pHwxkrQ de thi hoc sinh gioi mon toan lop 11 so gd

ĐỀ THI OLYMPIC – TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Năm học 2011 - 2012 SỞ GD & ĐT CAO BẰNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ SỐ Mơn thi : Tốn - Lớp 11 THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Câu (4,0 điểm) 1 x + y = a Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ») 1 + =  x y 15 b Giải phương trình + − (16 − 2) x = x − Câu (4,0 điểm)  2   n a Tìm hệ số số hạng chứa x 38 khai triển nhị thức Niutơn  x +  Biết n x nghiệm phương trình: C + C + + C = b Biết x + 1, x + 6, x + 11, , x + 96 cấp số cộng Tìm x thỏa mãn: (2 x + 1) + (2 x + 6) + (2 x + 11) + + (2 x + 96) = 1010 Câu (4,0 điểm) 50 a A = lim( 4n + n + − 2n) 50 50 50 b B =x→lim 2n x + x + + x30 − 30 x + x2 + x3 + x4 − Câu (4,0 điểm) a Tìm số giá trị x ∈ » thỏa mãn bất phương trình x ≥ ( x − 4)(1 + x + 1) b Giải phương trình: + sin x + cos x = sin x sin x + cot x II HÌNH HỌC Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng; cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc điểm A SB, SC, SD a Chứng minh BC vng góc với mặt phẳng (SAB); CD vng góc với mặt phẳng (SAD) b Chứng minh AH, AK vng góc với SC c Chứng HK vng góc với AI -Hết Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐỀ THI HỌC KÌ I – TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Năm học 2011- 2012 SỞ GD & ĐT CAO BẰNG Đề số HƯỚNG DẪN CHẤM THI Câu Đáp án Câu 1 x + y = (4  điểm) a ( 2,0 điểm) Giải hệ phương trình  1 ( x, y ∈ »)  x + 5y = Điểm 15 y 0,5    X + Y =  X = Ta có hệ  ↔ 1 X + Y = Y = 15   x = Từ đó:  y = 1,0 x Đặt: X = ; Y = 0,5 Lưu ý: Nếu thí sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa b ( 2,0 điểm) Giải phương trình + − (16 − 2) x = x − Ta có: 1,0 + − (16 − 2) x = x − 4 x − ≥ ↔ 3 + − (16 − 2) x = (4 x − 3)  x ≥ ↔ 4 x + 2( − 2) x − = 0(*)  Giải phương trình (*): ' ∆ = ( + 2) 1,0  x = (*) ↔   x = −  Đối chiếu điều kiện x ≥ ta x = Lưu ý: Nếu học sinh loại nghiệm trừ 0,25đ Câu a ( điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x 38 khai triển nhị thức Niutơn (4 n  2 điểm)  x +  Biết n nghiệm phương trình: C500 + C501 + + C5050 = 22 n  x Ta có: C500 + C501 + + C5050 = 22 n ↔ 22 n = 250 ↔ n = 25 2 k Số hạng thứ: Tk +1 = C25 ( x )25−k   x   0,5 k k 50 −3k = 2k C25 x 1,0 Theo đề ta có : 50 – 3k = 38 ⇔ k = Vậy hệ số chứa x38 24 C254 = 202400 b ( điểm ) Biết x + 1, 2x+6, 2x+11, , 2x+96 cấp số cộng Tìm x thỏa mãn: (2 x + 1) + (2 x + 6) + (2 x + 11) + + (2 x + 96) = 1010 Ta có x + 1, 2x+6, 2x+11, , 2x+96 cấp số cộng với công sai d = Từ x + 1, 2x+6, 2x+11, , 2x+96 có n số Theo cơng thức số hạng tổng quát ta có: 0,25 0,25 0,25 0,75 x + 96 = x + + ( n − 1).5 ↔ n = 20 Do đó: 1,0 (2 x + 1) + (2 x + 6) + (2 x + 11) + + (2 x + 96) = 1010 x + + x + 96 20 = 1010 ↔ x + 97 = 101 ↔ ↔ x =1 Vậy x = thỏa mãn Câu a ( điểm ) A = lim( 4n + n + − 2n) (4 Ta có: điểm) 1,0 4n + n + − n = ( 4n + n + − 2n)( 4n + n + + 2n) 4n + n + + 2n n +1 = 4n + n + + 2n n(1 + ) n = 1 n + + + 2n n n Vậy: 1,0 1 n(1 + ) 1+ n n A = lim = lim = 1 1 n + + + 2n 4+ + +2 n n n n 30 x + x + + x − 30 b B = lim x →1 x + x + x + x − Ta có: x + x + + x 30 − 30 x + x + x3 + x − ( x − 1) + ( x − 1) + + ( x30 − 1) = ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) = = 1,0 ( x − 1) 1 + ( x + 1) + + ( x 29 + x 28 + x + 1)  ( x − 1) 1 + ( x + 1) + ( x + x + 1) + ( x3 + x + x + 1)  + ( x + 1) + + ( x 29 + x 28 + x + 1) + ( x + 1) + ( x + x + 1) + ( x3 + x + x + 1) Vậy: 1,0 + ( x + 1) + + ( x 29 + x 28 + x + 1) + + + 30 93 = = x →1 + ( x + 1) + ( x + x + 1) + ( x + x + x + 1) 1+ + + B = lim Lưu ý: Điểm thành phần ý đến đâu chấm đến Câu a ( điểm)Tìm số giá trị x ∈ » thỏa mãn bất phương trình x ≥ ( x − 4)(1 + x + 1) (4 Điều kiện: x ≥ −1 0,25 điểm) Ta có: 1,5 x ≥ ( x − 4)(1 + x + 1) 2 x   ↔  ≥ x−4  1+ x +1   x(1 − x + 1)  ↔   ≥ x − −x   ( ↔ 1− x +1 ) ≥ x−4 ↔ x +1 ≤ ↔ −1 ≤ x ≤ Vì x ∈ » nên giá trị x {−1, 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} 0,25 Vậy số giá trị x 10 Lưu ý: Học sinh chưa kết luận số giá trị x trừ 0,25đ b ( điểm ) Giải phương trình: + sin x + cos x = sin x sin x + cot x Điều kiện: sin x ≠ (*) Phương trình cho tương đương với: 0,5 1,0 0,5 Lưu ý: Học sinh không đặt điều kiện trừ 0,25đ Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng; cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc điểm A SB, (4 SC, SD điểm) a Chứng minh BC vng góc với mặt phẳng (SAB) b Chứng minh AH, AK vng góc với SC c Chứng HK vng góc với AI S 0.25 I K H D A O B C a Ta có: 0,75  BC ⊥ AB ( ABCD hình vng)   BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD) BC ⊂ (ABCD) ) → BC ⊥ ( SAB ) Tương tự CD ⊥ ( SAD ) b 1,0 BC ⊥ ( SAB )   → BC ⊥ AH (1) AH ⊂ ( SAB )  Theo giải thiết AH ⊥ SB (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ ( SBC ) mà SC ⊂ (SBC) nên AH ⊥ SC Chứng minh tương tự ta có AK ⊥ SC c Gọi AC ∩ BD = O 1,0 Ta có:  SA ⊥ AB SA ⊥ ( ABCD) →   SA ⊥ AD Hai tam giá SAB SAD vng A có cạnh SA chung, AB=AD nên chúng Từ suy ra: SB = SD   → HK / / BD ; SH = SK  mà 0,5 BD ⊥ AC   → BD ⊥ ( SAC ) BD ⊥ SA  nên HK ⊥ ( SAC ) HK ⊥ ( SAC )   → HK ⊥ AI AI ⊂ ( SAC )  0,5 Lưu ý: Nếu học sinh vẽ hình cho 0,25đ Lưu ý: + Nếu thí sinh làm theo cách khác với đáp án đảm bảo tính logic, xác cho kết cho điểm tối đa + Ở học sinh làm khơng 0,5 điểm cho điểm đến 0,25 + Điểm thi tổng điểm thành phần khơng tính làm trịn Hết ...ĐỀ THI HỌC KÌ I – TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Năm học 2 011- 2012 SỞ GD & ĐT CAO BẰNG Đề số HƯỚNG DẪN CHẤM THI Câu Đáp án Câu 1 x + y = (4  điểm) a ( 2,0... 2x+6, 2x +11, , 2x+96 cấp số cộng Tìm x thỏa mãn: (2 x + 1) + (2 x + 6) + (2 x + 11) + + (2 x + 96) = 1010 Ta có x + 1, 2x+6, 2x +11, , 2x+96 cấp số cộng với công sai d = Từ x + 1, 2x+6, 2x +11, ,... Nếu học sinh vẽ hình cho 0,25đ Lưu ý: + Nếu thí sinh làm theo cách khác với đáp án đảm bảo tính logic, xác cho kết cho điểm tối đa + Ở học sinh làm khơng 0,5 điểm cho điểm đến 0,25 + Điểm thi tổng