Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2

Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2,Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2 Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2,Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2,Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2 Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2,Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2 Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2,Sách Bài Tập Toán Cao Cấp A2

H C VI N CÔNG NGH B U CHÍNH VI N THÔNG ===== SÁCH H ===== NG D N H C T P TOÁN CAO C P (A2) (Dùng cho sinh viên h đào t o đ i h c t xa) L u hành n i b HÀ N I - 2006 Gi i thi u môn h c GI I THI U MÔN H C GI I THI U CHUNG: Toán cao c p A1, A2, A3 ch ng trình toán đ i c ng dành cho sinh viên nhóm ngành toán nhóm ngành thu c kh i k thu t N i dung c a toán cao c p A1, A3 ch y u phép tính vi tích phân c a hàm m t ho c nhi u bi n, toán cao c p A2 c u trúc đ i s đ i s n tính Có nhi u sách giáo khoa tài li u tham kh o vi t v ch đ Tuy nhiên v i ph ng th c đào t o t xa có nh ng đ c thù riêng, đòi h i h c viên làm vi c đ c l p nhi u h n, c n ph i có tài li u h ng d n h c t p thích h p cho t ng môn h c T p tài li u h ng d n h c môn toán cao c p A2 đ c biên so n c ng nh m m c đích T p tài li u đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2001 c a H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông N i dung c a cu n sách bám sát giáo trình c a tr ng đ i h c k thu t, giáo trình dành cho h qui c a H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông biên so n n m 2001 theo kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính th , giáo trình c ng có th dùng làm tài li u h c t p,tài li u tham kh o cho sinh viên c a tr ng, ngành đ i h c cao đ ng Giáo trình đ c trình bày theo cách thích h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t ph c v đ c l c cho công tác đào t o t xa Tr c nghiên c u n i dung chi ti t, ng i đ c nên xem ph n gi i thi u c a m i ch ng đ th y đ c m c đích ý ngh a, yêu c u c a ch ng Trong m i ch ng, m i n i dung, ng i đ c có th t đ c hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t ch ng minh rõ ràng c bi t b n đ c nên ý đ n nh n xét, bình lu n đ hi u sâu h n ho c m r ng t ng quát h n k t qu H u h t toán đ c xây d ng theo l c đ : đ t toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng lý thuy t cu i nêu thu t toán gi i quy t toán Các ví d đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c thu t toán, v y s giúp ng i đ c d dàng h n ti p thu h c Sau ch ng có ph n tóm t t n i dung cu i câu h i luy n t p Có kho ng t 30 đ n 40 t p cho m i ch ng, t ng ng vói -5 câu h i cho m i ti t lý thuy t H th ng câu h i bao trùm toàn b n i dung v a đ c h c Có nh ng câu ki m tra tr c ti p ki n th c v a đ c h c nh ng c ng có nh ng câu đòi h i h c viên ph i v n d ng m t cách t ng h p sáng t o ki n Gi i thi u môn h c th c đ gi i quy t Vì v y vi c gi i t p giúp h c viên n m ch c h n lý thuy t ki m tra đ c m c đ ti p thu lý thuy t c a Các t p đ c cho d i d ng tr c nghi m khách quan, m t ph ng pháp r t phù h p v i hình th c đào t o t xa H c viên có th t ki m tra đ i chi u v i đáp án cu i sách Tuy nhiên ph ng pháp tr c nghi m c ng có nh ng m t h n ch c a nó, ch ng h n ph ng pháp không th hi n đ c kh n ng trình bày k t qu , kh n ng l p lu n, mà m t nh ng yêu c u c a vi c h c toán M t toán có th gi i cho k t qu nh ng cách gi i sai th m chí sai c v b n ch t Hai l n sai d u tr bi n thành d u c ng cho k t qu nh ng th c ch t sai M t khác có th gi i toán tr c nghi m b ng cách th tr ng h p lo i tr , nh ng cách làm tiêu c c kh c ph c nh ng h n ch c a ph ng pháp ki m tra tr c nghi m khuyên ng i đ c nên t gi i quy t toán theo ph ng pháp t lu n, sau m i đ i chi u v i tr ng h p a, b, c, d đ ch n ph ng án Giáo trình g m ch ng t ng ng v i đ n v h c trình (60 ti t): Ch ng I: Lô gích toán h c, lý thuy t t p h p, ánh x c u trúc đ i s Ch ng II: Không gian véc t Ch ng III: Ma tr n Ch ng IV: Ch ng V: H ph Ch ng VI: Ánh x n tính Ch ng VII: Không gian véc t Euclide d ng toàn ph nh th c ng trình n tính ng Ngoài vai trò công c cho ngành khoa h c khác, toán h c đ c xem m t ngành khoa h c có ph ng pháp t l p lu n xác ch t ch Vì v y vi c h c toán c ng giúp ta rèn luy n ph ng pháp t Các ph ng pháp đ c gi ng d y cung c p t ng b c trình h c t p ph thông, nh ng ch ng I v n đ đ c h th ng hoá l i N i dung c a ch ng I đ c xem c s , ngôn ng c a toán h c hi n đ i M t vài n i dung ch ng đ c h c ph thông nh ng ch v i m c đ đ n gi n Các c u trúc đ i s hoàn toàn m i tr u t ng v y đòi h i h c viên ph i đ c l i nhi u l n m i ti p thu đ c Các ch ng l i c a giáo trình đ i s n tính Ki n th c c a ch ng liên h ch t ch v i nhau, k t qu c a ch ng công c c a ch ng khác Vì v y h c viên c n th y đ c m i liên h c m c a môn h c Gi i thi u môn h c tính khái quát hoá tr u t ng cao Các khái ni m th ng đ c khái quát hoá t nh ng k t qu c a hình h c gi i tích ph thông Khi h c ta nên liên h đ n k t qu M C ÍCH MÔN H C Cung c p cho sinh viên ki n th c c b n v đ i s : M nh đ , t p h p, ánh x , c u trúc đ i s đ i s n tính bao g m khái ni m v không gian vecto, ma tr n, đ nh th c, ánh x n tính, d ng song n tính, d ng toàn ph ng , làm c s đ ti p thu môn k thu t n n t PH NG PHÁP NGHIÊN C U MÔN H C h c t t môn h c này, sinh viên c n l u ý nh ng v n đ sau : 1- Thu th p đ y đ tài li u : ◊ Bài gi ng: Toán cao c p A2 Lê Bá Long, Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005 ◊ Sách h ng d n h c t p t p: Toán cao c p A2 Lê Bá Long, Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005 N u có u ki n, sinh viên nên tham kh o thêm: Các tài li u tham kh o m c Tài li u tham kh o cu i cu n sách 2- t m c tiêu, th i h n cho b n thân: t m c m c tiêu t m th i th i h n cho b n thân, c g ng th c hi n chúng Cùng v i l ch h c, l ch h ng d n c a H c vi n c a môn h c c ng nh môn h c khác, sinh viên nên t đ t cho m t k ho ch h c t p cho riêng L ch h c mô t v tu n h c (t h c) m t k h c đánh d u s l ng công vi c c n làm ánh d u ngày sinh viên ph i thi sát h ch, n p lu n, ki m tra, liên h v i gi ng viên Xây d ng m c tiêu ch ng trình nghiên c u Bi t rõ th i gian nghiên c u m i b t đ u nghiên c u th th c hi n, c đ nh nh ng th i gian hàng tu n Suy ngh v th i l ng th i gian nghiên c u đ “Ti t ki m th i gian” “N u b n m t nhi u gi nghiên c u”, b n nên xem l i k ho ch th i gian c a 3- Nghiên c u n m nh ng ki n th c đ c t lõi: Gi i thi u môn h c Sinh viên nên đ c qua sách h ng d n h c t p tr c nghiên c u gi ng môn h c tài li u tham kh o khác Nên nh r ng vi c h c thông qua đ c tài li u m t vi c đ n gi n nh t so v i vi c truy c p m ng Internet hay s d ng hình th c h c t p khác Hãy s d ng thói quen s d ng bút đánh d u dòng (highline maker) đ đánh d u đ m c nh ng n i dung, công th c quan tr ng tài li u 4- Tham gia đ y đ bu i h ng d n h c t p: Thông qua bu i h ng d n h c t p này, gi ng viên s giúp sinh viên n m đ c nh ng n i dung t ng th c a môn h c gi i đáp th c m c; đ ng th i sinh viên c ng có th trao đ i, th o lu n c a nh ng sinh viên khác l p Th i gian b trí cho bu i h ng d n không nhi u, đ ng b qua nh ng bu i h ng d n đ c lên k ho ch 5- Ch đ ng liên h v i b n h c gi ng viên: Cách đ n gi n nh t tham d di n đàn h c t p m ng Internet H th ng qu n lý h c t p (LMS) cung c p môi tr ng h c t p su t 24 gi /ngày ngày/tu n N u u ki n truy nh p Internet, sinh viên c n ch đ ng s d ng s d ng d ch v b u ph ng th c truy n thông khác (đi n tho i, fax, ) đ trao đ i thông tin h c t p 6- T ghi chép l i nh ng ý chính: N u ch đ c không r t khó cho vi c ghi nh Vi c ghi chép l i m t ho t đ ng tái hi n ki n th c, kinh nghi m cho th y giúp ích r t nhi u cho vi c hình thành thói quen t h c t nghiên c u -Tr l i câu h i ôn t p sau m i ch ng, Cu i m i ch ng, sinh viên c n t tr l i t t c câu h i Hãy c g ng v ch nh ng ý tr l i chính, t ng b c phát tri n thành câu tr l i hoàn thi n i v i t p, sinh viên nên t gi i tr c tham kh o h ng d n, đáp án ng ng i ng n vi c liên h v i b n h c gi ng viên đ nh n đ c s tr giúp Nên nh thói quen đ c ghi chép chìa khoá cho s thành công c a vi c t h c! Ch CH ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s NG 1: M U V LÔGÍCH M NH ,T PH P ÁNH X VÀ CÁC C U TRÚC IS 1.1 M C TIÊU, YÊU C U, Ý NGH A ây ch ng m đ u làm c s , làm ngôn ng công c không nh ng cho toán h c mà cho ngành khoa h c khác Ta bi t r ng toán h c m t ngành khoa h c lý thuy t đ c phát tri n c s tuân th nghiêm ng t qui lu t l p lu n c a t lôgich hình th c Các qui lu t c b n c a lôgich hình th c đ c phát tri n t th i Aristote (Arít-xt t ) (th k th tr c công nguyên) v i s phát tri n r c r c a v n minh c Hy L p Tuy nhiên đ n th k 17 v i nh ng công trình c a De Morgan ( Mocgan), Boole lôgích hình th c m i có m t c u trúc đ i s đ p đ v i lý thuy t t p h p giúp làm xác hoá khái ni m toán h c thúc đ y toán h c phát tri n m nh m Vi c n m v ng lôgich hình th c giúp h c viên không nh ng h c t t môn toán mà có th v n d ng th c t bi t l p lu n xác H c t t môn lôgich c s đ h c t t đ i s Boole, v n d ng đ gi i toán v s đ công t c r le, s đ n công ngh thông tin Yêu c u c a ph n ph i n m v ng khái ni m m nh đ toán h c, phép toán liên k t m nh đ tính ch t c a chúng Khái ni m t p h p, ánh x c u trúc đ i s khái ni m c b n: v a công c v a ngôn ng c a toán h c hi n đ i Vì vai trò n n t ng c a nên khái ni m t p h p đ c đ a r t s m vào ch ng trình toán ph thông (l p 6) Khái ni m t p h p đ c Cantor đ a vào cu i th k 19 Sau đ c xác hoá b ng h tiên đ v t p h p Có th ti p thu lý thuy t t p h p theo nhi u m c đ khác Chúng ta ch ti p c n lý thuy t t p h p m c đ tr c quan k t h p v i phép toán lôgich hình th c nh "và", "ho c", phép kéo theo, phép t ng đ ng, l ng t ph bi n, l ng t t n t i V i phép toán lôgích ta có t ng ng phép toán giao, h p, hi u t p h p c a t p h p Trên c s tích Descartes ( -các) c a hai t p h p ta có khái ni m quan h hai mà hai tr ng h p đ c bi t quan h t ng đ ng quan h th t Quan h t ng đ ng đ c dùng đ phân m t t p thành l p không giao nhau, g i phân ho ch c a t p Quan h đ ng d môđulô p (modulo) m t quan h t ng đ ng t p s nguyên T p th ng c a t p p Ch ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s s nguyên môđulô p T p p có nhi u ng d ng lý thuy t m t mã, an toàn m ng Quan h th t đ c dùng đ s p x p đ i t ng c n xét theo m t th t d a tiêu chu n Quan h ≤ t p h p s quan h th t Khái ni m ánh x s m r ng khái ni m hàm s đ c bi t Khái ni m giúp ta mô t phép t ng ng t m t t p đ n t p tho mãn u ki n r ng m i ph n t c a t p ngu n ch cho ng v i m t ph n t nh t c a t p đích m i ph n t c a t p ngu n đ u đ c cho ng v i ph n t c a t p đích đâu có t ng ng ta có th mô t đ c d i ngôn ng ánh x S d ng khái ni m ánh x t p h p ta kh o sát v n đ c a gi i tích t h p, ph ng pháp đ m s ph n t Gi i tích t h p đ c s d ng đ gi i quy t toán xác su t th ng kê toán h c r i r c Ta có th th c hi n phép toán c ng s , hàm s , đa th c, véc t ho c nhân s , hàm s , đa th c Nh v y ta có th th c hi n phép toán đ i t ng khác Cái chung cho m i phép toán c ng hay nhân tính ch t giao hoán, k t h p, phân b M t t p h p có phép toán tho mãn u ki n đ c g i có c u trúc đ i s t ng ng Các c u trúc đ i s quan tr ng th ng g p nhóm, vành, tr ng, không gian véc t i s h c m t ngành c a toán h c nghiên c u c u trúc đ i s Lý thuy t Nhóm đ c Evarist Galois (Galoa) đ a vào đ u th k 19 công trình "Trong nh ng u ki n m t ph ng trình đ i s có th gi i đ c?", Galoa v n d ng lý thuy t nhóm đ gi i quy t Trên c s lý thuy t nhóm ng i ta phát tri n c u trúc đ i s khác Vi c nghiên c u c u trúc đ i s giúp ta tách kh i đ i t ng c th mà th y đ c chung c a t ng c u trúc đ kh o sát tính ch t, đ c tr ng c a chúng Ch ng h n, t p ma tr n vuông c p, t đ ng c u n tính, đa th c có c u trúc vành không nguyên nên có nh ng tính ch t chung Các c u trúc đ i s có tính khái quát hoá tr u t ng cao v y ng i ta ngh r ng khó áp d ng vào th c ti n Tuy nhiên th c t cho th y đ i s Boole đ c ng d ng r t hi u qu vi c gi i quy t toán v s đ m ch n, vào máy tính Lý thuy t nhóm đ c ng d ng vào c h c l ng t Lý thuy t v nhóm vành đ c ng d ng lý thuy t m t mã, lý thuy t Ôtômát 1.2 TÓM T T N I DUNG 1.2.1 Lôgíc m nh đ a M nh đ 10 ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s Ch b Liên k t m nh đ : Phép ph đ nh: p đ c không p Phép h i: p ∧ q đ c p q Phép n: p ∨ q đ c p ho c q Phép kéo theo: p ⇒ q đ c p kéo theo q, p suy q Phép t ng đ ng: p ⇔ q đ c p t L ng t ph bi n: ∀ đ c v i m i L ng t t n t i: ∃ đ c t n t i ng đ ng q 1.2.2 T p h p ph n t a T p h p a ph n t c a A ký hi u a ∈ A , đ c a thu c A a không ph i ph n t c a A ký hi u a ∉ A , đ c a không thu c A T p r ng φ A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B ) T p con: T p b ng A = B ⇔ (( A ⊂ B) ∧ ( B ⊂ A) ) b Các phép toán t p h p H p x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B ) Giao x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B ) Hi u x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ B ) Ph n bù A⊂ X , A = X \ A T p t t c t p c a X : Tích đ P (X ) = { A A⊂ X } A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B} A × B × C = {(a, b, c) a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C} c Quan h Quan h hai R X t p R⊂X×X,g xR x , ∀ x ∈ X o ph n x n u 11 i có tính: Ch ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s o đ i x ng n u xR y ⇒ yR x xR y ∧ yR z ⇒ xR z o b cc un u xR y ∧ yR x ⇒ x = y o ph n đ i x ng n u Quan h hai R X đ c g i quan h t có tính ph n x đ i x ng b c c u, ký hi u ~ L pt ng đ ng c a y, ký hi u ng đ ng n u y = {x ∈ X x ~ y } Quan h hai R X đ c g i quan h th t n u có tính ph n x ph n đ i x ng b c c u, ký hi u ≤ Quan h th t ≤ X đ c g i quan h th t toàn ph n n u hai ph n t b t k x, y c a X đ u có th so sánh đ c v i nhau, ngh a x ≤ y ho c y ≤ x Quan h th t không toàn ph n đ c g i quan h th t b ph n 1.2.3 Ánh x a Ánh x : Ánh x t t p X vào t p Y m t quy lu t cho ng m i x ∈ X v i m t ch m t y ∈ Y , ký hi u f : X → Y , b Phân lo i: y = f ( x) ho c x a y = f ( x) đ c g i công th c xác đ nh nh f m t đ n ánh n u f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y f m t toàn ánh n u f (X ) = Y f m t song ánh n u f v a đ n ánh v a toàn ánh N u f m t song ánh có ánh x ng b i: c f −1 : Y → X xác đ nh y = f ( x) ⇔ x = f −1 ( y ) c ng m t song ánh c Các phép toán H p c a hai ánh x f : X →Y g : Y → Z ánh x g o f : X → Z xác đ nh b i g o f ( x) = g ( f ( x) ) L c l ng c a t p h p : Hai t p h p g i l c l ng n u có m t song ánh t t p lên t p T p có l c l ng v i {1, 2, , n } 12 Ch ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s đ c g i t p h u h n có n ph n t T p r ng t p h u h n có ph n t T p không h u han đ c g i t p vô h n đ T p l c l ng v i t p s t nhiên đ c T p s th c không đ m đ c c g i t p vô h n đ m 1.2.4 Gi i tích t h p Pn = n! S hoán v n ph n t np S ch nh h p l p ch p p c a n ph n t S ch nh h p không l p ch p p c a n ph n t n! Anp = n(n − 1) (n − p + 1) = (n − p )! S t h p ch p p c a n ph n t p p An = Cn = p! n! (n − p )! p! Nh th c Niu-t n (a + b) = Cnn a n + Cnn −1a n −1b + + Cn0b n = n S l n ∑ Cnp a pb n − p p =0 c v phép đ m o Công th c c ng: A ∪ B + A ∩ B = A + B , o Công th c nhân: A1 × × Ak = A1 ⋅ ⋅ Ak , o Ch nh h p có l p: { f : A → B} = A B , P ( A) = A o N u f : A → B song ánh A = B 1.2.5 Các c u trúc đ i s Lu t h p thành trong, hay g i phép toán hai ngôi, t p X m t ánh x t X × X vào X , ký hi u * : X × X → X ( x, y ) a x * y Lu t h p thành * c a t p X đ c g i là: Có tính k t h p n u ∀x, y, z ∈ X : x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z Có tính giao hoán n u ∀x, y ∈ X : x ∗ y = y ∗ x 13 áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án d 16 a) ; b) ; c) ; d) c 17 c b 18 a c 19 c c 20 c 21 b b 22 c a 23 d c 24 a 10 b 25 c 11 c 26 d 12 c 27 13 b 28 14 a) ; b) ; c) ; d) 29 15 c 30 Câu 1, 2, 3, 4, 5: S d ng tr c ti p đ nh ngh a không gian véc t không gian véc t Câu 6: ⇒ a) Gi i h ph ⎧2α + 3β + γ = ⎪ ng trình ⎨3α + β − 6γ = −2 ⎪5α + β + γ = 15 ⎩ α = 11; β = −5; γ = ⇒ u = 11v1 + (−5)v2 + 0v3 Gi i h ph ng trình t b) u = 3v1 + 5v2 + (−1)v3 d) u = v1 + v2 + v3 ng t ta có k t qu sau c) 115 u = v1 + 2v2 + 3v3 áp án h ng d n gi i t p Câu 7: Bài toán t ng đ ng v i vi c tìm giá tr c a λ đ h ph ⎧2α + 3β + γ = ⎪ sau có nghi m ⎨3α + β − 6γ = −2 ⇒ λ = 12 ⎪5α + 8β + γ = λ ⎩ ng trình Câu 8: Th c hi n phép bi n đ i s c p áp d ng đ nh lý 2.17 suy ra: a) m t h sinh c a Ho c h ph ; b) c) d) không ph i h sinh c a ⎧2α + 3β + γ = a ⎪ ng trình ⎨α + β − γ = b ⎪− 3α − β + γ = c ⎩ có nghi n v i m i (a, b, c) ∈ h ph tr ng trình t ng ng v i ng h p b) c) d) không ph i có nghi n v i m i (a, b, c) ∈ Câu 10: a) Hai véc t u, v t l v i nên ph thu c n tính; B ng hai ph ng pháp nh câu 8) suy ra: b) đ c l p n tính; c) d) ph thu c n tính Câu 11: Áp d ng đ nh lý 2.17 −1 − λ − − 2⎤ ⎡ λ ⎡ λ ⎢− λ − 2⎥ ↔ ⎢ − λ + ⎥ ⎢ ⎢ ⎢⎣− − λ ⎥⎦ ⎢⎣− (n u λ ≠ − ) −1 − λ⎤ ⎥ ⎥ λ + ⎥⎦ ⎡λ − − − λ λ +1 ↔⎢ ⎢ ⎢⎣ 0 −1 − λ ⎤ ⎥ ⎥ λ + ⎥⎦ V y h véc t ph thu c n tính λ = hay λ = − Câu 17: B ng ph ng pháp t ng t ví d 2.14, th c hi n phép bi n đ i s c p áp d ng đ nh lý 2.17, nh n xét 2.18 suy ra: dimV1 = r{v1 , v2 , v3 } = , dimV2 = r{u1 , u , u3 } = , dim(V1 + V2 ) = r{v1 , v2 , v3 , u1 , u , u3 } = ⇒ dim(V1 ∩ V2 ) = + − = Câu 18, 19: đ c gi i t ng t 116 áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án b 11 a c 12 a a 13 c d 14 a c 15 b a 16 d b 17 c d 18 c d 19 a 10 b 20 b Câu 11: Quy n p theo n Câu 12: ⇒ ⎡ 1⎤ ⎢ − 0⎥ = I ⎦ ⎣ ⎡ 1⎤ ⎢ − 0⎥ ⎦ ⎣ 2003 500 ⎛ ⎡ 1⎤ ⎞ ⎡0 − 1⎤ ⎡ 1⎤ ⎜ ⎟ = ⎢ ⋅ = ⎢1 ⎥ ⎢ − 0⎥ ⎜ ⎣− 0⎥⎦ ⎟ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠ Câu 13: N u t n t i A, B cho AB − BA = I Tr ( AB − BA) = nh ng TrI = n vô lý ⎡xn Câu 14: A n = ⎢ ⎣⎢ An = I *⎤ ⎥ z n ⎦⎥ ⇒ x n = z n = ⇒ x = ±1, z = ±1 ⎡1 ± ny ⎤ ♦ x = z = ±1 ⇒ An = ⎢ ⎥ ⇒ y = 0 ⎦ ⎣ ⎡1 0⎤ ♦ x = − z = ±1 ⇒ A2 = ⎢ ⎥ ⇒ y tùy ý ⎣0 ⎦ 117 áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án b 14 c c 15 b a 16 d d 17 b c 18 a c 19 c a 20 b b 21 a d 22 d 10 c 23 c 11 b 24 b 12 a 25 c 13 a Câu 9: Khai tri n Laplace theo hàng đ u ta đ c −4 (− 1)1+ +1+ − = 790 D= −1 Câu 10: Áp d ng đ nh th c Vandermond có ph n t t ng ng − 1, 2, 4, x ta có D = 30( x + 1)( x − 2)( x − 4) Câu 11: Khai tri n Laplace theo hàng th ba th t ta đ −2 3+ +1+ (− 1) − = −115 D= −1 − 118 c áp án h ng d n gi i t p m Câu 14: det A = m = (m − 4)(m + 5)(m − 1) m V y A kh ngh ch m ≠ −5, 4,1 Câu 17: Áp d ng cônh th c 4.19 ⎡4 − 1⎤ A = ⎢1 − 3⎥ có det A = −7 ⎥ ⎢ ⎢⎣7 − ⎥⎦ A11 = (−1)1+1 −3 −4 A13 = (−1)1+ −4 A22 = (−1) + = −4 , A12 = (−1)1+ = −32 , A21 = (−1) +1 −3 = −23 , −1 −4 =2 , −1 = 15 , A23 = (−1) + = 23 , 7 −4 A31 = (−1)3+1 −1 −1 = , A32 = (−1) 3+ = 11, −3 −3 A33 = (−1) 3+ 1 = 15 , t ⎡− − 23 − 32⎤ ⎡−4 1⎤ ⎢ 1⎢ ⎥ −1 V y A = 15 23 = − − 23 15 11⎥ ⎥ ⎥ −7⎢ 7⎢ ⎢⎣ ⎢⎣− 32 23 15⎥⎦ 11 15 ⎥⎦ ( ) Câu 19: a) (I − A) I + A + + A m −1 = I ⇒ A−1 = I + A + + A m −1 b) (3I − A)A = A − A2 = I ⇒ A −1 = 3I − A d) det A ≠ ⇒ ∃ A−1 ⇒ ( BA) A−1 = (CA) A−1 ⇒ B = C Câu 22: det( A) = (m + 3)(m − 1) Khi m ≠ −3, h ng r ( A) = 119 áp án h ⎡1 ⎢1 Khi m = ma tr n A = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1 Khi 1 −3 m= −3 ma ng d n gi i t p 1 1⎤ 1 1⎥ ⎥ suy h ng r ( A) = 1 1⎥ ⎥ 1 1⎦ tr n 1 − 3⎤ ⎡1 ⎢1 −3 ⎥ ⎢ ⎥, A= ⎢ −3 1⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣− 1 −3 −3 ≠ 1 suy h ng r ( A) = 120 đ nh th c áp án h CH ng d n gi i t p NG d 16 b b 17 d a 18 b b 19 a b 20 c c 21 b a 22 d c 23 b b 24 a 10 d 25 c 11 b 26 b 12 d 27 d 13 b 28 a 14 a 29 c 15 c 30 b S d ng ph ng pháp kh Gauss ta có trh gi i t p t câu 7- câu 25 Câu 17: Ta th c hi n phép bi n đ i t tr n b sung c a h ph ng trình ⎡2 ⎢ ~ ⎢2 − A= ⎢4 ⎢ ⎣4 14 2⎤ ⎡2 ⎥ ⎢4 m ⎥ ↔ ⎢ ⎢4 14 4⎥ ⎥ ⎢ 4⎦ ⎣2 − ⎡2 ⎢0 − ↔ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 −1 0 m −1 2⎤ 0⎥ ⎥↔ 0⎥ ⎥ 5⎦ ng đ ng lên hàng c a ma 2⎤ ⎡2 ⎥ ⎢ −4 −1 ⎥ ↔ ⎢ ⎢0 − 2 4⎥ ⎥ ⎢ m 7⎦ ⎣0 − m − 3 ⎡2 ⎢0 − ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 121 2⎤ − 0⎥ ⎥ 0 0⎥ ⎥ m − 5⎦ 2⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 5⎦ áp án h H t ng đ ng d n gi i t p + x4 = ⎧2 x1 + x2 ⎪ ng ⎨ − x2 + x3 − x4 = ⎪ (m − 1) x4 = ⎩ Khi m = h vô nghi m m ≠1 h Khi 5 10 x4 = , x3 = x2 + , x1 = − x2 − , m −1 m −1 m −1 có nghi m x2 tùy ý Câu 24: Véc t (a, b, c) thu c vào không gian sinh b i v1 , v2 , v3 ch h ph ng trình sau có nghi m =a ⎧2 x + y ⎪ ⎨ x − y + 3z = b ⎪ y − 4z = c ⎩ Ma tr n b sung b ⎤ a⎤ ⎡2 ⎡1 − b ⎤ ⎡1 − ~ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ c ⎥ A = −1 b ↔ − c ↔ − ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 − c ⎥⎦ ⎢⎣2 ⎢⎣0 − a − 2b ⎥⎦ a ⎥⎦ V y véc t (a, b, c) thu c vào không gian sinh b i v1 , v2 , v3 ch 3c = 2(a − 2b) hay 2a = 4b + 3c ⎡2 − − − 2⎤ Câu 26: Ma tr n h s c a h (I ) ⎢3 − − − 4⎥ có h ng b ng ⎢ ⎥ ⎢⎣1 − − − 2⎥⎦ Do dimV1 = − = T ng t ta c ng có dimV2 = − = Không gian V1 ∩ V2 không gian nghi m c a h (I ) h (II ) có ma ⎡2 − − − 2⎤ ⎢3 − − − 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 − − − ⎥ tr n h s ⎢ ⎥ có h ng b ng Do dim(V1 ∩ V2 ) = − = − 10 ⎢ ⎥ ⎢1 − 3⎥ ⎢ ⎥ − 4⎦ ⎣3 Suy dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 − dim(V1 ∩ V2 ) = + − = 122 áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án b 21 d c 22 a a 23 c d 24 b c 25 a b 26 c d 27 b b 28 a a 29 c 10 b 30 a 11 c 31 c 12 b 32 b 13 a 33 d 14 c 34 c 15 b 35 d 16 a 36 c 17 b 37 b 18 d 38 d 19 c 39 c 20 b 40 d Các câu 1, 2, 3, 4, áp d ng tr c ti p đ nh ngh a ánh x n tính Câu 10: Ma tr n c a f c s t c c a ⎡1 − ⎤ ⎢0 11 − 3⎥ ⎥ r ( A) = ⇒ r ( f ) = ⇒ dim Kerf = − r ( f ) = A=⎢ ⎢2 − 1⎥ ⎢ ⎥ 5⎦ ⎣4 123 áp án h nh th c c a ma tr n c a ánh x n tính f c s t c Câu 18: tr ng d n gi i t p ng h p t ng ng −1 1 1 a) 1 = −1 , b) − 1 = , c) = 36 , 1 1 −1 0 −1 = d) − 1 −1 ng h p d) không đ ng c u V y ánh x tr t Câu 20: ⎧e1 = e'1 ⎧e'1 = e1 ⎪e = −e' + e' ⎪e' = e + e ⎪ ⎪ 2 ⇒ ⎨ ⎨ ⎪e3 = −e'2 + e'3 ⎪e'3 = e1 + e2 + e3 ⎪⎩e4 = −e'3 + e'4 ⎪⎩e'4 = e1 + e2 + e3 + e4 f (e'1 ) = f (e1 ) = e1 + 3e2 + 2e3 + e4 = e'1 +3(− e'1 +e'2 ) + 2(− e'2 +e'3 ) + (− e'3 +e'4 ) = −2e'1 +e'2 +e'3 +e'4 T ng t ta tính đ f (e'2 ) = −4e'2 +4e'3 +3e'4 c f (e'3 ) = e'1 −8e'2 +6e'3 +4e'4 f (e'4 ) = −7e'2 +4e'3 +7e'4 ⎤ ⎡− ⎢ − − − 7⎥ ⎥ V y ma tr n c a f c s m i A' = ⎢ ⎢1 4⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣1 ⎡1 − 1⎤ Câu 36: Ma tr n c a f có s t c c a P2 A = ⎢3 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 − 1⎥⎦ a th c đ c tr ng c a A P (λ ) = 1− λ −3 3 −5−λ −3 1 = 1− λ −2−λ 2+λ −5−λ −3 124 1− λ áp án h −2−λ 0 −2−λ 1− λ = ng d n gi i t p = (1 − λ )(2 + λ ) ⎡1 2⎤ Câu 37: Ma tr n c a f có s t c A = ⎢ − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 1 ⎥⎦ a th c đ c tr ng c a A 1− λ P (λ ) = −1 2−λ 1− λ −1 = 4−λ 2−λ 3−λ 1− λ 2 −1 = − λ −1 0 3−λ 3−λ = (1 − λ )(λ − 3) Do A có giá tr riêng λ1 = λ2 = (kép) *) Giá tr riêng λ = có véc t riêng v = ( x, y, z ) nghi m c a h ph ⎡ 2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ 1 − 1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ trình: có h ph ng trình t ng đ ⎧x + y = ng: ⎨ y+ z=0 ⎩ ⎧ x = −2 y ⇒ ⎨ ⎩z = − y v = (− y, y,− y ) = − y (2,−1,1) ch n v1 = (2,−1,1) **) Giá tr riêng λ = có véc t riêng v = ( x, y, z ) nghi m c a h ph ng trình H ph ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡− 2 ⎢ − − 1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ng trình t ng đ ng v i ph ng trình: x − y − z = v = ( y + z , y, z ) = y (1,1,0) + z (1,0,1) ch n v2 = (1,1,0) , v3 = (1,0,1) {v1, v2 , v3 } m t c s g m véc t riêng c a f f (v1 ) = v1 , f (v2 ) = 3v2 , f (v3 ) = 3v3 125 ng áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án c 19 d a 20 c d 21 a c 22 b b 23 d a 24 b c 25 d d 26 c b 27 b 10 b 28 a 11 a 29 c 12 b 30 b 13 d 31 a 14 b 32 b 15 c 33 d 16 a 34 c 17 c 35 a 18 c 36 c Câu 30: Ma tr n c a d ng toàn ph ng Q c s t c ⎡1 2 ⎤ A = ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 ⎥⎦ 1− λ 2 5−λ 2 1− λ = − λ 1− λ a th c đ c tr ng A − λI = 2 1− λ − λ 2 1− λ 126 áp án h ng d n gi i t p = (5 − λ ) − − λ −1− λ = (1 + λ ) (5 − λ ) ♦V i giá tr riêng λ1 = , véc t riêng v = ( x, y, z ) nghi m c a h ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡− ⎢ − ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 − 4⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ H ph ng trình t ⎧x − y = ⎨ y−z=0 ⎩ ng đ ng v i h có nghi m x = y = z ⇒ v = ( x, x, x) = x(1,1,1) Ch n u1 = (1,1,1) Tr c chu n hoá đ c v1 = (1 ,1 ,1 ) ♦ V i giá tr riêng λ2 = −1 (nghi m kép), véc t riêng v = ( x, y, z ) nghi m c ah ⎡ 2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 2⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ H ph ng trình t ng đ ng v i ph ng trình x + y + z = ⇒ v = ( x, y, z ) = (− y − z, y, z ) = y (− 1,1,0 ) + z (− 1,0,1) Ch n u = (1,−1,0 ) , u3 = (1,0,−1) Tr c chu n hoá hai véc t ta có ( v2 = ,−1 ⎡ x ⎤ ⎡1 ⎢ y ⎥ = ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣1 ) ( ,0 , v3 = 3 −1 ,1 ,− ) ⎤ ⎡X ⎤ ⎥ ⎥ ⎢Y ⎥ ; Q = 5X − Y − Z ⎢ ⎥ − ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ Câu 37: Xét d ng toàn ph ng có bi u th c t a đ c s t c Q( x, y ) = x + xy − y 127 áp án h ng d n gi i t p ⎡3 ⎤ Ma tr n c a Q c s t c A = ⎢ ⎥ chéo hóa tr c giao ma − ⎣ ⎦ tr n ta tìm đ ( c c s tr c chu n m i v1 = ; − ( x; y ) = Xv1 + Yv2 ) ng b c cho X2 Y2 − = : Hyperbol 36 36 ⎡ x ⎤ ⎡ 13 13 ⎤ ⎡ X ⎤ 10 24 Câu 38 ⎢ ⎥ = ⎢ Y− X +1 = 0: ⎥ ⎢ ⎥ ; 13Y + y Y 13 13 − 13 13 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Parabol ⎡ x ⎤ ⎡− ⎢ Câu 39 ⎢ y ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ ⎤ ⎡X ⎤ ⎥ − 3⎥ ⎢ Y ⎥ ; ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ (X + )2 + Y + (Z + )2 = : Ellipsoid 17 34 ⎡ x ⎤ ⎡1 ⎢ Câu 40 ⎢ y ⎥ = ⎢1 − ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣1 34 ⎤ ⎡X ⎤ ⎥ ⎥ ⎢Y ⎥ ; ⎢ ⎥ − ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ (X − )2 − Y − (Z − )2 = : Hyperbolic t ng ) ;1 ; ⇒ Q( x, y ) = −5 X + 5Y ⎡ x⎤ ⎡ 5⎤ ⎡ X ⎤ Nh v y n u đ i t a đ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ đ y − 5 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣Y ⎦ có d ng t c ( , v2 = 18 18 128 Tài li u tham kh o TÀI LI U THAM KH O G M FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, T p 1,2,3 Nauka, Moskva,1969 (ti ng Nga) G M FICHTENGÔN, C s gi i tích toán h c, T p 1,2,3 NXB h c Trung h c chuyên nghi p, Hà n i, 1977 i K MAURIN, Analiza, Czes , c , PWN, Warszawa, 1976 R A ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991 NGUY N ÌNH TRÍ (ch biên), Toán h c cao c p ,T p 1,2,3 NXB i h c Giáo d c chuyên nghi p, Hà n i, 1990 JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình toán, T p 1,2,3,4 NXB Giáo d c, Hà n i, 1999 (d ch t ti ng Pháp, DUNOD, Paris,1999) 129 ... : 1- Thu th p đ y đ tài li u : ◊ Bài gi ng: Toán cao c p A2 Lê Bá Long, Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005 ◊ Sách h ng d n h c t p t p: Toán cao c p A2 Lê Bá Long, Nguy n Phi Nga, H... THI U MÔN H C GI I THI U CHUNG: Toán cao c p A1, A2, A3 ch ng trình toán đ i c ng dành cho sinh viên nhóm ngành toán nhóm ngành thu c kh i k thu t N i dung c a toán cao c p A1, A3 ch y u phép tính... u h t toán đ c xây d ng theo l c đ : đ t toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng lý thuy t cu i nêu thu t toán gi i quy t toán Các ví d đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c thu t toán,