BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
———— TRUNG HQC PHO THONG NĂM HỌC 2021 - 2022 ĐÈ THỊ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Thời gian: 180 phút (khơng kẻ thời gian giao đà) ày thị 04/3/2022 Bed thi gdm 01 trang, 04 bai Bai 1 (5,0 diém) Cho z là một số thực khơng âm và dãy số (u,) được xác định bởi tị =6, yy = Py, +4, Vn>l
a) Với a=0, chứng mỉnh rằng (u,) cĩ giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đĩ b) Với mọi a>0, chứng minh rằng (ø,) cĩ giới hạn hữu hạn
Bài 2 (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số / :(0;+œ) —> (0;+œ) thoả mãn
/(Z8+y)=I+/0, vaye(0)
Bài 3 (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn 4C Các điểm £, F lầđ lượt thay đổi trên tia đối của các tia BA, CA sao cho BF =CE (E#B, F#C) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của BE, CF và D là giao điềm của BF với CE
a) Goi 7, 7 lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp các tam giác DBE, DCF Chứng minh ring MN song song với LJ
b) Gọi K là trung điểm của MN và H là trực tâm của tam giác 4EF Chứng minh
rằng #K luơn đi qua một điểm cố định
Bài 4 (5,0 điểm)
Với mỗi cặp số nguyên dương (n,m) thoả mãn n< m, gọi s(n,m) là số các số nguyên dương thuộc đoạn [z;m] và nguyên tố cùng nhau với m Tìm tất cả các số nguyên dương
m >2 thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) s(n, m), s(,m)
m-n m
ii) 2022" +1 chia hét cho m?
ssenveccumwmcccsees HET ccsccsecescecssse e Thi sinh KHONG được sử dụng tài liệu và máy tính cằm tay
© Gidm thị KHƠNG giải thích gì thêm
Trang 2BQ GIAO DUC VA DAO TAO KY THI CHON HQC SINH GIOI QUOC GIA
TRUNG HQC PHO THONG NĂM HỌC 2021 - 2022
ĐÈ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN
Thời gian: 180 phút (khơng kế thời gian giao đề) Ngày thi: 05/3/2022
Đề thi gồm 01 trang, 03 bài
Bài 5 (6,0 điểm)
Cho P(x) va O@(x) là hai đa thức khác hằng, cĩ hệ số là các số nguyên khơng âm, trong đĩ các hệ số của P(x) đều khơng vượt quá 2021 và Q(x) cĩ ít nhất một hệ số lớn hơn 2021
Giả sử P(2022) = @(2022) và P(x), @(x) cĩ chung nghiệm hữu tỷ #zo( p.qeZ;p vag
q
nguyên tố cùng nhau) Chứng minh rằng |p|+n[q/ < Q(n)- P(n) voi moi n=1,2, ,2021 Bai 6 (7,0 diém)
Gieo 4 con súc sắc cân đối, đồng chất Ký hiệu x, (1< x, <6) là số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc thir i (i =1,2,3,4)
a) Tính số các bộ (x;,x;,x;,x„) cĩ thể cĩ
b) Tính xác suất để cĩ một số trong x,,x;,x;,x„ bằng tổng của ba số cịn lại
c) Tính xác suất để cĩ thể chia x,,x;,xạ,x„ thành hai nhĩm cĩ tổng bằng nhau
Bài 7 (7,0 điểm)
Cho tam giác 48C cĩ ð, C cố định trên đường trịn (Ø) (8C khơng đi qua tâm O) và điểm 4 thay đổi trên cung lớn BC sao cho 4B z AC Đường trịn nội tiếp (7) của tam
giác ABC tiếp xúc với 8C tại D Gọi /„ là tâm đường trịn bàng tiếp gĩc B4C, z là giao
điểm của 1„D với Oï và E là điểm trên (7) sao cho D£ song song với 4i a) Đường thẳng E cắt đường thẳng 4 tại F Chứng minh rằng AF = 47
b) Trên đường trịn (7) ngoại tiếp tam giác /„8C lấy điểm M sao cho 7„M song song với 4D, MD cắt lại (/) tai N Chimg minh rằng trung điểm 7 của AZX luơn thuộc một đường trịn cố định
.— e>e============e HÉT