200 ĐỀ THI MON TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN THPT pdf

Cho tam giác ABC ni tip đưng tròn tâm O , đưng phân giác trong cđa gc A cắt cạnh BC tại D và cắt đưng tròn ngoại tip tại I.. Gi H là trc tâm cđa tam giác ABC , Đưng thẳng BH cắt đưng trò

200 ĐỀ THI MON TOÁN VÀO TRƯỜNG

CHUYÊN THPT

1

x x

31

5x− − x− = x−

Câu 3 ( 3 điĨm )

Trong mỈt phẳng toạ đ cho điĨm A ( -2 , 2 ) và đng thẳng (D) : y = - 2(x +1)

a) ĐiĨm A c thuc (D) hay không ?

b) Tìm a trong hàm s y = ax2 c đ thị (P) đi qua A

c) Vit phơng trình đng thẳng đi qua A và vuông gc với (D)

Câu 4 ( 3 điĨm )

Cho hình vuông ABCD c định , c đ dài cạnh là a E là điĨm đi chuyĨn trên đoạn CD ( E khác

D ) , đng thẳng AE cắt đng thẳng BC tại F , đng thẳng vuông gc với AE tại A cắt đng thẳng CD tại K

1) Chng minh tam giác ABF = tam giác ADK t đ suy ra tam giác AFK vuông cân

2) Gi I là trung điĨm cđa FK , Chng minh I là tâm đng tròn đi qua A , C, F , K

3) Tính s đo gc AIF , suy ra 4 điĨm A , B , F , I cng nằm trên mt đng tròn

2) Lp phơng trình đng thẳng đi qua điĨm ( 2 , -6 ) c hƯ s gc a và tip xĩc với đ thị hàm s trên

Câu 2 ( 3 điĨm )

Cho phơng trình : x2 – mx + m – 1 = 0

1) Gi hai nghiƯm cđa phơng trình là x1 , x2 Tính giá trị cđa biĨu thc

2 2 1 2

2 1

2 2

2

x x x x

x x M

+

−+

= T đ tìm m đĨ M > 0 2) Tìm giá trị cđa m đĨ biĨu thc P = 2 1

2

2

1 + x −

x đạt giá trị nh nht Câu 3 ( 2 điĨm )

12

a) Giải phơng trình khi m = 1

b) Tìm các giá trị cđa m đĨ hiƯu hai nghiƯm bằng tích cđa chĩng

Câu3 ( 2 điĨm )

Cho hàm s : y = ( 2m + 1 )x – m + 3 (1)

a) Tìm m bit đ thị hàm s (1) đi qua điĨm A ( -2 ; 3 )

b) Tìm điĨm c định mà đ thị hàm s luôn đi qua với mi giá trị cđa m

1) Chng minh t giác OANB là t giác ni tip và ON là phân giác cđa gc ANB

2) Chng minh M nằm trên mt cung tròn c định khi M thay đỉi

)1

11

2(

x x

x x

x x

x x A

x x x

x x

x

6

16

236

22

2 2

1

Câu 4 ( 3 điĨm )

Cho hình vuông ABCD , trên cạnh BC ly 1 điĨm M Đng tròn đng kính AM cắt đng tròn

đ-ng kính BC tại N và cắt cạnh AD tại E

1) Chng minh E, N , C thẳng hàng

2) Gi F là giao điĨm cđa BN và DC Chng minh ∆BCF=∆CDE

3) Chng minh rằng MF vuông gc với AC

=+

−

13

52

y mx

y mx

a) Giải hƯ phơng trình khi m = 1

b) Giải và biƯn lun hƯ phơng trình theo tham s m

y y x x

y x

2 2

12

5

1

−

++2) Giải bt phơng trình :

+

−

41

215

71

112

y x

y x

Câu 2 ( 3 điĨm )

Cho biĨu thc :

x x x x x x

x A

−+

1) Cho x2 + y2 = 4 Tìm giá trị lớn nht , nh nht cđa x + y

2) Giải hƯ phơng trình :







=+

=

−8

162 2

y x

y x

3) Giải phơng trình : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + 2 ( 5m +6)x +2m = 0

Câu 4 ( 3 điĨm )

Cho tam giác nhn ABC ni tip đng tròn tâm O Đng phân giác trong cđa gc A , B cắt đng tròn tâm O tại D và E , gi giao điĨm hai đng phân giác là I , đng thẳng DE cắt CA, CB lần lỵt tại M ,

N

1) Chng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân

2) Chng minh t giác AEMI là t giác ni tip và MI // BC

=+

64

3

y mx

my x

a) Giải hƯ khi m = 3

b) Tìm m đĨ phơng trình c nghiƯm x > 1 , y > 0

Câu 3 ( 1 điĨm )

Cho x , y là hai s dơng thoả mãn x5+y5 = x3 + y3 Chng minh x2 + y2 ≤ 1 + xy

Câu 4 ( 3 điĨm )

1) Cho t giác ABCD ni tip đng tròn (O) Chng minh

AB.CD + BC.AD = AC.BD

2) Cho tam giác nhn ABC ni tip trong đng tròn (O) đng kính AD Đng cao cđa tam giác kỴ

t đnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đng tròn (O) tại E

a) Chng minh : DE//BC

b) Chng minh : AB.AC = AK.AD

c) Gi H là trc tâm cđa tam giác ABC Chng minh t giác BHCD là hình bình hành

ĐỊ s 9

Câu 1 ( 2 điĨm )

Trơc căn thc mu các biĨu thc sau :

232

12+

+

=

222

1

−+

=

123

1+

a) Gi x1, x2 là hai nghiƯm cđa phơng trình Tìm m thoả mãn x1 – x2 = 2

b) Tìm giá trị nguyên nh nht cđa m đĨ phơng trình c hai nghiƯm khác nhau

Câu 3 ( 2 điĨm )

Cho

32

1

;32

b a

Câu 4 ( 3 điĨm )

Cho hai đng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B Mt đng thẳng đi qua A cắt đng tròn (O1) , (O2) lần lỵt tại C,D , gi I , J là trung điĨm cđa AC và AD

1) Chng minh t giác O1IJO2 là hình thang vuông

2) Gi M là giao diĨm cđa CO1 và DO2 Chng minh O1 , O2 , M , B nằm trên mt đng tròn 3) E là trung điĨm cđa IJ , đng thẳng CD quay quanh A Tìm tp hỵp điĨm E

4) Xác định vị trí cđa dây CD đĨ dây CD c đ dài lớn nht

2)Vit phơng trình đng thẳng đi qua điĨm (2; -2) và (1 ; -4 )

3) Tìm giao điĨm cđa đng thẳng va tìm đỵc với đ thị trên

Câu 2 ( 3 điĨm )

a) Giải phơng trình :

2121

2) Vit phơng trình đng thẳng đi qua hai điĨm ( 2 ; -2 ) và ( 1 ; - 4 )

3) Tìm giao điĨm cđa đng thẳng va tìm đỵc với đ thị trên

Câu 2 ( 3 điĨm )

1) Giải phơng trình :

2121

412

=+++

x

x x

x

Câu 3 ( 3 điĨm )

Cho hình bình hành ABCD , đng phân giác cđa gc BAD cắt DC và BC theo th t tại M và N

Gi O là tâm đng tròn ngoại tip tam giác MNC

1) Chng minh các tam giác DAM , ABN , MCN , là các tam giác cân

Trong mỈt phẳng toạ đ cho điĨm A ( 3 ; 0) và đng thẳng x – 2y = - 2

a) V đ thị cđa đng thẳng Gi giao điĨm cđa đng thẳng với trơc tung và trơc hoành là B và E

b) Vit phơng trình đng thẳng qua A và vuông gc với đng thẳng x – 2y = -2

c) Tìm toạ đ giao điĨm C cđa hai đng thẳng đ Chng minh rằng EO EA = EB EC và tính diƯn tích cđa t giác OACB

Câu 3 ( 2 điĨm )

Giả sư x1 và x2 là hai nghiƯm cđa phơng trình :

x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = 0 (1) a) Tìm các giá trị cđa m đĨ phơng trình c nghiƯm kép , hai nghiƯm phân biƯt

Cho tam giác ABC ni tip đng tròn tâm O KỴ đng cao AH , gi trung điĨm cđa AB , BC theo th t là

M , N và E , F theo th t là hình chiu vuông gc cđa cđa B , C trên đng kính AD

a) Chng minh rằng MN vuông gc với HE

b) Chng minh N là tâm đng tròn ngoại tip tam giác HEF

ĐỊ s 13

Câu 1 ( 2 điĨm )

So sánh hai s :

33

6

;211

532

y x

a y x

Gi nghiƯm cđa hƯ là ( x , y ) , tìm giá trị cđa a đĨ x2 + y2 đạt giá trị nh nht

=++

7

52 2

xy y x

xy y x

CD CB AD AB

=+

+

Câu 4 ( 1 điĨm )

Cho hai s dơng x , y c tỉng bằng 1 Tìm giá trị nh nht cđa :

xy y

x

S

4

31

323

22

32

−

−

−+

++

11

;

x x

x

−

−

Câu 3 ( 2 điĨm )

Tìm các giá trị nguyên cđa x đĨ biĨu thc :

2

32+

Cho đng tròn tâm O và cát tuyn CAB ( C ngoài đng tròn ) T điĨm chính giữa cđa cung lớn

AB kỴ đng kính MN cắt AB tại I , CM cắt đng tròn tại E , EN cắt đng thẳng AB tại F

1) Chng minh t giác MEFI là t giác ni tip

2) Chng minh gc CAE bằng gc MEB

=

−

−

044

325

2

2 2

xy y

y xy x

a) V đ thị hai hàm s trên cng mt hƯ trơc toạ đ

b) Vit phơng trình các đng thẳng song song với đng thẳng y = - x – 1 và cắt đ thị hàm s

a) Với giá trị nào cđa q thì phơng trình c nghiƯm

b) Tìm q đĨ tỉng bình phơng các nghiƯm cđa phơng trình là 16

Câu 3 ( 2 điĨm )

1) Tìm s nguyên nh nht x thoả mãn phơng trình :

41

3 + + =

− x x

2) Giải phơng trình :

011

Trong hƯ trơc toạ đ Oxy cho hàm s y = 3x + m (*)

1) Tính giá trị cđa m đĨ đ thị hàm s đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 )

2) Tìm m đĨ đ thị hàm s cắt trơc hoành tại điĨm c hoành đ là - 3

3) Tìm m đĨ đ thị hàm s cắt trơc tung tại điĨm c tung đ là - 5

b) Tính giá trị cđa A khi x = 7 4 3+

c) Với giá trị nào cđa x thì A đạt giá trị nh nht

a) Tam giác ABC đng dạng với tam giác EBD

b) T giác ADEC và AFBC ni tip đỵc trong mt đng tròn

c) AC song song với FG

1) Tìm m đĨ phơng trình c hai nghiƯm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11

2) Tìm đẳng thc liên hƯ giữa x1 và x2 không phơ thuc vào m

3) Với giá trị nào cđa m thì x1 và x2 cng dơng

Câu 3 ( 2 điĨm )

Hai ô tô khi hành cng mt lĩc đi t A đn B cách nhau 300 km Ô tô th nht mỗi gi chạy nhanh hơn ô tô th hai 10 km nên đn B sớm hơn ô tô th hai 1 gi Tính vn tc mỗi xe ô tô

Câu 4 ( 3 điĨm )

Cho tam giác ABC ni tip đng tròn tâm O M là mt điĨm trên cung AC ( không cha B ) kỴ

MH vuông gc với AC ; MK vuông gc với BC

1) Chng minh t giác MHKC là t giác ni tip

a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x2 = 0 2) Giải hƯ phơng trình : 2 3

b) Tính giá trị cđa P với a = 9

2) Cho phơng trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m là tham s )

a) Xác định m đĨ phơng trình c mt nghiƯm bằng 2 Tìm nghiƯm còn lại

b) Xác định m đĨ phơng trình c hai nghiƯm x1 ; x2 thoả mãn 3 3

x +x ≥

Câu 3 ( 1 điĨm )

Khoảng cách giữa hai thành ph A và B là 180 km Mt ô tô đi t A đn B , ngh 90 phĩt B , ri lại

t B vỊ A Thi gian lĩc đi đn lĩc tr vỊ A là 10 gi Bit vn tc lĩc vỊ kém vn tc lĩc đi là 5 km/h Tính vn tc lĩc đi cđa ô tô

a) CEFD là t giác ni tip

b) Tia FA là tia phân giác cđa gc BFM

++ bằng 2

ĐĨ 20Câu 1 (3 điĨm )

1) Giải các phơng trình sau :

a) 5( x - 1 ) = 2 b) x2 - 6 = 0 2) Tìm toạ đ giao điĨm cđa đng thẳng y = 3x - 4 với hai trơc toạ đ

Câu 2 ( 2 điĨm )

1) Giả sư đng thẳng (d) c phơng trình : y = ax + b

Xác định a , b đĨ (d) đi qua hai điĨm A ( 1 ; 3 ) và B ( - 3 ; - 1) 2) Gi x1 ; x2 là hai nghiƯm cđa phơng trình x2 - 2( m - 1)x - 4 = 0 ( m là tham s )

Mt hình chữ nht c diƯn tích 300 m2 Nu giảm chiỊu rng đi 3 m , tăng chiỊu dài thêm 5m thì

ta đỵc hình chữ nht mới c diƯn tích bằng diƯn tích bằng diƯn tích hình chữ nht ban đầu Tính chu

Câu 5 ( 1 điĨm ) Trong mỈt phẳng toạ đ ( Oxy ) cho điĨm A ( -3 ; 0 ) và Parabol (P) c phơng

trình y = x2 Hãy tìm toạ đ cđa điĨm M thuc (P) đĨ cho đ dài đoạn thẳng AM nh nht

II, Các đỊ thi vào ban t nhiên

8

−

=+

b) Với giá trị nào cđa m thì đ thị cđa các hàm s y = mx + 3 ; y = 3x –7 và đ thị cđa hàm s xác định câu ( a ) đng quy

Câu 3 ( 2 điĨm ) Cho hƯ phương trình

=

−

n y x

ny mx

2

5

a) Giải hƯ khi m = n = 1

b) Tìm m , n đĨ hƯ đã cho c nghiƯm

3

y x

Câu 4 : ( 3 điĨm )

Cho tam giác vuông ABC ( C = 900 ) ni tip trong đưng tròn tâm O Trên cung nh AC ta ly

mt điĨm M bt k ( M khác A và C ) V đưng tròn tâm A bán kính AC , đưng tròn này cắt đưng tròn (O) tại điĨm D ( D khác C ) Đoạn thẳng BM cắt đưng tròn tâm A điĨm N

a) Chng minh MB là tia phân giác cđa gc CMD

b) Chng minh BC là tip tuyn cđa đưng tròn tâm A ni trên

1

;3

2

;8

;2

9

− tìm x c) Xác định m đĨ đưng thẳng (D) : y = x + m – 1 tip xĩc với (P)

=

−2

y x

m my x

a) Giải hƯ khi m = 1

b) Giải và biƯn lun hƯ phương trình

Câu 3 : ( 1 điĨm )

Lp phương trình bc hai bit hai nghiƯm cđa phương trình là :

2

32

Cho ABCD là mt t giác ni tip P là giao điĨm cđa hai đng chéo AC và BD

a) Chng minh hình chiu vuông gc cđa P lên 4 cạnh cđa t giác là 4 đnh cđa mt t giác c đưng tròn ni tip

b) M là mt điĨm trong t giác sao cho ABMD là hình bình hành Chng minh rằng nu gc CBM = gc CDM thì gc ACD = gc BCM

c) Tìm điỊu kiƯn cđa t giác ABCD đĨ :

)

(2

1

BC AD CD AB

S ABCD = +

b) Tìm m sao cho (D) tip xĩc với (P)

c) Chng t (D) luôn đi qua mt điĨm c định

Câu 4 ( 3 điĨm )

Cho tam giác vuông ABC ( gc A = 900 ) ni tip đưng tròn tâm O , kỴ đưng kính AD

1) Chng minh t giác ABCD là hình chữ nht

2) Gi M , N th t là hình chiu vuông gc cđa B , C trên AD , AH là đưng cao cđa tam giác ( H trên cạnh BC ) Chng minh HM vuông gc với AC

3) Xác định tâm đưng tròn ngoại tip tam giác MHN

4) Gi bán kính đưng tròn ngoại tip và đưng tròn ni tip tam giác ABC là R và r Chng minh

AC AB r

R+ ≥

ĐỊ s 4

11

13

a) Tìm điỊu kiƯm cđa m đĨ hàm s luôn nghịch bin

b) Tìm m đĨ đ thị hàm s cắt trơc hoành tại điĨm c hành đ là 3

Cho tam giác ABC ni tip đưng tròn tâm O , đưng phân giác trong cđa gc A cắt cạnh BC tại

D và cắt đưng tròn ngoại tip tại I

a) Chng minh rằng OI vuông gc với BC

b) Chng minh BI2 = AI.DI

c) Gi H là hình chiu vuông gc cđa A trên BC

Chng minh gc BAH = gc CAO

d) Chng minh gc HAO = B − C

ĐỊ s 5

Câu 1 ( 3 điĨm ) Cho hàm s y = x2 c đ thị là đưng cong Parabol (P)

a) Chng minh rằng điĨm A( - 2;2)nằm trên đưng cong (P)

b) Tìm m đĨ đĨ đ thị (d ) cđa hàm s y = ( m – 1 )x + m ( m ∈R , m ≠1 ) cắt đưng cong (P) tại mt điĨm

c) Chng minh rằng với mi m khác 1 đ thị (d ) cđa hàm s y = (m-1)x + m luôn đi qua mt điĨm

=+

−

13

52

y mx

y mx

a) Giải hƯ phương trình với m = 1

b) Giải biƯn lun hƯ phương trình theo tham s m

c) Tìm m đĨ hƯ phương trình c nghiƯm thoả mãn x2 + y2 = 1

Câu 3 ( 3 điĨm )

Giải phương trình

51681

Cho tam giác ABC , M là trung điĨm cđa BC Giả sư gcBAM = Gc BCA

a) Chng minh rằng tam giác ABM đng dạng với tam giác CBA

b) Chng minh minh : BC2 = 2 AB2 So sánh BC và đưng chéo hình vuông cạnh là AB c) Chng t BA là tip tuyn cđa đưng tròn ngoại tip tam giác AMC

d) Đưng thẳng qua C và song song với MA , cắt đưng thẳng AB D Chng t đưng tròn ngoại tip tam giác ACD tip xĩc với BC

322

22

111

x y

y x

1) Xác định giá trị cđa m sao cho đ thị hàm s (H) : y =

x

1

và đưng thẳng (D) : y = - x + m tip xĩc nhau

Câu 3 ( 3 điĨm )

Cho phương trình x2 – 2 (m + 1 )x + m2 - 2m + 3 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 1

b) Xác định giá trị cđa m đĨ (1) c hai nghiƯm trái du

c) Tìm m đĨ (1) c mt nghiƯm bằng 3 Tìm nghiƯm kia

Câu 4 ( 3 điĨm )

Cho hình bình hành ABCD c đnh D nằm trên đưng tròn đưng kính AB Hạ BN và DM cng vuông

gc với đưng chéo AC

1 2

=+

x

Câu 2 ( 3 điĨm )

Cho phương trình x2 – ( m+1)x + m2 – 2m + 2 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 2

b) Xác định giá trị cđa m đĨ phương trình c nghiƯm kép Tìm nghiƯm kép đ

c) Với giá trị nào cđa m thì 2

Cho t giác ABCD ni tip trong đưng tròn tâm O Gi I là giao điĨm cđa hai đưng chéo AC và

BD , còn M là trung điĨm cđa cạnh CD Ni MI kéo dài cắt cạnh AB N T B kỴ đưng thẳng song

song với MN , đưng thẳng đ cắt các đưng thẳng AC E Qua E kỴ đưng thẳng song song với CD , đưng thẳng này cắt đưng thẳng BD F

a) Chng minh t giác ABEF ni tip

b) Chng minh I là trung điĨm cđa đoạn thẳng BF và AI IE = IB2

c) Chng minh

2 2

=

−53

3

my x

y mx

a) Giải hƯ phương trình khi m = 1

b) Tìm m đĨ hƯ c nghiƯm đng thi thoả mãn điỊu kiƯn ; 1

3

)1(7

+

−

−+

m

m y x

Câu 3 ( 2 điĨm )

Cho hai đưng thẳng y = 2x + m – 1 và y = x + 2m

a) Tìm giao điĨm cđa hai đưng thẳng ni trên

2) Mt đưng thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC lần lưỵt tại E và F Chng minh t giác BENI là t giác ni tip và E là trung điĨm cđa EF

ĐỊ s 9

Câu 1 ( 3 điĨm )

Cho phương trình : x2 – 2 ( m + n)x + 4mn = 0

a) Giải phương trình khi m = 1 ; n = 3

b) Chng minh rằng phương trình luôn c nghiƯm với mi m ,n

c) Gi x1, x2, là hai nghiƯm cđa phương trình Tính x +12 x22 theo m ,n

1) Khi x < 0 tìm các giá trị cđa m đĨ hàm s luôn đng bin

2) Tìm m đĨ đ thị hàm s đi qua điĨm ( 1 , -1 ) V đ thị với m va tìm đưỵc

Câu 4 (3 điĨm )

Cho tam giác nhn ABC và đưng kính BON Gi H là trc tâm cđa tam giác ABC , Đưng thẳng

BH cắt đưng tròn ngoại tip tam giác ABC tại M

1) Chng minh t giác AMCN là hình thanng cân

2) Gi I là trung điĨm cđa AC Chng minh H , I , N thẳng hàng

3) Chng minh rằng BH = 2 OI và tam giác CHM cân

đỊ s 10

Câu 1 ( 2 điĨm )

Cho phương trình : x2 + 2x – 4 = 0 gi x1, x2, là nghiƯm cđa phương trình

Tính giá trị cđa biĨu thc :

2

2 1

2 2 1

2 1

2 2

2

2

x x x x

x x x x A

+

−+

−

=

−12

72

y x

y x a

a) Giải hƯ phương trình khi a = 1

b) Gi nghiƯm cđa hƯ phương trình là ( x , y) Tìm các giá trị cđa a đĨ x + y = 2

Câu 3 ( 2 điĨm )

Cho phương trình x2 – ( 2m + 1 )x + m2 + m – 1 =0

a) Chng minh rằng phương trình luôn c nghiƯm với mi m

b) Gi x1, x2, là hai nghiƯm cđa phương trình Tìm m sao cho : ( 2x1 – x2 )( 2x2 – x1 ) đạt giá trị nh nht và tính giá trị nh nht y

c) Hãy tìm mt hƯ thc liên hƯ giữa x1 và x2 mà không phơ thuc vào m

Câu 4 ( 3 điĨm )

Cho hình thoi ABCD c gc A = 600 M là mt điĨm trên cạnh BC , đưng thẳng AM cắt cạnh

DC kéo dài tại N

a) Chng minh : AD2 = BM.DN

b) Đưng thẳng DM cắt BN tại E Chng minh t giác BECD ni tip

c) Khi hình thoi ABCD c định Chng minh điĨm E nằm trên mt cung tròn c định khi m chạy trên BC

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên 1999 Đại hc khoa hc t nhiên

Bài 1 Cho các s a, b, c tha mãn điỊu kiƯn:

+ + = Hãy tính giá trị biĨu thc P= += += += +1 a4++++b4++++c4

Bài 2 a) Giải phương trình x++++3−−−− 7−−−−x ==== 2x−−−−8

b) Giải hƯ phương trình :

1 1 9

2

1 52

xy xy



+ + + =++ ++ ++ ==+ + + =





 ++++ ====



Bài 3 Tìm tt cả các s nguyên dương n sao cho n2 + 9n – 2 chia ht cho n + 11

Bài 4 Cho vòng tròn (C) và điĨm I nằm trong vòng tròn Dng qua I hai dây cung bt k MIN, EIF Gi

M’, N’, E’, F’ là các trung điĨm cđa IM, IN, IE, IF

a) Chng minh rằng : t giác M’E’N’F’ là t giác ni tip

b) Giả sư I thay đỉi, các dây cung MIN, EIF thay đỉi Chng minh rằng vòng tròn ngoại tip t giác M’E’N’F’ c bán kính không đỉi

c) Giả sư I c định, các day cung MIN, EIF thay đỉi nhưng luôn vuông gc với nhau Tìm vị trí cđa các dây cung MIN, EIF sao cho t giác M’E’N’F’ c diƯn tích lớn nht

Bài 5 Các s dương x, y thay đỉi tha mãn điỊu kiƯn: x + y = 1 Tìm giá trị nh nht cđa biĨu thc :

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên toán 1992 Đại hc tỉng hỵp

Bài 1 a) Giải phương trình (1 + x)4 = 2(1 + x4)

b) Giải hƯ phương trình

7287

Bài 3 Cho ∆ ABC đỊu Chng minh rằng với mi điĨm M ta luôn c MA ≤ MB + MC

Bài 4 Cho ∠ xOy c định Hai điĨm A, B khác O lần lưỵt chạy trên Ox và Oy tương ng sao cho OA.OB = 3.OA – 2.OB Chng minh rằng đưng thẳng AB luôn đI qua mt điĨm c định

Bài 5 Cho hai s nguyên dương m, n tha mãn m > n và m không chia ht cho n Bit rằng s dư khi chia

m cho n bằng s dư khi chia m + n cho m – n Hãy tính t s m

n

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên 1996 Đại hc khoa hc t nhiên

Bài 1 Cho x > 0 hãy tìm giá trị nh nht cđa biĨu thc

x y

Bài 3 Chng minh rằng với mi n nguyên dương ta c : n3 + 5n MMMM 6

Bài 4 Cho a, b, c > 0 Chng minh rằng :

D C

BA

1

31

3

x x

x x



+ + =++ ++ ==+ + =





 ++++ ++++ ====



Bài 2 a) Giải phương trình x−−−−4++++ x3++++x2 + + = ++ + = ++ + = ++ + = +x 1 1 x4−−−−1

b) Tìm tt cả các giá trị cđa a đĨ phương trình

Bài 3 Cho đưng tròn tâm O ni tip trong hình thang ABCD (AB // CD), tip xĩc với cạnh AB tại E và

với cạnh CD tại F như hình

a) Chng minh rằng BE DF

AE = CF b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE Tính diƯn tích hình thang

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên 1998 Đại hc khoa hc t nhiên

Bài 1 a) GiảI phương trình x2+ ++ ++ ++ +8 2−−−−x2 ====4

b) GiảI hƯ phương trình : 24 2 2 2 47

Hãy tính giá trị biĨu thc P = a2 + b2

Bài 3 Cho các s a, b, c ∈ [0,1] Chng minh rằng {M}

Bài 4 Cho đưng tròn (O) bán kính R và hai điĨm A, B c định trên (O) sao cho AB < 2R Giả sư M

là điĨm thay đỉi trên cung lớn AB cđa đưng tròn

a) KỴ t B đưng tròn vuông gc với AM, đưng thẳng này cắt AM tại I và (O) tại N Gi J là trung điĨm cđa MN Chng minh rằng khi M thay đỉi trên đưng tròn thì mỗi điĨm I, J đỊu nằm trên mt đưng tròn c định

b) Xác định vị trí cđa M đĨ chu vi ∆ AMB là lớn nht

Bài 5 a) Tìm các s nguyên dương n sao cho mỗi s n + 26 và n – 11 đỊu là lp phương cđa mt s

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên 1993-1994 Đại hc tỉng hỵp



Bài 2 Tìm max và min cđa biĨu thc : A = x2y(4 – x – y) khi x và y thay đỉi tha mãn điỊu kiƯn : x ≥

0, y ≥ 0, x + y ≤ 6

Bài 3 Cho hình thoi ABCD Gi R, r lần lưỵt là các bán kính các đưng tròn ngoại tip các tam giác

ABD, ABC và a là đ dài cạnh hình thoi Chng minh rằng 12 12 42

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên 1991-1992 Đại hc tỉng hỵp

Bài 1 a) Rĩt gn biĨu thc A ====3 2 3 4 2 44 16 6−−−− .6 ++++

b) Phân tích biêu thc P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z - x )5 thành nhân tư

00





+ + =+ + =+ + =+ + =



hãy tính giá trị cđa biĨu

thc A = xa2 + yb2 + zc2

b) Cho 4 s a, b, c, d mỗi s đỊu không âm và nh hơn hoỈc bằng 1 Chng minh rằng

0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ 2 Khi nào đẳng thc xảy ra du bằng

Bài 3 Cho trước a, d là các s nguyên dương Xét các s c dạng :

a, a + d, a + 2d, … , a + nd, …

Chng minh rằng trong các s đ c ít nht mt s mà 4 chữ s đầu tiên cđa n là 1991

Bài 4 Trong mt cuc hi thảo khoa hc c 100 ngưi tham gia Giả sư mỗi ngưi đỊu quen bit với ít nht 67

ngưi Chng minh rằng c thĨ tìm đưỵc mt nhm 4 ngưi mà bt kì 2 ngưi trong nhm đ đỊu quen bit nhau

Chng minh rằng ∆ MCD đỊu

Bài 6 Hãy xây dng mt tp hỵp gm 8 điĨm c tính cht : Đưng trung trc cđa đoạn thẳng ni hai điĨm bt kì

luôn đI qua ít nht hai điĨm cđa tp hỵp đ

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên Lý 1989-1990

Bài 1 Tìm tt cả các giá trị nguyên cđa x đĨ biêu thc

2

2 3

x x x

Bài 2 Tìm giá trị nh nht cđa biĨu thc P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 3

Bài 3 a) Chng minh rằng với mi s nguyên dương m thì biĨu thc m2 + m + 1 không phảI là s chính phương

b) Chng minh rằng với mi s nguyên dương m thì m(m + 1) không thĨ bằng tích cđa 4 s nguyên liên tip

Bài 4 Cho ∆ ABC vuông cân tại A CM là trung tuyn T A v đưng vuông gc với MC cắt BC tại H

Tính t s BH

HC

Bài 5 C 6 thành ph, trong đ c 3 thành ph bt kì thì c ít nht 2 thnàh ph liên lạc đưỵc với nhau Chng

minh rằng trong 6 thành ph ni trên tn tại 3 thành ph liên lạc đưỵc với nhau

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên năm 2004 Đại hc khoa hc t nhiên(vòng1)

x+ ++ ++ ++ + x−−−− = += += += + x −−−−b) Tìm nghiƯm nguyên cảu hƯ 32 32 8

tuyn cđa tam giác kỴ t đnh B chia tam giác thành 4 phần Hãy tính diƯn tích mỗi phần

tại H (H không trng với tâm cảu đưng tròn ) Gi M và N lần lưỵt là chân các đưng vuông gc hạ

t H xung các đưng thẳng AB và BC; P và Q lần lưỵt là các giao điĨm cđa các đưng thẳng MH

và NH với các đưng thẳng CD và DA Chng minh rằng đưng thẳng PQ song song với đưng thẳng AC và bn điĨm M, N, P, Q nằm trên cng mt đưng tròn

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên năm 2004 Đại hc khoa hc t nhiên(vòng 2)

Bài 1 giảI phương trình x− +− +− +− +3 x− =− =− =− =1 2

Bài 2 GiảI hƯ phương trình

Bài 4 Cho hình vuông ABCD và điĨm M nằm trong hình vuông

a) Tìm tt cả các vị trí cđa M sao cho ∠ MAB = ∠ MBC = ∠ MCD = ∠ MDA

b) Xét điĨm M nằm trên đưng chéo AC Gi N là chân đưng vuông gc hạ t M xung AB và O là trung điĨm cđa đoạn AM Chng minh rằng t s OB

CN c giá trị không đỉi khi M di chuyĨn trên đưng chéo AC

c) Với giả thit M nằm trên đưng chéo AC, xét các đưng tròn (S) và (S’) c các đưng kính tương

ng AM và CN Hai tip tuyn chung cđa (S) và (S’) tip xĩc với (S’) tại P và Q Chng minh rằng đưng thẳng PQ tip xĩc với (S)

Bài 5 Với s thc a, ta định ngha phần nguyên cđa s a là s nguyên lớn nht không vưỵt quá a và kí

hiƯu là [a] Dãy s x0, x1, x2 …, xn, … đưỵc xác định bi công thc 1

ĐỊ thi thư vào THPT Chu Văn An 2004

−

= − Hãy tính giá trị cđa P

a) Tìm m đĨ phương trình (1) nhn x = 5 là nghiƯm, hãy tìm nghiƯm còn lại

b) Với m ≠ 0

Chng minh rằng phương trình (1) luôn c hai nghiƯm x1, x2 phân biƯt

Gi A, B lần lưỵt là các điĨm biĨu diƠn cđa các nghiƯm x1, x2 trên trơc s Chng minh rằng đ dài đoạn thẳng AB không đỉi (Không chắc lắm)

B) Gi CD lần lưỵt là điĨm chính giữa cung nh AM và BM

a) Chng minh rằng CD = R 2 và đưng thẳng CD luôn tip xĩc với mt đưng tròn c định b) Gi P là hình chiu vuông gc cđa điĨm D lên đưng thẳng AM đưng thẳng OD cắt dây BM tại

Q và cắt đưng tròn (O) tại giao điĨm th hai S T giác APQS là hình gì ? Tại sao ?

c) đưng thẳng đI qua A và vuông gc với đưng thẳng MC cắt đưng thẳng OC tại H Gi E là trung điĨm cđa AM Chng minh rằng HC = 2OE

d) Giả sư bán kính đưng tròn ni tip ∆ MAB bằng 1 Gi MK là đưng cao hạ t M đn AB Chng minh rằng :

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên năm 2003 Đại hc khoa hc t nhiên(vòng 2)

Bài 1 Cho phương trình x4 + 2mx2 + 4 = 0 Tìm giá trị cđa tham s m đĨ phương trình c 4 nghiƯm phân biƯt x1, x2, x3, x4 tha mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32

Bài 2 Giải hƯ phương trình :



Bài 3 Tìm các s nguyên x, y tha mãn x2 + xy + y2 = x2y2

Bài 4 đưng tròn (O) ni tip ∆ ABC tip xĩc với BC, CA, AB tương ng tại D, E, F Đưng tròn tâm (O’)

bàng tip trong gc ∠ BAC cđa ∆ ABC tip xĩc với BC và phần kéo dài cđa AB, AC tương ng tại

P, M, N

a) Chng minh rằng : BP = CD

b) Trên đưng thẳng MN ly các điĨm I và K sao cho CK // AB, BI // AC Chng minh rằng : t giác BICE và BKCF là hình bình hành

c) Gi (S) là đưng tròn đi qua I, K, P Chng minh rằng (S) tip xĩc với BC, BI, CK

Bài 5 S thc x thay đỉi và tha mãn điỊu kiƯn : x2++++(3−−−−x)2≥≥≥≥5

P====x ++++ −−−−x ++++ x −−−−x

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên năm 2003 Đại hc khoa hc t nhiên

Bài 1 Giải phương trình ( x++++5−−−− x++++2 1)( ++++ x2++++7x++++110)====3

Bài 2 Giải hƯ phương trình

Bài 3 Tím các s nguyên x, y tha mãn đẳng thc : 2y x2 ++++x++++y+ =+ =+ =+ =1 x2 ++++2y2++++xy

Bài 4 Cho nưa đưng tròn (O) đưng kính AB = 2R M, N là hai điĨm trên nưa đưng tròn (O) sao cho

M thuc cung AN và tỉng các khoảng cách t A, B đn đưng thẳng MN bằng R 3

a) Tính đ dài MN theo R

b) Gi giao điĨm cđa hai dây AN và BM là I Giao điĨm cđa các đưng thẳng AM và BN là K Chng minh rằng bn điĨm M, N, I, K cng nằm trên mt đưng tròn , Tính bán kính cđa đưng tròn đ theo R

c) Tìm giá trị lớn nht cđa diƯn tích ∆ KAB theo R khi M, N thay đỉi nhưng vn tha mãn giả thit cđa bài toán

Bài 5 Cho x, y, z là các s thc tha mãn điỊu kiƯn : x + y + z + xy + yz + zx = 6 Chng minh rằng : x2

+ y2 + z2 ≥ 3

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên năm 2002 Đại hc khoa hc t nhiên

Bài 1 a) Giải phương trình : x2−−−−3x++++2++++ x++++3==== x2++++2x− +− +− +− +3 x−−−−2

b) Tìm nghiƯm nguyên cđa phương trình : x + xy + y = 9

mỗi s với s th t cđa n trong hàng ta đưỵc 10 tỉng Chng minh rằng trong 10 tỉng đ tn tại ít nht hai tỉng c chữ s tn cng ging nhau

đ dài ba cạnh cđa mt tam giác

Bài 5 Đưng tròn (C) tâm I ni tip ∆ ABC tip xĩc với các cạnh BC, CA, AB tương ng tại A’, B’, C’

a) Gi các giao điĨm cđa đưng tròn (C) với các đoạn IA, IB, IC lần lưỵt tại M, N, P Chng minh rằng các đưng thẳng A’M, B’N, C’P đng quy

b) Kðo dài đoạn AI cắt đưng tròn ngoại tip ∆ ABC tại D (khác A) Chng minh rằng

.

IB IC

r

ID = trong đ r là bán kính đưng tròn (C)

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên năm 2002 Đại hc khoa hc t nhiên

Bài 1 a) Giải phương trình : 8++++ x ++++ 5−−−− x ====5

b) Giải hƯ phương trình :{{{{ 1 1 8

Bài 3 Tìm tt cả các s nguyên n sao cho n2 + 2002 là mt s chính phương

là điĨm thay đỉi trên cạnh CD (N không trng D) sao cho ∠ MAN = ∠ MAB + ∠ NAD

a) BD cắt AN, AM tương ng tại p và Q Chng minh rằng 5 điĨm P, Q, M, C, N cng nằm trên

không đỉi khi M, N thay đỉi

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên năm 2001 Đại hc khoa hc t nhiên

Bài 1 Tìm các gia trị nguyên x, y tha mãn đẳng thc: (y + 2)x2 + 1 = y2

Bài 2 a) Giải phương trình : x(3x++++1)−−−− x x( −−−−1)====2 x2

b) Giải hƯ phương trình : 22 2 2 3

phẳng b AB cha nưa vòng tròn, ta kỴ 2 tia Mx và My sao cho ∠ AMx =∠ BMy =300 Tia

Mx cắt nưa vòng tròn E, tia My cắt nưa vòng tròn F KỴ EE’, FF’ vuông gc với AB a) Cho AM= a/2, tính diƯn tích hình thang vuông EE’F’F theo a

b) Khi M di đng trên AB Chng minh rằng đưng thẳng EF luôn tip xĩc với mt vòng tròn c định

Bài 4 Giả sư x, y, z là các s thc khác 0 tha mãn :

21

ĐỊ thi vào 10 năm 1989-1990 Hà Ni

Bài 2 Mt ô tô d định đi t A đn B với vn tc 50 km/h Sau khi đi đưỵc 2/3 quãng đưng với vn

tc đ, vì đưng kh đi nên ngưi lái xe phải giảm vn tc mỗi gi 10 km trên quãng đưng còn lại Do đ

ô tô đn B chm 30 phĩt so với d định Tính quãng đưng AB

kéo dài tại F KỴ trung tuyn AI cđa ∆ AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K Đưng thẳng qua E

và song song với AB cắt AI tại G

a) Chng minh rằng AE = AF

b) Chng minh rằng t giác EGFK là hình thoi

c) Chng minh rằng hai tam giác AKF , CAF đng dạng và AF2 = KF.CF

d) Giả sư E chạy trên cạnh BC Chng minh rằng EK = BE + điỊu kiƯn và chu vi ∆ ECK

không đỉi

Bài 4 Tìm giá trị cđa x đĨ biĨu thc

2 2

ĐỊ thi tuyĨn sinh vào lớp 10 chuyên năm hc 2000-2001 (1)

b) Tìm x đĨ A đạt giá trị nh nht

c) Tìm các giá trị nguyên cđa x đĨ A nguyên

sao cho AQ BP = a2 Đưng thẳng AP cắt đưng thẳng BQ tại M

a) Chng minh rằng t giác ABCM ni tip đưng tròn

b) Tìm giá trị lớn nht cđa MA + MC theo a

b++++a++++c++++b++++a++++c <<<< b++++c ++++ c++++a ++++ a++++b

4+

ĐỊ thi tuyĨn sinh vào lớp 10 chuyên năm hc 2000-2001 (2)

b) Chng minh rằng P < 1 với mi giá trị cđa x ≠ ±1

Bài 2 Hai vòi nước cng chảy vào bĨ thì sau 4 gi 48 phĩt thì đầy Nðu chảy cng mt thi gian như nhau thì lưỵng nước cđa vòi II bằng 2/3 lương nước cđa vòi I chảy đưỵc Hi mỗi vòi chảy

riêng thì sau bao lâu đầy bĨ

Bài 3 Chng minh rằng phương trình : x2−−−− 6x+ =+ =+ =+ =1 0 c hai nghiƯm

x1 = 2− 3 và x2 = 2+ 3

( M không trng với A, B) Ngưi ta v mt đưng tròn tâm E tip xĩc với đưng tròn (O) tại M và tip xĩc với đưng kính AB Đưng tròn (E) cắt MA, MB lần lưỵt tại các điĨm th hai là C, D

a) Chng minh rằng ba điĨm C, E, D thẳng hàng

b) Chng minh rằng đưng thẳng MN đi qua mt điĨm c định K và tích KM.KN không đỉi c) Gi giao điĨm cđa các tia CN, DN với KB, KA lần lưỵt là P và Q Xác định vị trí cđa M đĨ diƯn tích ∆ NPQ đạt giá trị lớn nht và chng t khi đ chu vi ∆ NPQ đại giá trị nh nht

d) Tìm qu tích điĨm E

ĐỊ thi vào 10 hƯ THPT chuyên năm 2001 Đại hc khoa hc t nhiên

Bài 1 a) Cho f(x) = ax2 + bx + c c tính cht f(x) nhn giá trị nguyên khi x là s nguyên hi các

hƯ s a, b, c c nht thit phải là các s nguyên hay không ? Tại sao ?

b) Tìm các s nguyên không âm x, y tha mãn đẳng thc : x2 ==== y2++++ y−−−−1

4 x+ =+ =+ =+ =1 x −−−−5x++++14

35917



Tính giá trị cđa các biĨu thc 5 5

A====ax ++++by và 2001 2001

B====ax ++++by

tương ng tại A, B Mt gc vuông đnh O c mt cạnh cắt d M, còn cạnh kia cắt d’ N kỴ OH ⊥

MN Vòng tròn ngoại tip ∆ MHB cắt d điĨm th hai là E khác M MB cắt NA tại I, đưng thẳng

HI cắt EB K Chng minh rằng K nằm trên mt đưng tròn c đinh khi gc vuông uqay quanh đnh

O

2001 đng tiỊn đ theo mt vòng tròn sao cho tt cả các đng tiỊn đỊu c mỈt xanh ngưa lên phía trên Cho phép mỗi lần đỉi mỈt đng thi 5 đng tiỊn liên tip cạnh nhau Hi với cánh làm như th sau mt

s hữu hạn lần ta c thĨ làm cho tt cả các đng tiỊn đỊu c mỈt đ ngưa lên phía trên đưỵc hay không

? Tại sao ?

ĐỊ thi tuyĨn sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2003-2004 Đại hc sư phạm HN

Bài 1 Chng minh rằng biĨu thc sau c giá trị không phơ thc vào x

a) Giải phương trình ng với a = -1

b) Tìm a đĨ phương trình trên c đĩng ba nghiƯm phân biƯt

Bài 5 Qua mt điĨm M ty ý đã cho trên đáy lớn AB cđa hình thang ABCD ta kỴ các đưng thẳng

song song với hai đưng chéo AC và BD Các đưng thẳng song song này cắt hai cạnh BC và

AD lần lưỵt tại E và F Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J tương ng

a) Chng minh rằng nu H là trung điĨm cđa IJ thì H cng là trung điĨm cđa EF

b) Trong trưng hỵp AB = 2CD, hãy ch ra vị trí cđa mt điĨm M trên AB sao cho EJ = JI = IF

ĐỊ thi tuyĨn sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2004 Đại hc sư phạm HN

Bài 1 Cho x, y, z là ba s dương thay đỉi tha mãn điỊu kiƯn x + y + z = 3 Tìm giá trị nh nht cđa biĨu

a) Hãy ch ra 4 nghiƯm nguyên dương khác cđa phương trình đã cho

b) Chng minh rằng phương trình đã cho c vô s nghiƯm nguyên dương

Bài 5 Cho ∆ ABC đỊu ni tip đưng tròn (O) Mt đưng thẳng d thay đỉi luôn đi qua A cắt các tip tuyn

tại B và C cđa đưng tròn (O) tương ng tại M và N Giả sư d cắt lại đưng tròn (O) tại E (khác A), MC cắt BN tại F Chng minh rằng :

a) ∆ ACN đng dạng với ∆ MBA ∆ MBC đng dạng với ∆ BCN

b) t giác BMEF là t giác ni tip

c) Đưng thẳng EF luôn đi qua mt điĨm c định khi d thay đỉi nhưng luôn đi qua A

8

−

=+

b) Với giá trị nào cđa m thì đ thị cđa các hàm s y = mx + 3 ; y = 3x –7 và đ thị cđa hàm s xác định câu ( a ) đng quy

Câu 3 ( 2 điĨm ) Cho hƯ phơng trình

=

−

n y x

ny mx

2

5

a) Giải hƯ khi m = n = 1