GIÁO án TOÁN ôn vào 10 THPT(18 buổi)

GIÁO ÁN TỐN ƠN VÀO 10 THPT (18 buổi) FILE WORD Zalo 0946095198 Chủ đề Rút gọn biểu thức đại số toán liên quan (3 buổi) Chủ đề Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình (2 buổi) 15 Chủ đề Phương trình bậc hai Hệ phương trình bậc hai ẩn 26 Đường thẳng parabol Bài Phương trình bậc hai (2 buổi) 26 Bài Hệ phương trình bậc hai ẩn (1 buổi) 35 Bài Hàm số đồ thị (1 buổi) 45 Chủ đề Hình học (6 buổi) 55 Chủ đề Chủ đề 5: bất đẳng thức Giá trị lớn giá trị nhỏ 76 Phương trình chứa Chủ đề Bài Bất đẳng thức Giá trị lớn giá trị nhỏ (2 buổi) 76 Bài Phương trình chứa (1 buổi) 89 Luyện đề thi vào 10 101 CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TIẾT A Kiến thức cần nhớ A.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học - Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a - Số gọi bậc hai số học x  - Một cách tổng quát: x  a   x  a b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b khơng âm ta có: a  b  a  b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A2  A a Căn thức bậc hai - Với A biểu thức đại số, người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu A xác định (hay có nghĩa)  A  b Hằng đẳng thức A2  A - Với A ta có A2  A - Như vậy: + A2  A A  + A2   A A < A.1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phương a Định lí: + Với A  B  ta có: A.B  A B + Đặc biệt với A  ta có ( A )2  A2  A b Quy tắc khai phương tích: Muốn khai phương tích thừa số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số không âm, ta nhân số dấu với khai phương kết A.1.4 Liên hệ phép chia phép khai phương A  B a Định lí: Với A  B > ta có: A B b Quy tắc khai phương thương: Muốn khai phương thương a/b, a khơng âm b dương ta khai phương hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dương ta chia số a cho số b khai phương kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đưa thừa số dấu - Với hai biểu thức A, B mà B  0, ta có A2 B  A B , tức + Nếu A  B  A2 B  A B + Nếu A < B  A2 B   A B b Đưa thừa số vào dấu + Nếu A  B  A B  A2 B + Nếu A < B  A B   A2 B c Khử mẫu biểu thức lấy - Với biểu thức A, B mà A.B  B  0, ta có A  B AB B d Trục thức mẫu - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có A A B  B B - Với biểu thức A, B, C mà A  A  B , ta có C C ( A  B)  A  B2 AB - Với biểu thức A, B, C mà A  0, B  A  B , ta có C ( A  B) C  A B A B A.1.6 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a số x cho x3 = a - Với a ( a )3  a3  a b Tính chất - Với a < b a  b - Với a, b ab  a b - Với a b  a 3a  b 3b A.2 (9A)Kiến thức bổ sung A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n (  n  N ) số a số mà lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) - Mọi số có bậc lẻ - Căn bậc lẻ số dương số dương - Căn bậc lẻ số âm số âm - Căn bậc lẻ số số c Căn bậc chẵn (n = 2k) - Số âm khơng có bậc chẵn - Căn bậc chẵn số số - Số dương có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu d Các phép biến đổi thức - k 1 A xác định với A 2k A xác định với A  - k 1 A2 k 1  A với  A 2k A2 k  A với  A - k 1 A.B  k 1 A.2 k 1 B với  A, B 2k A.B  k A k B với  A, B mà A.B  2k a  2k a - k 1 A2 k B  A k B 2k - A2 k 1.B  A.2 k 1 B với  A, B k 1 A  B 2k - m n - m k 1 A  B A với  A, B mà B  B k 1 2k A 2k B với  A, B mà B  với  A, B mà B  0, A.B  A  mn A với  A, mà A  A A n m n với  A, mà A  TIẾT B Luyện tập Bài Rút gọn biểu thức sau: 1) 49  25 3)  32  50 2) 20  45  4) 28  63  5) 9.32  7)  5 11) 1) 2) 3) 4) 5)  8) 75  (1  3)2 27  12  : 10  9) 6)  (3  5)2  10) 1 5+ 5 + 5- 5+ 12) 3 3 2 1 + 20 + 2 Hướng dẫn A  49  25   52    20  45  = 3   A   32  50   16.2  25.2 3 4 5 4 A  28  63      A  9.32   9.16.2   3.4   12   11 6) B   (3  5)2   |3  5|     7) A   27  12   :   3  3.2   :  :  8) A  75  (1  3)2  25.3  5|1  3|   5(  1) (do   )  5 5  9) B  10  5  1  2(  3) 5  1 (  1)(  1)  2 1 1   (  1)     10) A 2( 3) 3 2 2( 3) 2( 3 2 3) 2( 3)2 2( 3 2( 3) 24 3) 4 5- (5 + )2 + (5 - )2 5+ + = 11) (5 - )(5 + ) 5- 5+ 25 + 10 + + 25 - 10 + 60 = = 20 = 25 - 1 + 20 + = 12) 5 4.5 + = + + 5 + =3 TIẾT Bài Rút gọn biểu thức sau: x5 1) x với x   x  1  (với x  0, x  ) :  x 2 x4 x 2 2)      3)  (với x  0; x  ) : x 3 x 9  x 3  x 3 4) x  x ( x  2)  x  x  (với x ≥ 0, x ≠ 1) 1 x 1 x Hướng dẫn 1) Với x  ta có: x 5 ( x  5)( x  5)   x  x x Vậy với x  B  x  2) Với x  0, x  , ta có:  x B    x 2 x 2 x 2  x 2 x x 2  x 2 x 2        x 2  x 2       x 2      x 2  x 2 (với x  0, x  ) x 2 3) Với x  0; x  thì: Vậy B    :   B  x 3 x 9 x 3  x 3     x 35 x 3     x    x 3 x 3    x 3 x  18  x 3 x 3       NS: ND: CHỦ ĐỀ 2: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TIẾT A Kiến thức cần nhớ Các bước giải toán cách lập phương trình hệ phương trình bao gồm: Bước Lập phương trình hệ phương trình: - Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị đặt điều kiện cho ẩn số); - Biểu thị đại lượng chưa biết theo ẩn số (chú ý thống đơn vị); - Lập phương trình hệ phương trình biểu thị mối quan hệ ẩn số kiện biết Bước Giải phương trình hệ phương trình vừa tìm Bước Nhận định kết trả lời yêu cầu toán STT CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài tốn chuyển động S = v.t Ngun lí cộng vận tốc chuyển động tàu, thuyền: Vxd = Vt + Vdn Vnd = Vt – Vdn Vt > Vdn S Bài tốn suất lao Cơng thức: N = động t S: lượng công việc làm N: suất lao động t: thời gian hoàn thành CV Bài tốn cơng việc - Coi khối lượng CV đv làm chung làm riêng - NS + NS = tổng NS - x (ngày) làm xong CV (ngày) làm CV x - (ngày) làm a CV x Bài toán tỷ lệ phần Đại lượng a tăng thêm m% đại lượng mới: a + am% trăm Bài toán nội dung Sử dụng công thức chu vi, diện tích tam giác, hình học hình chữ nhật, … vận dụng tính chất hình đặc biệt để thiết lập phương trình ẩn Bài tốn quan hệ Biểu diễn số: số ab = 10a + b abc = 100a +10b + c CV a (ngày) làm x với a , b, c  N ;0  a  9;0  b  9;0  c  Bài tốn xếp, chia Sử dụng tính chất chia hết chia có dư Lưu ý: chia số a cho số b có thương q dư r a = bq + r B Luyện tập Dạng Bài toán chuyển động Phương pháp Hướng dẫn Chú ý dựa vào công thức S = vt, S quãng đường, v vận tốc t thời gian Ngoài ra, theo ngun lí cộng vận tốc tốn chuyển động tàu, thuyền mặt nước, ta có: - Vận tốc xi dịng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước - Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực – vận tốc dòng nước - Vận tốc thực ln lớn vận tốc dịng nước 1A Một người xe máy từ A đến B cách 120km với vận tốc dự định trước Sau quãng đường người tăng vận tốc lên 10 km/giờ qng đường cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian thực tế lăn bánh đường, biết người đến B sớm dự định 24 phút 1A Gọi vận tốc dự định x (km/h; x > 0) Theo đề bài, ta có PT: 40 80 120 24    x x  10 x 60 Biến đổi thành x2 + 10x – 2000 = Từ tìm x = 40 (TMĐK) x = -50 (loại) Vậy vận tốc dự định người 40km/h Thời gian thực tế xe lăn bánh 36 phút TIẾT 2A Trên quãng đường AB dài 200 km có hai tơ chuyển động ngược chiều: xe thứ từ A đến B, xe thứ hai từ B đến A Nếu khởi hành sau chúng gặp Nếu xe thứ khởi hành trước xe 2,5 hai xe gặp xe thứ hai Tính vận tốc xe 2A Gọi vận tốc xe ô tô từ A, xe ô tô từ B x, y (km/h; x > 0, y > 0) 2 x  y  200 3,5 x  y  200 Theo đề bài, ta có HPT:  Giải HPT ta x = 40; y = 60 Vậy vận tốc xe ôtô từ A ôtô từ B 4km/h 60km/h 3A Một cano chạy sông giờ, xi dịng 81 km ngược dịng 105 km Một lần khác chạy khúc song đó, cano chạy giờ, xi dịng 54 km ngược dịng 42 km Hãy tính vận tốc xi dịng ngược dịng cano, biết vận tốc dịng nước vận tốc riêng cano khơng đổi 3A Gọi vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nước x, y (km/h; x > 0, < y < x)  81 x y  Ta có HPT:   54   x  y 105 8 x y 42 4 x y 1 ,b  ta được: x y x y 1 Giải ta a  , b  27 21 Đặt a  81a  105b   54a  42b  Từ tìm x = 24, y = (TMĐK) Kết luận TIẾT Dạng Bài toán suất lao động Phương pháp Hướng dẫn Sử dụng công thức N  S với S lượng công việc làm được, N t suất lao động (tức khối lượng cơng việc hồn thành đơn vị thời gian) t thời gian để hồn thành cơng việc 4A Một tổ sản xuất phải làm 700 sản phẩm thời gian quy định với suất quy định Sau làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất phải tăng suất lao động, ngày làm them 10 sản phẩm so với quy định Vì tổ hồn thành công việc sớm quy định 36 tiếng Hỏi theo quy định, ngày tổ sản xuất phải làm sản phẩm? 4A Gọi số sản phẩm ngày tổ sản xuất theo quy định x( x  N *) (sản phẩm) Theo quy định tổ sản xuất làm 700 sản phẩm Theo đề bài, ta có PT 700 (ngày) x 400 300 700    x x  10 x Biến đổi PT thành x2 + 10x – 2000 = Từ tìm x = 40 (TMĐK) x = -50 (loại) Kết luận Dạng Bài toán công việc làm chung làm riêng Phương pháp Hướng dẫn Sử dụng kết sau: - Nếu x (hoặc ngày) làm xong cơng việc (hoặc ngày) làm - Nếu làm a cơng việc a làm cơng việc x x cơng việc x 5A Để hồn thành cơng viêc, hai tổ làm chung dự kiến hoàn thành sau Trên thực tế, sau hai tổ làm chung, tổ II bị điều làm việc khác, tổ I hoàn thành nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau hồn thành công việc? 5A Gọi thời gian tổ I, II làm hồn thành cơng việc x y (giờ; x, y > 6) Trong tổ I, II làm độc lập lần được 6 x  y 1 Ta có HPT:  12    x y Giải ta x = 15 y = 10 (TMĐK) Kết luận 1 phần công việc x y TIẾT Dạng Bài toán tỉ lệ phần trăm Phương pháp Hướng dẫn Nếu đại lượng a tăng thêm m% lượng a + am% 6A Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt múc 10% so với tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy? 6A Gọi số chi tiết máy tháng thứ tổ I, II sản xuất x, y (chi tiết, x, y  N*; x,y < 900) Số chi tiết máy mà tổ I, II sản xuất tháng thứ hai 23 11 y x 10 20  x  y  900 Theo đề bài, ta có HPT:  23 11  20 x  10 y  1010 Giải HPT ta thu x = 400; y = 500 (TMĐK) Kết luận 7A Hai lớp 9A 9B gồm 105 học sinh Tổng kết cuối năm, lớp 9A có 44 học sinh tiên tiến, lớp 9B có 45 học sinh tiên tiến Biết tỉ lệ học sinh tiên tiến lớp 9A thấp 9B 10% Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến số học sinh lớp 7A Gọi số học sinh lớp 9A, 9B x,y (học sinh, x,y  N*, x,y < 105, x ≥ 44, y ≥ 45)  x  y  105  Theo đề bài, ta có HPT:  45 44  y  x  10  Giải HPT phương pháp ta x = 55, y = 50 (TM) Kết luận TIẾT Dạng Bài tốn có nội dung hình học Phương pháp Hướng dẫn Sử dụng cơng thức tính chu vi, diện tích hình (tam giác, hình chữ nhật, hình thoi, hình trịn…), vận dụng tính chất hình đặc biệt để thiết lập phương trình ẩn, từ tìm đại lượng tốn 8A Một hình chữ nhật có chu vi 90m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đơi giảm chiều dài 15m ta hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính cạnh hình chữ nhật cho 8A Gọi chiều rộng, chiều dài hình chữ nhật x, y (m; < x, y < 45, y > 15) 2 x  y  90 2 x( y  15)  xy Theo đề bài, ta có có HPT:  Giải HPT ta x = 15; y = 6306 (TMĐK) Kết luận Dạng Bài toán quan hệ số Phương pháp Hướng dẫn Chú ý biểu diễn số: ab  10a  b; abc  100a  10b  c chữ số a, b, c  N ;  a  9,  b  9,  c  NS: ND: CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL TIẾT BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax  bx  c  x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a  Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Phương trình bậc hai ax  bx  c  0(a  0)   b  4ac *) Nếu   phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  *) Nếu 0 b   b   ; x2  2a 2a phương trình có nghiệm kép: b 2a x1  x  *) Nếu   phương trình vơ nghiệm Cơng thức nghiệm thu gọn Phương trình bậc hai ax  bx  c  0(a  0) b  2b '  '  b '2  ac *) Nếu  '  phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  *) Nếu '  b '  ' b '  ' ; x2  a a phương trình có nghiệm kép: x1  x  b ' a *) Nếu  '  phương trình vơ nghiệm Hệ thức Vi-et ứng dụng a Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c  0(a  0) thì: b   x1  x   a  x x  c  a b Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: x  Sx  P  (Điều kiện để có u v S2  4P  ) c Nếu a + b + c = phương trình ax  bx  c  0(a  0) có hai nghiệm: c a Nếu a - b + c = phương trình ax  bx  c  0(a  0) có hai nghiệm: c x1  1; x   a x1  1; x  Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước: - áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (phương trình ẩn) - Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho A.2 Hệ phương trình đưa phương trình bậc hai - Nếu hai số x y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2  4P) hai số x, y nghiệm phương trình: x2 + SX + P = A.3 (9A)Kiến thức bổ sung Hệ phương trình đối xứng loại a Định nghĩa: Hệ hai phương trình hai ẩn x y gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y phương trình hệ không đổi b Cách giải - Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2  4P - Giải hệ để tìm S P - Với cặp (S, P) x y hai nghiệm phương trình: t2 – St + P = c Ví dụ: Giải hệ phương trình  x  y  xy   2  x  y  xy  13  x  y  xy    2  x  y  x  y  22  x  y  x2  y    xy ( x  1)( y  1)  12 Hệ phương trình đối xứng loại a Định nghĩa: Hệ hai phương trình hai ẩn x y gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y phương trình trở thành phương trình ngược lại b Cách giải - Trừ vế theo vế hai phương trình hệ để phương trình hai ẩn - Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm thành phương trình tích - Giải phương trình tích để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) - Thế x y (hoặc y x) vào phương trình hệ để phương trình ẩn - Giải phương trình ẩn vừa tìm suy nghiệm hệ c Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 x  y  y   2 y  x  x  Hệ phương trình đẳng cấp bậc  x3  13x  y   y  13 y  x ax  bxy  cy  2 a ' x  b ' xy  c ' y  a Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:  b Cách giải - Xét xem x = có nghiệm hệ phương trình khơng - Nếu x  0, ta đặt y = tx thay vào hai phương trình hệ - Khử x giải hệ tìm t - Thay y = tx vào hai phương trình hệ để phương trình ẩn (ẩn x) - Giải phương trình ẩn để tìm x từ suy y dựa vào y = tx * Lưu ý: ta thay x y y x phần để có cách giải tương tự c Ví dụ: Giải hệ phương trình  x  xy  y    y  3xy  2 x  3xy  y   2  x  xy  y  13 TIẾT 13 B Luyện tập Bài Giải hệ phương trình: 2 x  y  11 2 x  y  11 3x  15 x     x  y   y  x  y  x  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    5;1 a   2 x  y  5 y  5  y  1  x   2 x  y      x  2y  x y x  y  x     y  1        b  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (2; 1)  6x  y  y 1  x 1  c   4x   y   y  x  +/ Đặt u  x  , v  y Hệ cho trở thành y 1 x 1 u  3u  2v     v 2u  4v     2x 1 x   y    x  y  1  +/ Ta hệ phương trình:     x  y  1  y 1  y   x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    0;   2  x( y  2)  ( x  2)( y  4)  xy  x  xy  y  x   x  y  4 x  -2    d  ( x  3)(2 y  7)  (2 x  7)( y  3) 2 xy  y  x  21  xy  y  x  21  x  y  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;  Bài 2 x  y  x  3y  a) Giải hệ phương trình:  b) Xác định giá trị m để hệ phương trình sau vơ nghiệm: (m  2) x  (m  1) y   x  3y  (m tham số) Hướng dẫn 2 x  y  2 x  y  5 y  x      x  y  2 x  y   x  y   y  a) Giải hệ phương trình:  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (1;1) b) Hệ phương trình vơ nghiệm khi:  m  m 1   3m   m  m  m 1     m  4m    m 1   Vậy m   hệ phương trình cho vơ nghiệm 14 BÀI HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ TIẾT 14 A Kiến thức cần nhớ I Hàm số bậc a Khái niệm hàm số bậc - Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b Trong a, b số cho trước a  b Tính chất Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: - Đồng biến R a > - Nghịch biến R a < c Đồ thị hàm số y = ax + b (a  0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a  0) đường thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b - Song song với đường thẳng y = ax, b  0, trùng với đường thẳng y = ax, b =0 * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a  0) Bước Cho x = y = b ta điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = x = -b/a ta điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bước Vẽ đường thẳng qua hai điểm P Q ta đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a  0) (d’): y = a’x + b’ (a’  0) Khi a  a ' b  b ' + d // d '   + d ' d '   A  a  a ' a  a ' b  b ' + d d' + d  d '  a.a '  1 e Hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a  0) - Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox - Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương - Hệ số góc đường thẳng y = ax + b -Hệ số a y = ax + b gọi hệ số góc đường thẳng y = ax +b II Hàm số bậc hai a Định nghĩa - Hàm số có dạng y = ax2 (a  0) b Tính chất - Hàm số y = ax2 (a  0) xác đinh với giá trị c thuộc R và: + Nếu a > hàm số đồng biến x > 0, nghịch biến x < + Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > c Đồ thị hàm số y = ax2 (a  0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a  0) Parabol qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành, O điểm thấp đồ thị + Nếu a < đồ thị nằm phía dười trục hồnh, O điểm cao đồ thị 15 III Tương quan đồ thị Hàm số bậc – Hàm số bậc hai Cho Parabol (P): y = ax2 (a  0) đường thẳng (d): y = mx + n Khi đó: Hồnh độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình ax 2= mx + n (*) - Số giao điểm (P) (d) số nghiệm phương trình (*) + Nếu (*) vơ nghiệm (P) (d) khơng có điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép (P) (d) tiếp xúc + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt IV (9A)Kiến thức bổ sung Cơng thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) B(x2, y2) Khi - Độ dài đoạn thẳng AB tính cơng thức AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A ) - Tọa độ trung điểm M AB tính công thức x A  xB y  yB ; yM  A 2 Quan hệ Parabol y = ax2 (a  0) đường thẳng y = mx + n (m  0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a  0) đường thẳng (d): y = mx + n Khi  y  ax - Tọa độ giao điểm (P) (d) nghiệm hệ phương trình   y  mx  n xM  - Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình ax 2= mx + n (*) - Số giao điểm (P) (d) số nghiệm phương trình (*) + Nếu (*) vơ nghiệm (P) (d) khơng có điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép (P) (d) tiếp xúc + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt Một số phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) - Đồ thị (C1): y = f(x) + b suy cách tịnh tiến (C) dọc theo trục tung b đơn vị - Đồ thị (C2): y = f(x + a) suy cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị - Đồ thị (C3): y = f(|x|) gồm hai phần + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy - Đồ thị (C4): y = |f(x)| gồm hai phần + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên Ox, bỏ phần (C) nằm bên Ox + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên Ox qua Oy TIẾT 15 B Luyện tập Bài Trên mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) y  x đường thẳng (d) y=(m-2)x+1 (d’)y=-x+3 (m tham số ) Xác định m để (P), (d) (d’) có điểm chung Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (P) (d’):  x1  1; x2  2x2=-x+3  2x2+x-3=0 (a+b+c=0) +Khi x=1 y=2 +Khi x  3 y  2 3  ;   2 Vậy (d’) cắt (P) điểm phân biệt A 1;2  & B  16 3 m  2  (m  2).1  Ad    Để (P), (d) (d’) có điểm chung  m     B d     m ( 2)( )  2  1 (P), (d) (d’) có điểm chung Bài Trong mặt phẳng toạ độ, cho (P): y   x đường thẳng (d): y=mx+1 (m Vậy với m=3 hay m= tham số ) Xác định m để: a) (d) tiếp xúc (P) b) (d) cắt (P) điểm phân biệt c) (d) (P) điểm chung Hướng dẫn Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x2+mx+1=0 (*)   m2  a) (d) tiếp xúc (P)khi phương trình (*) có nghiệm kép m      m2     m  2 b) (d) cắt (P) điểm phân biệt (*) có nghiệm phân biệt m      m2     m  2 c) (d) (P) khơng có điểm chung (*) vơ nghiệm     m    2  m  Bài Cho (P): y  TIẾT 16 m3 x (m  R ) (d): y  (m  1) x  2 Xác định m để (d) cắt (P) điểm A(xA; yA); B(xB; yB) cho: x A  xB  10 Hướng dẫn Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: 3 m x2 (*)  x  2(m  1) x   m    m  2 x  2 2 15   15 '  m  m    m     4  2 Vậy phương trình (*) có nghiệm phân biệt xA; xB  x A  xB  2(m  1) Theo Viét ta có:   x A xB  3  m Do x A2  xB2    x A  xB   x A xB   4m  6m   2m(m  3)   m  0; m   m    0;   m m  m  m  Vậy với  (P) cắt (d) điểm phân biệt A;B m  17 CHỦ ĐỀ 4: HÌNH HỌC TIẾT 17 A Kiến thức cần nhớ I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG A Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông Trong tam giác vuông: a AH  BH CH  Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền b AH BC  AB AC B H  Tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền với đường cao tương ứng C c AB  BC.BH , AC  BC.HC  Bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền với hình chiếu tương ứng cạnh góc vng cạnh huyền 1   2 AH AB AC  Nghịch đảo bình phương đường cao tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc d vng A Các tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vuông Các tỉ số lượng giác Cạnh kề AC AB ; cos  sin  BC BC AC AB ; cot  tg  AB AC Cạnh đối  B C Cạnh huyền Mẹo nhớ: “sin Đi – Học, cos Khơng – Hư, tg Đồn – Kết, cot Kết – Đồn” Một số tính chất đẳng thức lượng giác cần nhớ: a Với góc  nhọn (    90 )  sin  , cos  cos sin  , cot   cos sin  1  tg cot   , cot   c tg  tg cot  b tg  d sin   cos 2   sin    cos 2 , cos   sin  (chỉ lấy giá trị dương) e Với góc  nhọn sin   sin      f  tg 2  1 ,1  cot   cos  sin  Mối quan hệ lượng giác góc phụ Nếu     90 giá trị lượng giác   chéo nhau, tức là: sin   cos , cos  sin  , tg  cot  , cot   tg  Hệ thức liên hệ cạnh góc tam giác vng A b  a.sin B  a.cos C c  a.sin C  a.cos B c b  c.tgB  c.cot C b c  b.tgC  b.cot B B 18 a C Vậy Trong tam giác vuông: a Độ dài cạnh góc vng tích cạnh huyền với sin góc đối cos góc kề b Độ dài cạnh góc vng tích cạnh góc vng cịn lại với tg góc đối cot góc kề Chú ý Giải tam giác tính số đo góc nhọn, độ dài cạnh tam giác vng TIẾT 18 II GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN Đường tròn: Định nghĩa: Tập hợp điểm cách điểm cho trước khoảng cách R > khơng đổi gọi đường trịn tâm bán kính R Kí hiệu: (0; R) Vị trí tương đối: * Của điểm với đường tròn: Xét (0; R) điểm M Vị trí tương đối Hệ thức M nằm (O; R) OM > R M nằm trên(O; R) hay M thuộc(O; R) OM = R M nằm (O; R) OM < R * Vị trí đường thẳng với đường trịn: Xét (O; R) đường thẳng a (với d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a) Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức a cắt (O; R) dR * Của hai đường tròn: Xét (O;R) (O’; R’) (với d = O O’) vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức Hai đường tròn cắt R–r BE  AC => BEC = 900 CF đường cao => CF  AB => BFC = 900 Như E F nhìn BC góc 900 => E F nằm đường trịn đường kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn B D - ( ( C M Xét hai tam giác AEH ADC ta có: AEH = ADC = 900; Â góc chung => AEH  ADC => AE AH => AE.AC = AH.AD  AD AC * Xét hai tam giác BEC ADC ta có: BEC = ADC = 900; C góc chung =>  BEC  ADC => BE BC => AD.BC = BE.AC  AD AC Ta có C1 = A1 (vì phụ với góc ABC) C2 = A1 (vì hai góc nội tiếp chắn cung BM) => C1 = C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB  HM =>  CHM cân C => CB đương trung trực HM H M đối xứng qua BC Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đường trịn => C1 = E1 (vì hai góc nội tiếp chắn cung BF) Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp C1 = E2 (vì hai góc nội tiếp chắn cung HD) E1 = E2 => EB tia phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 22 NS: ND: CHỦ ĐỀ 5: BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BÀI BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TIẾT 21 A Kiến thức cần nhớ Bắt đẳng thức Cô-si - Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm: Với hai số a, b khơng âm, ta ln có: Dấu “=” xảy  a = b Lưu ý: Với hai số a, b bất kỳ, ta ln có: ab  ab a  b  2ab Dấu “=” xảy  a = b - Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm: Với hai số a, b c khơng âm, ta ln có: abc  abc Dấu “=” xảy  a = b = c Lưu ý: Đây bất đẳng thức nằm ngồi chương trình, SGK hành nên muốn áp dụng học sinh cần chứng minh trước sau sử dụng bổ đề! Một số bổ đề thường dùng khác Bổ đề Với số thực a, b, ta ln có: * a  b2  * (a  b)  4ab; Dấu “=” xảy  a = b Bổ đề Với số thực a, b, c ta ln có: a  b2  c  ( a  b) (a  b  c)  ab  bc  ca Dấu “=” xảy  a = b = c Bổ đề Với hai số thực dương a b ta ln có: 1   a b ab Dấu “=” xảy  a = b Bổ đề Với hai số thực không âm a b ta có: a  b  a  b  2(a  b) Dấu “=” xảy  a = b Bổ đề Với ba số thực khơng âm a, b c ta có: a  b  c  a  b  c  3(a  b  c ) Dấu “=” xảy  a = b = c Lưu ý: Với bất đẳng thức trên, ta cần nhớ vận dụng linh hoạt chiều xuôi chiều ngược 23 TIẾT 22 B Luyện tập Dạng Kĩ thuật chọn điểm rơi BĐT Cô-si Phương pháp giải: Dự đoán trước dấu (tức điểm rơi) tốn, từ điều hệ số để đảm bảo việc dấu xảy 1A Cho x ³2 Tìm GTNN biểu thức P = x + x 1A Sai lầm thường gặp: Vì x  > nên theo BĐT Cơ-si, ta có P  x Sai lầm dấu “=” xảy  1  x   Pmin  x x  x  (KTM x  ) x x Gợi ý hướng giải: Dự đoán Pmin đạt x = Ta có P  mx   x  mx Dấu “=”  3x  x  x x mx         (BĐT x  m  Từ dẫn tới biến đổi P   4 4 x x x  x  x x Cô-si) dấu “=” xảy    x  Pmin   x  2A Cho số x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: xy x y a) A = + + 2 y x x +y (x - y) c) C = xy + 6xy (x + y) ( x + y +1) + xy + x + y d*) D = xy + x + y ( x + y +1) xy x y b) B = + + y x x + xy + y x2  y xy x2  y với    t   t xy x  y2 t xy Từ kết 1A, ta có Amin   t   x  y 2 x  xy  y xy b) Ta có B   1  t  1 xy x  xy  y t 2 x  xy  y với t   xy Từ kết 1B, ta có Bmin   t   x  y ( x  y) ( x  y)2 6xy c) Ta có C  với      t   4 t xy t ( x  y)2 xy 5t 3t Biến đổi C        8 t Tìm Cmin   t   x  y ( x  y  1) d*) Đặt t  xy  x  y 2A a) Ta có A  Sử dụng BĐT (a + b + c)2  2(ab + bc + ca) suy t  Từ kết 1B, ta có Dmin  10  t   x  y  24 TIẾT 23 3A Cho x, y > thoả mãn x + y £1 Tìm GTNN biểu thức sau: x a) A = x + y + + ỉ y 1ư æ c) C = x + y + 1ư 1 + x2 y2 ỉ 1ư 1ư ổ d) D = ỗ x + ữ + ỗ y + ÷ ỳ xø è è b) B = ç x + ÷ ç y + ÷ ỳ xøè è  1    3A a) Biến đổi được: A       y    3( x  y)  x y  2 ( x  y) b) Ta có xy   4  x y   25 Biến đổi B      16 xy    15 xy  xy   y x  25 Từ ta Bmin   x  y       c) Ta có C   xy    16xy    15xy  xy  xy     Từ Amin   x  y  ( x  y)2 17 Mà xy   , từ ta suy C  4 17 Vậy Cmin   x  y  2 ( a  b) 2 , ta có: d) Cách Sử dụng BĐT: a + b  2  1 x x  y y   A  25  D  25  x  y  D 2 2 Cách Sử dụng BĐT Cô-si, ta có:  1 25 25   Dmin  x y D   x    y    2B  x  y 2  Cách Biến đổi ta được: D  x2  y  1 25 25  4C4  Dmin  x y 2 x y 2 4A Cho số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z = Chứng minh: a) x + y + z £ b) x +2y + y +2z + z +2x £ c) xy + yz + zx £ 3 d) x + y + z £ e) x + y + y + z + z + x £ 18 4A a) Ta có: x  Tương tự ta được: 3x  (3x  1) 3 1 y (3 y  1); z  (3z  1) 3 25 Do x  y  z  Dấu xảy x = y = z = x  y 1 Đánh giá tương tự biểu thức: y  z ; z  x 3( x  y  z )  Từ ta được: x  y  y  z  z  x   Đẳng thức xảy x = y = z = 3 x.3 y.1 3x  y   c) Ta có: xy  33 Đánh giá tương tự biểu thức: yz ; zx b) Áp dụng BĐT Cô si ta có: Từ suy ra: x  2y  xy  yz  zx  3 Dấu “=” xảy x = y = z = 3 3x.1.1 3x    d) Ta có: x  3 33 3 Đánh giá tương tự biểu thức: Từ suy ra: x3 y3 z y; z 3( x  y )   3  3 Đẳng thức xảy x = y = z = 3 2.2.3( x  y ) 3( x  y )    e) Ta có: x  y  12 3 12 Đánh giá tương tự biểu thức: y  z ; z  x 6( x  y  z )  12  18 Từ suy ra: x  y  y  z  z  x  3 12 Đẳng thức xảy x = y = z = TIẾT 24 Dạng Kĩ thuật “khai thác giả thiết” Trong nhiều toán bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN, đơi cần cố gắng khai thác giải thiết để thu kiện “có giá trị hơn” Phương pháp giải: Sử dụng phép biến đổi tương đương (ẩn phụ, tách ghép, chia …), sử dụng tính chất bắc cầu bất đẳng thức 5A Cho số thực x, y thoả mãn a) Tìm GTNN biểu thức: i) A = x +2xy -2y +2y +10 ii) B = x +2 - y = y +2 - x x + y +7 + y +3 x +3 b) Tìm GTLN biểu thức: C = x y + x +4 y +4 26 27 ... thiết lập phương trình ẩn Bài toán quan hệ Biểu diễn số: số ab = 10a + b abc = 100 a +10b + c CV a (ngày) làm x với a , b, c  N ;0  a  9;0  b  9;0  c  Bài toán xếp, chia Sử dụng tính chất... máy Sang tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt múc 10% so với tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất 101 0 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy? 6A Gọi số chi tiết máy tháng thứ tổ... sản xuất tháng thứ hai 23 11 y x 10 20  x  y  900 Theo đề bài, ta có HPT:  23 11  20 x  10 y  101 0 Giải HPT ta thu x = 400; y = 500 (TMĐK) Kết luận 7A Hai lớp 9A 9B gồm 105 học sinh