DE CHINH THUC Trang 1/1 Số báo danh Họ tên Bài 1 (3,0 ñiểm) Cho biểu thức A = 1 2 x 2 1 2 x 1x 1 x x x x 1 x 1 − − − −+ − + − − a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị của biểu thức[.]
UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðỀ THI CHÍNH THỨC (ðề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao ñề) Ngày thi: 03/4/2016 Số báo danh: ……………………………… Họ tên: …………………………………………………………………….…… Bài 1: (3,0 ñiểm) x −2 Cho biểu thức: A = − − : x +1 x x − x + x −1 x −1 x −1 a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị biểu thức x = ( + 50 + − 50 ) Bài 2: (4,0 ñiểm) 2.1 Chứng minh: 5n + - 3.5n +1 + 26n + ⋮59 (với n ∈ N) 2.2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 2x2 + xy - y2 - = Bài 3: (5,0 điểm) 3.1 Tìm m để phương trình mx2 - 2(m - 2)x + m - = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + x 22 = 1 3.2 Giải phương trình: + =2 x − x2 2x = y(1 − x ) 3.3 Giải hệ phương trình: 2y = x(1 − y ) Bài 4: (6,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, C trung ñiểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K ñiểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao ñiểm AK MN a) Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp; b) Tính tích AH.AK theo R; c) Xác định vị trí điểm K để tổng (KM + KN + KB) ñạt giá trị lớn tính giá trị lớn Bài 5: (2,0 ñiểm) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 + + ≥ 3 + + a b c a + 2b b + 2c c + 2a Hết Trang 1/1 Bài Ý a ðáp án ðKXð: x ≥ 0, x ≠ x −2 − − A= : x + (x − 1)( x + 1) x − ( x − 1)( x + 1) x − x +1 x −1 : = (x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1) x −1 = = ( x + 1)( x − 1) x +1 Bài (3,0 ñiểm) b 2.1 Bài (4,0 ñiểm) 2.2 3.1 3.2 ðặt N = + 50 + − 50 Lập phương hai vế ta ñược: N3 = 14 - 3N ⇔ N3 + 3N - 14 = ⇔ (N - 2)(N2 + 2N + 7) = ⇔ N = (N + 1)2 + = (loại) Với N = ⇒ x = Vậy: x = A = n+3 n +1 6n + n Ta có: - 3.5 + = 125.5 - 15.5n + 8.64n = 110.5n + 8.64n = (118 - 8).5n + 8.64n =118.5n + 8(64n - 5n) = 2.59.5n + 8.59.Q = 59(2.5n + 8Q) ⋮59 Vậy 5n + - 3.5n +1 + 26n + ⋮59 2x2 + xy - y2 - = ⇔ (x + y)(2x - y) = x, y ∈ Z nên: x + y = x = ⇔ TH1: 2x − y = y = −1 x + y = x = ⇔ TH2: 2x − y = y = x + y = −1 x = −2 TH3: ⇔ 2x − y = −5 y = x + y = −5 x = −2 TH4: ⇔ 2x − y = −1 y = −3 Vậy (x, y) ∈{(2; −1),(2; 3),(−2;1),(−2; −3)} ðiều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là: m ≠ ⇔ m ≠ m ≤ ∆ ' ≥ Khi đó: x12 + x 22 = ⇔ (x1 + x2)2 - 2x1x2 = Áp dụng hệ thức Viet ⇒ m2 - 10m + 16 = ⇔ m = (t/m), m = (loại) Vậy m = thỏa mãn ñề ðKXð: − < x < x ≠ ðặt y = − x > ⇒ x + y = Trang 2/1 x + y = 2xy x + y = 2xy Khi ta có hệ: ⇔ (xy − 1)(2xy + 1) = x + y = xy = TH1: ⇔ x = y =1 x + y = −1 + −1 − x= ;y = xy = − 2 TH2: ⇔ Bài x + y = −1 x = −1 − ; y = −1 + (5,0 ñiểm) 2 −1 − −1 − Vậy x = x = y > nên x = 2 2x = y(1 − x ) Trừ vế cho vế ta ñược: 2y = x(1 − y ) 2x - 2y = y - x - xy(x - y) ⇔ (x − y)(3 + xy) = x = y x = y TH1: ⇔ ⇔x=y=0 2 2y = x(1 − y ) y(y + 1) = 3.3 xy = −3 TH2: Dễ thấy y ≠ nên ta có: 2y = x(1 − y ) xy = −3 x = 3, y = − ⇔ ⇔ y = x = − 3, y = Vậy (x, y) ∈{(0;0),( 3, − 3),(− 3; 3)} M K 60 600 Bài H I (6,0 ñiểm) A C O B N a b Vì AKB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AKB + HCB = 900 + 900 = 1800 ⇒ BCHK nội tiếp AH AC ∆ AHC ñồng dạng ∆ABK (g.g) ⇒ = AB AK R ⇒ AH.AK = AB.AC = 2R = R 2 Trang 3/1 3R ∆ MAB vng M có MC ⊥ AB ⇒ MC = CA.CB = 3R ⇒ MC = ⇒ MN = 2MC = 3R ∆ MCB vuông C ⇒ MB2 = MC2 + BC2 = 3R2 ⇒ BM = 3R = MN Mà NB = MB ⇒ MB = NB = MN ⇒ ∆MNB tam giác ñều Trên ñoạn KN lấy ñiểm I cho IK = IB, NMB = IKB = 600 ⇒ ∆ KIB ñều ⇒ KI = KB (1) Mặt khác: ∆BIN = ∆BKM (c.g.c) ⇒ NI = MK (2) Từ (1) (2) ⇒ KM + KB + KN = KN + KN = 2KN ðể KM + KB + KN lớn KN lớn ⇒ KN ñường kính (O) ⇒ K ñiểm MB đó: max(KM + KB + KN) = 4R Áp dụng bất ñẳng thức cosi cho số dương x, y, z ta có: 1 1 (x + y + z) + + ≥ 3 xyz.3 =9 x y z xyz 1 ⇒ + + ≥ Áp dụng bất đẳng thức ta có: x y z x+y+z 1 1 1 + + ≥ ; + + ≥ ; + + ≥ a b b a + 2b b c c b + 2c c a a c + 2a 1 1 1 ⇒ 3 + + ≥ + + a b c a + 2b b + 2c c + 2a 1 1 1 + + hay: + + ≥ a b c a + 2b b + 2c c + 2a c Bài (2,0 ñiểm) Trang 4/1 ... 110.5n + 8.64n = (118 - 8).5n + 8.64n =118.5n + 8(64n - 5n) = 2. 59. 5n + 8. 59. Q = 59( 2.5n + 8Q) ⋮ 59 Vậy 5n + - 3.5n +1 + 26n + ⋮ 59 2x2 + xy - y2 - = ⇔ (x + y)(2x - y) = x, y ∈ Z nên: x + y = x... 3),(− 3; 3)} M K 60 600 Bài H I (6,0 ñiểm) A C O B N a b Vì AKB = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ AKB + HCB = 90 0 + 90 0 = 1800 ⇒ BCHK nội tiếp AH AC ∆ AHC ñồng dạng ∆ABK (g.g) ⇒ = AB... 4R Áp dụng bất ñẳng thức cosi cho số dương x, y, z ta có: 1 1 (x + y + z) + + ≥ 3 xyz.3 =9 x y z xyz 1 ⇒ + + ≥ Áp dụng bất đẳng thức ta có: x y z x+y+z 1 1 1 + + ≥ ; + + ≥ ; + + ≥