Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2

Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2,Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2 Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2,Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2,Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2 Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2,Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2 Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2,Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2

SÁCH H NG D N H C T P

TOÁN CAO C P (A2)

(Dùng cho sinh viên h đào t o đ i h c t xa)

L u hành n i b

=====(=====

t o t xa có nh ng đ c thù riêng, đòi h i h c viên làm vi c đ c l p nhi u h n, do

đó c n ph i có tài li u h ng d n h c t p thích h p cho t ng môn h c T p tài li u

h ng d n h c môn toán cao c p A2 này đ c biên so n c ng nh m m c đích trên

T p tài li u này đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2001 c a H c

vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông N i dung c a cu n sách bám sát các giáo trình c a các tr ng đ i h c k thu t, giáo trình dành cho h chính qui c a H c

vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông biên so n n m 2001 và theo kinh nghi m

gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính vì th , giáo trình này c ng có th dùng làm tài li u h c t p,tài li u tham kh o cho sinh viên c a các tr ng, các ngành đ i h c

và cao đ ng

Giáo trình đ c trình bày theo cách thích h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t

ph c v đ c l c cho công tác đào t o t xa Tr c khi nghiên c u các n i dung chi

ti t, ng i đ c nên xem ph n gi i thi u c a m i ch ng đ th y đ c m c đích ý ngh a, yêu c u chính c a ch ng đó Trong m i ch ng, m i n i dung, ng i đ c

có th t đ c và hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t và ch ng minh rõ ràng

c bi t b n đ c nên chú ý đ n các nh n xét, bình lu n đ hi u sâu h n ho c m

r ng t ng quát h n các k t qu H u h t các bài toán đ c xây d ng theo l c đ :

đ t bài toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng lý thuy t và cu i cùng nêu thu t toán gi i quy t bài toán này Các ví d là đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý

ho c các thu t toán, vì v y s giúp ng i đ c d dàng h n khi ti p thu bài h c Sau các ch ng có ph n tóm t t các n i dung chính và cu i cùng là các câu h i luy n

t p Có kho ng t 30 đ n 40 bài t p cho m i ch ng, t ng ng vói 3 -5 câu h i cho m i ti t lý thuy t H th ng câu h i này bao trùm toàn b n i dung v a đ c

h c Có nh ng câu ki m tra tr c ti p các ki n th c v a đ c h c nh ng c ng có

nh ng câu đòi h i h c viên ph i v n d ng m t cách t ng h p và sáng t o các ki n

th c đ gi i quy t Vì v y vi c gi i các bài t p này giúp h c viên n m ch c h n lý thuy t và ki m tra đ c m c đ ti p thu lý thuy t c a mình

Các bài t p đ c cho d i d ng tr c nghi m khách quan, đây là m t ph ng pháp r t phù h p v i hình th c đào t o t xa H c viên có th t ki m tra và đ i chi u v i đáp án cu i sách Tuy nhiên ph ng pháp tr c nghi m c ng có nh ng

m t h n ch c a nó, ch ng h n ph ng pháp này không th hi n đ c kh n ng trình bày k t qu , kh n ng l p lu n, mà đây là m t trong nh ng yêu c u chính c a

vi c h c toán M t bài toán có th gi i cho đúng k t qu nh ng cách gi i sai th m chí sai c v b n ch t Hai l n sai d u tr bi n thành d u c ng và cho k t qu đúng

nh ng th c ch t là sai M t khác có th gi i bài toán tr c nghi m b ng cách th các

Ch ng I: Lô gích toán h c, lý thuy t t p h p, ánh x và các c u trúc đ i s

Ch ng II: Không gian véc t

Ch ng III: Ma tr n

Ch ng IV: nh th c

Ch ng V: H ph ng trình tuy n tính

Ch ng VI: Ánh x tuy n tính

Ch ng VII: Không gian véc t Euclide và d ng toàn ph ng

Ngoài vai trò là công c cho các ngành khoa h c khác, toán h c còn đ c xem là m t ngành khoa h c có ph ng pháp t duy l p lu n chính xác ch t ch Vì

v y vi c h c toán c ng giúp ta rèn luy n ph ng pháp t duy Các ph ng pháp này đã đ c gi ng d y và cung c p t ng b c trong quá trình h c t p ph thông,

nh ng trong ch ng I các v n đ này đ c h th ng hoá l i N i dung c a ch ng

I đ c xem là c s , ngôn ng c a toán h c hi n đ i M t vài n i dung trong

là tính khái quát hoá và tr u t ng cao Các khái ni m th ng đ c khái quát hoá

t nh ng k t qu c a hình h c gi i tích ph thông Khi h c ta nên liên h đ n các

k t qu đó

2 M C ÍCH MÔN H C

Cung c p cho sinh viên các ki n th c c b n v đ i s : M nh đ , t p h p, ánh x , c u trúc đ i s và đ i s tuy n tính bao g m các khái ni m v không gian vecto, ma tr n, đ nh th c, ánh x tuy n tính, d ng song tuy n tính, d ng toàn

ph ng , làm c s đ ti p thu các môn k thu t đi n và đi n t

◊ Sách h ng d n h c t p và bài t p: Toán cao c p A2 Lê Bá Long,

Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005

N u có đi u ki n, sinh viên nên tham kh o thêm: Các tài li u tham kh o trong

m c Tài li u tham kh o cu i cu n sách này

2- t ra m c tiêu, th i h n cho b n thân:

X t ra m c các m c tiêu t m th i và th i h n cho b n thân, và c g ng

th c hi n chúng

Cùng v i l ch h c, l ch h ng d n c a H c vi n c a môn h c c ng nh các môn h c khác, sinh viên nên t đ t ra cho mình m t k ho ch h c t p cho riêng mình L ch h c này mô t v các tu n h c (t h c) trong m t k h c và đánh d u

s l ng công vi c c n làm ánh d u các ngày khi sinh viên ph i thi sát h ch, n p các bài lu n, bài ki m tra, liên h v i gi ng viên

X Xây d ng các m c tiêu trong ch ng trình nghiên c u

Bi t rõ th i gian nghiên c u khi m i b t đ u nghiên c u và th th c hi n, c

đ nh nh ng th i gian đó hàng tu n Suy ngh v th i l ng th i gian nghiên c u đ

“Ti t ki m th i gian” “N u b n m t quá nhi u thì gi nghiên c u”, b n nên xem

l i k ho ch th i gian c a mình

3- Nghiên c u và n m nh ng ki n th c đ c t lõi:

Sinh viên nên đ c qua sách h ng d n h c t p tr c khi nghiên c u bài gi ng môn h c và các tài li u tham kh o khác Nên nh r ng vi c h c thông qua đ c tài

li u là m t vi c đ n gi n nh t so v i vi c truy c p m ng Internet hay s d ng các hình th c h c t p khác

Hãy s d ng thói quen s d ng bút đánh d u dòng (highline maker) đ đánh

d u các đ m c và nh ng n i dung, công th c quan tr ng trong tài li u

4- Tham gia đ y đ các bu i h ng d n h c t p:

Thông qua các bu i h ng d n h c t p này, gi ng viên s giúp sinh viên n m

đ c nh ng n i dung t ng th c a môn h c và gi i đáp th c m c; đ ng th i sinh viên c ng có th trao đ i, th o lu n c a nh ng sinh viên khác cùng l p Th i gian

b trí cho các bu i h ng d n không nhi u, do đó đ ng b qua nh ng bu i h ng

d n đã đ c lên k ho ch

5- Ch đ ng liên h v i b n h c và gi ng viên:

Cách đ n gi n nh t là tham d các di n đàn h c t p trên m ng Internet H

th ng qu n lý h c t p (LMS) cung c p môi tr ng h c t p trong su t 24 gi /ngày

và 7 ngày/tu n N u không có đi u ki n truy nh p Internet, sinh viên c n ch đ ng

s d ng hãy s d ng d ch v b u chính và các ph ng th c truy n thông khác (đi n tho i, fax, ) đ trao đ i thông tin h c t p

6- T ghi chép l i nh ng ý chính:

N u ch đ c không thì r t khó cho vi c ghi nh Vi c ghi chép l i chính là

m t ho t đ ng tái hi n ki n th c, kinh nghi m cho th y nó giúp ích r t nhi u cho

vi c hình thành thói quen t h c và t duy nghiên c u

7 -Tr l i các câu h i ôn t p sau m i ch ng, bài

Cu i m i ch ng, sinh viên c n t tr l i t t c các câu h i Hãy c g ng v ch

ra nh ng ý tr l i chính, t ng b c phát tri n thành câu tr l i hoàn thi n

i v i các bài t p, sinh viên nên t gi i tr c khi tham kh o h ng d n, đáp

án ng ng i ng n trong vi c liên h v i các b n h c và gi ng viên đ nh n đ c

s tr giúp

Nên nh thói quen đ c và ghi chép là chìa khoá cho s thành công c a vi c t h c!

Ta bi t r ng toán h c là m t ngành khoa h c lý thuy t đ c phát tri n trên c

s tuân th nghiêm ng t các qui lu t l p lu n c a t duy lôgich hình th c Các qui

lu t c b n c a lôgich hình th c đã đ c phát tri n t th i Aristote (Arít-xt t ) (th

k th 3 tr c công nguyên) cùng v i s phát tri n r c r c a v n minh c Hy

L p Tuy nhiên mãi đ n th k 17 v i nh ng công trình c a De Morgan ( Mocgan), Boole thì lôgích hình th c m i có m t c u trúc đ i s đ p đ và cùng

v i lý thuy t t p h p giúp làm chính xác hoá các khái ni m toán h c và thúc đ y toán h c phát tri n m nh m Vi c n m v ng lôgich hình th c giúp h c viên không

nh ng h c t t môn toán mà còn có th v n d ng trong th c t và bi t l p lu n chính xác H c t t môn lôgich là c s đ h c t t đ i s Boole, v n d ng đ gi i các bài toán v s đ công t c r le, các s đ đi n và công ngh thông tin Yêu c u

c a ph n này là ph i n m v ng khái ni m m nh đ toán h c, các phép toán liên k t

m nh đ và các tính ch t c a chúng

Khái ni m t p h p, ánh x và các c u trúc đ i s là các khái ni m c b n: v a

là công c v a ngôn ng c a toán h c hi n đ i Vì vai trò n n t ng c a nó nên khái

ni m t p h p đ c đ a r t s m vào ch ng trình toán ph thông (l p 6) Khái

ni m t p h p đ c Cantor đ a ra vào cu i th k 19 Sau đó đ c chính xác hoá

b ng h tiên đ v t p h p Có th ti p thu lý thuy t t p h p theo nhi u m c đ khác nhau Chúng ta ch ti p c n lý thuy t t p h p m c đ tr c quan k t h p v i các phép toán lôgich hình th c nh "và", "ho c", phép kéo theo, phép t ng

đ ng, l ng t ph bi n, l ng t t n t i V i các phép toán lôgích này ta có

t ng ng các phép toán giao, h p, hi u các t p h p con c a các t p h p

Trên c s tích Descartes ( -các) c a hai t p h p ta có khái ni m quan h hai ngôi mà hai tr ng h p đ c bi t là quan h t ng đ ng và quan h th t Quan h t ng đ ng đ c dùng đ phân m t t p nào đó thành các l p không giao nhau, g i là phân ho ch c a t p đó Quan h đ ng d môđulô p (modulo) là m t quan h t ng đ ng trong t p các s nguyên T p th ng c a nó là t p ;p các

s nguyên môđulô p T p ;p có nhi u ng d ng trong lý thuy t m t mã, an toàn

m ng Quan h th t đ c dùng đ s p x p các đ i t ng c n xét theo m t th t

d a trên tiêu chu n nào đó Quan h ≤ trong các t p h p s là các quan h th t Khái ni m ánh x là s m r ng khái ni m hàm s đã đ c bi t Khái ni m này giúp ta mô t các phép t ng ng t m t t p này đ n t p kia tho mãn đi u

ki n r ng m i ph n t c a t p ngu n ch cho ng v i m t ph n t duy nh t c a t p đích và m i ph n t c a t p ngu n đ u đ c cho ng v i ph n t c a t p đích đâu có t ng ng thì ta có th mô t đ c d i ngôn ng ánh x

S d ng khái ni m ánh x và t p h p ta kh o sát các v n đ c a gi i tích t

h p, đó là các ph ng pháp đ m s ph n t Gi i tích t h p đ c s d ng đ gi i quy t các bài toán xác su t th ng kê và toán h c r i r c

Ta có th th c hi n các phép toán c ng các s , hàm s , đa th c, véc t ho c nhân các s , hàm s , đa th c Nh v y ta có th th c hi n các phép toán này trên các đ i t ng khác nhau Cái chung cho m i phép toán c ng hay nhân trên là các tính ch t giao hoán, k t h p, phân b M t t p h p có phép toán tho mãn đi u

ki n nào đó đ c g i là có c u trúc đ i s t ng ng Các c u trúc đ i s quan

tr ng th ng g p là nhóm, vành, tr ng, không gian véc t i s h c là m t ngành c a toán h c nghiên c u các c u trúc đ i s Lý thuy t Nhóm đ c Evarist Galois (Galoa) đ a ra vào đ u th k 19 trong công trình "Trong nh ng đi u ki n nào thì m t ph ng trình đ i s có th gi i đ c?", trong đó Galoa v n d ng lý thuy t nhóm đ gi i quy t Trên c s lý thuy t nhóm ng i ta phát tri n các c u trúc đ i s khác

Vi c nghiên c u các c u trúc đ i s giúp ta tách ra kh i các đ i t ng c th

mà th y đ c cái chung c a t ng c u trúc đ kh o sát các tính ch t, các đ c tr ng

c a chúng Ch ng h n, t p các ma tr n vuông cùng c p, các t đ ng c u tuy n tính, các đa th c có c u trúc vành không nguyên nên có nh ng tính ch t chung nào

go : → xác đ nh b i g o f(x)=g(f(x))

X L c l ng c a t p h p : Hai t p h p g i là cùng l c l ng n u có m t song ánh t t p này lên t p kia T p có cùng l c l ng v i {1,2, ,n}

1(

p n

n p

n n

n

A n p

−

=+

(

!

n p

A C

p n p

n n n

n n n n n

b a

0

0 1

f : → =

,

A

A) 2( =

XCó ph n t trung hoà (hay có ph n t đ n v ) là e∈ n u X

x x e e x X

∀ , , : ( ) phân ph i bên trái

z y z x z y x A z y

∀ , , : ( ) phân ph i bên ph i

XN u tho mãn thêm đi u ki n:

Lu t nhân có tính giao hoán thì (A,+,⋅) là vành giao hoán

Nguyên lý đ i ng u: N u m t công th c c a đ i s Boole đ c ch ng minh là đúng d a trên c s h tiên đ B1-B5 thì công th c đ i ng u c a chúng c ng đúng

Có th áp d ng đ i s Boole đ gi i quy t các bài toán v m ch đi n, thi t k

m t m ng tho mãn nh ng yêu c u nào đó, rút g n m ng đi n

1.3 CÂU H I VÀ BÀI T P

Câu 1: Hãy ch n câu tr l i đúng nh t;

a) "M i s nguyên t đ u là s l có ph i không?" là m t m nh đ lôgich toán h c

b) "Trái đ t quay xung quanh m t tr i" không ph i là m t m nh đ lôgich toán h c

Câu 4: Gi s A,B,C,D là t p con c a E Tr ng h p nào sau đây là sai:

a a x a x x

d) aRb⇔a −bMm, trong đó 2m≥ là m t s t nhiên cho tr c

Câu 10: Trong 5, xét quan h t ng đ ng R xác đ nh b i:

Câu 12: Tìm các ví d v t p đ c s p (E,≤) và hai t p con A,B⊂E

tho mãn:

a) T n t i supA nh ng không t n t i supB

b) T n t i supB nh ng không t n t i supA

c) T n t i supA∉Anh ng t n t i maxB

d) T n t i inf A nh ng không t n t i supA

Câu 13: Các ánh x f :5 →5 nào sau đây là đ n ánh:

ch½n nÕu

n n

n n

n g n n f

2)1(

2)

(,2)(

A x x

I A

nÕu

nÕu0

1)( và g i là hàm đ c tr ng c a t p A

4321

!2

!9

!5

!3

!8

!10

!4

!7

)! 1 (

!

= +

−

−

m

m m

a) 4m= b) m = m1, =4 c) m = m3, =4 d) m = m2, =3

Câu 24: M i ng i b n đi xem phim, cùng ng i m t hàng gh , ch i trò

đ i ch cho nhau Cho r ng m t l n đ i ch m t h t m t phút, h i th i gian

h đ i ch cho nhau là bao nhiêu?

a) H t 10 ngày đêm b) H t 100 ngày đêm

c) H t 1670 ngày đêm d) H t 2520 ngày đêm

Câu 25: M t h p tác xã có 225 xã viên H mu n b u m t ng i làm ch nhi m, m t th ký, m t th qu mà không kiêm nhi m Gi s m i xã viên

đ u có kh n ng đ c ch n nh nhau, h i có bao nhiêu cách ch n?

a) Có 12600 cách b) Có 13800 cách

c) Có 14580 cách d) Có 13680 cách

Câu 26: M t h p tác xã có 225 xã viên H mu n b u m t h i đ ng qu n

tr g m m t ch nhi m, m t th ký, m t th qu mà không kiêm nhi m Gi

s m i xã viên đ u có kh n ng đ c ch n nh nhau, h i có bao nhiêu cách

b) C10313710.1921 d) C12313719.1912

Câu 30: Phép toán nào sau đây không ph i là m t lu t h p thành trong:

a) Phép c ng hai véc t b) Tích vô h ng hai véc t

c) Phép c ng hai đa th c d) Phép nhân hai hàm s

Câu 31: Phép h p thành trong nào sau đây không có tính giao hoán:

Câu 33: Gi s ( )G,* là m t nhóm i u nào sau đây không đúng:

a) Ph n t trung hoà e là duy nh t

d) T p các s nguyên môđulô p

Câu 35: Cho A là m t vành Ph n t x∈ A đ c g i là lu linh n u t n

t i m t s t nhiên n≠0 sao cho n =0

x i u nào sau đây không đúng:

2 CH NG 2: KHÔNG GIAN VÉC T

2.1 M C TIÊU, YÊU C U, Ý NGH A

Khái ni m không gian véc t có ngu n g c t v t lý Ban đ u các véc t là

nh ng đo n th ng có đ nh h ng, v i khái ni m này ng i ta đã s d ng đ bi u

di n các đ i l ng v t lý nh : véc t v n t c, l c tác đ ng, l c đi n t Các nhà

v t lý còn s d ng ph ng pháp véc t Fresnel đ t ng h p các dao đ ng đi u hoà

Cu i th k 17 Descartes đã đ xu t ph ng pháp to đ đ gi i quy t các bài toán hình h c V i ph ng pháp này m i véc t trong m t ph ng đ c đ ng nh t

v i m t c p s là hoành đ và tung đ còn véc t trong không gian đ c đ ng nh t

v i b ba s Các phép toán c a véc t (c ng véc t , nhân 1 s v i véc t ) có th chuy n t ng ng b ng phép toán trên các b s và tho mãn m t s tính ch t nào

đó Trong nhi u l nh v c khác chúng ta c ng th y nh ng đ i t ng khác nh các

đa th c, hàm s , v.v có các phép toán tho mãn các tính ch t t ng t các véc t

i u này d n đ n vi c khái quát hoá khái ni m véc t

Trong các công trình v s quaternion t n m 1843 c a nhà toán h c Anh Hamilton, ng i ta có th tìm th y m t d ng thô s c a khái ni m không gian vec

t 3 và 4 chi u Hamilton dùng các s quaternion đ nghiên c u các v n đ toán lý Sau đó các nhà v t lý nh Maxwell và Gibbs đã phát tri n d n lý thuy t không gian véc t 3 chi u Khái ni m không gian véc t 4 chi u đ c Einstein (Anh-xtanh) s

d ng trong thuy t t ng đ i Ngày nay lý thuy t không gian véc t nhi u chi u

đ c s d ng r ng rãi trong nhi u l nh v c khác nhau c a toán h c và các ngành khoa h c khác

Chúng ta th y khái ni m không gian véc t đ c hình thành qua m t quá trình lâu dài trên c s các thành t u v lý thuy t c ng nh ng d ng th c t và khái quát hoá cao Vì v y đ h c t t ch ng này đ i h i ng i h c ph i n m v ng khái

ni m không gian véc t vói m c đ tr u t ng cao, còn các mô hình c th là các không gian 2 chi u, 3 chi u ta đã bi t i t ng c a ta đây là các không gian véc t h u h n chi u ó là các không gian có h sinh h u h n Trong không gian này m i véc t đ u có th bi u di n thành t h p tuy n tính c a các véc t c a h sinh Mu n cho bi u di n này là duy nh t thì h sinh ph i đ c l p tuy n tính, lúc đó

ta g i là m t c s c a không gian véc t Các h s trong bi u di n trên đ c

g i là to đ c a véc t

H c viên c n luy n t p tìm to đ c a m t véc t trong các c s khác nhau Tìm h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a m t h véc t cho tr c Tìm h ng c a

m t h véc t , tìm chi u c a không gian con Công th c chi u c a t ng hai không gian véc t con, chi u c a giao c a hai không gian véc t con Th y đ c m i liên

h gi a h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h sinh và c s , liên h gi a h ng

c a h sinh và chi u c a không gian sinh b i h sinh này (đ nh lý 2.17) Liên h

v i nh ng phép toán và tính ch t véc t đã bi t ph thông

2.2 TÓM T T N I DUNG

2.2.1 Khái ni m không gian vect

Không gian véc t trên tr ng K là t p V khác φ v i hai phép toán:

* Phép toán trong * Phép toán ngoài

Khi K =5 thì V đ c g i là không gian véc t th c

Khi K =$ thì V thì đ c g i là không gian véc t ph c

V V

V × →a),(

2.2.2 Không gian vect con

a Không gian véc t con:

T p con W ≠ φ c a V sao cho hai phép toán t V thu h p vào W tr thành không gian véc t (tho mãn các tiên đ V1-V8) thì W đ c g i là không gian véc

t con c a V (hay nói t t: không gian con c a V )

b Không gian con W bé nh t ch a h véc t S đ c g i là không gian sinh

c T ng c a m t h không gian véc t con: Gi s W , ,1 W n là n không gian

con c a V Ta ký hi u W1+ +W n là t ng c a các không gian con W , ,1 W n và

đ nh ngh a nh sau:

n i

W u u u

u W

W

u∈ 1 + + n ⇔ = 1+ + n, i∈ i; =1, ,

Tuy nhiên, nói chung cách vi t trên không duy nh t

Khi v i m i u∈W1 + +W n cách vi t trên duy nh t thì t ng các không gian con này đ c g i là t ng tr c ti p Lúc đó ta ký hi u: W1⊕ ⊕W n

T ng W1+W2 là t ng tr c ti p khi và ch khi W1∩W2 ={ }0

Ta có th ch ng minh đ c W1+ +W n =span(W1∪ ∪W n)

M t cách t ng quát ta đ nh ngh a và ký hi u t ng c a m t h các không gian véc t con ( )W i i∈I là ⎟⎟⎠

i I

I i W u

u u

I i

M i không gian h u h n sinh V đ u t n t i c s S ph n t c a m i c s

c a V đ u b ng nhau và đ c g i là s chi u c a V , ký hi u dim V

+

=+

5

α α

α( , , ) ( , , );

),

',

'()',','(),,(

z y x z

y x

z z y y x x z

y x z y x

+

=+

5

α α

α α

α( , , ) (2 ,2 ,2 );

)',',

'()',','(),,(

z y x z

y x

z z y y x x z

y x z y x

5

α

α( , , ) (0,0,0);

)1',1',

1'()',','(),,(

z y x

z z y y x x z

y x z y x

+

=+

5

α α

α α

α( , , ) ( , , );

)',',

'()',','(),,(

z y x z

y x

z z y y x x z

y x z y x

Câu 2: V i các phép c ng hai hàm s và phép nhân hàm s v i s th c,

t p các hàm s nào sau đây là không gian véc t

a) T p các hàm s không âm trên [ ]a, b

b) T p các hàm s b ch n trên [ ]a, b

c) T p các hàm s kh vi trên [ ]a, b ( có đ o hàm t i m i đi m)

d) T p các hàm s trên [ ]a, b sao cho f(b)=1

Câu 3: T p h p các véc t có d ng nào sau đây không là không gian con

5)(

2)(

3 v1 −u + v2 +u = v3 +u

trong đó v1 =(2,5,1,3); v2 =(10,1,5,10); v3 =(4,1,−1,1)

a) )u =(6,12,18,24 b) u =(7,−2,3,0)

c) )u =(1,2,3,4 d) u =(−2,3,7,0)

Câu 6: Hãy bi u di n véc t u thành t h p tuy n tính c a v1,v2,v3:

1,2

1(− −

2

1,2

1(− − λ

Câu 18: Trong không gian 54 xét các véc t :

Câu 19: Cho hai h véc t :

v1 =(1,1,1,1),v2 =(1,−1,1,−1),v3 =(1,3,1,3) và

u1=(1,2,0,2),u2 =(1,2,1,2),u3 =(3,1,3,1)

t V1 =span{v1,v2,v3}, V2 =span{u1,u2,u3}

Hãy tìm s chi u c a các không gian con V1, V2, V1+ V2, V1∩ V2

a) dim( )V1 =3, dim( )V2 =2,dim(V1+V2)=4,dim(V1∩V2)=1

b) dim( )V1 =3, dim( )V2 =2,dim(V1+V2)=5, dim(V1∩V2)=1

c) dim( )V1 =2,dim( )V2 =2, dim(V1+V2)=3,dim(V1∩V2)=1

d) dim( )V1 =2,dim( )V2 =3,dim(V1+V2)=4, dim(V1∩V2)=1

Câu 20: Cho 3 véc t v1, v2, v3 c a không gian véc t V Kh ng đ nh nào sau đây là sai:

a) N u {v1, v2}đ c l p thì {v1+v2,v1−v2} c ng đ c l p

b) N u {v1,v2,v3}đ c l p thì {v1 +v2,v2 +v3,v3 +v1} c ng đ c l p c) N u {v1,v2,v3}đ c l p thì

{2v1+v2 +v3,v1+2v2 +v3,v3 −2v2 +5v1} c ng đ c l p

d) N u {v1,v2,v3}đ c l p thì {v1 +3v2,v1+2v2 −v3,v3 +v1} c ng đ c

l p

Câu 21: Gi s W1, W2 là hai không gian con c a không gian véc t V

Phát bi u nào sau đây không đúng:

a) W1, W2 là hai không gian con c a W1+W2

b) W1∪W2 là không gian con c a W1+W2

c) W1 +W2 là không gian véc t nh nh t ch a W1∪W2

d) T ng W1+W2 là t ng tr c ti p W1⊕W2 khi và ch khi W1∩W2 =φ

Câu 22: Phát bi u nào sau đây không đúng:

a) N u W1, W2 là hai không gian con c a 5 , 3 dimW1=dimW2 =2 thì

{ }0

2

1∩W ≠

b) dimW1⊕W2 =dimW1 +dimW2

c) T n t i W1, W2 là hai không gian con c a không gian véc t V tho

mãn 5dimW1 =4,dimW2 = , 7dimV = và dimW1∩W2 =1

d) N u W1, W2 là hai không gian con c a 5 , 23 dimW1=1,dimW2 = và

2

W ⊄ thì 53 =W1⊕W2

Câu 23: Cho u =(1,−3,2) và v=(2,−1,1) là hai véc t c a 5 V i giá tr 3

k nào thì (1,k,5)∈span{ }u,v

a) 9k = c) 4k =−

b) 4k = d) 8k =−

Câu 24: Cho u =(1,−3,2) và v=(2,−1,1) là hai véc t c a 5 Véc t nào 3

sau đây thu c không gian span{ }u, v

ng i đ u tiên đ a ra cách bi u di n m t ánh x tuy n tính qua các ma tr n Còn Gauss là ng i đ u tiên s d ng ma tr n đ nghiên c u các d ng toàn ph ng

Ký hi u ma tr n cô đ ng, r t có ích và thu n ti n trong khi th c hi n các phép

bi n đ i tuy n tính (ch ng 6) và cho phép ta phát tri n m t ph ng pháp hoàn

ch nh đ gi i các h ph ng trình vi phân tuy n tính S quan tâm c a các nhà v t

lý đ i v i lý thuy t ma tr n, đ c bi t t ng lên sau khi Heisenberg, Born, Jordan vào

n m 1925 đã dùng nó trong các bài toán c a c h c l ng t S phát tri n c a máy tính hi n đ i th c hi n d dàng nh ng phép tính ma tr n c b n càng thúc đ y thêm s ng d ng r ng rãi ma tr n vào nh ng l nh v c khác

Có ng i ví ma tr n nh là s h c c a toán cao c p Cách ví von này hoàn toàn h p lý vì ma tr n đ c s d ng r ng rãi trong các chuyên ngành khác nhau

c a toán h c V i t cách là s bi u di n c a các phép bi n đ i tuy n tính, ma tr n

đ c s d ng trong các bài toán c c tr c a hàm nhi u bi n, đ o hàm hàm h p, ma

tr n Jacobi trong phép đ i bi n s , gi i các h ph ng trình vi phân tuy n tích Các

ma tr n d ng dùng đ mô t các đ c tr ng c a véc t ng u nhiên, mô t xác su t chuy n c a chu i Markov trong lý thuy t xác su t Gi i các bài toán quy ho ch tuy n tính Phân lo i các đ ng, m t b c 2 Ch ng trình ph n m m MATLAB (Matrix laboratory) h tr cho vi c tính toán, đ ho và mô ph ng c ng đ c th c

hi n trong môi tr ng ma tr n

N m v ng khái ni m ma tr n giúp h c viên h c t t các ch ng 4,5,6,7

Trong ch ng này ta ch xét khái ni m ma tr n cùng v i các phép toán c ng

ma tr n, nhân m t s v i ma tr n, nhân hai ma tr n và ma tr n chuy n v

C ng hai ma tr n cùng c đ c th c hi n b ng cách c ng các ph n t n m trên các hàng các c t t ng ng v i nhau Nhân m t s v i ma tr n là nhân s này

v i m i ph n t c a ma tr n Hai phép toán này đ c th c hi n m t cách d dàng Phép nhân hai ma tr n ch th c hi n đ c khi s c t c a ma tr n tr c b ng s hàng c a ma tr n sau Khi đó ph n t hàng i c t j c a ma tr n tích có đ c b ng cách l y các ph n t trên hàng th i c a ma tr n tr c nhân t ng ng v i các

ph n t trên c t th j c a ma tr n sau r i c ng l i Nh v y phép nhân ma tr n

đ c th c hi n khó h n nhi u H c viên c n luy n t p nhi u v phép nhân ma tr n

T p h p các ma tr n cùng c v i phép c ng ma tr n và phép nhân m t s v i

ma tr n là m t không gian véc t T p h p các ma tr n vuông cùng c p v i phép

c ng ma tr n và phép nhân ma tr n v i ma tr n là m t vành có đ n v , không giao hoán và không nguyên

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 1

2 22

21

1 12

11

MOM

đ c g i là m t ma tr n c m× n a ij là ph n t hàng th i và c t j

Vi t t t d ng [ ]i m

n j ij

a

, 1

1

,1, thì A=[ ]a ij n×m đ c g i là ma tr n c a h véc t {v1, ,v m} trong c s B

Ma tr n chuy n c s : Ma tr n c a h véc t B ' trong c s B đ c g i là

ma tr n chuy n t c s B sang c s B '

1

,1,

i

i

x u

1 1

'' , công th c đ i t a đ

n j n n ij n

03159

705

6321

34743

521

6321

0315

3

152

321

21

5712

521

52510

2517

++

1

63

w z

y x w

x w

z

y x

a) x=2,y=4,z=1,w=3 b) x=3,y=5,z=1,w=6

152

4613

01

12

321

521

108

2115

32110

9811

1007

958

021

521

108

45

1

12110

15

52

11

1018

21

A Tìm 2A3 −4B+5I

307

6014

5211

x

63

5

31

y x w

z

y x

10

1110

11

21

n

Câu 12: Tính

2003

01

10

10

20031

Câu 13: Cho ma tr n A=[ ]a ij vuông c p n Ta g i

nn

a a

0 sao cho A I

n = , v i s t nhiên n>0 nào đó

1,10

1,10

01,10

1,10

1,10

y x

0,,

10

01,10

01

01,10

01

b a

b a

b a

1

000

1

111

1

13

z y

x

(bi u di n m t ma tr n thành t h p tuy n tính c a 3 ma tr n khác)

a) x=−4, y=5, z =−1 b) x=4, y =−5, z =2

c) x=−3, y =4, z=1 d) x=3, y =−2, z=−1

Câu 17: Vi t ma tr n A c a h véc t {v1,v2,v3,v4},

)12,3,11(,

)5,3,7(,

)0,4,3(,

)5,2,1

11

53

7

043

521

735

340

125

05

3342

117

31

31

3342

125

05

613

431

32321

21211

a) r(A)=4 b) 3r(A)=

c) r(A)=2 d) 1r(A)=

Ngoài ng d ng đ gi i h ph ng trình tuy n tính, đ nh th c còn đ c s

d ng đ nghiên c u nh ng v n đ c a ma tr n nh : ma tr n ngh ch đ o, h ng c a

ma tr n, tìm giá tr riêng Kh o sát tính ch t đ c l p c a m t h véc t nh th c Jacobi đ c s d ng trong phép đ i bi n s c a tích phân nhi u l p nh th c Wronsky (vrông-xki) dùng đ ki m tra tính ch t đ c l p tuy n tính c a các nghi m

c a ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t

nh th c c a m t ma tr n vuông đ c đ nh ngh a b ng t ng c a các s h ng

g m tích c a các ph n t trên t t c các hàng n m trên các c t khác nhau và d u

c a hoán v t ng ng Tuy nhiên khi tính đ nh th c ta th ng s d ng các tính

ch t c a nó và ph ng pháp khai tri n theo hàng, theo c t ho c nhi u hàng, nhi u

c t ( nh lý Laplace)

đ nh ngh a đ nh th c ta s d ng khái ni m phép th đó là m t song ánh t

m t t p có n ph n t vào chính nó, nh c a phép th là hoán v Khái ni m phép

th , hoán v ta đã g p trong ch ng 1, trong m c gi i tích t h p

Trong ch ng này ta xét đ n hai ng d ng c a đ nh th c là tìm ma tr n ngh ch đ o và tìm h ng c a ma tr n Trong ch ng 5 ta s ng d ng đ nh th c đ

gi i h ph ng trình tuy n tính Trong ch ng 6 ta s ng d ng đ nh th c đ tìm giá tr riêng c a ma tr n ho c t đ ng c u tuy n tính

c ng ma tr n và phép nhân ma tr n là m t vành có đ n v nh ng không nguyên, do

đó nó không ph i là m t tr ng Vì v y t n t i nh ng ma tr n vuông khác ma tr n không và không kh ngh ch S d ng tính ch t đ nh th c c a tích hai ma tr n b ng tích hai đ nh th c c a hai ma tr n này, ta ch ng minh đ c đi u ki n c n và đ đ

Ngoài ph ng pháp s d ng đ nh th c ta có th s d ng ph ng pháp Jordan đ tìm ma tr n ngh ch đ o, th c ch t c a ph ng pháp này là s d ng phép