1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG ThS Phùng Duy Quang (Chủ biên) ThS Nguyễn Dương Nguyễn, ThS Phan Thị Hương ThS Lâm Văn Sơn, CN Trần Đức Thịnh BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 1 HÀ NỘI, THÁNG 6 – 2010 2 LỜI MỞ ĐẦU C. Cuốn Bài tập Toán cao cấp 1 được biên soạn tương ứng với các phần lý thuyết trong chương trình Toán cao cấp 1 (2 tín chỉ ) trong chương trình đào tạo các ngành Kinh tế, Tài chính Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế của Đại học Ngoại thương. Với mục đích là rèn luyện tư duy toán học bằng các tri thức của đại số tuyến tính trang bị trong lý thuyết, cũng như các kỹ năng giải toán bằng các công cụ của đại số tuyến tính khi tiếp cận các bài tập. Nhằm mục đích đổi mới việc giảng dạy và học tập các môn Toán của sinh viên Đại học Ngoại Thương theo phương thức đào tạo tín chỉ, sách Bài tập Toán cao cấp 1 được biên soạn trên tinh thần hỗ trợ và giúp đỡ các bạn sinh viên học tập tốt môn Toán cao cấp 1. Bài tập Toán cao cấp 1 gồm các bài tập được các tác giả chọn lọc và sắp xếp một cách có hệ thống, bám sát các nội dung lý thuyết nhằm giúp sinh viên sử dụng một cách độc lập với các giáo trình lý thuyết Toán cao cấp 1 nhằm củng cố các kiến thức đã học và nâng cao kỹ năng giải toán. Với mục đích trên, ngoài lời nói đầu, mục lục, phụ lục, tài liệu tham khảo cuốn sách được kết cấu như sau: Chương 1. Tập hợp và ánh xạ Chương 2. Định thức và ma trận Chương 3. Không gian véc tơ Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính Chương 5. Ánh xạ tuyến tính và dạng toàn phương Phần phụ lục. Bài tập trắc nghiệm, một số đề thi kết thúc học phần TCC1 Mỗi chương gồm 3 phần chính: Phần A. Tóm tắt lý thuyết: Phần này tóm tắt các kiến thức cơ bản nhất cần thiết cho giải các bài tập; Phần B. Các ví dụ giải toán: Giới thiệu các ví dụ áp dụng các kiến thức và các phương pháp áp dụng vào giải toán, phần này các tác giả cố gắng giới thiệu một cách đầy đủ nhất các kỹ năng và phương pháp cơ bản nhất; Phần C. Bài tập chương: hệ thống các bài tập theo thứ tự từ dễ đến khó của chương, có đáp số và hướng dẫn các bài tập khó. Các bài tập trong mỗi chương, các tác giả chủ yếu cho đáp số và gợi ý những bài tập khó khi cần thiết với hy vọng chính sinh viên là những người đưa ra lời giải hay hơn và sáng tạo hơn. Phân công biên soạn cuốn sách như sau: Chương 1, Chương 3 và hiệu định sách do ThS Phùng Duy Quang biên soạn 3 Chương 2 do CN Trần Đức Thịnh biên soạn Chương 4 do ThS Nguyễn Dương Nguyễn biên soạn Chương 5 do ThS Phùng Duy Quang, ThS Phan Thị Hương biên soạn Bài tập trắc nghiệm và một số đề thi kết thúc học phần TCC1 do ThS Phùng Duy Quang, ThS Lâm Văn Sơn biên soạn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG ThS Phùng Duy Quang (Chủ biên) ThS Nguyễn Dương Nguyễn, ThS Phan Thị Hương ThS Lâm Văn Sơn, CN Trần Đức Thịnh BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP HÀ NỘI, THÁNG – 2010 LỜI MỞ ĐẦU Cuốn Bài tập Toán cao cấp biên soạn tương ứng với phần lý thuyết chương trình Tốn cao cấp (2 tín ) chương trình đào tạo ngành Kinh tế, Tài Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế Đại học Ngoại thương Với mục đích rèn luyện tư toán học tri thức đại số tuyến tính trang bị lý thuyết, kỹ giải toán cơng cụ đại số tuyến tính tiếp cận tập Nhằm mục đích đổi việc giảng dạy học tập mơn Tốn sinh viên Đại học Ngoại Thương theo phương thức đào tạo tín chỉ, sách Bài tập Toán cao cấp biên soạn tinh thần hỗ trợ giúp đỡ bạn sinh viên học tập tốt mơn Tốn cao cấp Bài tập Toán cao cấp gồm tập tác giả chọn lọc xếp cách có hệ thống, bám sát nội dung lý thuyết nhằm giúp sinh viên sử dụng cách độc lập với giáo trình lý thuyết Tốn cao cấp nhằm củng cố kiến thức học nâng cao kỹ giải tốn Với mục đích trên, ngồi lời nói đầu, mục lục, phụ lục, tài liệu tham khảo sách kết cấu sau: Chương Tập hợp ánh xạ Chương Định thức ma trận Chương Không gian véc tơ Chương Hệ phương trình tuyến tính Chương Ánh xạ tuyến tính dạng tồn phương Phần phụ lục Bài tập trắc nghiệm, số đề thi kết thúc học phần TCC1 Mỗi chương gồm phần chính: Phần A Tóm tắt lý thuyết: Phần tóm tắt kiến thức cần thiết cho giải tập; Phần B Các ví dụ giải tốn: Giới thiệu ví dụ áp dụng kiến thức phương pháp áp dụng vào giải toán, phần tác giả cố gắng giới thiệu cách đầy đủ kỹ phương pháp nhất; Phần C Bài tập chương: hệ thống tập theo thứ tự từ dễ đến khó chương, có đáp số hướng dẫn tập khó Các tập chương, tác giả chủ yếu cho đáp số gợi ý tập khó cần thiết với hy vọng sinh viên người đưa lời giải hay sáng tạo Phân công biên soạn sách sau: * Chương 1, Chương hiệu định sách ThS Phùng Duy Quang biên soạn * Chương CN Trần Đức Thịnh biên soạn * Chương ThS Nguyễn Dương Nguyễn biên soạn * Chương ThS Phùng Duy Quang, ThS Phan Thị Hương biên soạn * Bài tập trắc nghiệm số đề thi kết thúc học phần TCC1 ThS Phùng Duy Quang, ThS Lâm Văn Sơn biên soạn Tập thể tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Ban Giám đốc dự án FTUTRIP, Phòng Quản lý khoa học, Hội đồng thẩm định giáo trình, tài liệu tham khảo trường Đại học Ngoại thương trình tạo điều kiện cho việc xuất sách này, cảm ơn đồng nghiệp Bộ mơn Tốn – Khoa Cơ dành nhiều thời gian đọc thảo cho nhiều ý kiến đóng góp quý báu nội dung sách Cuối sách lần đầu mắt bạn đọc nên tránh sai sót Tập thể tác giả mong nhận lời góp ý bạn đọc để sách ngày hồn thiện Mọi góp ý xin gửi Bộ mơn Tốn – Khoa Cơ bản, trường Đại học Ngoại Thương Hà nội, ngày 16 tháng 12 năm 2010 CÁC TÁC GIẢ BẢNG CÁC KÝ HIỆU A =[aij]m xn A a ij m x n : ma trận cấp m x n A =[aij]n x n A a ij n x n : ma trận vuông cấp n m x n : ma trận không cấp m x n En: ma trận đơn vị cấp n det(A) A : định thức ma trận vuông A Trường K trường số thực R trường số phức C Matmxn(K): tập ma trận cấp m x n với phần tử trường K Mat n(K): tập ma trận vuông n với phần tử trường K 1 n 1 n : hoán vị tập hợp n số tự nhiên {1, 2, 3, … , n} N( ): số nghịch hốn vị Di (Ci): dịng (cột) thứ i ma trận A D i D j (C i C j ) : hốn vị dịng (cột) i cho dòng (cột) j kDi (kDi) : nhân dòng (cột) i lên k lần kDi + Dj (kCi + Cj) : nhân dòng (cột) i lên k lần cộng vào dòng (cột) j AT : ma trận chuyển vị ma trận A A : ma trận phụ hợp ma trận vuông A Mij : định thức cấp n- có từ định thức ma trận vng A cách bỏ dịng i cột j Aij = (-1)i + i.Mij : phần phụ đại số phần tử aij A-1 : ma trận nghịch đảo ma trận vuông A r(A) : hạng ma trận A dimE: chiều không gian véc tơ E L[U]: không gian véc tơ sinh hệ véc tơ U ~ A A : B : ma trận bổ sung hệ phương trình A.X = B E : không gian riêng ứng với giá trị riêng det(A - E ): đa thức đặc trưng ma trận vuông A MỤC LỤC CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.1 Tập hợp 1.2 Ánh xạ 1.3 Cấu trúc đại số 1.4 Trường số thực 10 1.5 Trường số phức 11 B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN 13 C BÀI TẬP CHƯƠNG 18 CHƯƠNG ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN 25 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 25 2.1 Định thức 25 2.2 Ma trận 30 B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN 36 C BÀI TẬP CHƯƠNG 47 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉCTƠ 54 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 54 3.1 Khái niệm 54 3.2 Mối quan hệ tuyến tính véctơ 55 3.3 Sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 56 3.4 Hạng hệ véctơ, sở số chiều không gian véctơ 57 3.5 Không gian véctơ 59 3.6 Toạ độ véctơ sở 60 3.7 Không gian Euclide thực 60 B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN 62 C BÀI TẬP CHƯƠNG 75 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 83 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 83 4.1 Các khái niệm 83 4.2 Điều kiện có nghiệm 84 4.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 84 4.4 Hệ 85 4.5 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 86 B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN 90 C BÀI TẬP CHƯƠNG 101 CHƯƠNG ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG 116 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 116 5.1 Ánh xạ tuyến tính 116 5.2 Giá trị riêng véc tơ riêng 120 5.3 Dạng toàn phương 123 B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN 126 C BÀI TẬP CHƯƠNG 135 PHỤ LỤC: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 141 MỘT SỐ ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN 154 BẢNG TỪ KHÓA 158 TÀI LIỆU THAM KHẢO 161 CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.1 Tập hợp 1.1.1 Các khái niệm Tập hợp khái niệm nguyên thuỷ giống khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng hình học Các đối tượng lập nên tập hợp gọi phần tử tập hợp Người ta thường dùng ký hiệu tập hợp A, B, C, … phần tử tập hợp thường ký hiệu a, b, c, … Nếu a phần tử tập hợp A ta ký hiệu: a A (đọc là: a thuộc A) Nếu a khơng phần tử tập hợp A ta ký hiệu: a A (đọc : a không thuộc A) * Lực lượng tập hợp: Một tập gọi hữu hạn gồm số định phần tử, số phần tử tập hợp người ta gọi lực lượng tập hợp Tập hợp gồm vô hạn phần tử gọi tập hợp vô hạn Người ta phân biệt: Tập hợp vô hạn đếm tập hợp số phần tử vơ hạn song đánh số thứ tự phần tử Tập hợp vơ hạn khơng đếm tập có vơ số phần tử khơng có cách đánh số thứ tự phần tử Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu: * Tập con: Cho hai tập hợp A, B Nếu phần tử A phần tử B tập A gọi tập B, ký hiệu A B Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu : A B B C A C Quy ước tập rỗng tập tập hợp * Tập hợp : Nếu A tập B B tập A ta nói A B Ký hiệu A = B * Cách cho tập hợp: Người ta thường cho tập hợp cách: +) Liệt kê tất phần tử tập hợp +) Nêu tính chất đặc trưng phần tử tập hợp 1.1.2 Các phép tốn tập hợp * Phép hợp: x A x B Hợp hai tập hợp A B, ký hiệu A B xác định: A B x : * Phép giao: x A x B Giao hai tập hợp A B, ký hiệu A B xác định: A B x : Nếu A B ta nói tập hợp A, B khơng giao hay rời * Phép lấy hiệu: x A x B Hiệu hai tập A B, ký hiệu A\B xác định: A \ B x : Đặc biệt, A E hiệu E\A gọi phần bù A E, ký hiệu A * Tích đề hai tập hợp: Tích đề hai tập hợp A B tập hợp, ký hiệu A x B xác định A x B (a; b) : a A; b B Đặc biệt A2 = A x A = (a, b) : a A; b A Tương tự, ta mở rộng cho tích đề n tập hợp Các tính chất phép toán tập hợp Giả sử A, B, C tập hợp tập E Các phép tốn hợp, giao, lấy phần bù có tính chất sau : AA AA A AA E AE E A A A AA A AA AE A A B BA A B BA (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C (A C) (B C) (A B) C (A C) (B C) AB AB AB AB 1.2 Ánh xạ 1.2.1 Khái niệm ánh xạ Định nghĩa 1.1 Một ánh xạ f từ tập A đến tập B, ký hiệu f : A B , quy tắc ứng với phần tử x A với phần tử B ký hiệu f(x) Ta gọi f(x) ảnh x Hai ánh xạ f, g : A B gọi nhau, ký hiệu f = g f(x) = g(x) với x A Định nghĩa 1.2 Cho E, F tập A, B ánh xạ f: A B Tập f ( E ) y B : x E , f ( x) y gọi tập ảnh E Tập f 1 (F) x A : f ( x ) F gọi tập tạo ảnh F Khi tập F có phần tử y ta dùng ký hiệu f -1(y) 1.2.2 Một số ánh xạ Định nghĩa 1.3 Cho ánh xạ f: A B Ánh xạ f gọi đơn ánh với x1, x2 A mà x x f(x1) f(x2) Ánh xạ f gọi toàn ánh f(A) = B hay với y thuộc B ln tồn x thuộc A để f(x) = y Ánh xạ f gọi song ánh vừa đơn ánh lại vừa toàn ánh * Ánh xạ hợp: Cho hai ánh xạ f : A B; g : B C Ánh xạ h: A C xác định bởi: h(x) = g[f(x)], x A gọi ánh xạ hợp f g, ký hiệu h = g f * Ánh xạ ngược: Nếu f: A B song ánh ln tồn ánh xạ từ g: B A cho g(f(x)) = x, song ánh gọi ánh xạ ngược ánh xạ f, ký hiệu: f-1 1.3 Cấu trúc đại số Cho tập hợp E Ta xác định phép tốn hai ngơi E hay luật hợp thành E với cặp phần tử (a, b) E cho tương ứng với phần tử c thuộc E Ký hiệu phép tốn dấu * viết: c = a * b với a, b, c E (Nếu phép toán phép cộng ta dùng dấu +, phép nhân ta dùng dấu ) Phép tốn * có tính chất kết hợp nếu: (a *b)*c = a* (b *c), với a, b, c Phép tốn * có tính chất giao hốn nếu: a * b = b * a, với a, b Phép tốn * có phần tử trung hồ e nếu: a * e = e * a với a Phần tử a’ thuộc E gọi phần tử đối xứng a a * a’ = a’ * a = e Thường ký hiệu phần tử đối xứng a a-1 (với phép cộng, phần tử đối xứng a số đối – a; với phép nhân, số nghịch đảo 1/a, a 1.3.1 Cấu trúc nhóm Định nghĩa 1.4 Tập hợp E với phép toán * gọi có cấu trúc nhóm hay gọi tắt nhóm phép tốn * thoả mãn tính chất: kết hợp, ln có phần tử trung hồ e phần tử E ln có phần tử đối xứng Nếu phép tốn * có tính giao hốn nhóm gọi nhóm giao hốn hay nhóm Abel Một số tính chất nhóm * Phần tử trung hồ e nhóm * Phần tử đối xứng a’ a * Trên nhóm E, có quy tắc giản ước a*x = a* y x = y * Trên nhóm E, phương trình a * x = b có nghiệm x = a’ * b 1.3.2 Cấu trúc vành Định nghĩa 1.5 Tập E khác rỗng, có trang bị hai phép tốn, phép cộng (+) phép nhân (.), ký hiệu (E, +, ) Bộ ba (E, +, ) gọi có cấu trúc vành hay gọi tắt vành thoả mãn: * (E, +) lập thành nhóm giao hốn với phần tử trung hồ ký hiệu * Phép tốn có tính chất kết hợp * Phép nhân có tính phân phối hai phía phép tốn cộng nghĩa với a, b, c E ta có a.(b + c) = a.b + a.c (phân phối trái) (b + c).a = b.a + c a (phân phối phải) Nếu phép nhân có tính giao hốn vành E gọi vành giao hốn Ngồi phép nhân có phần tử trung hồ, ký hiệu vành E gọi vành có đơn vị 1.3.3 Cấu trúc trường Định nghĩa 1.6 Tập E khác rỗng có trang bị hai phép toán: Phép cộng (+) phép nhân (.), ký hiệu (E, +, ) Bộ ba (E, +, ) gọi có cấu trúc trường hay gọi tắt trường thoả mãn: * (E, +, ) vành giao hốn có đơn vị * Với phần tử a E; a tồn phần tử đối xứng a’ phép nhân , tức a’ a = a a’ = 1; a’ gọi phần tử nghịch đảo a, ký hiệu a-1 hay a Một số tính chất trường : * Trên trường E: a.b = a = b = * Nếu E trường E \ {0} nhóm phép nhân * Nếu E trường phương trình a x = b (a 0) ln có nghiệm 1.4 Trường số thực Tập hợp R với hai phép toán cộng nhân có cấu trúc trường, người ta gọi trường số thực R Trên tập số thực, ta xét tập ký hiệu R+ xác định tập R- số đối x x R cho +) R R +) R 0 R R +) Với số thực a, b R ta có a +b, a.b R Khi đó, người ta nói trường số thực R trường có thứ tự Các số thực thuộc R+ gọi số thực dương, số thực thuộc R- gọi số thực âm Trên R ta xác định quan hệ thứ tự ký hiệu < (đọc bé hơn) sau: với hai số thực a, b ta có a < b b – a = b + (- a) R Quan hệ có tính chất bắc cầu nghĩa a < b b < c a < c Trường số thực có tính chất: với hai số thực tuỳ ý a, b với a >0 tìm số tự nhiên n cho n.a > b Khi đó, trường số thực R gọi trường thứ tự Acsimet * Giá trị tuyệt đối số thực Với số thực x, ta định nghĩa giá trị tuyệt đối x, ký hiệu x sau: x x x 0 x x x * Tập số thực mở rộng: R R ; với số thực x ta quy ước: x 10 45 Cho tập L={X=(x1, x2) | x2 = 0} Khẳng định sau đúng: A L không gian véc tơ R2 B L không gian R2 C L không gian R2 có chiều D L khơng gian R2 có sở (1,1) 46 Trong R4 cho véc tơ X1=(2,5,-4,2), X2 = (-3,2,-2,1), X3 = (5,-2,2,7), X4= (2,5,-4,3m2-1) Giá trị m để hệ {X1, X2, X3, X4 } sở R4 A -1 47 B C m 1 D phương án khác Tập hợp sau tập không gian R3 : A V1 = ( x, y, x y ) : x, y R B V2 = ( x 1, x , y) : x, y R C V3 = ( x, y, 1) : x, y R 48 D V4 = ( x, x, x 1) : x R Hệ sau độc lập tuyến tính R3 A V1 : {a1 = (1,0,0), a2= (0,1,0), a3 = (0,0,1), a4= (0,1,1)} B V2 : {a1 = (1,0,0), a2= (1,1,0), a3 = (0,0,1)} C V3 : {a1 = (1,0,0), a2= (1,1,0), a3 = a1+a2} D V4 : {a1 = (1,0,1), a2= (1,1,0), a3 = (2,0,2)} 49 chiều bằng: 50 Cho V= ( x1 , x2 , x1 x2 , x1 x2 ) : x1 ; x2 R Khơng gian véc tơ V có số A B C D Véc tơ X có toạ độ sở u, v, w (1; 2; -1) Toạ độ X sở u, u v, u v w A (- 1; 3; -1) 51 B (3; -1; -1) C (1; 3; 1) D (3; 1; 1) Cho hệ {a, b, c } độc lập tuyến tính Các mệnh đề sau sai: A r{a, b, c} = B r{a, b, c, a+2b+3c} C r{a, b, a+b+c} D Các mệnh đề sai 52 Trong R4 cho véc tơ X = (k2,1,-2,5), Y = (-4, 2, 5, -3) Cho Z = X + 2Y Khẳng định sau A k =1 {X, Y, Z} độc lập tuyến tính B k = -1 {X, Y, Z} độc lập tuyến tính 147 C {X, Y, Z} phụ thuộc tuyến tính với k D {X, Y, Z} độc lập tuyến tính với k 53 Trong R3, cho L(U) không gian sinh U 1;1;1; 1;2;1 Hệ véc tơ 1;1;1; 1;1; m sở L(U) m thoả mãn: A m = 54 B m = - C Kết khác D m Cho a = (2k , k , 1); b = (- , , k); c = (-1 , , -k).Khi tồn véc tơ R3 không biểu diễn qua hệ véc tơ {a, b, c} nếu: A k = - / 11 B k = C k = / 11 D mệnh đề sai 55 Cho A ma trận vuông cấp n thoả mãn: AT= - A Định thức A (AT ma trận chuyển vị A): A 1/2 56 B (-1)n C x Giải phương trình 2x x2 D phương án khác 1 2 1 thu 2 1 A x = 2, x = -1 B x = 2, x= C x = 3, x = -1 D kết khác 57 Cho A ma trận vuông cấp n det A , ma trận phụ hợp A A Mệnh đề sau đúng: A det A = det A B det A = (det A)n-1 C det A = (det A)n D det A = 1/det A 58 Trong hoán vị số tự nhiên đầu tiên, số nghịch hoán vị đạt giá trị lớn bằng: 59 A 12 B 11 C 10 D phương án sai Cho A; B ma trận vuông cấp n (n ) Khẳng định sau đúng: A det(AB)k = kdet(A)det(B); B (A- B)2 = A2 - 2AB + B2 C det(AB) = det(A) + det(B); D Cả phương án sai 60 Giải phương trình 1 1 x a b c 2 c2 c3 x x3 a a3 b b3 (a, b, c số đôi khác nhau) thu được: 148 A vơ nghiệm 61 B có nghiệm x = a, x= b, x = c C có nghiệm x = a + b, x = b + c, x = c + a D có nghiệm x = a Cho A, B ma trận vuông cấp n: A2010 = θ , A + B = A2B Khẳng định sau đúng: A det(B) =1 B det(B) C det(B) = D Kết khác 62 63 64 65 66 67 Cho A, B, C ma trận cấp m x n tuỳ ý Khẳng định sau sai A AB = BA B A (B + C) = A.B + A.C C (A + B)C = A.C + B D (A + B) + C = A + (B + C) Cho ma trận vng A cấp n có det(A) = Khẳng định sau A Ma trận phụ hợp A suy biến B Các phần tử ma trận nghịch đảo A toàn số nguyên C Các phần tử ma trận nghịch đảo A khơng thể tồn số ngun D Các phương án sai Cho A ma trận vuông cấp thoả mãn:(A+E)2= , E ma trận đơn vị cấp ma trận không cấp 4x4 Tìm mệnh đề A r(A) = B r(A) = C r(A) = D r(A) = Cho A ma trận vuông cấp 10 thoả mãn: A2-3A + E = Với ma trận không cấp 10, E ma trận đơn vị cấp 10 Các mệnh đề sau đây, mệnh đề sai: A A ma trận khả nghịch B Ma trận nghịch đảo A 3E - A C Ma trận nghịch đảo A A - 3E D A-2 ma trận khả nghịch Điều kiện sau A, B cho (A+B)2=A2+2AB+B2 A A, B hai ma trận vuông cấp B A, B C A, B hai ma trận vng cấp giao hốn với D Các điều kiện không thoả mãn A, B ma trận vuông cấp khả nghịch Khẳng định sau A r(A2B) < C r(A- 2B) 68 Cho A 1 1 2 0 1 1 Khi A3 1 3 0 23 A 3 0 69 B r(AB) < r(2AB) D AB – BA = E 3 3 3 B 2 3 C 2 33 0 0 a Cho ma trận A= b n A n n a (a b) b (a b)n 0 0 0 0 bn ab 0 a 3 D 2 0 33 Ma trận An(với n N) là: B a n bn 0 n ( a b ) 0 0 bn 149 C 70 an n n ( a b ) a ( a b) n 0 0 b n D x1 Cho hệ phương trình: x1 x a n 0 0 x2 x2 x2 an bn ( a b) n kx3 x3 x3 0 0 b n Nếu hệ có nghiệm số nghiệm A B C D vô số nghiệm 71 5x 3y 6z 7t 1 Hệ phương trình 2x 6y (m 1)z 4t có nghiệm m 4x 12y (3 m )z mt m thoả mãn 72 A m = B m = 31 C với m D Khơng có giá trị Hệ nghiệm hệ: - x1 +2 x2 + x3 = là: A V1= a1 (1,2,0) ; a2 (1,0,2) ; a3 (1,1,1) B V2= a ( , , ); a (1 , ,1 ) C V4= a1 (1,1,1); a2 (0,0,0) D V3= a1 (1,2,3); a2 (4,2,1) 73 Hệ phương trình AX = B có nghiệm ~ ~ A r(A) = r(B) B r(A) < r( A ) với A A : B ~ ~ C r(A) > r( A ) với A A : B ~ ~ D r(A) r( A ) với A A : B 74 x1 x2 x3 Hệ phương trình x1 x2 x3 1 có nghiệm A m x x mx 2 B m 75 C m 2 D m x y z Hệ phương trình x y (m 1) z vô nghiệm: 4 x 12 y (3 m ) z m A m = - B m = C m = m = -1 D m 76 1 x y z 3t 1 2 x y z 5t Số nghiệm hệ 5 x y z 7t 3 x y z 2t A B C vô số nghiệm D kết khác 150 77 x y 2t 2 x y z 5t 1 Giải hệ x y 5t 3 thu nghiệm x y z t 11 3 x y z 9t 14 A x = 29/3, y = - 2, z = 17/3, t = - 4/ B x = 29/8, y = 2, z = 17/3, t = 4/ C vô nghiệm 78 D Vô số nghiệm x y 2z t k x y t Cho hệ phuơng trình hệ có vơ số nghiệm k x y z t x y z t bằng: A -2 79 81 C D x y z t x y 3t 2 Cho hệ phương trình hệ có nghiệm m : A -27 2 x y z 2t 4 x y z m B -1 80 B -1 C D 27 dx cy bz at cx dy az bt Hệ vô nghiệm bx ay dz ct ax by cz at A a = b = c = B a = b = c = d = C b = c = d = D kết khác Cho ma trận A = [aij ] x thoả mãn akk 2010 aks ; k 1;3 Hệ AX = B k s 1 A có nghiệm B có vơ số nghiệm C vơ nghiệm D Kết khác 82 Cho A ma trận vuông cấp có định thức Mệnh đề sau A A ma trận khơng B Hai dịng A độc lập tuyến tính C Hai dịng A tỷ lệ D Các phương án sai 83 Cho hệ véc tơ {a, b, c} độc lập tuyến tính Khẳng định sau sai: A r{a, b, c} = B r{a, b, c, a+2b+3c}=3 C r{a, b, a+b+c}= D mệnh đề sai 151 84 85 86 87 Tập hợp sau không gian không gian R3: A V1 = ( x, y, x y ) : x, y R B V2 = (2, x , y ) : x, y R c V3 = ( x, y, x y 1) : x, y R D V4 = ( x, x, x 1) : x R Cho tập L={X=(x1, x2) | x2 = m x1} (m tham số) Mệnh đề sau đúng: A L không gian R2 B L không gian véc tơ R2 C L không gian R2 sinh hệ {(1, m, m)} D L không gian véc tơ có sở { (1, m, m2)} ChoV1, V2 không gian véc tơ R4; Khẳng định sau sai: A V1 V2 không gian R4 B V1 V2 không gian R4 C V1 chứa véc tơ không R4 D V1 V2 chứa véc tơ không Tập sau không gian véc tơ tập hợp tương ứng A U (a; a; a 1) : a R , R3 B U (a; a 1; a); a R, R3 C U (a; b; a; b); a, b R, R4 a b : a, b, c R , Mat2x2(R) c 1 D U 88 Trong Rn, cho hệ véc tơ U x1 ; x ; x ; x ; x Biết r(U) = 3; x1; x độc lập tuyến tính; x3 khơng tổ hợp tuyến tính x1, x2 Khẳng định sau 89 A r x1 ; x ; x = B r x1; x ; x ; x = C r x1 ; x ; x < D Kết khác ChoV1 , V2 không gian véc tơ R4: V1= (x1 , x , x , x ) : x1 2x x x V2= (x1, x2 , x3 , x4 ) : x1 3x2 x3 x4 0 2x1 x x Khi khơng gian véc tơ V =V1 V2 có số chiều A B C D 90 Cho x1 x2 x3 x4 không gian véc tơ mx1 x2 x3 x4 0 V = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) R : 91 R Dim V = m bằng: A -1 B C D Cho hệ m véctơ n chiều S = {X1, X2, , Xm } độc lập tuyến tính Khẳng định sau đúng: 152 92 A Bất kỳ ,ọi véc tơ S tổ hợp tuyến tính véc tơ lại B Hệ{ X1, X2, , Xm , X1+X2} độc lập tuyến tính C Thêm vào S véc tơ tổ hợp tuyến tính véc tơ S hệ độc lập tuyến tính D r{ X1, X2, , Xm}< r{ X1, X2, , Xm , X1+X2} ChoV1, V2 không gian véc tơ R4: x1 x x3 x 0 0 2 x1 x x3 V1 = ( x1 , x , x3 , x ) R : V2 = ( x1 , x , x3 , x ) R : x1 x x3 kx 0 93 Không gian véc tơ V =V1 V2 có số chiều k bằng: A -1 B C D Cho hệ véc tơ X , X , , X m 1 , X m (với m>2) hệ sinh không gian véc tơ V;điều kiện để hệ sở V A Hệ chứa véc tơ khơng B Hệ có véc tơ biểu diễn tuyến tính qua véc tơ cịn lại C Hệ khơng có véc tơ biểu diễn tuyến tính qua véc tơ cịn lại D Hệ có véc tơ tỷ lệ 153 MỘT SỐ ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN KHOA CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM Mơn Tốn cao cấp – (1011) Thời gian làm bài: 60 phút Điểm: Giáo viên coi thi Giáo viên chấm thi Họ tên: Ngày sinh: Số báo danh (Stt): Lớp – Khoá: Ghi chú: Thí sinh dùng bút (trừ bút đỏ) điền phương án vào bảng trả lời Câu Trả lời BẢNG TRẢ LỜI CÁC CÂU HỎI 10 11 12 13 14 15 16 17 NỘI DUNG ĐỀ THI 1 1 5 Câu 1: Hạng ma trận bằng: (A): (B): (C): 7 22 9 29 Câu 2: Gía trị lớn định thức cấp có phần tử nhận giá trị (A): (B): (C): (D): phương án sai 18 19 (D): 20 1 Câu 3: Cho ma trận A 2 Khi det[(2A)-1]T (A): (B): 16 (C): 1/16 3 2 (D): 1/6 Câu 4: Cho A ma trận vuông cấp có r(A) = Khi r( A ) (A): (B): (C):2 (D): Câu 5: Hạng hệ véc tơ {(2; -1; 3; 1); (4; -2; 6; 2); (6; -3; 9; 3); (1; 1; 1; 1)} (A): (B) :2 (C): (D): Câu Hạng hệ véc tơ {u1 = (1; 2; -3); u2 = (0; 1; 2); u3 = (2; 3; m) } (A): m = (B): m= -2 (C): m = (D): m = -8 Câu 7: Trong tập đây, tập không không gian không gian R3: (A): F (a; b; a b) : a, b R (B): F (a; b 2; a b) : a, b R (C): F (a;0; a b) : a, b R (D): F (a;2b; 4a 3b) : a, b R x x x Câu 8: Tìm a để hệ sau có nghiệm x ax 3x 2 x 3x ax 3 (A) a = - (B) a khác 2, -1 (C) với a (D) a khác - 3, Câu 9: Thị trường gồm mặt hàng: hàng hóa hàng hóa với hàm cung hàm cầu sau: Qs1 4 p1 ; Qd1 10 p1 p Qs2 1 p ; Qd p1 p ; Giá cân hàng 35 106 116 55 45 116 55 116 hóa tương ứng (A): ; ; (C): ; (B): (D): ; 17 17 17 17 17 17 17 17 Câu 10: Cho không gian E ( x, y , z ) : x y z 0 R3 Hệ véc tơ sau sở E (A): u1 (2;1;0); u (1; 0;1) (B): u1 (2;1;0); u (1; 0;1) 154 (C): u1 (2;1;0); u (1; 0; 1) (D): u1 (2;1;0); u (1; 0;1) x x (a 3) x x (a 1) x ax có chiều nhỏ Câu 11: Không gian nghiệm hệ (a 3) x ax 3(a 1) x (A) a = (B) a = (C) a khác 0,1 (D) a khác -1, -2 2 1 Câu 12: Tìm ma trận X thỏa mãn A.X = X.A với A thu : 1 2y 2y 2y 2y x x x x (A) : (B) : (C) : (D) : y x y y x y y x y y x y Câu 13: A, B ma trận vuông cấp n: A2008= A -2B = AB Khẳng định sau (A): det(B) = (B): det(B) = (C): det(B) = (D) det(B) 3 Câu 14: Cho ánh xạ tuyến tính f : R R xác định f(x1, x2, x3) = (x1+3x2 – x3; 4x2 + 3x3; - x1 + x2 + 4x3) Khi chiều Im(f) (A): (B): (C): (D): Câu 15: Cho ánh xạ tuyến tính f : R R xác định f(x1, x2, x3) = (x1+3x2 – x3; 4x2 + 3x3; - x1 + x2 + 4x3) Khi đó, Ker(f) (A): (13x,3x,4 x); x R (B): (13x,3x,4 x); x R (C): (13 x,3 x,4 x); x R (D): (13 x,3 x,4 x); x R Câu 16 Cho A ma trận vuông cấp n det(A) A2 = A – Khi det(2A)2009 (A): (B): 22009 (C): 22009n (D): 2n 12 4 x1 x x3 x x x 21 Câu 17: Hệ có nghiệm 4 x1 10 x x3 x 32 4 x1 10 x 13x x 52 (A): (1; 2; 1; 2) (B): (- 1; 2; 1; 2) (C): (2; 1; 2; 1) (D): (1; 2; -1; 2) 1 1 m khả nghịch Câu 18:Ma trận 1 2.2 2 5 3 m 1 (A): m = 13/2 (B): m 13/2 (C): m (D): m Câu 19: Giả sử kinh tế có ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành có ma trận hệ số kỹ thuật sau: 0,1 0,3 0,2 A 0,3 0,1 0,2 mức cầu cuối hàng hóa ngành 1, 2, 30; 4; 82 0,2 0,3 0,1 triệu USD Mức tổng cầu ngành (A): 60,72 triệu USD (B): 61,72 triệu USD (C): 82,39 triệu USD (D): 129,66 triệu USD 2 n Câu 20: Cho ma trận A Với n số nguyên dương lẻ A : 2 1 0 0 1 (A) : (B): (C): (D): 2 3 2 0 1 1 0 155 KHOA CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM Mơn Tốn cao cấp – (10102) Thời gian làm bài: 60 phút Điểm: Giáo viên coi thi Giáo viên chấm thi Họ tên: Ngày sinh: Số báo danh (Stt): Lớp – Khoá: Ghi chú: Thí sinh dùng bút (trừ bút đỏ) điền phương án vào bảng trả lời Câu Trả lời BẢNG TRẢ LỜI CÁC CÂU HỎI 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 NỘI DUNG ĐỀ THI 1 2 5 bằng: Câu 1: Hạng ma trận 3 6 13 (A): (B): (C): (D): Câu 2: Gía trị lớn định thức cấp có phần tử nhận giá trị -1 (A): (B): (C): (D): phương án sai 1 Câu 3: Cho ma trận A 2 3 (A): (B): 54 (C): 1/54 0 0 Khi det[(3A)-1]T 2 (D): 1/6 Câu 4: Cho A ma trận vuông cấp có r(A) = Khi r( A ) (A): (C):2 (D): ax y z Câu 5: Hệ phương trình x y az có vơ số nghiệm x ay z (A): a = (B): a = - (C): a = -3 (D): a = Câu Hạng hệ véc tơ {u1 = (1; 2; -3); u2 = (0; -1; -2); u3 = (2; 3; m) } (A): m = (B): m= -2 (C): m = (D): m = -8 Câu 7: Trong tập đây, tập không không gian không gian R3: (A): F (a; b; a b) : a, b R (B): F (a; b; a b 1) : a, b R (C): F (a;0; a b) : a, b R (D): F (a;2b; 4a 3b) : a, b R (B): x x x Câu 8: Tìm a để hệ sau có nghiệm x ax 3x được: 2 x 3x ax 3 (A) a = - (B) a (C) với a (D) a khác - Câu 9: Thị trường gồm mặt hàng: hàng hóa hàng hóa với hàm cung hàm cầu sau: Q s1 1 p1 ; Qd1 p1 p ; Q s2 4 p ; Qd 10 p1 p Giá cân 35 106 55 116 45 116 55 112 hàng hóa tương ứng (A): ; (B): ; (C): ; (D): ; 17 17 17 17 17 17 17 17 Câu 10: Cho không gian E ( x, y, z ) : x y z 0 R3 Hệ véc tơ sau 156 sở E (A): u1 (2;1;0); u (1; 0;1) (C): u1 (2;1;0); u (1; 0; 1) (B): u1 (2;1;0); u (1; 0;1) (D): u1 (2;1;0); u (1; 0; 1) x x (a 3) x x (a 1) x ax có chiều nhỏ Câu 11: Không gian nghiệm hệ (a 3) x ax 3(a 1) x (A) a = (B) a = (C) a khác (D) ac khác -1 – 1 Câu 12: Cho f(x) = x2 – 5x + A f(A) 3 1 0 0 0 0 0 0 (A) : (B): (C) : (D) : 0 0 0 1 0 1 0 0 Câu 13: A, B ma trận vuông cấp n: A2007= A + B = AB Khẳng định sau (A): det(B) = (B): det(B) = (C): det(B) = (D) det(B) Câu 14: Cho ánh xạ tuyến tính f : R R xác định f(x1, x2, x3) = (x1+3x2 – x3; 4x2 + 3x3; x1 – x2 – 4x3) Khi chiều Im(f) (A): (B): (C): (D): Câu 15: Cho ánh xạ tuyến tính f : R R xác định f(x1, x2, x3) = (x1+3x2 – x3; 4x2 + 3x3; x1 – x2 – 4x3) Khi đó, Ker(f) (A): (13 x,3 x,4 x); x R (B): (13 x,3 x,4 x); x R (C): (13x,3x,4 x); x R (D): (13x,3x,4 x); x R Câu 16 Cho A ma trận vuông cấp n det(A) A2 = A – Khi det(2A)2007 (A): (B): 22007 (C): 22007n (D): 2n 24 8x x 2x 4 x 10x 5x 4x 32 Câu 17: Hệ có nghiệm 4 x 10x 13x 8x 52 4x x x 21 (A): (1; 2; 1; 2) (B): (- 1; 2; 1; 2) (C): (2; 1; 2; 1) (D): (1; 2; -1; 2) 1 1 m khả nghịch Câu 18:Ma trận 1 2.2 2 5 3 m 1 (A): m = 13/2 (B): m 13/2 (C): m (D): khơng có m Câu 19: Giả sử kinh tế có ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành có ma trận hệ số kỹ thuật sau: 0,1 0,3 0,2 A 0,3 0,1 0,2 mức cầu cuối hàng hóa ngành 1, 2, 30; 4; 0,2 0,3 0,1 82 triệu USD Mức tổng cầu ngành (A): 60,72 triệu USD (B): 61,72 triệu USD (C): 82,39 triệu USD (D): 129,66 triệu USD 2 n Câu 20: Cho ma trận A Với n số nguyên dương chẵn A : 2 1 0 0 1 (A) : (B): (C): (D): 2 3 2 0 1 1 0 157 BẢNG TỪ KHĨA A Ánh xạ Dạng tồn phương bán xác định âm Ánh xạ hiệu Dạng toàn phương bán xác định Ánh xạ hợp dương Ánh xạ ngược Dạng toàn phương khơng xác định Dạng tồn phương xác định âm Ánh xạ thương Ánh xạ tích Ánh xạ tổng Ánh xạ tuyến tính Ảnh ánh xạ tuyến tính B Biến đổi tuyến tính chéo hóa Bội đại số Bội hình học C Căn bậc hai số phức Công thức Moivre Cơ sở không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Cơ sở không gian vectơ Cơ sở không gian vectơ Dạng toàn phương xác định dương Đ Định lý đại số Định lý Kronecker-Capeli Định thức cấp n ma trận Đơn ánh Đơn vị ảo G Giá trị riêng Giá trị tuyệt đối H Hai ma trận đồng dạng Hạng ma trận Hạng hệ vectơ Hệ Cramer Hệ độc lập tuyến tính cực đại Dạng tắc Dạng chuẩn tắc Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức Dạng toàn phương Dạng toàn phương phức Dạng tồn phương thực Hệ phương trình tuyến tính Hệ Hệ vectơ độc lập tuyến tính Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Hốn vị tập hợp Hoán vị chẵn Hoán vị lẻ 158 K Ma trận trực giao Không gian sinh hệ Ma trận vuông vectơ N Không gian riêng Nhân ánh xạ tuyến tính Khơng gian vectơ Nhóm Khơng gian vectơ Nhóm Abel Khơng gian vectơ hữu hạn chiều Nhóm giao hốn Kí số P L Phần ảo Luật hợp thành Phần thực Luật qn tính dạng tồn Phép cộng hai vectơ phương Phép giao Lực lượng tập hợp Phép hợp M Phép biến đổi tuyến tính không suy Ma trận biến Ma trận Phép lấy hiệu Ma trận chéo Phép tốn hai ngơi Ma trận chéo hóa Phép trừ hai vectơ Ma trận chuyển sở Phương pháp Gauss Ma trận chuyển vị Phương pháp Jacobi Ma trận cột Phương pháp Lagrange Ma trận ánh xạ tuyến tính Phương trình đặc trưng ma trận Ma trận dạng toàn phương Q Ma trận dạng bậc thang Quy tắc Sarrus Ma trận dòng S Ma trận đối xứng thực Song ánh Ma trận đơn vị Số chiều không gian vectơ Ma trận đối ma trận Ma trận không Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp Ma trận tam giác 159 T Tập ảnh Tập Tập hợp Tập hợp Tập số thực mở rộng Tập tạo ảnh Tích Đề hai tập hợp Tồn ánh Tọa độ vectơ sở Tổ hợp tuyến tính Trường Trường có thứ tự Trường thứ tự Acsimet Trường số phức Trường số thực V Vành Vành có đơn vị Vành giao hốn Vectơ Vectơ riêng 160 TÀI LIỆU THAM KHẢO Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Nguyễn Doãn Tuấn, Bài tập Đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB ĐHQG Hà nội, 2007 P.Gabriel, Martizen, Geometrie, Linerae Algebra, Birkhauser – Verlag, Basel – Boston – Berlin 1996 Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính: Các ví dụ tập, NXB ĐHQG Hà nội, 2007 Ngô Thúc Lanh, Đại số tuyến tính, NXB ĐH THCN, Hà nội, 1970 Jean – Marie Monier, Giáo trình Tốn - Tập + : Đại số I + II, NXB Giáo dục 2006 Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Olympic Sinh viên Đại học, NXB ĐHQG Hà nội, 2006 Đồn Quỳnh (Chủ biên), Giáo trình Đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB ĐHQG Hà nội, 2007 Hồng Xn Sính, Đại số, Giáo trình đại học đại cương, NXB Giáo dục, 1990 Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan, Đại số số học, NXB ĐHSP Hà nội, 2008 10 Lê Đình Thuý (chủ biên), Toán cao cấp cho nhà kinh tế - Phần 1, NXB ĐH KTQD Hà nội, 2008 11 Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tốn cao cấp - Tập 1, NXB Giáo dục 2007 12 Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Bài tập Toán cao cấp - Tập 1, NXB Giáo dục 2007 13 Ngơ Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, Bộ sách Cao học - Viện Tốn học, NXB ĐHQG Hà nội, 2002 161 ... theo phương thức đào tạo tín chỉ, sách Bài tập Toán cao cấp biên soạn tinh thần hỗ trợ giúp đỡ bạn sinh viên học tập tốt mơn Tốn cao cấp Bài tập Toán cao cấp gồm tập tác giả chọn lọc xếp cách có... lượng tập hợp: Một tập gọi hữu hạn gồm số định phần tử, số phần tử tập hợp người ta gọi lực lượng tập hợp Tập hợp gồm vô hạn phần tử gọi tập hợp vô hạn Người ta phân biệt: Tập hợp vô hạn đếm tập. .. tập A gọi tập B, ký hiệu A B Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu : A B B C A C Quy ước tập rỗng tập tập hợp * Tập hợp : Nếu A tập B B tập A ta nói A B Ký hiệu A = B * Cách cho tập hợp: