KIẾN THỨC TỔNG QUAN 1.1 Phương trình định luật bảo tồn vơ hướng Xét luật bảo tồn vơ hướng ut + f (u)x = 0, (x, t) ∈ R × (0, ∞), (1.1) u(x, 0) = φ(x), đó, hàm thông lượng f : R → R hàm trơn φ : R → R; u : U = R × [0, ∞) → R ẩn hàm cần tìm 1.1.1 Phương pháp đường đặc trưng sóng giãn Định lý 1.1.1 (Sóng giãn) Cho tốn (1.1) với điều kiện đầu φ(x) liên tục khúc R Giả sử f hàm khả vi thoả mãn: i) Nếu x điểm liên tục φ x → f ′ (φ(x)) tăng lân cận x ii) Nếu x0 điểm gián đoạn φ u → f ′ (u) tăng u chạy từ u− đến u+ , u± = lim± φ(x) x→x0 Khi đó, tốn (1.1) xác định nghiệm trơn gọi sóng giãn 1.1.2 Sóng sốc định luật bảo tồn Định lý 1.1.2 (Sóng sốc điều kiện Rankine-Hugoniot) Sóng sốc (1.1) nghiệm yếu có dạng  u− , x < st, u(x, t) = u , x > st, (1.2) + có vận tốc sốc thoả điều kiện Rankine-Hugoniot f (u− ) − f (u+ ) = s u− − u+ (1.3) Định nghĩa 1.1.3 (Sóng sốc Lax) Một sóng sốc có dạng (1.2) tốn (1.1) gọi sốc Lax thỏa mãn điều kiện Lax sau f ′ (u− ) > f ′ (u+ ) (1.4) Định lý 1.1.4 (Điều kiện Oleinik) Một sóng sốc (1.1) thoả điều kiện Oleinik f (u− ) − f (u+ ) f (u− ) − f (u) ≥ , với u nằm u− u+ u− − u u− − u+ (1.5) gọi sóng sốc cổ điển Ngược lại gọi sóng sốc phi cổ điển 1.2 Hệ phương trình định luật bảo toàn Xét hệ định luật bảo toàn với điều kiện biên Riemann (x, t) ∈ R × (0, ∞),  U− , x < 0, U (x, 0) = U , x > Ut + F (U )x = 0, (1.6a) (1.6b) + Gọi λ1 (U ), λ2 (U ), , λn (U ) r1 (U ), r2 (U ), , rn (U ) trị riêng véc tơ riêng tương ứng ma trận Jacobian B(U ) = DF DU (1.7) Định nghĩa 1.2.1 (Sóng lưu động cho hệ định luật bảo tồn) Cho tốn hệ định luật bảo toàn (1.6), λk (U ) rk (U ) trị riêng véc tơ riêng tương ứng ma trận B(U ) Giả sử λk (U− ) < λk (U+ ) Khi đó, nghiệm U (x, t) gọi sóng k-giãn (1.6) nối trạng thái bên trái U− trạng thái bên phải U+ Định nghĩa 1.2.2 (Sóng sốc điều kiện Rankine-Hugoniot) Một sóng sốc (1.6) có dạng  U− , x > st, U (x, t) = U , x < st, + (1.8) vận tốc sốc s(U− , U+ ) thỏa mãn điều kiện Rankine-Hugoniot F (U− ) − F (U+ ) = s(U− , U+ ) U− − U+ (1.9) Định nghĩa 1.2.3 (Nghiệm entropy sóng sốc Lax) Cho hệ định luật bảo tồn (1.6) i) Một sóng sốc dạng (1.8) gọi k-sốc Lax thỏa mãn điều kiện λk (U− ) > sk (U− , U+ ) > λk (U+ ) (1.10) ii) Cho hai hàm trơn Φ, Ψ : Rn → R gọi cặp entropy-thông lượng entropy (1.6) Φ hàm lồi thoả mãn đẳng thức DΦ(U ).B(U ) = DΨ(U ), ∀U ∈ Rn (1.11) iii) Một nghiệm U (x, t) (1.6) gọi nghiệm chấp nhận (hay gọi nghiệm entropy) (1.6) thỏa mãn bất phương trình entropy Φ(U )t + Ψ(U )x ≤ 0, ∀(x, t) ∈ R × (0, ∞), (1.12) với Φ, Ψ cặp entropy lồi-thông lượng entropy (1.6) Định lý 1.2.4 (Nghiệm nhớt mao dẫn) Xét tốn hệ định luật bảo tồn với nhớt mao dẫn β,γ β,γ Utβ,γ + F (U )β,γ (x, t) ∈ R × (0, ∞), x = βUxx + γUxxx ,  U− , x < 0, U β,γ (x, 0) = , β > 0, γ > U , x > + (1.13a) (1.13b) Giả sử U β,γ (x, t) nghiệm (1.13) bị chặn L∞ lim U β,γ (x, t) = 0, |x|→∞ lim (β,γ)→(0+ ,0+ ) U β,γ (x, t) = U (x, t) Khi U (x, t) nghiệm entropy (1.6) 1.3 1.3.1 Ổn định Lyapunov nguyên lý bất biến LaSalle Ổn định Lyapunov Xét hệ ô-tô-nôm x′ (t) = f (x(t)), t ∈ R, (1.14) Định nghĩa 1.3.1 (Điểm cân bằng) Cho hệ ô-tô-nôm (1.14) x∗ điểm cân (1.14) f (x∗ ) = x∗ gọi điểm cân ổn định ∀ε > 0, ∃δ(ε) > : ∥x(0) − x∗ ∥ < δ ⇒ ∥x(t) − x∗ ∥ < ε, ∀t > x∗ gọi điểm cân ổn định tiệm cận tồn số δ > cho ∥x(0) − x∗ ∥ < δ ⇒ lim x(t) = ε t→∞ Định lý 1.3.2 (Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov) Cho x∗ = điểm cân (1.14) Nếu tồn hàm V : D → R khả vi liên tục cho V xác định dương V˙ nửa xác định âm, tức V (0) = 0, V (x) > 0, ∀x ∈ D \ {0}, V˙ (x) ≤ 0, ∀x ∈ D, (1.15) x = điểm cân ổn định (1.14) Ngoài ra, V˙ xác định âm x = điểm cân ổn định tiệm cận (1.14) Định nghĩa 1.3.3 Cho x(t, x0 ) nghiệm trơn (1.14) thỏa x(0) = x0 x∗ điểm cân ổn định tiệm cận Miền hấp thụ điểm cân x∗ tập tất x0 cho lim x(t) = x∗ t→∞ 1.3.2 Nguyên lý bất biến LaSalle Định nghĩa 1.3.4 (Tập bất biến) Cho x(t) nghiệm trơn (1.14) Một điểm p gọi điểm giới hạn dương x(t) tồn dãy {tn |n ∈ N} tn → ∞ thỏa lim x(tn ) = p n→∞ Một tập M gọi tập bất biến dương (1.14) x(0) ∈ M ⇒ x(t) ∈ M, ∀t ≥ Định lý 1.3.5 (Nguyên lý bất biến LaSalle) Cho Ω ⊂ D tập compact bất biến dương (1.14) Cho V : D → R khả vi liên tục V˙ (x) ≤ 0, ∀x ∈ Ω Đặt E = {x ∈ Ω|V˙ (x) = 0} Khi nghiệm (1.14) xuất phát Ω tiếp cận tập bất biến lớn M E Chương SÓNG LƯU ĐỘNG CỦA HỆ ĐỘNG LỰC HỌC VỚI NHỚT VÀ MAO DẪN 2.1 Giới thiệu tốn Xét mơ hình nhiệt động lực học với nhớt mao dẫn: Phương trình động lực học với nhớt, mao dẫn khơng nhiệt độ vt − ux = 0, (2.1a) λ µv ux − (µvx )xx + v , v x x x λ µv Et + (up)x = uux + uv − u(µvx )x v x x ut + px = (2.1b) x + (µux vx )x + κ Tx , v x (2.1c) Mơ hình lưu chất van der Waals với nhớt, mao dẫn vt − ux = 0, ut + px = Et + (up)x = (2.2a) λ ux v λ uux v − µvx x xx , − u(µvx )x x (2.2b) x + (µux vx )x , (2.2c) v = v(x, t) hàm thể tích, T nhiệt độ, S = S(v, T ) entropy, p = p(v, S) hàm áp suất, u = u(x, t) hàm vận tốc Các hệ số không âm λ = λ(v, S), µ = µ(v, S), κ = κ(v, S) hệ số nhớt, mao dẫn nhiệt độ ε nội tổng lượng E xác định hệ thức lượng dε = T dS − pdv, (2.3a) u2 µ + vx 2 (2.3b) E =ε+ v+ − v− Gε cho (2.23) Khi đó, số δ ∈ R : < δ < L(v− + ε, 0), tập hợp Mệnh đề 2.3.4 Cho ε ∈ 0, Ωδ := {(v, w) ∈ Gε |L(v, w) ≤ δ}, (2.24) tập compact, nằm hoàn toàn Gε , bất biến dương (2.17) chứa điểm (v+ , 0) Hơn nữa, tập Ωδ miền hấp thụ điểm cân (v+ , 0) Định lý 2.3.5 Cho mơ hình nhớt mao dẫn (2.2) lưu chất van der Waals có phương trình trạng thái (2.13) Cho sóng 3-sốc cổ điển (2.14) nối U− U+ thỏa mãn điều kiện (2.21) Giả sử µ < θλ2 , b v− ) v− )v+ 9b(1 − θ= (v+ − Khi đó, tồn sóng lưu động hệ (2.2) nối U− U+ 14 Chương SỰ TỒN TẠI SÓNG LƯU ĐỘNG TƯƠNG ỨNG VỚI SỐC LAX CỦA CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN VƠ HƯỚNG Xét phương trình định luật bảo tồn vơ hướng ut + (f (u))x = β(b(u)ux )x + γ(c1 (u)(c2 (u)ux )x )x , 3.1 3.1.1 x ∈ R, t > 0, (3.1) Sóng sốc, sóng lưu động miền hấp thụ Sóng sốc Cho β → 0+ γ → 0+ , ta ut + (f (u))x = (3.2) Sóng sốc (3.2)  u− , x < st, u(x, t) = , u , x > st, + u− ̸= u+ , (3.3) thỏa mãn điều kiện Rankine-Hugoniot − s(u+ − u− ) + f (u+ ) − f (u− ) = 3.1.2 (3.4) Sóng lưu động Mệnh đề 3.1.1 Với phép đổi biến y = y − xt, phương trình (3.1) trở thành v , c2 (u) β b(u) v′ = − v+ h(u), γ c1 (u)c2 (u) γc1 (u) u′ = đó, h(u) = −s(u − u− ) + f (u) − f (u− ) 15 (3.5a) (3.5b) Mệnh đề 3.1.2 Điểm cân hệ phương trình vi phân (3.5) có dạng (u0 , 0) thỏa h(u0 ) = Hơn nữa, i) Nếu f ′ (u0 ) > s (u0 , 0) điểm yên ii) Nếu f ′ (u0 ) < s (u0 , 0) điểm cân ổn định tiệm cận 3.1.3 Miền hấp thụ điểm cân Giả sử (u0 , 0) điểm cân ổn định (3.5) Định nghĩa u0 L(u, v) := u c2 (ξ) v2 h(ξ)dξ + γc1 (ξ) (3.6) Xét v2 ≤ |u0 − q|2 , u ≥ u0 M2 (u0 − p)2 (u, v) ∈ R2 |(u − u0 )2 + v ≤ |u0 − p|2 , u ≤ u0 M (u0 − q)2 (3.7) Gp,q (u0 ) = (u, v) ∈ R2 |(u − u0 )2 + Mệnh đề 3.1.3 Cho (u0 , 0) điểm cân (3.5) thỏa f ′ (u0 ) < s Gε xác định (3.6) Khi Ωβ = {(u, v) ∈ Gp,q (u0 )|L(u, v) ≤ β} , β ∈ (0, L(q, 0)) (3.8) tập compact, bất biến dương (3.5) nằm hoàn toàn Gε (u0 , 0) ∈ Ωβ , ∀β ∈ (0, L(q, 0)) Hơn nữa, quỹ đạo (3.5) vào miền Ω= Ωβ β∈(0,L(q,0)) hội tụ đến tập điểm cân Ω y → ∞ 16 (3.9) 3.2 Sự tồn sóng lưu động tương ứng với sốc Lax cổ điển Giả thiết rằng, tồn u∗ < u+ : ∀u ∈ (u∗ , u+ ) thỏa u− u∗ c2 (ξ) h(ξ)dξ > γc1 (ξ) (3.10) Định lý 3.2.1 Cho sóng sốc (3.3) (3.2) thỏa điều kiện sốc Lax Oleinik Giả thiết điều kiện (3.10) thỏa mãn Khi đó, tốn luật bảo tồn (3.1) tồn sóng lưu động nối trạng thái bên trái u− trạng thái bên phải u+ 3.3 Sự tồn sóng lưu động tương ứng với sốc Lax phi cổ điển Hàm thông lượng f = f (u) có hai điểm uốn a1 , a2 : a1 < a2 thỏa mãn f ′′ (u) > 0, u ∈ (−∞, a1 ) ∪ (a2 , ∞), f ′′ (u) < 0, u ∈ (a1 , a2 ) (3.11) Mệnh đề 3.3.1 Cho sóng sốc (3.2) nối trạng thái u− trạng thái u+ với tốc độ s thoả mãn giả thiết Mệnh đề ?? Nếu L3 (u2 , 0) ≥ L3 (u− , 0) (3.12) (3.1) tồn sóng lưu động nối u− u3 (tương ứng với sóng lưu động liên kết với sóng sốc cổ điển) Mệnh đề 3.3.2 Cho điểm cân (u− , 0) (3.5) số s cho đường thẳng qua (u− , f (u− )) với hệ số góc s cắt đồ thị hàm f (u) bốn điểm phân biệt thỏa u1 < u2 < u3 < u− 17 Khi đó, tồn quỹ đạo (3.5) rời khỏi điểm (u− , 0) y = −∞ hội tụ đến ba điểm cân (ui , 0), i = 1, 2, Ước lượng miền hấp thụ điểm cân ổn định Ω = {(u, v) ∈ Gν,u− (u1 )|L1 (u, v) < L1 (u1 , 0)} (3.13) Ω1 = {(u, v) ∈ Gν1 ,u2 (u1 )|L1 (u, v) < L1 (u2 , 0)} (3.14) Ω′3 = {(u, v) ∈ Gu2 ,ν3 (u3 )|L3 (u, v) < L1 (u2 , 0)} (3.15) y = sup{α ∈ R|v(y) < 0, y < α}, u = u(y) (3.16) Định nghĩa Mệnh đề 3.3.3 Cho (u(y), v(y)) quỹ đạo (3.5) vào miền hấp thụ Ω Cho y, u xác định (3.15) Khi u ∈ (ν, u1 ] ∪ [u2 , u3 ] (3.17) Xét hàm số u L(u) = u− c2 (ξ) h(ξ)dξ, u ∈ R γc1 (ξ) (3.18) Mệnh đề 3.3.4 Cho đường thẳng qua (u− , f (u− )) với hệ số góc s cắt đồ thị hàm thông lượng f (u) bốn điểm phân biệt u1 < u2 < u3 < u− Nếu u ∈ [u2 , u3 ] L(u2 ) < k √ β k= γ L(u3 ), u− u2 b(ξ) h(ξ)dξ c1 (ξ) 18 (3.19) Định lý 3.3.5 Cho trạng thái cân (u− , 0) (3.5) số s Giả sử đường thẳng qua (u− , f (u− )) với hệ số góc s cắt đồ thị f bốn điểm phân biệt u1 < u2 < u3 < u− cho k L(u3 ) ≤ L(u2 ), (3.20) mL(u3 ) ≤ S1 , L xác định (3.18), β = m 2γ b(u) u∈[ν1 ,u2 ] c1 (u) >0 (3.21) S1 diện tích miền hấp thụ Ω1 Khi đó, tồn sóng lưu động (3.1) nối trạng thái bên trái u− trạng thái bên phải u+ = u1 19 Chương SỰ TỒN TẠI SÓNG LƯU ĐỘNG TƯƠNG ỨNG VỚI QUÁ TRÌNH CHUYỂN PHA TRONG LƯU CHẤT VAN DER WAALS Xét hệ phương trình đạo hàm riêng vt − ux = 0, ut + p((v))x = ε(φ(v)ux )x − δvxxx , x ∈ R, t ≥ 0, (4.1) có hàm áp suất p = p(v) khả vi cấp hai khoảng (0, ∞) tồn số thực < b1 < a1 < b2 < a2 thỏa mãn p′ (v) < 0, v ∈ (0, b1 ) ∪ (b2 , ∞), ′ p (v) > 0, v ∈ (b1 , b2 ), p′′ (v) > 0, v ∈ (0, a1 ) ∪ (a2 , ∞), p′′ (v) < 0, v ∈ (a1 , a2 ), p(v) > 0, (4.2) v > Hệ triệt tiêu nhớt mao dẫn vt − ux = 0, ut + (p(v))x = 4.1 4.1.1 (4.3) Sóng sốc sóng lưu động Sóng sốc Định nghĩa 4.1.1 (Sóng sốc) Sóng sốc (4.3) có dạng  (v− , u− ), x < st, (v, u)(x, t) = (v , u ), x > st + (4.4) + thỏa mãn điều kiện Rankine-Hugoniot s(v+ − v− ) + u+ − u− = 0, s(u+ − u− ) − (p(v+ ) − p(v− )) = 20 (4.5) Trị riêng ma trận Jacobian miền Hyperbolic −p′ (v) < λ2 (v) = λ1 (v) = − 4.1.2 −p′ (v) Sóng lưu động Đặt y = x − st, hệ (4.1) trở thành v ′ = z, z′ = − εs φ(v)z − h(v) δ (4.6) đó, h(v) := (p(v) − p(v− ) + s2 (v − v− )) δ Mệnh đề 4.1.2 (Tính ổn định điểm cân bằng) Một điểm (v, z) điểm cân (4.6) có dạng (v0 , 0) thỏa mãn h(v0 ) = Hơn nữa, i) Nếu p′ (v0 ) < −s2 (v0 , 0) điểm cân không ổn định hệ (4.6) ii) Nếu p′ (v0 ) > −s2 s > (tương ứng với sóng 2-sốc) (v0 , 0) điểm cân ổn định tiệm cận (4.6) y → +∞ iii) Nếu p′ (v0 ) > −s2 s < (tương ứng với sóng 1-sốc) (v0 , 0) điểm cân ổn định tiệm cận (4.6) y → −∞ 4.2 Miền hấp thụ Giả thiết v− < v+ đường thẳng qua (v− , p(v− )) với hệ số góc −s2 cắt đồ thị hàm áp suất p = p(v) điểm phân biệt thỏa v− < v1 < v2 < v3 Mệnh đề 4.2.1 Hàm h(v) := (p(v)−p(v− )+s2 (v −v− )) có nghiệm δ v− < v1 < v2 < v3 Hơn nữa, điểm (v− , 0), (v2 , 0) hai điểm yên (v1 , 0), (v3 , 0) hai điểm cân ổn định tiệm cận hệ (4.6) 21 Xét hàm Lyapunov điểm cân ổn định (u0 , 0) v L(v, z) := h(ξ)dξ + z2 (4.7) v0 Xét tập hợp Gp,q (v0 ) = z ≤ (v0 − q)2 , v ≤ v0 M2 (v0 − p)2 (v, z) ∈ R2 |(v − v0 )2 + z ≤ (v0 − p)2 , v ≥ v0 (M (v0 − q))2 (4.8) (v, z) ∈ R2 |(v − v0 )2 + Mệnh đề 4.2.2 (Miền hấp thụ điểm cân ổn định) Cho (v0 , 0) điểm cân (4.6) thỏa p′ (v0 ) + s2 > số thực dương β < L(q, 0) Khi đó, Ωβ = {(v, z) ∈ Gp,q (v0 )|L(u, v) ≤ β} (4.9) tập compact, bất biến dương nằm hoàn toàn Gp,q (v0 ), (v0 , 0) ∈ Ωβ Hơn nữa, quỹ đạo (4.6) bắt đầu Ω0 = Ωβ (4.10) β∈(0,L(q,0)) phải hội tụ đến tập điểm cân Ω0 y → +∞ 4.3 Sự tồn sóng lưu động Hàm Lyapunov tương ứng với điểm cân (v1 , 0) (v3 , 0) v L1,3 (v, z) = h(ξ)dξ + v1,3 22 z2 (4.11) Mệnh đề 4.3.1 Cho sóng 2-sốc hệ (4.3) nối trạng thái bên trái (v− , u− ) trạng thái bên phải (v+ , u+ ) = (v1 , u1 ) Giả sử L1 (v2 , 0) ≥ L1 (v− , 0) (4.12) Khi đó, tồn sóng lưu động (4.1) tương ứng với sóng sốc Trong trường hợp L1 (v2 , 0) < L1 (v− , 0), ta có kết sau Mệnh đề 4.3.2 Cho sóng lax 2-sốc (4.3) Quỹ đạo (4.6) rời khỏi điểm yên (v− , 0) theo góc phần tư Q1 (v− ) hội tụ đến ba điểm cân (vi , 0), i = 1, 2, Đặt y = sup{y ∈ R|z(y ′ ) > for all − ∞ < y ′ < y} (4.13) W (β) := {(v(y), z(y)) ∈ Q1 (v− )|y ∈ (−∞, y)}, ε v(β) := lim v(y), β= >0 y→y δ (4.14) Mệnh đề 4.3.3 (Sự tồn sóng lưu động nối hai điểm yên) Cho W (β) xác định (4.14) Giả sử L1 (v− , 0) > L1 (v2 , 0) Khi đó, tồn số thực β0 ∈ (0, +∞) cho quỹ đạo (4.6) với β = β0 hội tụ đến điểm yên (v2 , 0) tương ứng với phần đồ thị W (β0 ) hội tụ đến (v2 , 0) y → ∞ mặt phẳng (v, z) Mệnh đề 4.3.4 Cho β0 định nghĩa Mệnh đề 4.3.3 v(β) xác định (4.14) Giả sử L1 (v− , 0) > L1 (v2 , 0) Khi (i) Hàm số β → v(β) := vβ (y) liên tục (0, β0 ) (β0 , +∞) (ii) Hàm số v(.) song ánh từ (0, β0 ) vào (v3 , ν) từ (β0 , +∞) vào (v1 , v2 ) 23 Định lý 4.3.5 Cho số dương s > 0, trạng thái bên trái (v− , u− ) hàm áp suất p = p(v) dạng (4.2) Đường thẳng qua điểm (v− , p(v− )) với hệ số góc −s2 cắt đồ thị hàm áp suất p = p(v) bốn điểm phân biệt v− < v1 < v2 < v3 Giả sử L1 (v− , 0) > L1 (v+ , 0), (4.15) với L1 Định nghĩa 4.11 Khi đó, tồn hai số thực β0 > β∗ > thỏa mãn: (i) Nếu β ∈ (β0 , +∞) (4.1) tồn sóng lưu động nối (v− , u− ) (v+ , u+ ) = (v1 , u1 ) tương ứng với sóng sốc cổ điển Hay cách khác, tồn quỹ đạo (4.6) nối điểm yên (v− , 0) điểm cân (v1 , 0) (ii) Nếu β = β0 (4.1) tồn sóng lưu động nối (v− , u− ) (v+ , u+ ) = (v2 , u2 ) tương ứng với sóng sốc phi cổ điển vi phạm điều kiện sốc Lax Hay cách khác, tồn quỹ đạo (4.6) nối điểm yên (v− , 0) điểm yên (v2 , 0) (iii) Nếu β ∈ (β∗ , β0 ) (4.1) tồn sóng lưu động nối (v− , u− ) (v+ , u+ ) = (v3 , u3 ) tương ứng với sóng sốc phi cổ điển chuyển pha Hay cách khác, tồn sóng lưu động (4.6) nối điểm yên (v− , 0) điểm cân (v3 , 0) Chương Kết luận kiến nghị Kết luận chung Trong luận án này, khẳng định tồn sóng lưu động số mơ hình định luật bảo tồn vơ hướng (chương 3) hệ phương trình định luật bảo tồn (chương chương 4) liên kết với loại sốc khác Kết đăng [P1, P2, P3, P4, P5] 24 Kết thứ nhất, thiết lập hệ vi phân thường cho hệ nhiệt động lực học (2.1) với tham gia yếu tố nhớt, mao dẫn nhiệt độ Chúng thiết lập tính ổn định điểm cân ba kịch khác nhau: chất lỏng lý tưởng, khí nén lưu chất van der Waals Xấp xỉ nghiệm minh họa cho tồn sóng lưu động Kết trình bày mục 2.2 chương đăng báo [P1] Kết thứ hai, chứng tỏ tồn sóng lưu động cho mơ hình lưu chất van der Waals (2.2) ảnh hưởng nhớt mao dẫn với entropy thay đổi Đầu tiên, chúng tơi tìm nghiệm sốc tốn triệt tiêu nhớt mao dẫn Xây dựng hệ vi phân thường tương ứng với hệ phương trình (2.2), tìm điểm cân tính chất ổn định điểm cân Chúng thiết lập ước lượng điểm cân ổn định tiệm cận Xem xét quỹ đạo rời khỏi điểm cân không ổn định vào miền hấp thụ điểm cân ổn định dần điểm cân ổn định tiệm cận Từ đó, khẳng định cho tồn sóng lưu động liên kết với sốc Lax cho trước Dùng phần mềm MATLAB xấp xỉ sóng lưu động để minh họa cho kết đạt Kết trình bày mục 2.3 chương đăng báo [P2] Kết thứ ba, chứng tỏ tồn sóng lưu động tương ứng với sốc Lax cổ điển sốc Lax phi cổ điển cho phương trình định luật bảo tồn vơ hương (3.1) với hệ số phân tán khuếch tán phi tuyến, đồng thời hàm thông lượng f (u) không lồi Đầu tiên, cho hệ số phân tán khuếch tán dần 0, tìm nghiệm sốc khác cho toán dựa theo điều kiện biên ban đầu với dáng điệu hàm thông lượng Tiếp theo, xây dựng hệ vi phân thường tương ứng với mơ hình; tìm điểm cân tính ổn định chúng Ước lượng miền hấp thụ cho điểm cân ổn định tiệm cận 25 Trong mục 3.2 chương 3, xem xét tốn tương ứng với điểm cân Chúng tơi chứng tỏ tồn quỹ đạo xuất phát từ điểm cân bên trái vào miền hấp thụ điểm cân ổn định tiệm cận dần điểm cân lại Điều tương ứng với tồn sóng lưu động liên kết với sóng sốc cổ điển Kết đăng báo [P3] Trong mục 3.3 chương 3, chúng tơi xem xét tốn với điểm cân tương ứng với loại sóng sốc, có điểm cân ổn định điểm không ổn định miền hấp thụ điểm cân ổn định tiệm cận thiết lập Chúng đưa điều kiện đủ để quỹ đạo xuất phát từ điểm cân bên trái vào miền hấp thụ dần điểm cân ổn định xa Điều tương ứng với tồn sóng lưu động liên kết với sóng sốc phi cổ điển cho phương trình định luật bảo tồn vơ hướng với tham gia yếu tố tán xạ khuếch tán Kết đăng báo [P4] Kết thứ tư, tồn sóng lưu động cho hệ định luật bảo toàn khối lượng động lượng với nhớt mao dẫn lưu chất van der Waals Hàm áp suất xem xét tốn khơng lồi khơng giảm Điều thể q trình chuyển pha tốn Bởi tính chất hàm áp suất, thiết lập loại sốc toán triệt tiêu nhớt mao dẫn dựa theo điều kiện Liu Lax: sốc Lax cổ điển, sốc Lax phi cổ điển, sốc phi cổ điển vi phạm điều kiện sốc Lax Sau đó, chúng tơi thiết lập hệ vi phân thường tương ứng với toán ban đầu; xem xét toán trường hợp tổng quát có đến điểm cân bằng; cách xét dấu trị riêng ma trận Jacobian điểm cân bằng, chúng tơi tìm thấy có điểm cân khơng ổn định điểm lại ổn định tiệm cận Tiếp theo, định nghĩa hàm Lyapunov tương ứng với điểm cân ổn định tiệm cận từ thiết lập miền hấp thụ 26 điểm cân Chúng định nghĩa quan hệ thứ tự tập đoạn quỹ đạo rời khỏi điểm yên quay trở lại trục hồnh lần ε khảo sát tính đơn điệu chúng theo tham số dương β = δ Bằng cách đánh giá tham số β , xác định quỹ đạo rời khỏi điểm yên vào miền hấp thụ hai miền hấp thụ hai điểm cân ổn định tiệm cận Từ đó, chúng tơi đưa điều kiện đủ tương đối tổng quát cho tồn sóng lưu động tương ứng với loại sóng sốc Kết trình bày chương đăng báo [P5] Kiến nghị Với kết nghiên cứu được, nhận thấy phương pháp ước lượng miền hấp thụ điểm cân ổn định cịn có khả sử dụng để nghiên cứu tồn sóng lưu động mơ hình phức tạp Cụ thể Sự tồn sóng lưu động mơ hình nhiệt động lực học với tham gia yếu tố nhớt, mao dẫn nhiệt độ với xuất hệ ơ-tơ-nơm gồm phương trình vi phân Sử dụng lý thuyết ổn định Lyapunov tiếp tục nghiên cứu tồn sóng lưu động mơ hình nhiều chiều Sử dụng lý thuyết ổn định Lyapunov cho mơ hình dạng phi bảo tồn Nghiên cứu sóng lưu động cho hệ định luật bảo toàn với điều kiện biên Cauchy 27 Danh mục cơng trình tác giả (P1) M.D Thanh, N.H Hiep, On traveling waves in viscous-capillary Euler equations with thermal conductivity Appl Math Comput., 234C(2014), 127-141 (P2) M.D Thanh, N.D Huy, N.H Hiep, D.H Cuong, Existence of traveling waves in van der Waals fluids with viscosity and capillarity effects Nonlinear Analysis: TMA, 95(2014), 743–755 (P3) M.D Thanh, N.H Hiep, Existence of traveling waves to any Lax shock satisfying Oleinik’s criterion in conservation laws Appl Anal, 94(2015), 1011-1024 (P4) N.H Hiep, M.D Thanh, N.D Huy, Existence of traveling waves associated with Lax shocks which violate Oleinik’s entropy criterion Appl Anal., 96(5)(2017), 810-826 (P5) N.H Hiep, M.D Thanh, N.D Huy, Viscous-capillary traveling waves associated with classical and nonclassical shocks in van der Waals fluids Nonlinear Anal.: R.W.A, 41(2018),107-127 28 ... (v+ − Khi đó, tồn sóng lưu động hệ (2.2) nối U− U+ 14 Chương SỰ TỒN TẠI SÓNG LƯU ĐỘNG TƯƠNG ỨNG VỚI SỐC LAX CỦA CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN VƠ HƯỚNG Xét phương trình định luật bảo tồn vơ hướng ut... báo [P2] Kết thứ ba, chứng tỏ tồn sóng lưu động tương ứng với sốc Lax cổ điển sốc Lax phi cổ điển cho phương trình định luật bảo tồn vơ hương (3.1) với hệ số phân tán khuếch tán phi tuyến, đồng... Kết luận chung Trong luận án này, khẳng định tồn sóng lưu động số mơ hình định luật bảo tồn vơ hướng (chương 3) hệ phương trình định luật bảo tồn (chương chương 4) liên kết với loại sốc khác Kết