BẤT ĐẲNG THỨC và các ỨNG DỤNG

1 Bất đẳng thức và các ứng dụng I ) Khái niệm bất đẳng thức cơ bản 1 1 Số thực dương, số thực âm  Nếu a là số thực dương, ta ký hiệu 0a   Nếu a là số thực âm, ta ký hiệu 0a   Nếu a là số thực dươ.

Bất đẳng thức ứng dụng I ) Khái niệm bất đẳng thức : 1.1 Số thực dương, số thực âm  Nếu a số thực dương, ta ký hiệu a   Nếu a số thực âm, ta ký hiệu a   Nếu a số thực dương a  , ta nói a số thực khơng âm, ký hiệu a   Nếu a số thực âm a  , ta nói a số thực không dương, ký hiệu a  Chú ý:  Với hai số thực a, b có ba khả sau xảy ra: a  b a  b a  b  Phủ định mệnh đề "a > 0" mệnh đề " a  "  Phủ định mệnh đề "a < 0" mệnh đề " a  " Tính chất quan trọng i) x  R : x2  (đẳng thức xảy x  ) 2k ii) x  0, k  N , x  R (đẳng thức xảy x  ) iii) x12k  x22k   xn2k  0, k  N , xi  R (đẳng thức xảy x1  x2   xn  ) 1.2 Định nghĩa Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b a  b số dương, tức a  b  Khi ta ký hiệu b < a a  b  ab  Ta có:  Nếu a  b a  b , ta viết a  b Ta có: a  b  ab  1.3 Định nghĩa Giả sử A, B hai biểu thức (bằng số chứa biến) Mệnh đề : " A lớn B ", ký hiệu A  B " A nhỏ B ", ký hiệu A  B " A lớn hay B " ký hiệu A  B " A nhỏ hay B " ký hiệu A  B gọi bất đẳng thức Quy ước :  Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất đẳng thức  Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 1.4 Các tính chất bất đẳng thức 1.4.1 Tính chất 1.4.2 Tính chất số) Hệ số) Hệ 1.4.3 Tính chất a  b ac  b  c a  b  ac  bc (Bắc cầu) (Cộng hai vế với a  b  ac  bc (Trừ hai vế với ac  b  a  bc a  b  ac  bd  c  d (Chuyển vế) (Cộng hai vế hai bđt chiều) ac  bc c > ac  bc c < 1.4.4 Tính chất a  b   (Nhân hai vế với số) Hệ Hệ a  b  a  b a b  c  c c > ab  a  b c <  c c số) (Đổi dấu hai vế) (Chia hai vế với a  b   ac  bd  c  d  1.4.5 Tính chất (Nhân hai vế hai bđt chiều) 1  a b (Nghịch đảo hai vế) 1.4.6 Tính chất ab00 1.4.7 Tính chất a  b  0, n  N *  a n  b n 1.4.8 Tính chất a  b  0, n  N *  (Nâng lũy thừa bậc n) n a n b (Khai bậc n) Hệ Nếu a b hai số dương : a  b  a2  b2 (Bình phương hai vế) Nếu a b hai số khơng âm : (Bình phương hai vế) a  b  a2  b2 Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối Tính chất x  , x  x , x  x , -x  x Với a, b  R ta có :   ab  a  b  a  b  a  b  a.b   a  b  a  b  a.b  ab  a  b Bất đẳng thức tam giác Nếu a, b, c ba cạnh tam giác :  a > 0, b > 0, c >  bc  a  bc  ca  b  ca  ab  c  ab  a  b c  A  B C II ) Một số Bất Đẳng Thức Phụ : TT Điều kiện Bất đẳng thức Điểm rơi a, b  R a, b  R ab  a, b  R a, b, c  R a=b  ab ab      a, b  a2  b2 ab  a=b ab  a  b a=b   a2  b2  ab abc a2  b2  c2  ab  bc  ca a  b  c  abc  a  b  c  4   abc   ab  bc  ca  abc a, b, c  R a2  b2  c   a  b  c  a, b, c  R  a  b  c a, b  R ab  1 + ³ 2 1+ a 1+ b + ab a  b ab   a  b   1a  1b   ab a, b      1   a b ab    a  b  c   1a  1b  1c     a, b, c  10 abc 1    a b c abc a, b   a  b 1 + 2³ a b 11 a, b, c  R 12  ax  by  cz  , ab  1    8 b  a (a + b)   a  b2  c  x  y  z  a b c   x y z (Hệ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ) x, y, z  R 13 a, b, c  R , x, y, z  R x2 y z  x  y  z     a b c abc (Hệ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức) 14 a, b, c, x, y, z, m, n, p > a a b c   x y z  b3  c3  x3  y  z  m3  n3  p3    axm  byn  czp  (Hệ bất đẳng thức Holder) * Các bất đẳng thức quan trọng mở rộng : Các dãy tương ứng tỉ lệ đẳng thức AM - GM _ Nếu a1 , a2 , , an số thực khơng âm  Bất a1  a2   an n  a1a2 an n Đẳng thức xảy a1  a2   an Bất đẳng thức AM - GM suy rộng Cho số dương w1 , w2 , , wn thoả mãn w1  w2   wn   Nếu a1 , a2 , , an số thực khơng âm w1a1  w2 a2   wn an  a1w1 a2w2 anwn Đẳng thức xảy a1  a2   an Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:   a1b1  a2b2   anbn    a12  a22   an2  b12  b22   bn2  Đẳng thức xảy a a1 a2    n b1 b2 bn  Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có: a  a  a   an  a12 a2    n  b1 b2 bn b1  b2   bn Đẳng thức xảy a a1 a2    n b1 b2 bn  Bất đẳng thức Holder Với m dãy số dương  a1,1 , a1,2 , a1,n  ,  a2,1 , a2,2 , , a2,n   am,1 , am,2 , , am,n  ta có: m  n   n m a    i , j     , j  i 1  j 1   j 1 i 1 m    Đẳng thức xảy m dãy tương ứng tỉ lệ +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz hệ bất đẳng thức Holder m =  Bất đẳng thức Minkowski Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có: m a12  b12  a22  b22   an2  bn2   a1  a2   an    b1  b2   bn  2 Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  n a1a2 an  n b1b2 bn  n  a1  b1  a2  b2   an  bn  Dấu ‘‘=’’ bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy - Schwarz  Bất đẳng thức Vonicur Schur _ Cho số thực không âm a, b, c Nếu r  0, a r  a  b  a  c   br  b  c  b  a   c r  c  a  c  b   Đẳng thức xảy a = b = c, a = 0, b = c hoán vị Với bất đẳng thức ta có hệ sau:  Trong trường hợp r = 1, ta có dạng tương đương sau: 3 a a  b  c  3abc  ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a ) 3 3 b 4(a  b  c )  15abc  (a  b  c) 2 c a  b  c  d  Trong a 9abc  2(ab  bc  ca ) a b c a b c 4abc    2 b  c c  a a  b (a  b)(b  c )(c  a ) trường hợp r = 2, ta có dạng tương đương: a  abc(a  b  c)   ab(a  b2 ) 2 b 6abc(a  b  c)  (2 ab   a )(  a   ab)  Bất đẳng thức Bernolli _ Với số nguyên r  x > -1 1  x  r   rx III ) Một số kỹ thuật bất đẳng thức : 1)Kỹ thuật chọn điểm rơi: Ví Dụ 1:Cho x  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x  x Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thứ AM-GM dạng a  b  ab ta có: A x  1  x  x x , x x=1, nhiên x=1 lại khơng nằm khoảng giá trị x  mà tốn quy định Vì với lời giải ta tìm sai điểm rơi cho tốn Giải: Để đảm bảo đc dấu “=” xảy ta có lời giải sau: Ta thấy lời giải sai đánh giá , dấu xảy x  A 8x  x  8.3 x 24 10    2    9 x  9 x 3 Ra thêm: Ví Dụ 2:Cho x  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  3x  2x Ví Dụ 3:Cho x>4 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: C  4x   x 4 Ví Dụ 4:Cho a,b >0 a+2b = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: D  ab2 Ví Dụ 5:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: a b  b c  c a  2) Kỹ thuật đổi biến : Ví Dụ 1: Cho x,y,z > , xyz=1 Chứng minh : x y  y z  z x  (Lê Việt Hưng) Lời giải : Từ xyz=1 ta đặt : a c  b b   b a  c c  c b  a a  x  a b c ; y  ;c  b c a b c a    a c a b b c (Bất đẳng thức Nesbit) Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: x=y=z=1 Ví Dụ 2:Cho a,b,c số thực Chứng minh rằng: a b c a  b2  c  bc ca ab        3 3 a b c  (NguyenDungTN) bc ca ab  x;  y; z b c Lời giải :Từ ta đặt: a Từ ta cần chứng minh: xy  yz  zx x  y  z  3     ( Đây dạng bất đẳng thức phụ quen thuộc) xy  yz  zx  x  y  z Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 3: Cho x,y,z > , abc=1 Chứng minh :   a b 1    b c 1    c a 1  (Sưu tầm) a Lời giải : Từ abc=1 ta đặt x y z ;b  ; c  y z x , : 1 yz zx xy       x y y z z x xy  zx yz  xy zx  yz (  1) (  1) (  1) z x x y VT y z (Nesbit) Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy : a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c>0 , abc = 1.Chứng minh rằng:   1 1 1  a    b     c     b c  a  (IMO 2000) a Lời giải :Từ abc=1 ta đặt VT  Ta có: x y z ;b  ; c  y z x (x  y  z )(y  z  x )(z  x  y ) 1 xyz  (x  y  z )(y  z  x )(z  x  y )  xyz (Một dạng Bất Đẳng Thức quen thuộc) Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5: Cho a,c>0 b  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 c2 a b T    2a a  c b2  c a2 c2 a b Lời giải : T  a  c  b2  c  2a  1 1 b      a c2 b2  1 1 a c Đặt : x  c b ;y  a c 1  xy    x2  y2 Ta được: T  Từ ta sử dụng bất đẳng thức phụ: 1   2  xy 1x 1y 1  xy  xy     2 2  xy 1x 1y  T  Vậy giá trị nhỏ T x=y=1 Ví Dụ 6:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: abc=1 Chưng minh rằng: 1a b 1 Lời giải: Đặt: a  x ;b  y ; c  z , ta được: 1x 1  y6 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1x y   z4  x  1  x y2  1  y z  x   y      z4  x  x y2  y2  z2   x  x  x 2yz  z 2x  y2  z2 Vậy ta cần chứng minh: x  y2  z2   x  y z  1   xy  yz   yz  zx  2  x y  y z  z x  xyz x  y  z 2 2 2 2    xyz x  y  z 2   zx  xy   0 Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 7:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng: 1   1 a a 1 b b 1 c c 1 (Võ Quốc Bá Cẩn – Vasile Cirtoage) Lời giải: Vì a,b,c nên ta đặt: a  xy yz zx ;b  ; z  2 z x y Khi bất đẳng thức cho trở thành:   x4 y4 z4   1 y 2z  x 2yz  x z 2x  xy 2z  y x 2y  xyz  z Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: x4 y4 z4    y 2z  x 2yz  x z 2x  xy 2z  y x 2y  xyz  z x x  y2  z2     y 2z  xyz x  y  z Vậy ta cần chứng minh: x  y2  z2   x  y z 2  1   xy  yz   yz  zx  2   xyz x  y  z  x 2y  y 2z  z 2x  xyz x  y  z     zx  xy  Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng: 2  1   1 2 2  c  bc  a  ca  b  ab2 (Lê Việt Hưng) x y y z Lời giải: Vì abc=1 nên ta đặt: a  ;b  ; c  z x Bất đẳng thức viết lại thành: x2 y2 z2   1 x  z  yz y  x  zx z  y  xy x4 y4 z4    1 x  x 2z  x 2yz y  x 2y  xy 2z z  y 2z  xyz Chứng minh bất đẳng thức tương tự ví dụ Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 3) Sử dụng Cauchy- Schwarz để chứng minh bất đẳng thức : Ví Dụ 1: Cho a, b, c > Chứng minh : 1 1    3. a b c a  2b (ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008) Lời giải :  1 1 1    ;    ;    (Cauchy-Swcharz) a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a  1 1  1  3     9    a b c   a  2b b  2c c  2a  10  Bất đẳng thức ứng dụng     Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng                a a  b a  c   b b  c b  a   c c  a c  b    a a  b a  c  b b  c b  a  a  b a a  c  b b  c    2  a  b a  b  c b  a   a  b a  b  c    Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:       a  b3  c  6abc  a  b  c ab  bc  ca  ab  bc  ca ab  bc  ca  Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví dụ 7:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  1 1 a b2 c     a b c     bc ca ab a b c  (Lê Việt Hưng) Lời giải:Quy đồng vế trái ta :   a  b3  c  6abc abc VT  Quy đồng vế phải ta     ab a  b   3abc a  b  c ab  bc  ca  1 1 VP  a b  c       abc a b c    abc Vậy ta cần chứng minh: a  b3  c  6abc     ab a  b   3abc         a a b a c b b c b a c c a c b  Khơng tính tổng qt ta giả sử:    a b c  c c a c b  Ta có:                    a a  b a  c   b b  c b  a   c c  a c  b    a a  b a  c  b b  c b  a  a  b a a  c  b b  c    2  a  b a  b  c b  a   a  b a  b  c    Đẳng thức xảy khi: a=b=c IV) Bài tập ứng dụng: Bài 1: Cho a,b,c >0 Chứng minh : 29 Bất đẳng thức ứng dụng  1a    Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1b    1c     21 ab  bc  ca  32 32 ( Thái Nguyên TST 2016 ) Bài 2:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a  b2  c  Chứng minh rằng: a  b2  a b  Bài 3:Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: a b c   1 a  2bc b  2ca c  2ab x y z Bài 4:Cho x,y,z>1 thỏa mãn:    Chứng minh rằng: x y z  x 1  y 1  z 1 (Iranian MO 1998) Bài 5:Cho x,y,z>2 1    Chứng minh rằng: x y z (x  2)(y  2)(z  2)  (ĐTTS lớp 10 chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa 2005-2006) Bài 6:Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau : a3  b3  c3 9(ab  bc  ca)   12 abc a  b2  c Bài 7:Chứng minh với a, b, c > ta có bất đẳng thức sau : a  b2  c 8abc  2 ab  bc  ca (a  b)(b  c)(c  a) Bài 8:Cho a, b, c :  khơng có hai số đồng thời Chứng minh b a(b  c) 2  bc  c 2 (Darij Grinberg) Bài 9: Cho x  y  z  Chứng minh :  x2 y    z   x2  y  z   (Việt Nam MO 1991) Bài 10:Cho a,b,c số thực không âm Chứng minh rằng: (b  c  a)2 3(a  b  c )  2a2  (b  c)2  (a  b  c)2 (Võ Quốc Bá Cẩn) 30 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 11:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: 1    a  b2  c 2 a b c (Romania TST 2006) Bài 12:Cho a,b,c >0 thõa mãn abc=1 Chứng minh rằng: 1   1 2 3a  (a  1) 3b  (b  1) 3c  (c  1) (Lê Hữu Điền Khuê THPT Quốc Học, Thành phố Huế) Bài 13:Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c ab  ab  bc  ca a  ab  bc (Trần Quốc Anh) Bài 14:Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c ab  ab  bc  ca a  bc  b (Trần Quốc Anh) Bài 15 :Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c ab  ab  bc  ca b  bc  c (Trần Quốc Anh) Bài 16:Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c a2  ab  bc  ca a  ab  bc (Trần Quốc Anh) Bài 17: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1 2(a  b2  c )    5 a b2 c (Nguyễn Thúc Vũ Hoàng) Bài 18: Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca = Chứng minh rằng:  a3  a  a  b  c (Iranian TST 2008) Bài 19:Cho a,b > thõa mãn a  b  ab  a  ab  b2 Chứng minh rằng: 1   16 3 a b (Đề thi HSG Thành Phố Đông Hà 2016) Bài 20:Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: 31 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a  b  Bài 21:Cho x,y,z >0 Chứng minh rằng: x3  y3  z3  x y z a   (Nguyễn Việt Hùng) Bài 22: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng:  a  bc (Romania 2005) Bài 23: Cho a, b, c > Chứng minh : (b  c  2a)  2a  (b  c)2  (USA MO 2003) Bài 24: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn (x - y)(x - z) = 1; y minh rằng: 4  cyc ( x  y )  z Chứng (ĐTTS lớp 10 Chuyên Toán, Nam Định 2016-2017) Bài 25: Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng:   ( xy  yz  xz )   2   x  y   (Iranian Mathematical Olumpiad 1996) 2 Bài 26 : Cho a, b, c > thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 2a  abc  a  b cyc (Đề thi vào 10 chuyên toán, Hà Nội 2016-2017) Bài 27: Chứng minh với a, b, c, d > ta ln có : 1 1 abcd  3 3 3 a b c d abcd (Đề thi Austrian MO 2005) Bài 28 :Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: 32 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a  b5  c  d abcd  abcd (Collection) Bài 29:Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:      a b c b c a c a b   a b b c c a  (Lê Việt Hưng) Bài 30:Cho a,b,c > thỏa mãn x+y+z = Chứng minh rằng:  4xyz  x  yz cyc (Lê Việt Hưng) Bài 31:Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: x y 1  xyz cyc (Lê Việt Hưng) Bài 32: Cho a, b, c số thực không âm khơng có hai số đồng thời Chứng minh : a(b  c)  b2  bc  c2  (Darij Grinberg) Bài 33: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng:  4b cyc a 1    a ,b , c a a  (Đề thi Greece MO 2002) Bài 34:Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:   cyc a ( a  c ) (Đề thi Zhaukovty 2008) Bài 35: Cho x, y, z độ dài cạnh tam giác Chứng minh :  x     y  z     (Tạp chí tốn học tuổi trẻ, T4, Số 42, Tháng 7/2012) Bài 36: Cho x, y, z số thực dương có tích 1.Chứng minh rằng: 33 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng x 3  (1  y)(1  z)  ( IMO Shortlist 1998) Bài 37:Cho x,y,z >0 thỏa mãn x  y y  z z  x   Chứng minh rằng:    4 xy  yz  zx    x y    (Trần Nam Dũng, VMO 2008) Bài 38:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:     a b c   1 1      a b c     b c a  a b c    (British MO 2005) Bài 39:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: b c c a a b 1      a  bc b2  ca c  ab a b c (Sưu tầm) Bài 40:Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3 Chứng minh rằng: a a b  b b c c  c a  (Phạm Hữu Đức) Bài 41:Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z = xyz Chứng minh rằng: 1  x2  1  y2   z2  (Korean MO 1998) Bài 42:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: bc a  bc  ca b  ca ab  c  ab  (Sưu tầm) Bài 43:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:       a  b  c ab  bc  ca  a  b b  c c  a (Sưu tầm) Bài 44:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: 34  Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a 2b b2c c 2a   1 2a  b 2b  c 2c  a (Sưu tầm) Bài 45:Cho a,b,c,d số thực dương thỏa mãn abcd=1 Chứng minh rằng: a b  a  ab  (Nguyễn Việt Hùng) Bài 46:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh a b c 9abc    4 b c a a  b  c ab  bc  ca    (Lê Việt Hưng) 1   Chứng minh rằng: a b c Bài 47: Cho a,b,c >0 thỏa mãn a  b  c  a b c   a  b  c abc (Peru TST 2007) Bài 48:Cho a,b,c số thực Chứng minh rằng: a  b2   a  b  c a  b  c b  c  a c  a  b  (British National MO 2007) Bài 49:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: 1  ab  bc  ca a  b  c (Macedonia TST 2007) Bài 50:Cho a,b,c,d số thực dương a+b+c+d=1 Chứng minh rằng:   a  b  c  d  a  b2  c  d  (France TST 2007) Bài 51:Cho x,y,z số thực dương a+b+c=1 Chứng minh rằng:  xy xy  yz  (China TST 2006) Bài 52:Cho a,b,c số thực dương abc=1 Chứng minh rằng: 35 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a3   b c  a b c (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 53:Cho a,b,c số thực không âm ab+bc+ca=1 Chứng minh rằng: 1    a b b c c a (MOSP 2000) Bài 54:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a  b4  c  ab  bc  ca  bc cyc (Trần Hữu Thiên) Bài 55: Cho a,b,c số thực không âm Chứng minh rằng: a  b  c  a b c   a b (Trần Quốc Anh) Bài 56:Cho x, y, z > thoả mãn 1    12 x y yz zx Chứng minh rằng:  x  y  3z  (Đề chuyên toán Hà Nam 2016-2017) 2 Bài 57: Cho x, y, z > x  y  z  Chứng minh rằng:   xy  cyc (ĐTTS lớp 10 chuyên Toán – Tin, ĐH Sư phạm Vinh 2002 - 2003 ) Bài 58: Cho a, b, c > a + b +c =3 Chứng minh : a 1  b cyc  (Bulgarian TST 2003) Bài 59: Cho x, y, z >0 Chứng minh rằng: x x ( x  y )( x  z ) 1 (Đề thi 10 chuyên toán Hà Nội 2014-2015 / Tạp chí Crux math) Bài 60: Cho số thực dương x, y, z Chứng minh : 36 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng xyz ( x  y  z  x  y  z )   ( x  y  z )( xy  yz  zx) (Đề thi 10 vào 10 THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hoá năm 2014-2015) Bài 61: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x + y + z = Chứng minh rằng: 1 x  y  z  xy  yz  zx (Tạp chí tốn học tuổi trẻ, T4, Số 425, Tháng 12 năm 2012) Bài 62: Cho a, b, c >0 Chứng minh : a 1   b  abc abc (Đề thi USA MO 1997) Bài 63: Cho a,b,c > Chứng minh : a ab 1  b5  ab (ĐTTS vào 10 Nguyễn Trãi, Hải Dương 2016-2017) Bài 64:Cho a,b,c số thực dương ab+bc+ca=3 Chứng minh rằng: a b c    abc  b c a (Lê Việt Hưng) Bài 65:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz  xy  yz  xz Chứng minh rằng:  xyz  x  y  z  (India 2001) Bài 66:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a b a c b c a b c      a c b c a b b c a (Mathlinks Contests) Bài 67:Cho a,b,c,d >0 a  b2  c  d  Chứng minh rằng: a 3bc  b3cd  c 3da  d 3ab  (Trần Quốc Anh) Bài 68:Cho a,b,c >0 abc=1 Chứng minh rằng: a  2a  a  (Trần Hữu Thiên) 37 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 69: Cho x,y,z>0 a,b  R Chứng minh rằng: x2 y2 z2    (ay  bz )(az  by ) (ax  bz )(az  bx ) (ax  by )(ay  bx ) (a  b)2 (Olympiad 30-4) Bài 70:Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: 4(a  b  c ) b c  a  (a  b)(b  c )(c  a ) (Darij Grinberg) Bài 71:Cho a,b,c  a+b+c=2 Chứng minh rằng: ab bc ca   1 2 1c 1a  b2 (Phạm Kim Hùng) Bài 72: Cho a,b,c số thực đôi khác Chứng minh rằng: 2  a   b   c        1 a  b  b  c  c  a  (IMO 2008) Bài 73:Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh : a  (b  c)  4(a  b  c) (Darij Grinberg) Bài 74: Cho a,b,c > thõa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab   8a b c 2 (Nguyễn Việt Hùng) Bài 75:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a      b2  c   a  b  c  (APMO 2004) Bài 76: Cho a,b,c có số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: a b c    b3  16 c  16 a  16 (Trần Quốc Anh) Bài 77: Cho a,b,c số thực dương a  b2  c  Chứng minh rằng: (Nguyễn Phúc Tăng) a b3 c    abc  b c a 38 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 78:Cho a,b,c số thực đôi khác Chứng minh rằng: 2  a   b   c        2 b  c  c  a  a  b  Bài 79: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a abc  bc Bài 80: Chứng minh với số thực a, b, c khơng âm ta ln có: a a  abc a  2b  cyc Bài 81: Chứng minh với số thực a, b, c không âm ta ln có: a  b2  3c  Bài 82: Cho a, b, c  0; a + b + c = Chứng minh rằng: a   b  bc  Bài 83: Cho a, b, c  Chứng minh rằng:  2a  ab  bc  2 a  b  c Bài 84: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a 6a  b  c Bài 85: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a   1  b3  c Bài 86:Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng:   abc 4a  bc Bài 87:Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:  a  a b c bca Bài 88:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn 1    Chứng minh rằng: a b c a b2 c     a b c bc ca ab (Lê Việt Hưng) 39 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 89:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  a      cyc  b  c  (Việt Nam MO 2005) Bài 90:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x+y+z=3 Chứng minh rằng:  x3   xy  yz  zx  27 cyc y   (Iranian National Olympiad 3rd Round 2008) Bài 91:Cho x,y,z >0 thỏa mãn xyz=1.Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  2y  cyc (Lạng Sơn TST) Bài 92:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:   a  b2  c a  b  c a b3 c    b c a ab  bc  ca  (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 93:Cho a,b số thực dương Chứng minh rằng: a b  1  a  b  2ab   3  ab  a  ab   a  b   a  b ab    (Báo toán học tuổi trẻ) Bài 94:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3abc Chứng minh rằng: a3  b  b3  c   c3  a (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Quảng Bình) Bài 95:Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=8.Chứng minh rằng:  cyc a a2    b3   (APMO 2005) Bài 96:Cho a,b,c số thực khác 0.Chứng minh rằng:  x2  3 y2 (Azerbaijan Junior MO) Bài 97:Cho x,y, số thực dương thỏa mãn x  y  z  3xyz 40 Bất đẳng thức ứng dụng Chứng minh rằng: Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng x2 y2 z2   1 y 2 z 2 x 2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu) Bài 98:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  ab c c a    bc a a b    ca b b c  a b c   c a a b b c  Bài 99:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  b a b    c b c    a c a   27  a b c  Bài 100:Cho x,y,z số thực dương Chứng minh rằng:     x  y  z   x1  y1  z1    x 1  1 1  y2  z2     y z  x  Bài 101:Cho a,b,c >0 a+b+c=1 Chứng minh rằng: a  b b2  c c  a   2 b c c a a b Bài 102:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a2  b2  c  a b c (Vasile Cirtoaje) Bài 103:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng:  a b c    b c a    c a b   (IMO 1995) Bài 104:Cho a,b,c >0 a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca    1c 1a 1b Bài 105:Cho a,b,c số thực dương Chưng minh rằng:  a3  a3  b  c  1 Bài 106:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a b3 c    a b c bc ca ab 41 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng (Canada TST 2002) Bài 107:Cho a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện a  b2  c  Chứng minh rằng: 1     ab  bc  ca (Belarus TST 1999) Bài 108: Cho x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Chứng minh rằng: x 2y  y 2z  z 2x  27 (Canada TST 1999) Bài 109:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:   a  b2  c a  b  c a2 b  ab  bc  ca  Bài 110:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=abc Chứng minh rằng: a  a  bc  (Lê Việt Hưng) Bài 111:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  a     ab  b2 b2  bc  c  a  b  c  Bài 112:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a  b2  c  Chứng minh rằng: a2   b2  ca  (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 113: Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng: 1   1 2x 2y 2z Bài 114:Cho a,b số thực dương thỏa mãn a+b=1 Chứng minh rằng: a2 b2   a 1 b 1 (Hungary 1996) Bài 115:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  a a  8bc (IMO 2001) 42 1 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 116: Cho x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện x  y  z  xyz Chứng minh rằng:  xy  yz  zx  x  y  z  (Belarus 1996) Bài 117:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  a  b2  c  2abc   ab  bc  ca  Bài 118:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng:  a b2 c    a  b2  c b c a  (Junior Balkan TST 2006) Bài 119:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:   a  b  c a b c   1   1   1    1  b  c  a abc    (APMO 1998) Bài 120:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: b  c  a  b  c   a 2 c  a  b   a  b  c   c  a   b a  b   c 2 2  (Japan 1997) * Các kí hiệu viết tắt thường dùng : n  a k 1   a1  a2   an k a b  a b  b c  c a 2 2 (Sigma cyclic: Tổng hoá vị) cyc   a b  a b  b c  c a  ab 2 k  a1a2 an 2  bc  ca (Sigma Symmetric: Tổng đối xứng ) sym n  a k 1  R -Tập số thực R  -Tập số thực dương  N* - Tập số tự nhiên bỏ qua phần tử  Q - Tập số hữu tỉ  [a, b] - Đoạn (khoảng đóng) hai đầu mút a, b  (a, b) - Đoạn mở hai đầu mút a, b Chú thích: 43 ... đẳng thức Quy ước :  Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất đẳng thức  Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 1.4 Các tính chất bất đẳng thức 1.4.1 Tính chất 1.4.2 Tính chất...    Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:     xy  yz  zx x  y  z   x y y z z x    Từ ta sử dụng dạng bất đẳng thức quen thuộc: 15    Bất đẳng thức ứng dụng  ...  , j  i 1  j 1   j 1 i 1 m    Đẳng thức xảy m dãy tương ứng tỉ lệ +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz hệ bất đẳng thức Holder m =  Bất đẳng thức Minkowski Cho