Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 52 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
52
Dung lượng
475,65 KB
Nội dung
CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI BẤT ĐẲNG THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng '' a < b '' a b gọi bất đẳng thức Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề " a b c d " ta nói bất đẳng thức c d bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a b viết " a b c d " Nếu bất đẳng thức a b hệ bất đẳng thức c d ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a b c d Tính chất bất đẳng thức Như để chứng minh bất đẳng thức a b ta cần chứng minh a b Tổng quát hơn, so sánh hai số, hai biểu thức chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng tính chất bất đẳng thức tóm tắt bảng sau Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung a b acbc c0 a b ac bc c0 a b ac bc Nhân hai vế bất đẳng thức với số a c c d ab cd a 0; c ab ac bd n * a b a n 1 b n 1 n * a a b a 2n b2n a0 ab a b ab a 3b Cộng hai vế bất đẳng thức với số Cộng hai bất đẳng thức chiều cd Nhân hai bất đẳng thức chiều Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa Khai hai vế bất đẳng thức Chú ý Ta gặp mệnh đề dạng a b a b Các mệnh đề dạng gọi bất đẳng thức Để phân biệt, ta gọi chúng bất đẳng thức không ngặt gọi bất đẳng thức dạng a b a b bất đẳng thức ngặt Các tính chất nêu bảng cho bất đẳng thức không ngặt II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN Bất đẳng thức Cơ-si Định lí Trung bình nhân hai số khơng âm nhỏ trung bình cộng chúng ab ab , Đẳng thức a, b ab 1 ab xảy a b 2 Các hệ Hệ Tổng số dương với nghịch đảo lớn a 2, a a Hệ Nếu x, y không âm có tổng khơng đổi tích xy lớn x y Hệ Nếu x, y khơng âm có tích khơng đổi tổng x y nhỏ x y III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung x 0, x x, x x x a a x a a0 x a x a xa a b ab a b B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa tính chất Phương pháp giải Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta sử dụng cách sau: Ta chứng minh A - B ³ Để chứng minh ta thường sử dụng đẳng thức để phân tích A - B thành tổng tích biểu thức khơng âm Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh Các ví dụ rèn luyện kĩ Loại 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức Ví dụ : Cho hai số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau ổ a + b ửữ b) ab Ê ỗỗ ữ ốỗ ữứ a + b2 a) ab £ c) a b c a b c d) a b c ab bc ca 2 Lời giải a) Ta có a + b - 2ab = (a - b)2 ³ Þ a + b ³ 2ab Đẳng thức Û a = b æ a + b ửữ b) Bt ng thc tng ng vi ỗỗ ữ - ab ỗố ứữ a 2ab b 4ab a b (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy Û a = b c) BĐT tương đương a b c a b c 2ab 2bc 2ca a b b c c a (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy Û a = b = c d) BĐT tương đương a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca a b c ab bc ca a b b c c a (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy Û a = b = c Nhận xét: Các BĐT vận dụng nhiều, xem "bổ đề" chứng minh bất đẳng thức khác Ví dụ : Cho năm số thực a, b, c, d, e Chứng minh a + b + c + d + e ³ a(b + c + d + e) Lời giải Ta có : a + b + c + d + e - a(b + c + d + e) = a2 a2 a2 a2 = ( - ab + b ) + ( - ac + c ) + ( - ad + d ) + ( - ae + e ) 4 4 a a a a = ( - b)2 + ( - c)2 + ( - d )2 + ( - e)2 ³ Þ đpcm 2 2 Đẳng thức xảy Û b = c = d = e = a Ví dụ : Cho ab ³ Chứng minh : 1 + ³ a + b + 1 + ab Lời giải Ta có = = 1 1 + =( )+( ) a + b + 1 + ab a + 1 + ab b + 1 + ab ab - a ab - b a -b b a a - b b - a + a 2b - b 2a + = ( ) = + ab (1 + b )(1 + a ) (a + 1)(1 + ab) (b + 1)(1 + ab) + ab + b + a a - b (a - b)(ab - 1) (a - b)2 (ab - 1) = ³ (Do ab ³ 1) + ab (1 + b )(1 + a ) (1 + ab)(1 + b )(1 + a ) Nhận xét : Nếu -1 < b £ BĐT có chiều ngược lại : 1 + £ a + b + 1 + ab Ví dụ 4: Cho số thực x Chứng minh a) x + ³ 4x b) x x x c) x12 x x x Lời giải a) Bất đẳng thức tương đương với x - 4x + ³ x 1 x3 x x 3 x 1 x x 3 2 x 1 x 1 1 (đúng với số thực x ) Đẳng thức xảy x b) Bất đẳng thức tương đương với x x x x x x x x 1 x Ta có x 0, x x 1 x 2 x2 1 Đẳng thức xảy x20 2 (không xảy ra) Suy x x ĐPCM 2 c) Bất đẳng thức tương đương với x12 x x x + Với x : Ta có x12 x x x x12 x x 1 x Vì x nên x 0, x x12 x x x + Với x : Ta có x12 x x x x x x x Vì x nên x - ³ x 12 - x + x - x + > Vậy ta có x 12 + x + > x + x Ví dụ 5: Cho a, b, c số thực Chứng minh a) a + b - 4ab + ³ b) ( a + ) + (b + ) ³ ( ab + ) 2 ( c) ( a + b ) - ab + ³ a b + + b a + ) Lời giải a) BĐT tương đương với ( a + b - 2a 2b ) + ( 2a 2b - 4ab + ) ³ Û ( a - b ) + (ab - ) ³ (đúng) 2 Đẳng thức xảy a = b = ±1 b) BĐT tương đương với ( a + ) + (b + 2b + ) - ( a 2b + 2ab + ) ³ Û ( a + b - 2a 2b ) + ( 2a - 4ab + 2b ) + ( a - 4a + ) ³ Û (a - b )2 + 2(a - b)2 + (a - 1)2 ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = ±1 ( ) c) BĐT tương đương với ( a + b ) - 2ab + - a b + + b a + ³ Û éê a - 4a b + + (b + ) ùú + éê b - 4b a + + ( a + ) ùú + ( a - 2ab + b ) ³ ë û ë û ( Û a - b2 + ) + (b - 2 a2 + ) + (a - b ) 2 ³ (đúng) Đẳng thức không xảy Ví dụ 6: Cho hai số thực x , y thỏa mãn x ³ y Chứng minh rằng; a) ( x - y ) ³ ( x - y ) b) x - 3x + ³ y - 3y Lời giải a) Bất đẳng thức tương đương ( x - y ) ( x + xy + y ) - ( x - y ) ³ Û ( x - y ) éê ( x + xy + y ) - ( x - y ) ùú ³ Û ( x - y ) éë 3x + 3xy + y ùû ³ ë û éæ y ửữ 3y ựỳ ỗ ( x - y ) ỗ x + ữữ + (đúng với x ³ y ) ĐPCM 2ø ỳỳ ờở ỗố ỷ ng thc xy v x = y b) Bất đẳng thức tương đương x - y ³ 3x - 3y - Theo câu a) ta có x - y ³ ( x - y ) , ta cần chứng minh ( x - y ) ³ 3x - 3y - (*), Thật vậy, BĐT (*) Û ( x - y ) - 12 ( x - y ) + 16 ³ Û ( x - y - ) éê ( x - y ) + ( x - y ) - ùú ³ ë û Û ( x - y - ) ( x - y + ) ³ (đúng với x ³ y ) Đẳng thức xảy không xảy Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại thường cho lời giải không tự nhiên ta thường sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng a Ỵ éë a; b ùû Þ (a - a )(a - b ) £ (*) a, b, c Ỵ éë a; b ùû Þ (a - a )(b - a )(c - a ) + ( b - a )( b - b )( b - c ) ³ ( * * ) Ví dụ : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a + b + c < 2(ab + bc + ca ) Lời giải Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a + b > c Þ ac + bc > c Tương tự bc + ba > b ; ca + cb > c cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Nhận xét : * Ở toán ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phương nên ta nhân hai vế BĐT với c Ngoài xuất phát từ BĐT | a - b |< c bình phương hai vế ta có kết Ví dụ : Cho a, b, c Ỵ [0;1] Chứng minh : a + b + c £ + a 2b + b 2c + c 2a Lời giải Cách 1: Vì a, b, c Ỵ [0;1] Þ (1 - a )(1 - b )(1 - c ) ³ Û + a 2b + b 2c + c 2a - a 2b 2c ³ a + b + c (*) Ta có : a 2b 2c ³ 0; a 2b + b 2c + c 2a £ a 2b + b 2c + c 2a nên từ (*) ta suy a + b + c £ + a 2b + b 2c + c 2a £ + a 2b + b 2c + c 2a đpcm Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a ( - b ) + b ( - c ) + c ( - a ) £ Mà a, b, c ẻ ộở 0;1 ựỷ ị a £ a, b £ b, c £ c a (1 - b ) + b2 (1 - c ) + c2 (1 - a ) £ a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) Ta cần chứng minh a ( - b ) + b ( - c ) + c ( - a ) £ Thật vậy: a, b, c Ỵ éë 0;1 ùû nên theo nhận xét ( * * ) ta có abc + ( - a )( - b )( - c ) ³ Û a + b + c - (ab + bc + ca ) £ Û a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) £ BĐT ban đầu chứng minh Ví dụ : Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a + b + c = Chứng minh : 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca ) + abc ³ Lời giải Vì a + b + c = ị a, b, c ẻ [-1;1] nờn ta có : (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³ Û + a + b + c + ab + bc + ca + abc ³ (*) Mặt khác : (1 + a + b + c)2 ³ Û + a + b + c + ab + bc + ca ³ (**) Cộng (*) (**) ta có đpcm Ví dụ 4: Chứng minh a ³ 4, b ³ 5, c ³ a + b + c = 90 a + b + c ³ 16 Lời giải Từ giả thiết ta suy a < 9, b < 8, c £ áp dụng ( * ) ta có (a - )(a - ) £ 0, (b - )(b - ) £ 0, (c - )(c - ) £ nhân cộng BĐT chiều lại ta được: a + b + c - 13(a + b + c) + 118 £ suy a +b +c ³ (a + b + c + 118 ) = 16 a + b + c = 90 13 a + b + c ³ 16 dấu “=” xảy a = 4, b = 5, c = Ví dụ 5: Cho ba số a, b, c thuộc éë -1;1 ùû không đồng thời không Chứng minh a 4b + b 4c + c 4a + ³2 a 2012 + b 2012 + c 2012 Lời giải Vì ba số a, b, c thuộc éë -1;1 ùû nên £ a , b , c £ Suy (1 - b )(1 + b - a ) ³ Û a + b - a 4b £ (*) Mặt khác a ³ a 2012 , b ³ b 2012 với a, b thuộc éë -1;1 ùû Suy a + b - a 4b ³ a 2012 + b 2012 - a 4b (**) Từ (*) (**) ta có a 2012 + b 2012 £ a 4b + hay Tương tự ta có b 4c + a 2012 + c 4a + b 2012 + ³ ³1 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 2012 + b 2012 + c 2012 Cộng vế với ta Hay a 4b + c 2012 + ³1 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 4b + b 4c + c 4a + a 2012 + b 2012 + c 2012 + ³3 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 4b + b 4c + c 4a + ³ ĐPCM a 2012 + b 2012 + c 2012 Dạng toán 2: sử dụng bất đẳng thức cauchy(côsi) để chứng minh bất đẳng thức tìm giá tri lớn nhất, nhỏ Phương pháp giải Một số ý sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt cơsi số phải số khơng âm * BĐT côsi thường áp dụng BĐT cần chứng minh có tổng tích * Điều kiện xảy dấu ‘=’ số * Bất đẳng thức cơsi cịn có hình thức khác thường hay sử dụng Đối với hai số: x + y ³ 2xy; 2 x +y ³ 2 (x + y )2 ỉ x + y ư÷ xy Ê ỗỗ ữ ỗố ữứ ; ổ a + b + c ư÷ a + b3 + c3 , abc Ê ỗỗ i vi ba s: abc Ê ữữ ỗố 3 ứ Cỏc ví dụ minh họa Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức cơsi Ví dụ 1: Cho a, b số dương thỏa mãn a + b = Chứng minh ỉ a b ưỉ a b a) ỗỗ + ữữữ ỗỗ + ữữữ ỗố b a ữứốỗ b a ø÷ b) ( a + b ) ³ 16ab Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có ( + a )( + b ) a b a b a b a b + ³ = 2, + ³ 2 = b a b a b a b a ỉ a b ưỉ a b Suy çç + ÷÷÷ çç + ÷÷÷ ³ ÷ç b a ứố ốỗ b a ứữ ab ab (1) Mặt khác ta có = a + b ³ a 2b = 2ab Þ ab £ (1) ỉ a b ưỉ a b T (1) v (2) suy ỗỗ + ữữữ ỗỗ + ữữữ PCM ỗố b a ữứốỗ b a ữứ ng thc xy a = b = b) Ta có ( a + b ) = ( a + 2ab + b )( a + 3ab + 3a 2b + b ) Áp dụng BĐT cơsi ta có a + 2ab + b ³ 2ab ( a + b ) = ab (a + 3ab ) + ( 3a 2b + b ) ³ (a + 3ab )( 3a 2b + b ) = Suy ( a + 2ab + b )( a + 3ab + 3a 2b + b ) ³ 16ab Do ( a + b ) ³ 16ab (a + )(b + ) ( + a )( + b ) ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = Ví dụ 2: Cho a, b, c số dương Chứng minh rng ổ ửổ ửổ 1 a) ỗỗ a + ữữữ ỗỗb + ữữữ ỗỗ c + ữữữ ỗố b ứốỗ c ứốỗ aứ b) a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ 6abc c) (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³ ( + abc ) d) a bc + b ac + c ab £ a + b + c Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có a+ ab ( + b )( a + ) a b c ³2 ,b+ ³2 ,c+ ³2 b b c c a a ỉ ưỉ ưỉ 1ư a b c Suy ỗỗ a + ữữữ ỗỗb + ữữữ ỗỗ c + ÷÷÷ ³ = ĐPCM b ứốỗ c ứốỗ aứ b c a ốỗ ng thức xảy a = b = c b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có + a ³ a = 2a , tương tự ta có + b ³ 2b, + c ³ 2c Suy a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ ( a 2b + b 2c + c 2a ) Mặt khác, áp dụng BĐT cơsi cho ba số dương ta có a 2b + b 2c + c 2a ³ a 2b.b 2c.c 2a = 3abc Suy a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ 6abc ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c = c) Ta có (1 + a )(1 + b)(1 + c) = + ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) + abc Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có ab + bc + ca ³ 3 ab.bc.ca = ( abc Suy (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³ + ( ) a + b + c ³ abc abc ) + 3 abc + abc = ( + abc ) ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c d) Áp dụng BĐT cơsi cho hai số dương ta có ỉ b + c ư÷ ỉ a + c ư÷ ỉ a + b ư÷ a bc £ a çç ÷, b ac £ b çç ÷, c ab Ê c ỗỗ ữ ỗố ữứ ỗố ứữ ỗố ữứ Suy a bc + b 2 ac + c a 2b + b 2a + a 2c + c 2a + b 2c + c 2b ab £ (1) Mặt khác theo BĐT cơsi cho ba số dương ta có a 2b £ a + a + b3 b3 + b3 + a a + a + c3 ,ba £ ,ac £ , 3 c 2a £ c3 + c3 + a b3 + b3 + c3 c3 + c3 + b3 ,bc £ ,cb £ 3 Suy a 2b + b 2a + a 2c + c 2a + b 2c + c 2b £ ( a + b + c ) (2) Từ (1) (2) suy a bc + b ac + c ab £ a + b + c Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 3: Cho a, b, c, d số dương Chứng minh a) a +b +c +d ³ abcd ỉa b c d b) ỗỗ + + + ữữữ ( a + b )(b + c ) ³ 16 çè b c) c a +b +c abc d + a ÷ø 8abc ³ (a + b)(b + c)(c + a ) Lời giải Lời giải Chọn C Sai lầm thường gặp Ta có f x x2 x 4 x2 Dấu " " xảy x 4 2 x x2 x 4 x2 x 4 Vậy hàm số cho khơng có giá trị nhỏ Lời giải Đặt t x t t +1 t 3t = t + = + + ³ (do t ³ 2) Lúc : f ( x ) = g (t ) = t t t ³2 ³ ì t ï ï = 5 ï Vậy g (t ) ³ Þ Min g (t ) = í t Û t = Û x = ï 2 ï ï ỵt ³ x2 2x Câu 12: Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x với x 1 x 1 A m B m C m D m Lời giải Chọn C x x x 1 1 Ta có f x x 1 x 1 x 1 x 1 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Dấu " " xảy x Vậy m x x Câu 13: Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A m B m 18 Lời giải Chọn B x x 8 x với x C m 16 D m Ta có f x x x 8 x x 10 x 16 16 x 10 x x Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có x 16 16 x f x 18 x x x Dấu " " xảy 16 x Vậy m 18 x x Câu 14: Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A m B m 4 x với x x 1 x C m D m Lời giải Chọn D Ta có f x Vì x 0;1 f x 1 x x 4x x x 4 x 1 x x x 1 x x 1 x x nên theo bất đẳng thức Cơsi, ta có 1 x 1 x x 1 x x x 2 f x 1 x x 1 x 1 x Dấu " " xảy 1 x x x Vậy m 1 x x Câu 15: Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A m B m 1 với x x 1 x C m D m 16 Lời giải Chọn B Cách Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có Mặt khác x 1 x x x 1 1 2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x x 1 x f x 1 x Dấu " " xảy x Vậy m x x Cách Ta có f x 1 1 x x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có 1 x x 1 x x 2 f x x 1 x x 1 x 1 x Dấu " " xảy x 1 x x 1 x x Câu 16: Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A m x 32 với x x 2 B m C m D m Lời giải Chọn C Ta có f x x 32 x 36 x x2 x 2 x 2 x2 x2 Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có x2 x2 2 f x 4 x2 x2 x Dấu " " xảy x x Vậy m x2 x3 với x Câu 17: Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x x A m B m C m D m 10 Lời giải Chọn C Ta có f x x3 4 2 2x2 2x2 x x x x Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có x 2 2 3 x 3 x x x x x Dấu " " xảy 2 x Vậy m 2 x x x4 với x Câu 18: Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x x A m B m C m Lời giải 13 D m 19 Chọn A Ta có f x x4 3 1 x3 x3 x x x x x Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có x3 1 1 1 4 x3 f x x x x x x x x Dấu " " xảy x Vậy m x x 3 Tìm giá trị lớn M hàm số f x x 3 x với x ; 2 Câu 19: A M B M 24 C M 27 D M 30 Lời giải Chọn C Áp dụng bất đẳng thức hệ Côsi ab f x x 1 x a b 2x 2x 2 , ta 27 f x 27 x Dấu " " xảy 2 x Vậy M 27 2 x x Câu 20: Tìm giá trị lớn M hàm số f x x 1 với x x B M A M C M Lời giải Chọn B Ta có f x x 1 x 1 x x 11 Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Dấu " " xảy x Vậy M 1 1 x 1 x D M Câu 21: Tìm giá trị lớn M hàm số f x A M x với x x 4 B M 2 C M D M Lời giải Chọn A Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có x x x f x x 1 Dấu " " xảy x Vậy M 4x 4 Câu 22: Tìm giá trị lớn M hàm số f x B M A M x x 1 với x C M D M Lời giải Chọn B Ta có f x x x 1 x x 2x x2 2x 4x Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có x x x f x x 1 Dấu " " xảy x Vậy M 4x 4 m lớn M hàm số f x x x Câu 23: Tìm giá trị nhỏ A m 2, M B m 3, M C m 2, M D m 3, M Lời giải Chọn B x Hàm số xác định 3 x nên TXĐ D 3;6 6 x Ta có f x Vì x 3 x x x 0, x 3;6 nên suy f x f x Dấu '' '' xảy x 3 x Vậy m Lại có x x x x nên suy f x 18 f x Dấu '' '' xảy x x x Vậy M 2 Vậy m 3, M m lớn M hàm số f x x x Câu 24: Tìm giá trị nhỏ A m 0, M B m 2, M C m 2, M D m 0, M 2 Lời giải Chọn C x Hàm số xác định x nên TXĐ D 4;8 8 x Ta có f x x x 8 x x x 8 x x f x Vì , x 4;8 nên suy f x x x Dấu '' '' xảy x Vậy m Với x 4;8 , áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có 16 x4 5 x 4 16 x 1 5 44 x 8 x 5 8 x 4 8 x 2 x x Lấy 1 theo vế, ta Suy x4 4 8 x Dấu " " xảy x x4 4 8 x 8 f x x 44 x 5 f x 36 Vậy M 5 Vậy m 2, M m hàm số f x x x Câu 25: Tìm giá trị nhỏ A m B m 10 Lời giải Chọn D C m D m 87 7 x 7 Hàm số xác định x nên TXĐ D ; 2 3 x Ta có y x 11 x 3x 2x x 3x 3x x 3x 3x x 3x 29 3 x 29 87 7 Vì , x ; nên suy f x f x 3 2 x x 87 Dấu '' '' xảy x Vậy m 3 f x x x2 Câu 26: Tìm giá trị lớn M hàm số A M B M D M C M 2 Lời giải Chọn D Ta có f x x x x2 2x x2 x2 2x x2 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có x x x x2 8 f x x x 16 f x 2 x x x Vậy M Dấu '' '' xảy 2 x x Câu 27: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y xy Tập giá trị biểu thức S x y là: A 0;3 B 0; 2 C 2; 2 D 2; 2 Lời giải Chọn C Ta có x y xy x y xy 2 x y Suy x y 2 x y 2 Câu 28: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y xy Tập giá trị biểu thức P xy là: 1 A 0; 3 1 C ;1 3 B 1;1 Lời giải 1 D 1; 3 Chọn D 2 x y xy xy x y xy Ta có x y xy xy x y 2 xy 1 Câu 29: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y xy Giá trị nhỏ biểu thức S x y là: A D C B Lời giải Chọn B Với x, y ta có x y xy Suy x y x y x y xy hay x y x y x y 3 Câu 30: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y x y xy Tập giá trị biểu thức S x y là: A 0; B ;0 C 4; D 0; 4 Lời giải Chọn D Ta có x y x y xy x y x y xy x y xy x y Suy x y 2 x y x y 4 x y x y 4 Câu 31: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y x y Tập giá trị biểu thức S x y là: B 0; 4 A 2; 4 C 0; 2 D 2; 4 Lời giải Chọn D Từ giả thiết, ta có x y x y 2 x y 2 x y x y x y Câu 32: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y Giá trị nhỏ S là: x y B A C D Lời giải Chọn C Ta có 1 4 1 4 4x y 4x y x y 52 x y y x y x x y x y Dấu '' '' xảy x ; y 3 Câu 33: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x y xy x y xy Giá trị nhỏ biểu thức S x y là: A C B D Lời giải Chọn D Từ giả thiết, ta có xy x y x y xy * Vì x 0, y nên x y Do * x y 1 3 3 x y x y x y 1 x y 3 x y x y4 x y Câu 34: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y xy Giá trị nhỏ giá trị xy lớn biểu thức P xy là: A B C D Lời giải Chọn A Ta có x y x y , kết hợp với giả thiết ta xy x y xy Đặt xy t , ta t 2t 2t t 2t 1 t t 1 t 1 2t 1 t 1 2t 1 Câu 35: Cho a A hai số thực a,b thuộc t khoảng 0;1 thỏa b3 a b ab a 1 b 1 Giá trị lớn biểu thức P ab B C Lời giải D mãn Chọn A a Giả thiết a ● 3 b3 a b b3 a b ab ab 1 a 1 b * a b2 a b ab ab 4ab 1 a b ● 1 a 1 b a b ab ab ab Từ 1 , kết hợp với * , ta 4ab ab ab 3ab ab ab Câu 36: Cho hai số thực x, y thuộc đoạn 0;1 thỏa mãn x y xy Tập giá trị biểu thức P xy là: A 0;1 1 B 0; 4 1 C 0; 3 1 1 D ; 3 Lời giải Chọn D Ta có xy x y xy xy Do x, y 0;1 , suy 1 x 1 y x y xy * Kết hợp * giả thiết, ta xy xy xy Câu 37: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y xy Giá trị nhỏ S x y A C B D Lời giải Chọn C 1 x 2y Từ giả thiết, ta có x y xy x.2 y 2 x y x y 8 x y Câu 38: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y xy Giá trị nhỏ S x y là: A B C Lời giải Chọn B D 11 Từ giả thiết x y xy x 1 y 1 16 1 x 2y Ta có 16 x 1 y 1 x 1 y x 2y x y 3 64 x 2y x y 11 Câu 39: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y Giá trị lớn biểu thức P x y xy là: A B C D Lời giải Chọn B Ta có x 1 y 1 x y 3 x y 3 5 36 Suy x y xy Câu 40: Cho hai số thực x, y không âm thỏa mãn x y 12 Giá trị lớn P xy là: A 13 C B D 13 Lời giải Chọn C Từ giả thiết, ta có 16 x y x y x.2 y Suy xy Dấu '' '' xảy x 2; y Câu 41: Cho x, y hai số thực thỏa mãn x y xy 1000 Biết biểu thức F x2 y đạt giá x y x a a b2 trị nhỏ Tính P 1000 y b A P B P C P D P Lời giải Chọn C x y x xy y xy x y 2.1000 2.1000 x y Ta có F x y x y x y x y Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có F x y 2.1000 2 x y x y 2.1000 40 x y xy 1000 xy 1000 Dấu " " xảy 2.1000 x y 20 x y x y ab 1000 a b2 2 F Vậy a b a b 2ab 4000 1000 a b 20 Câu 42: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ Fmin biểu thức F x y 1 x 2y A Fmin C Fmin B Fmin 2 D Fmin Lời giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương, ta có x x 1 y y 2 2 2x 2x y y Khi F x y x y x y 2 1 2x y 2 2x y x y x 1 Vậy Fmin Dấu " " xảy x y y 2x ; y Câu 43: Cho x y Giá trị nhỏ biểu thức F x A 3, B y x 8y C D Lời giải Chọn B Ta có F x 1 x 8y 8y y x 8y y x 8y Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F 3 x y y 3 y x 8y x Dấu " " xảy x y y y x 8y y Câu 44: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y S x y là: x y Tập giá trị biểu thức A 1;7 B 3;7 C 3;7 1 D 7;7 Lời giải Chọn C x Điều kiện: , suy x y y 3 ● Ta có x y x2 y3 4 x2 4 y3 x y9 2 x2 2 y3 Suy x y x y9 x y 7 ● Lại có x y x2 y3 x y 1 x y x y x y 1 x y 1 x y 1 Suy x y 1 x y 1 x y 1 x y 1 x y 1 x y Câu 45: Cho a, b, c số thực thỏa mãn a 0, b f x =ax bx c với x Tìm giá trị nhỏ Fmin biểu thức F A Fmin B Fmin 4a c b C Fmin D Fmin Lời giải Chọn B a Do hàm số f x ax bx c 0, x 4ac b Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có F 4a c 4ac b 2b b b b b c a b c 4a Dấu " " xảy b 4ac Câu 46: Cho ba số thực a, b, c không âm thỏa mãn a b c abc Giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức S a b c là: A B Lời giải Chọn D Từ giả thiết suy a b c C D Ta có a b c abc a b c a b c a Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có Từ suy a b c 2 a 2 b2 c2 27 b2 c2 a 2b2 c2 hay 27 Câu 47: Cho ba số thực dương x, y, z Biểu thức P S3 S S 27 x y z x y2 z2 có giá trị yz zx xy nhỏ bằng: A 11 B C D Lời giải Chọn C Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có x2 y z y z x z x y 3 x 3; y 3; z zx xy zx xy yz xy yz zx x y z Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ta x y z yz zx xy Suy P 9 Khi x y z P 2 Câu 48: Cho ba số thực dương x , y, z thỏa mãn điều kiện x y z Giá trị lớn biểu thức P x3 y z A 12 x y z bằng: B C D 11 Lời giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có x3 x x x x hay x3 3 x x Tương tự: y 3 y y z 3 z z Suy P x3 y z x y z x y z 12 Khi x y z P 12 Câu 49: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z Giá trị lớn biểu thức P x y y z z x bằng: A B C D Lời giải Chọn C Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có x y Suy x y x y 3; y z y z yz z x z x zx 4 x y z Do P x y y z z x Khi x y z P 3 ... b 2 012 + c 2 012 Cộng vế với ta Hay a 4b + c 2 012 + ? ?1 a 2 012 + b 2 012 + c 2 012 a 4b + b 4c + c 4a + a 2 012 + b 2 012 + c 2 012 + ³3 a 2 012 + b 2 012 + c 2 012 a 4b + b 4c + c 4a + ³ ĐPCM a 2 012 +... (1) 4a + 4b + 4c + 4a c + 4b c + 4abc + Suy Và 1 + £ 4b + Suy 1 1 + £ 2 , + £ 2 4a + 4c + 4a c + 4b + 4c + 4b c + 4 b 2 +5 , 1 + £ c +5 1 + + £ 4b + 4c + 4 b 2 +5 + c 2 c +5 2 +5 £ 4 bc (2) +5... Suy 1 + + ³ (*) Đẳng thức xảy Û a = b = c a b c a +b +c a) Ta có BĐT Û a +1- 1 b +1- 1 c +1- 1 + + £ a +1 b +1 c +1 1 1 Û -( + + )£ Û + + ³ a +1 b +1 c +1 a +1 b +1 c +1 Áp dụng BĐT (*) ta có 1