TOÁN 12 thi THPT dạng câu 49 Min Max số phức (Có đáp án)

Tổng hợp bài tập, các câu TOÁN 12 thi THPT dạng câu 49 Min Max số phức (Có đáp án). Sát cấu trúc. Chúc các em thi tốt

NGÔ VĂN SƠN CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX SỐ PHỨC (CÂU 49: CỰC TRỊ SỐ PHỨC) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Môđun số phức:  Số phức z  a  bi biểu diễn điểm M  a; b  mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b  Tính chất  z  a  b  zz  OM  z  0, z   z z '  z z '   , z 0 z0 z z  ,  z '  0 z' z'  z  z'  z  z'  z  z' kz  k z , k  z  a  b  2abi  (a  b )2  4a 2b  a  b  z  z  z.z  Chú ý: Lưu ý:  z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k     z1  z2  z1  z2  z1  z2  z  z z  z 2 2 2  z  2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax  by  c  (1) Quỹ tích điểm M z  a  bi  z  c  di (2) (1)Đường thẳng :ax  by  c  (2) Đường trung trực đoạn AB với  A  a , b  , B  c, d    x  a   y  b  R z  a  bi  R Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R  x  a   y  b  R z  a  bi  R Hình trịn tâm I  a; b  , bán kính R 2 r   x  a    y  b   R r  z  a  bi  R Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồng tâm I  a; b  , bán kính r , R  y  ax  bx  c  c  0   x  ay  by  c Parabol  x  a 1 Elip  2 Elip 2a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2  2  y  c  2  11 b2 d2 z  a1  b1i  z  a2  b2i  2a Đoạn AB 2a  AB Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NGÔ VĂN SƠN  Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z Min Khi ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A  a; b   1   z Min  z0  a  b  z  a  b i  2  Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Tìm z Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A  a; b  , B  c; d   z Min  d  O, AB   a  b2  c  d 2  a  c   b  d  2 Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường trịn  Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R   z  z0  R  Tìm z Max , z Min Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trịn tâm I  a; b  bán kính R z  OI  R  a  b  R  z0  R  Max   2  z Min  OI  R  a  b  R  z0  R  Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip  Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a ,  a  c  Khi ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z Elip: x2 y2  1 a2 a2  c2  z Max  a   2  z Min  a  c  (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z2  2a Thỏa mãn 2a  z1  z2 Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z  z1  z  z2  2a ,  z1  z2  2a  z1 , z2  c, ci ) Tìm Max,  z1  z2  2c Min P  z  z0 Đặt  2 b  a  c Nếu z0  z1  z2 0  z1  z2 a  z0  Nếu  z  z  k  z  z    z1  z2 a  z0  Nếu  z  z  k  z  z   TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  PMax  a (dạng tắc)   PMin  b  z1  z2  PMax  z0   a    P  z  z1  z2  a  Min PMax  z0  z1  z2 a Trang NGÔ VĂN SƠN Nếu z0  z1  z0  z2 PMin  z0  z1  z2 b II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Dạng 1: Cho số phức z thoả mãn z  z1  z  z2 Tìm GTNN P  z  z3 Phương pháp: Đặt M  z  ; A  z1  ; B  z2  ; C  z3  điểm biểu diễn số phức z; z1 ; z2 ; z3 Khi từ giả thiết z  z1  z  z2 suy MA  MB hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực  đoạn AB Ta có: P  z  z3  CM nhỏ M hình chiếu C lên   Pmin  d  C ;    Dạng 2: Cho số phức z thoả mãn z  z0  R Tìm GTNN, GTLN P  z  z1 Phương pháp: Đặt M  z  ; I  z0  ; E  z1  điểm biểu diễn số phức z; z0 ; z1 Khi từ giả thiết z  z0  R  IM  R  M thuộc đường trịn tâm I bán kính R Ta có: P  z  z1  ME lớn  MEmax Pmin  MEmin Khi đó: Pmax  IE  R Pmin  IE  R  Dạng 3: Cho số phức z thoả mãn z  z1  z  z2 Tìm GTNN P  z  z3  z  z4 Phương pháp: Đặt M  z  ; A  z1  ; B  z2  ; H  z3  ; K  z4  điểm biểu diễn số phức z; z1; z2 ; z3 ; z4 Khi từ giả thiết z  z1  z  z2 suy MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực  AB ; P  z  z3  z  z4  MH  MK TH1: H , K nằm khác phía so với đường thẳng  Ta có: P  HM  KM  HK Dấu xảy  M  M  HK   Khi Pmin  HK TH2: H , K nằm phía so với đường thẳng  Gọi H  điểm đối xứng  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NGƠ VĂN SƠN Ta có: P  MH  MK  MH   MK  H K Dấu xảy M  M  H K   Khi Pmin  H K  Dạng 4: Cho số phức z thoả mãn z  z1  z  z2 Tìm GTNN P  z  z3  z  z4 2 Phương pháp: Đặt M  z  ; A  z1  ; B  z2  ; H  z3  ; K  z4  điểm biểu diễn số phức z; z1; z2 ; z3 ; z4 Khi từ giả thiết ta có: z  z1  z  z2 suy MA  MB hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực  AB Gọi I trung điểm HK MH  MK HK HK 2 2   P  MH  MK  2MI  Ta có: MI  Do Pmin  MI  M HK hình chiểu I lên  Khi Pmin  2M I  2  Dạng 5: Cho số phức z thoả mãn z  z0  R Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  z  z1  z  z2 2 Phương pháp: Đặt M  z  ; A  z1  ; B  z2  ; I  z0  điểm biểu diễn số phức z; z1; z2 ; z0 Khi từ giả thiết z  z0  R  IM  R  Tập hợp điểm biểu diễn M số phức z đường trịn tâm I bán kính R Gọi E trung điểm AB AB , Pmax  EM max  M  M Pmin  EM  M  M1 AB AB 2 Khi : Pmax   EI  R   ; Pmin   EI  R   2  Dạng 6: Cho hai số phức z1; z2 thoả mãn z1  z0  R z2  w1  z2  w , z0 ; w1 ; w Ta có: P  2ME  số phức biết Tìm GTNN P  z1  z2 Phương pháp: Đặt M  z1  ; N  z2  ; I  z0  ; A  w1  ; B  w  z1  z0  R  M thuộc đường trịn tâm I bán kính R z2  w1  z2  w  N thuộc đường trung trực  đoạn AB TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NGƠ VĂN SƠN Ta có: P  MN , đó: Pmin  d  I ;    R  Dạng 7: Cho hai số phức z1; z2 thoả mãn z1  w1  R1 z2  w  R2 w ; w số phức biết Tìm GTNN, GTLN biểu thức P  z1  z2 Phương pháp: Đặt M  z1  ; N  z2  ; I  w1  ; K  w  z1  w1  R1  M thuộc đường trịn tâm I bán kính R1 z2  w  R2  N thuộc đường trịn tâm K bán kính R2 Ta có: P  MN Dựa vào vị trí tương đối hai đường trịn để tìm MNmax ; MN BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1, z2  z1  z2  Giá trị lớn 3z1  z2  5i A  19 B  19 C 5  19 D  19 Lời giải Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm Min,Max mođun số phức HƯỚNG GIẢI: B1: Gọi z1 a bi, z2 c di với a, b, c, d B2:Tính z1 ; z2 ; 3z1 z2 B3:Tính Áp dụng: z z z z1 z z2 5i 3z1 z2 5i 19 Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Đặt z1 a bi, z2 di với a, b, c, d c a2 Do a Ta có 3z1 3z1 2ac c z2 3(a z2 (3a b2 b c) c)2 1, c2 2bd (3b (3b TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA d Theo giả thiết d2 4, (a c) (b d ) ac bd 9(a b2 ) (c d )i nên d )2 d 2) 6(ac bd ) 19 Trang NGÔ VĂN SƠN Áp dụng bất đẳng thức z z z 3z1 z2 z , ta có 5i 3z1 z2 5i 19 Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu z  2i  z  4i Cho số phức z thỏa mãn P  z2 z   3i  Giá trị lớn biểu thức là: A 13  B 10  C 13 D 10 Lời giải Chọn C Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z ta có: z  2i  z  4i  x2   y  2  x2   y  4 2  y  3; z   3i   điểm M nằm đường tròn tâm I  3;3 bán kính Biểu thức P  z   AM A  2;0  , theo hình vẽ giá trị lớn P  z  đạt   2 M  4;3 nên max P  Câu 2      13 Cho số phức z , w thỏa mãn z  w   4i , z  2w  10 Tìm giá trị lớn P  z  w A 3 B D C Lời giải Chọn D Ta có z  w   4i  z  w   4i  25 2    z  w  z.w  z.w  25 2 z  2w  10  z  2w  100 , 1    z  w  z.w  z.w  100 ,   2 Từ 1    z  w  150 2  Câu  2 1 1 P  z  w     z 6 w 5 3 6 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3i   iz2   2i  Tìm giá trị lớn biểu thức T  2iz1  3z2 A 313  16 B 313 C 313  D 313  Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NGÔ VĂN SƠN Chọn A Ta có z1  3i    2iz1   10i  1 ; iz2   2i    3z2    3i  12   Gọi A điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ 1   suy điểm A nằm đường tròn tâm I1  6; 10  bán kính R1  ; điểm B nằm đường trịn tâm I  6;3 bán kính R2  12 B A I2 I1 2 Ta có T  2iz1  3z2  AB  I1I  R1  R2  12  13   12  313  16 Vậy max T  313  16 Câu Cho số phức z w thỏa mãn z  w   4i z  w  Tìm giá trị lớn biểu thức T zw B max T  14 C max T  Lời giải A max T  176 Chọn D Đặt z  x  yi  x, y   Do D max T  106 z  w   4i nên w    x     y  i  x  3   y   Mặt khác z  w  nên z  w  2  x  y  12 x  16 y  25   x  y  x  y  28 1 Suy T  z  w  x  y  3  x     y  2 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có T   x  y  x  y  25    Dấu "  " xảy x2  y  3  x     y  2 Từ 1   ta có T   28  25    106  T  106 Vậy MaxT  106 Câu Cho z  số phức thỏa mãn điều kiện z   1  i   0,    Giá trị nhỏ biểu thức T  z   3i A 2 C B D Lời giải Chọn C Giả thuyết z   1  i      Từ    ta có 1 z iz 1 z    z  2i   z  i iz Đặt z  x  yi,  x, y   ta có x  yi  2i   x  yi  i   x  1   y     y  1  x  y   x  2 Khi T  x  yi   3i  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  x  1   y  3 2   x  1   x  5 2 Trang NGÔ VĂN SƠN  x  x  26   x    18  Vậy Tmin  , dấu xảy x  2; y  , hay z  2 Câu Cho số phức z1 z thỏa mãn z1  z2  , z1  z2  Tính giá trị lớn T  z1  z2 B T  10 A T  10 D T  C T  Lời giải Chọn A  Theo công thức đường trung tuyến ta có: z1  z2  z1  z2  z1  z2 Hay z1  z2  z1  z2  z1  z2 Ta có: T  z1  z2  2  z  z2  2 z1  z2  z1  z2 Vậy Max T  10 Câu 2     10  Cho số phức z số phức u   z  i  z  i  z  3i thỏa mãn u   u  i  Giá trị lớn biểu thức T  z   3i bằng: A 34  B  34 C  13 D  17 Lời giải Chọn B Gọi  u  x  yi  x  1 hệ u   u  i   x  yi   x  yi  i thức  y  x   y  1  x  y  số phức u có phần thực phần ảo z  a  bi Gọi x, y  R  với     a, b  R  u   z  i  z  i  z  3i  z  i z  z   z  3i với  a  b  i  2bi     a  bi   3i   a  b2  2a  2b  1   2b  3 i Suy ra:  a  b  2a  2b  1   2b  3   a  1   b    2 Suy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn  C  có tâm I  1;  bán kính R  Biểu thức T  z    3i   MA , với điểm M biểu diễn số phức z nằm đường tròn  C  ; điểm A  2; 3 Suy T  MA  MI  IA  R  IA   34 Câu Cho số phức z , w thỏa mãn z  3w  , z  3w  10 Tìm giá trị lớn P  z  w A 905 B 907 903 C D 902 Lời giải Chọn D   z  3w   z  3w  16  z  w  z.w  z.w  16 , 1 2   z  3w  10  z  w  z.w  z.w  100 ,   2 Từ 1   suy z  27 w  132 2   902 2  16  P  z  w     z  27 w   27  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NGƠ VĂN SƠN Câu Cho số phức z có phần ảo khác w  z số thực Tìm giá trị lớn biểu  z2 thức K  z   i A  2 B  C Lời giải D 2 Chọn C Đặt a  bi với a, b  b  Ta có z a  bi a  bi (a  bi )(a  b   2abi ) w    2  z 2   a  bi 2 a  b   2abi a  b   a 2b    a(a  b  2)  2ab   b(a  b  2)  2a 2b  i     a  b   a 2b   z số thực suy  z2 b(a  b  2)  2a 2b  a  b      2 2 2  a  b   4a b   a  b  w    K2  z  4i     a 2b   (a  4)  (b  2)  a  b  8a  2b  16   (8)  20  8a  8b  20     ( 8) a  b  20  12  32 Suy K  Vậy K max  Câu 10 Xét số phức z1 thỏa mãn z1   z1  i  số phức z2 thỏa z2   i  Giá trị 2 nhỏ z1  z2 A  B  C D Lời giải Chọn B Ta có: z1   z1  i   ( x  2)  y    x  ( y  1)   2  x  y     Tập hợp biểu diễn số phức z1 đường thẳng d Ta lại có: z2   i   ( x  4)  ( y  1)i   ( x  4)2  ( y  1)2    Tập hợp biểu diễn z2 đường trịn (C ) có tâm I (4;1), bán kính R  TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NGƠ VĂN SƠN Khi z1  z2 khoảng cách từ điểm thuộc d đến điểm thuộc (C ) Suy ra: Pmin  MN  d  I ,    R     5 Câu 11 Xét số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3i   iz2   2i  Giá trị lớn biểu thức P  2iz1  3z2 A 313  B 313 C 313  D 313  16 Lời giải Chọn D Đặt z3  2iz1 z4  3z2 suy P  2iz1  3z2  z3  (3z2 )  z3  z4 Và z1  1 z3  3i    z3   6  10i   z3 vào z1  3i    2i 2i 1 iz4   2i   z4    3i   12 Và z2   z4 vào iz2   2i   3 Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z3 , z4 z3   6  10i    A thuộc đường tròn tâm I (6; 10), R3  z4    3i   12  B thuộc đường tròn tâm J (6;3), R4  12   Pmin  IJ  R3  R4  313  16  P  z4  z3  AB     Pmax  IJ  R3  R4  313  16 Câu 12 Cho số phức z , w thỏa mãn w  i  5w   i Giá trị lớn biểu thức z4 P  z   2i  z   2i A 53 B 29 C  134 D 52  55 Lời giải Chọn A Từ giả thiết 5w   i , ta có 5w    i  z   z4 Khi đó: w  i   5w  5i     i  z    5i   z   2i  Suy điểm M  x ; y  biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn  C  :  x  3   y    2 Ta có: P  MA  MB , với A 1;  , B  5;  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NGÔ VĂN SƠN  tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền mặt phẳng T  thỏa mãn 2 x  y   (là miền tơ đậm hình vẽ, kể biên)  2  x     y  1  25 - Gọi A  2; 6  , B  2;  giao điểm đường thẳng x  y   đường tròn  C :  x     y  1 2  25 - Ta có: P  x  y  8x  y   x     y  3  P  25 2 Gọi  C  đường tròn tâm J  4; 3 , bán kính R  P  25 - Đường tròn  C  cắt miền T  JK  R  JA  IJ  IK  R  IA  10   25  P   40  20 10  P  20 (trong JK bán kính đường trịn tâm J tiếp xúc ngồi với đường tròn  C   )  M  20 m  40  20 10 Vậy M  m  60  20 10 Câu 12 Cho số phức z1 , z thỏa mãn z1  z2  z2   i   6i  số thực Tìm giá trị nhỏ   biểu thức P  z2  z1 z2  z1 z2 A 18  B  C 18  D 18  Lời giải Chọn D Đặt z2  x  yi ,  x, y   , ta có z2  z2   i   6i   x  y  x  y    x  y   i Vì z2  z2   i   6i  số thực nên x  y   Ta có P  z2  z1  z2  z1  z2  z1  z2  2 2 Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 , suy A nằm đường tròn  C  tâm O bán kính r  Gọi B điểm biểu diễn số phức z , suy B nằm đường thẳng  : x  y   Ta có P  AB2  Mà AB  d  O;    r    006 1  1 Nên P     18  Dấu “=” xảy B hình chiếu vng góc O  A giao điểm đoạn OB với đường tròn  C  Câu 13 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   i  2 z2   i  z2   i Tìm giá trị nhỏ z1  iz2 A B 2 C D 11 Lời giải Chọn A Giả sử số phức z1  a  bi ( a , b  ; i  1) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 29 NGÔ VĂN SƠN z1   i  2   a     b  1  2 Gọi điểm M biểu diễn số phức z1 Suy M thuộc đường tròn tâm I  2;1 , bán kính R2 Giả sử số phức z2  x  yi ( x, y  ; i  1) z2   i  z2   i   x  5   y  1   x    1  y  2 2  10 x  25  y   14 x  49  y   x  y  24   x  y   Điểm M  x ; y  biểu diễn số phức z2 Suy M thuộc đường thẳng 1 : x  y   Điểm M   y ; x  biểu diễn số phức iz2 Ta thấy M ảnh điểm M qua phép quay tâm O , góc quay 900 Suy M thuộc đường thẳng  : x  y   Khi đó: z1  iz2  M 1M Do z1  iz2 nhỏ  M1M nhỏ Suy ra:  z1  iz2   d  I ;    R  1 2  Câu 14 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   3i  z2   i  z2   i Giá trị nhỏ biểu thức P  z2   i  z2  z1 A 10  B C 85 1 D 10  Lời giải Chọn C Gọi M  z1  , N  z2  điểm biểu diễn số phức z1 z2 Từ điều kiện z1   3i   Tập hợp điểm M đường trịn tâm I 1;3 , bán kính R  Từ điều kiện z2   i  z2   i  NA  NB , với A  1;1 , B  5; 1  Tập hợp điểm N đường trung trực đoạn thẳng AB có phương trình  d  : 3x  y   Ta có P  z2   i  z2  z1  NE  MN , với E  1;1 I E M d N F Dễ thấy điểm E đường trịn  I ; R  nằm hồn tồn phía so với đường thẳng d  17  Gọi F điểm đối xứng E qua d  F  ;   5 85 1 Dấu xảy điểm F, N, M, I thẳng hàng Ta có P  NE  MN  NF  NI  R  FI  R  Vậy P  85 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 30 NGÔ VĂN SƠN Câu 15 Các số phức z1 , z2 thỏa mãn w  z1   i  z  z i 1 số thực 4z   13i  Giá trị nhỏ biểu thức P  z1  z2 A 37  B C 21 16 D 37 Lời giải Chọn B + Đặt z1  x  yi ,  x, y  w z1   i  z  z i 1 1  , ta có  x     y  1 i  x   x  y  1   y   x  x   i   xi  x2 + Vì w số thực nên y   x  x     y  x  x  4z   13i   z   13 13   i    x  2   y    4  + P  z1  z2  z1    z2  + Gọi M điểm biểu diễn z1 điểm M thuộc parabol  P  : y  x  x  13   Gọi N điểm biểu diễn z2 điểm N thuộc đường trịn  C  :  x     y    4  13   Gọi N1 điểm biểu diễn  z2 điểm N1 thuộc đường trịn  C1  :  x     y    4  + Phương trình tiếp tuyến   P  T  x0 , x02  x0  1 ,  x0  1 y   x0   x  x0   x02  x0    x0   x  y  x02   + Khi đó:  13  Pmin   MN1 min  T hình chiếu vng góc I lên  , với I  2,  tâm  C1   4 9   IT phương với VTPT n , với IT   x0  2, x02  x0   , n   x0  4, 1 4  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 31 NGÔ VĂN SƠN 9    x0    x02  x0     x0  x03  24 x02  x0  11  4   x0  1 7 T ,  2 2 Vậy Pmin  IT  R  37 37  1  4 z1  z2  z1  z2  Giá trị nhỏ Câu 16 Cho số phức z , z1 , z2 thoả mãn P  z  z  z1  z  z2 A  B  C  D 2 Lời giải Chọn C Từ z1  z2  z1  z2  ta có z1  ; z2  ; z1  z2  Gọi M , M1 , M điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2 M , M nằm đường tròn tâm O bán kính R  Do z1  z2  nên M 1M  P  z  z  z1  z  z2  OM  MM1  MM M1 M M2 O M' O' Xét Q M ,60  M   M  ; Q M ,60  O   O theo tính chất phép quay ta có MM  MM  ; OM  OM   P  OM  MM1  MM  M1M  MM   M O  M1O Dấu “=” xảy điểm M , M , M  , O  thẳng hàng  Pmin  M 1O  62  62  2.6.6 cos150   TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 32 NGÔ VĂN SƠN Câu 17 Cho hai số phức z , z  thỏa mãn z   z   3i  z   6i Tìm giá trị nhỏ z  z A 10 B C D 10 Lời giải Chọn B Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi , N  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi Ta có z    x   yi    x  5  y  52 Vậy M thuộc đường tròn  C  : x  5  y  52 z   3i  z   6i   x  1   y  3 i   x  3   y   i   x  1   y  3   x  3   y    x  y  35 2 2 Vậy N thuộc đường thẳng  :8 x  y  35 Dễ thấy đường thẳng  không cắt  C  z  z   MN Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho ba điểm  I , M , N  ta có MN  IN  IM  IN  R  IN  R  d  I ,    R   5   6.0  82  5  Dấu đạt M  M ; N  N0 Câu 18 Gọi z1 , z hai tất số phức thỏa mãn điều kiện  i  1 z  3i   z1  z2  Gọi m , n giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  z1  z2 Giá trị S  m3  n3 A 54 B 126 C 72 D 90 Lời giải Chọn C Ta có  i  1 z  3i     i  1 z  3   z   Gọi M điểm biểu diễn z ta có M nằm đường tròn  C  tâm I  3;0  , R  Gọi A , B điểm biểu diễn cho z1 , z ta có z1  z2   AB  Gọi H trung điểm AB ta có tam giác IAB vng I (theo định lý Pitago đảo) AB  IH   1 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 33 NGƠ VĂN SƠN  H chạy đường trịn tâm I bán kính R  P  z1  z2  OA  OB  1  12  OA2  OB  Mặt khác theo cơng thức độ dài đường trung tuyến ta có AB 22  2OH   2OH  2  max P  OI  R    ; P  OI  R     m  , n   S  64   72 OA2  OB  2OH  Câu 19 Cho hai số phức u, v thỏa mãn u  6i  u   3i  10, v   2i  v  i Giá trị nhỏ u  v A 10 B 10 C 10 D 10 Lời giải Chọn A + Gọi M điểm biểu diễn số phức u  MA  MB  10  AB Suy M thuộc Elip có: A, B tiêu điểm, độ dài trục lớn 2a   A  0;6   B 1;3    10 10 a Phương trình đường thẳng AB: 3x  y  + Goị N điểm biểu diễn số phức v : v   2i  v  i   x  1   y   i  x  1  y  i   x  1   y    x  1  y   x  y  2 2 u  v  MN Bài tốn trở thành tìm M thuộc elip, N thuộc đường thăng x  y  để MN nhỏ Để MN nhỏ M , N có vị trí hình vẽ Ta có: MA  MB  10 10 , MA  MB  AB  10  MA  3 A  0;  , N  2;   NA  10 Suy ra: MN  NA  MA  10  10 10  Chọn đáp án D 3 Câu 20 Cho số phức z , z thỏa mãn z1   2i  z1   2i  10 , z   6i  Tìm giá trị lớn z1  z2 A 12 B 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C D 11 Trang 34 NGÔ VĂN SƠN Lời giải Chọn A Gọi M , A  2; 2  B  2;  điểm biểu diễn cho số phức z1 , z   2i z   2  2i Khi theo đề ta có : MA  MB  10 AB   10 Vì A , B điểm cố định nên quỹ tích điểm M thõa mãn điều kiện elip  E  có độ dài trục lớn 2a  10 , tiêu điểm A , B Mặt khác N điểm biểu diễn cho số phức z2 thỏa mãn z2   6i  đường tròn  C  tâm I  6; 6  , bán kính R  Dễ thấy B , A , I nằm đường thẳng y   x Xét điểm P nằm đoạn BI thỏa mãn IP   P  5; 5   P   C    C   E  tiếp xúc P Khi   P   E  Do MN lớn : MN  2a  R  MP  PN  10  2  12 , lúc : M , P đỉnh trục lớn  E  , N điểm đối xứng P qua I Câu 21 Cho hai số phức u , v thỏa mãn u  6i  u   3i  10 , v   2i  v  i Giá trị nhỏ u  v là: A 10 B 10 C 10 D 10 Lời giải Chọn D 10 10  MF1  MF2  3 1 9  u có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm F1  0;6  , F2 1;3 , tâm I  ;  độ dài 2 2  Ta có: u  6i  u   3i  10  u  6i  u   3i  trục lớn 2a  10 10 a F1 F2  1; 3  F1 F2 : x  y    Ta có: v   2i  v  i  v  i  NA  NB  v có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d trung trực đoạn AB với A 1; 2  , B  0;1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 35 NGÔ VĂN SƠN 1 1 AB   1;3 , K  ;   trung điểm A  d : x  y   2 2 d I,d   27  2 2   3 2  10 Dễ thấy F1F2  d  u  v  MN  d  I , d   a  10 Câu 22 Cho số phức z1 , z thỏa mãn z1  z2  4, z1  z1  z2 Gọi A1 , A2 điểm biểu diễn z1 , z Khi z1 z2 đạt giá trị lớn diện tích tam giác OA1 A2 bao nhiêu? A C Lời giải B 2 D Chọn A Giả sử z1  a  bi, z2  c  di với a, b, c, d số thực   z  z  z  z   a  c    b  d     a  c    b  d    z  z 2      Do    z1  z1  z2  nên z1  z2  z1  z2 , tức z1  z2  16 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm z1 , z2 ta có: 16  z1  z2  2 z1.z2 , đẳng thức xảy z1  2 z2  2 Tức Max z1.z2  z1  2 z2  Đến đây, xét mặt phẳng tọa độ Oxy ta có OA1 A2 tam giác cân A1 , OA1  2 , OA2  Gọi H hình chiếu vng góc A1 OA2 ta A1 H  1 Vậy diện tích tam giác OA1 A2 S  A1 H OA2  7.2  (đơn vị diện tích) 2 Câu 23 Cho ba số phức S z1 z2 z2 z3 z1 , z2 , z3 đơi khác thỏa mãn z2 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA z3 z3 z1 z3 z1 z1 z1 z2 z3 a Đặt z Giá trị nhỏ S Trang 36 NGÔ VĂN SƠN A 4a B 9a C a D a Lời giải Chọn B Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1, z , z Có z1 z2 a nên tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R  a z3 Cách 1: S AB.BC BC CA 4R2 sinC sin A CAAB sin A sin B sin B sinC  R  cos  C  A  cos  C  A   cos ( A  B)  cos  A  B   cos ( B  C )  cos  B  C    2R2 (3  cos B  cos C  cos A) Lại có: cos A  cos B  cos C  cos A  2cos BC B C cos 2 A B C   B C  2  sin  cos 1    cos 2  2  3   S  2a     9a ; S  9a  A  B  C  z1  z2  z2  z3  z3  z1 2  Cách 2: y A C x O B S AB.BC BC CA CAAB AB BC CA2 Đặt AOB  2 , BOC  2 , COA  2 , ta có   ,  ,   1800 ,       1800 Áp dụng định lý cosin tam giác, ta có: AB BC cos cos CA2 6a 2a cos 2 cos2 cos cos cos cos cos   1   cos   cos         cos       1   2   2  cos               600 Dấu "  " xảy   cos    Vậy giá trị lớn S 6a  2a  9a Câu 24 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2   12i  z1   20i   z2 Gọi M , m giá trị lớn nhỏ biểu thức P  z1  z2  12  15i Khi giá trị M  m2 A 225 B 223 C 224 Lời giải D 220 Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 37 NGÔ VĂN SƠN  w  z2  Đặt w  z1   12i    w   8i  z2   AB  Gọi A , B hai điểm biểu diễn hai số phức w z2 Khi ta có   AM  OB  với điểm M  6;8   AB  AM  OB 10  OM Suy A , B thuộc đoạn OM Suy OA  xOM   6 x;8 x  OB  yOM   6 y;8 y  với x , y 0;1  w  6 x  xi Đặt  với x , y 0;1  z2  6 y  yi Khi P  6 x  xi  12 y  16 yi  21  3i Hay P   6 x  12 y  21  8 x  16 y  3 2 Đặt t  x  y, t  0;3 Khi P  100t  300t  450 Khảo sát hàm số f  t   100t  300t  450 đoạn  0;3 ta 3 max f  t   f    450 , f  t   f    225 0;3 0;3 2 Từ suy M  450 , m  15 Vậy M  m2  225 Câu 25 Cho hai số phức z; w thoả mãn z.z  w   4i  Tìm giá trị lớn biểu thức P  zw A Pmax  B Pmax  C Pmax  10 D Pmax   Lời giải Chọn B Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z z.z   x  y   M   C1  có tâm O  0;0  , bán kính R1  Gọi N điểm biểu diễn số phức w w   4i   N   C2  :  x  3   y    , có tâm I  3; 4  , bán kính R2  2 Do OI   R1  R2   C1  ;  C2  nằm P  z  w  MN Do Pmax  MNmax  MN  M N0  OI  R1  R2  Vậy Pmax  Câu 26 Xét số phức z  a  bi  a; b   thoả mãn điều kiện z   3i  Tính P  a  b giá trị biểu thức Q  z   3i  z   i đạt giá trị lớn A P  10 B P  C P  Lời giải: D P  Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 38 NGÔ VĂN SƠN Gọi M điểm biểu diễn số phức z z   3i   M   C  :  x     y  3  , có tâm I  4;3 , bán kính R  2 Đặt A  1;3 ; B 1; 1 điểm biểu diễn số phức 1  3i  i  Q  z   3i  z   i  MA  MB Ta có: Q  MA2  MB  2MA.MB   MA2  MB  Gọi E  0;1 trung điểm AB  EM  MA2  MB AB   Do Q2  4ME  AB mà ME  CE   Q    2  2  200 (Với C giao điểm đường thẳng EI với đường tròn  C  )  MA  MB Vậy P  10 Dấu "  " xảy  M  C  x  y   Đường thẳng EI : x  y    Toạ độ C thoả mãn hệ  2   x     y  3   x   y  Do CEmax  C  6;   M  6;   P  a  b  10   x     y  Câu 27 Xét số phức z thoả mãn z   i  z   7i  Tìm giá trị lớn P  z   i A Pmax  13 B Pmax  73 C Pmax  43 D Pmax  93 Lời giải Chọn B Gọi M  x; y  ; A  2;1 ; B  4;7  điểm biểu diễn số phức z;   i;  7i Ta có: AB  AB : x  y   z   i  z   7i   MA  MB   MA  MB  AB  M thuộc đoạn AB Gọi N 1; 1 điểm biểu diễn số phức  i  P  z   i  MN TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 39 NGÔ VĂN SƠN Pmax  MNmax  M  A M  B Ta có : M  A  MN  AN  13 M  B  MN  BN  73 Vậy Pmax  73 Câu 28 Xét số phức z thoả mãn điều kiện : z   i  z   4i  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z   2i Tính P  M  m A P   10 B P   10 C P  2 Lời giải    10 D P   10 Chọn C Gọi M  x; y  ; A 1;1 ; B  7;  điểm biểu diễn số phức z;1  i;7  4i Ta có: AB  AB : x  y   z   i  z   4i   MA  MB   MA  MB  AB  M thuộc đoạn AB Gọi N  5; 2  điểm biểu diễn số phức  2i  z   2i  MN M  A Do z   2i max  MN max   mà AN  5; BN  10 M  B  z   2i max  BN  10  M  10 z   2i  MN  M hình chiếu vng góc N lên đoạn AB x  y 1  x    M  3;  thuộc Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  2 x  y   y  đoạn AB  z   2i  MN   m  Vậy P  M  m    10  Câu 29 Cho số phức z thoả mãn z   4i  Gọi M , m GTLN, GTNN biểu thức P  z   z  i Tính Q  M  m 2 A Q  43 B Q  33 C Q  13 Lời giải Chọn D Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x; y  D Q  46  z   4i   M   C  :  x  3   y    , có tâm I  3;  , bán kính R  2 P  z   z  i   x    y  x   y  1  x  y   d : x  y   P  2 2 Do số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện nên d  C  có điểm chung  d  I ; d   R 23  P   23  P  10  13  P  33  M  Pmax  33 ; Q  M  m  46  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA m  Pmin  13 Vậy Trang 40 NGÔ VĂN SƠN Câu 30 Giả sử z1 , z2 hai số phức z thoả mãn iz   i  z1  z2  Tìm GTLN P  z1  z2 A Pmax  B Pmax  D Pmax  C Pmax  Lời giải Chọn D Gọi A; B điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 Ta có : iz   i   i z   2i   z   2i    A, B   C  :  x  1  y  2     ,có tâm I 1; , bán kính R  z1  z2   AB   R nên AB đường kính đường trịn  C  P  z1  z2  OA  OB Ta có: P   OA  OB    OA2  OB  mà OA2  OB  2OI  AB 2.3    P  16  P  Dấu "  " xảy OA  OB Vậy Pmax  Câu 31 Cho z1 , z2 hai số phức z thoả mãn điều kiện z   3i  z1  z2  Giá trị nhỏ biểu thức P  z1  z2 là: A Pmin   34 B Pmin  34  C Pmin   34 D Pmin   34 Lời giải Chọn B Đặt w  z1  z2 có điểm biểu diễn M Gọi w1  z1   3i; w  z2   3i  w1  w  w1  w  z1  z2  mà  w1  w  w1  w  w1  w1 2 2   w w 2   52  52   82  36  w1  w  Ta có: w1  w  z1  z2  10  6i  w  10  6i  w  10  6i  w1  w   M thuộc đường trịn tâm I 10;6  , bán kính R  P  z1  z2  w  OM Do Pmin  OI  R  136   34  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 41 NGÔ VĂN SƠN Câu 32 Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình  3i  iz  z   9i , thoả mãn điều kiện z1  z2  Tìm GTLN biểu thức P  z1  z2 31 56 A Pmax  B Pmax  C Pmax  5 Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi  x; y   D Pmax   3i  iz  z   9i    y    x  3 i   x     y   i    y    x  3   x     y    x2  y  x  y  24  2 2   x  3   y     z   4i  2 Đặt w  z1  z2 có điểm biểu diễn M Gọi w1  z1   4i; w  z2   4i  w1  w1  w1  w  z1  z2     w w mà 36  w1  w  25 Ta có : w1  w  z1  z2   8i  w   8i  w   8i  w1 +w   M thuộc đường tròn tâm I  6;8  , bán kính R  56 P  z1  z2  w  OM Do Pmax  OI  R  10   5 w1  w  w1  w  w1  w2 2 2 2  Câu 33 Cho số phức z thoả mãn z số thực w  z số thực Giá trị lớn  z2 biểu thức P  z   i là: A Pmax  B Pmax  2 C Pmax  D Pmax  Lời giải: Chọn B Gọi z  a  bi  a, b  , b   TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 42 NGÔ VĂN SƠN  a  bi   z   a  bi  w z a  b2 2b w số thực nên số thực  b    a  b2   z  w a b Tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm O  0;0  , bán kính R  Ta có: Gọi M ; A  1;1 điểm biểu diễn số phức z 1  i Ta có: P  z   i  AM Do Pmax  AO  R  2 Câu 34 Cho số phức z thoả mãn z   z   10 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính P  M  m B P  A P  14 Chọn D Gọi z  x  yi  x; y   C P  Lời giải: D P  có điểm biểu diễn M  x; y  z   z   10  F1M  F2 M  10 với F1  4;0  ; F2  4;0  Khi M thuộc elip có trục a   b  a2  c2  lớn 2a  10 tiêu cự F1F2  2c    c   Ta có: z  OM mà  OM    z   M  z max  5; m  z  Vậy P  M m 8 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 43