ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút ĐỀ BÀI Bài 1 (3 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu Bài 2 (3 điểm) Tìm g[.]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ BÀI: Bài (3 điểm) Cho biểu thức: a +1 a +1 ab + a ab + a M= + − 1÷: − + 1÷ ab − ab − ab + ab + a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nhỏ M a + b = (m + 1)x − y = m + (1) Bài (3 điểm) Tìm giá trị m để hệ phương trình (2) x + (m − 1)y = Có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ Bài (4 điểm) giải phương trình sau: a) x + y + z + = x + + 40 y + + 80 z − 2012 b) 2x + (2m − 3)x − 2mx − m + = (x ẩn) Bài (3 điểm) Cho đường trịn đường kính AB Trên đường trịn lấy điểm C D cho C D không nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB » và AC < AD Gọi M, N điểm cung nhỏ AC » Đường thẳng MN cắt dây AC, AD H I Các dây MD AD CN cắt K a) Chứng minh ∆MKC, ∆NAK tam giác cân Chứng minh tứ giác NDKI tứ giác nội tiếp · b) Chứng minh AK phân giác CAD Bài (5 điểm) Cho hình thang cân ABCD có BC//AD AC cắt BD O · cho BOC = 600 Gọi điểm I, M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng BC, OA, OB, AB, CD a) chứng minh DMNC nội tiếp b) Tam giác MNQ tam giác c) Chứng minh tứ giác PNQM tứ giác nội tiếp d) So sánh góc MQP, QND, NMC e) Chứng minh trực tâm H tam giác MNQ thẳng hàng với O,I Bài (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình x − 407xy − 408y = 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài (3 đ) a) Biến đổi: a +1 ab + a + − 1÷ ab − ab + = ( a + 1)( ab − 1) + ( ab + a )( ab + 1) − ( ab + 1)( ab − 1) ( ab + 1)( ab − 1) (a b − a + ab − 1) + (ab + ab + a b + a ) − (ab − 1) ab − 2a b + ab = ab − ab( a + 1) = ab − a +1 −2( a + 1) ab + a − + 1÷ = Biến đổi: ab − ab − ab + = 0.25 0.25 0.25 0.75 Vậy M= b) ab( a + 1) ab − × ab − −2( a + 1) 0.25 = − ab Ta có ( a − b) = ( a + b) − ab mà ( a − b) ≥ 0.25 suy − ab ≥ ( a + b) hay − ab ≥ −16 0.5 0.25 0.25 0.25 Do M = − ab ≥ −4 GTNN M – a=b=4 Bài Rút y từ (1) thay vào (2), rút gọn pt: m x = m + (3 đ) Nếu m=0 pt vơ nghiệm suy hệ vô nghiệm m +1 m2 + m ≠ y = Nếu x = từ m2 m2 m2 + m + Đặt x + y = = S ⇔ (1 − S)m + m + = (3) m Giả sử S giá trị đó, tất nhiên ta phải tìm giá trị m tương ứng, hay pt (3) với ẩn m phải có nghiệm Nếu S=1 m=1 Nếu S ≠ để (3) có nghiệm ta phải có ∆ ≥ suy S ≥ Vậy S = (3) có nghiệm kép m = - lúc hệ có nghiệm thỏa 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.5 mãn x + y nhỏ 0.25 Bài a) Từ pt x + y + z + = x + + 40 y + + 80 z − 2012 biến đổi pt (1 đ) ( x + − 1) + ( y + − 20) + ( z − 2012 − 40) = 0.25 Mà ( x + − 1) ≥ ; ( y + − 20) ≥ ; ( z − 2012 − 40) ≥ 2 Suy ( x + − 1) = 0; ( y + − 20) = 0; ( z − 2012 − 40) = Từ giải pt (x = - ; y = 397 ; z = 3612) nghiệm pt b) Biến đổi 2x + (2m − 3)x − 2mx − m + = (2 đ) Thành m − 2(x − x)m + 3x − 2x − = 2 Coi m ẩn, giải pt m1,2 = x − x ± x − Từ tính m = 2x − x − (1) ; m = − x + (2) Tìm x theo m từ (1) (2) nghiệm pt cho là: ± + 8m x1,2 = ; x3 = − m Bài a) Chứng minh góc đáy ∆MKC (1,5 Suy ∆MKC cân đ) Chứng minh cạnh ∆NAK Suy ∆NAK cân Chứng minh góc NID NKD Suy tứ giác NDKI nội tiếp b) Chứng minh HA=HK (1,5 Suy góc CAK = góc HKA đ) Chứng minh HK//AD Suy góc DAK = góc HKA · Từ suy AK phân giác CAD Bài a) Chứng minh tam giác BOC (1 đ) Suy CN vng góc với ND Chứng minh DM vng góc với MC Từ suy DMNC nội tiếp đường trịn tâm Q đường kính CD b) Chứng minh QM=CD/2 (1 đ) Chứng minh QN=CD/2 Chứng minh MN=AB/2=CD/2 Từ suy tam giác MNQ c) Chứng minh MPNO hình bình hành (1 đ) Suy góc NPM = góc NOM = 1200 Suy góc MPN + góc MQN = 1800 MPNQ nội tiếp d) Chứng minh góc PQM = góc PNM (1 đ) Chứng minh góc NMC = góc PNM từ suy góc PQM = gócNMC 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 Chứng minh góc NMC = góc NDC Chứng minh góc QND = góc NDC từ suy góc NMC = gócQND Từ suy góc MQP, QND, NMC e) Vì H trực tâm tam giác MNQ suy góc MHN = 1200 (1 đ) Suy góc MHN = Góc MON = 1200 suy MHON nội tiếp Có gócHNM =300 mà MHON nội tiếp suy gócHOM=góc HNM=300 Lại có tam giác BOC suy góc IOC=300 gócHOM=gócIOC Từ suy điểm I, O, H thẳng hàng Bài x − 407xy − 408y2 = 2012 ⇔ x − 408xy + xy − 408y = 2012 (2 đ) ⇔ x(x − 408y) + y(x − 408y) = 2012 ⇔ (x + y)(x − 408y) = 2012 Mà (x +y) – (x – 408y) = 409y x, y ngun muốn tìm x, y trước hết ta tìm số nguyên (x + y) (x - 408y) có tích 2012 có hiệu chia hết cho 409 Phân tích 2012=1.2012=2.1006=4.503=(-1)(2012)=(-2)(-1006)=(-4)(-503) Nên ta có x + y = x + y = 503 x + y = −4 x + y = − 503 (I) (II) (III) (IV) x − 408y = 503 x − 408y = x − 408y = − 503 x − 408y = − Giải hệ pt ta có nghiệm nguyên (x , y) phương trình (5 ; − 1) ; (3 ; 1) ; (−5 ; 1) ; ( −502 ; − 1) 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 Chú ý: Các giám khảo kiểm tra lại đáp án, có bổ sung, điều chỉnh cần thống tổ chấm báo cáo Lãnh đạo Hội đồng chấm thi trước thực ... x, y trước hết ta tìm số ngun (x + y) (x - 408y) có tích 2012 có hiệu chia hết cho 409 Phân tích 2012=1.2012=2.1006=4.503= (-1 )(2012)= (-2 ) (-1 006)= (-4 ) (-5 03) Nên ta có x + y = x + y = 503 ... 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 Chú ý: Các giám khảo kiểm tra lại đáp án, có bổ sung, điều chỉnh cần thống tổ chấm báo cáo Lãnh đạo Hội đồng chấm thi trước thực ... ; ( z − 2012 − 40) ≥ 2 Suy ( x + − 1) = 0; ( y + − 20) = 0; ( z − 2012 − 40) = Từ giải pt (x = - ; y = 397 ; z = 3612) nghiệm pt b) Biến đổi 2x + (2m − 3)x − 2mx − m + = (2 đ) Thành m − 2(x −