Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A.TÓM TẮT GIÁO KHOA I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x) xác định khoảng vô hạn ( khoảng dạng (a; +∞),(−∞;b) (−∞; +∞) Đường thẳng y = y0 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn: lim y = y0 , lim y = y0 x→+∞ x→−∞ II ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Định nghĩa Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thỏa mãn lim f(x) = +∞ , lim f(x) = +∞ lim f(x) = −∞ , lim f(x) = −∞ ; x→x+ x→x+ x→x− x→x− 0 0 III ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN Định nghĩa Đường thẳng y = ax + b,a ≠ ,được gọi đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thỏa mãn lim [f(x) − (ax + b)] = , lim [f(x) − (ax + b)] = x→+∞ x→−∞ B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Vấn đề Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số Phương pháp Tìm tiệm cận ngang ,tiệm cận đứng đồ thị hàm Thực theo bước sau B1 Tìm tập xác định hàm số f ( x) B2 Tìm giới hạn f ( x) x dần tới biên miền xác định dựa vào định nghĩa đường tiệm cận để kết luận Chú ý Đồ thị hàm số f có tiệm cận ngang tập xác định khoảng vô hạn hay nửa khoảng vô hạn (nghĩa biến x tiến đến +∞ −∞) Đồ thị hàm số f có tiệm cận đứng tập xác định có dạng sau: (a;b) ,[a;b) , (a;b], (a ; +∞ ) ; ( −∞; a) hợp tập hợp tập xác định khơng có dạng sau: R , [c; +∞ ), ( −∞; c], [c;d] Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm Thực theo bước sau 115 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả B1 Tìm tập xác định hàm số (đồ thị hàm số f có tiệm cận xiên tập xác định là khoảng vơ hạn hay nửa khoảng vô hạn) B2 Sử dụng định nghĩa Hoặc sử dụng định lí : f(x) [f(x) − ax] = b lim f(x) = a ≠ = a ≠ xlim Nếu lim →+∞ x→+∞ x x→−∞ x lim [f(x) − ax] = b đường thẳng y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị x→−∞ hàm số f P(x) P(x), Q(x) Q(x) hai đa thức x ta thường dùng phương pháp sau để tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số i) Tiệm cận đứng P(x0) = Nếu  đường thẳng : x = x0 tiệm cận đứng đồ thị Q(x0) ≠ hàm số ii) Tiệm cận ngang Nếu bậc P(x) bé bậc Q(x) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục hoành độ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) đồ thị hàm có tiệm cận ngang A đường thẳng : y = A, B hệ số số hạng B có số mũ lớn P(x) Q(x) Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang iii) Tiệm cận xiên Nếu bậc P(x) bé hay bậc Q(x) lớn bậc Q(x) từ hai bậc trở lên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận xiên Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) bậc P(x) không chia hết cho Q(x) đồ thị hàm có tiệm cận xiên ta tìm tiệm cận xiên R(x) cách chia P(x) cho Q(x) viết f ( x) = ax + b + , Q(x) CHÚ Ý : Đối với hàm phân thức : f ( x) = lim R(x) x→+∞ Q(x) = , lim R(x) x→−∞ Q(x) =0 Suy đường thẳng : y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị hàm số Ví dụ Tìm tiệm cận hàm số: 116 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2x + x+1 − 4x y= 1− x y = y = 2x + 1− x+ 2 y = x 1− x Lời giải 2x + 1 y = x+1 Giới hạn , tiệm cận lim y = , lim y = , suy đường thẳng y = đường tiệm cận x→+∞ x→−∞ ngang đồ thị (C) lim y = −∞ , lim y = +∞ , suy đường thẳng x = đường tiệm + − x→−1 x→−1 cận đứng đồ thị (C) − 4x y = 1− x Giới hạn , tiệm cận lim y = , lim y = , suy đường thẳng y = đường tiệm cận x→+∞ x→−∞ ngang đồ thị (C) lim y = −∞ , lim y = +∞ , suy đường thẳng x = đường tiệm + − x→−1 x→−1 cận đứng đồ thị (C) y = 2x + 1− x+ Giới hạn , tiệm cận lim y = +∞ , lim y = −∞ ⇒ Đường thẳng : x = -2 tiệm cận đứng − + x→−2 x→−2 (C) lim y = −∞ , lim y = +∞ x→−∞ x→+∞ lim [y − (2x + 1)] = , lim [y − (2x + 1)] = ⇒ Đường thẳng y = 2x + tiệm x→−∞ x→+∞ cận xiên (C) 1− x Giới hạn , tiệm cận lim y = +∞ , lim y = −∞ ⇒ Đường thẳng : x = tiệm cận đứng − + y = −x − 1+ x→1 x→1 (C) 117 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả lim y = +∞ , lim y = −∞ x→−∞ x→+∞ lim [y − (−x − 1)] = , lim [y − (−x − 1)] = ⇒ Đường thẳng y = − x − x→+∞ x→−∞ tiệm cận xiên (C) CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : 3x + −2x − y = y = x− 3x + Bài 2: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : 2x2 − 6x + 1 y = x + 1− y = x− 3x + Bài 3: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : 2x + 4x y = 2 y = x −4 x +8 CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bài 4: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : 2x − x3 + + 2x − y = y = x +1 x2 − 2x Bài 5: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : y = 2x3 − x + y = x2 + x + x2 − x2 − 2x + Bài 6: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : 2x y = x + + x2 − 3x + y = x2 + y = 3x + x2 + Vấn đề Một số dạng toán khác Phương pháp Ví dụ 1.2.5 có đồ thị (C) Gọi M điểm bất x+ kỳ thuộc (C) , qua M vẽ hai đường thẳng song song với hai đường tiệm cận (C) , hai đường thẳng tạo với hai đường tiệm cận hình bình hành , chứng minh hình bình hành có diện tích khơng đổi Lời giải Gọi MNIP hình bình hành tạo bời hai tiệm cận (C) hai đường thẳng vẽ từ M song song với hai tiệm cận Cho hàm số y = 2x + 1− 118 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt   M ∈ (C) ⇒ M  x0;2x0 + 1− ÷ x0 + ÷   N ∈ TCX ⇒ N(x0;2x0 + 1) ⇒ MN = yM − yN =  x0 + MN ⊥ Ox Đường thẳng MN qua M song song với TCĐ nên có phương trình : x – x0 = ⇒ d ( I,MN ) = −2 − x0 = + x0 Diện tích hình bình hành MNIP: S = MN.d ( I,MN ) = x + = (hằng số) x0 + x2 + (m − 1)x + m2 − 2m + (1) Tìm m để 1− x đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số (1) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Lời giải Ví dụ 2.2.5 Cho hàm số y = m2 − m + 1− x [y − (−x − m)] = , lim [y − (−x − m)] = nên đường thẳng ( d ) Vì xlim →+∞ x→−∞ y = −x − m tiệm cận xiên đồ thị hàm số (1) Ta có : y = −x − m + ( d) cắt hai trục tọa độ hai điểm A ( 0; − m)   B( − m;0) Diện tích tam giác OAB: S = Theo giả thiết ta có : S= 1 OA.OB = yA xB = m2 2 ⇔ m2 = ⇔ m = ±1 Ví dụ 3.2.5 Cho hàm số y = 1− x2 có đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc (C) x cho d ( M ,TCĐ ) = 2d ( M ,TCX ) Lời giải  1 M ∈ (C) ⇔ M  x0; −x0 + ÷ Ta có: d(M ;TCX) = x0 ÷   d ( M ,TCĐ ) = 2d ( M ,TCX ) ⇔ x0 = 2x0 , d ( M ,TCĐ ) = x0  x = , y0 = ⇔ x02 = ⇔  2x0  x0 = −1 , y0 = 119 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Vậy, điểm cần tìm M ( ±1;0) Ví dụ 4.2.5 có đồ thị (C) hai điểm thuộc hai 2x − nhánh khác (C) cho khoảng cách hai điểm nhỏ − 2x Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tìm điểm (C) có x tổng khoảng cách từ đến hai trục tọa độ nhỏ Lời giải 1 1 M thuộc nhánh phải (C) ,suy M  + a;2a − ÷, a > a 2 Cho hàm số y = 2x − 1− 1 1 N thuộc nhánh trái (C), suy N  − b; −2b + ÷ , b > b 2 2   1   1 MN = (a + b) +  2(a + b) +  + ÷ = (a + b)2  + ÷ ab   a b    2 Côsi Côsi   4 ≥ 4ab + + = 16ab + + 16 ≥ 16ab + 16 = 32 ÷ 2 ab a b  ab ab  a = b a = b   MN = ⇔ ⇔ ⇒ MN ≥ 2;   1⇔ a= b= 16ab = a = ab   1  1  ;0÷ , N  − ;0÷ Vậy hai điểm cần tìm M  +   2 2 A ∈ (C) ⇒ A(x0;y0) với y0 = −2 + x0 d(A ,Ox) = y0 , d(A ,Oy) = x0 T = d(A ,Ox) + d(A ,Oy) = y0 + x0 Nếu A thuộc nhánh trái (C) y0 < −2 T > Mặt khác giao 3  điểm (C) với trục Ox E  ;0÷ , d ( E,Ox) + d ( E,Oy ) = < ,suy 2  điểm cần tìm thuộc nhánh phải (C) Như ta cần xét điểm A thuộc nhánh phải (C) ( x0 > ) Khi T = y0 + x0 = −2 + + x0 x0 Lập bảng biến thiên hàm số T ( 0;+∞ ) 120 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * Nếu −2 + − 2x0 3  3 + x0 ≥ 0⇔ ≥ ⇔ x0 ∈  0;  T = −2 + x0 x0 x0  2 Ta có: * Nếu −2 + T' = − x02 + 1= x02 − x02  3 < với x0 ∈  0;   2 3 3  ≤ ⇔ x0 ∈  , +∞ ÷ T = − + x0 x0 x0 2  Ta có: T' = x02 + > với x0 ∈  , +∞ ÷ 2   3+   3−   ÷  ÷= − T' = − T' *Tại x0 = : ,  ÷  ÷ 3      3+   3−   3 Vì T' ÷ ≠ T' ÷ nên T' ÷ khơng tồn 2 ÷ 2 ÷  2     Bảng biến thiên hàm số T x0 -∞ +∞ - T' + T Từ bảng biến thiên suy minT = 3 Vậy điểm cần tìm E  ; 2 3 đạt x0 = 2  0÷  Ví dụ 5.2.5 2m − x có đồ thị ( C m ) Cho A ( 0;1) I tâm đối x+ m xứng Tìm m để ( C m ) tồn điểm B cho tam giác ABI vuông cân A Lời giải uuu r  m − 2b   2m − b  Xét B b; ÷∈ (C m ) ⇒ AB =  b; ÷  b+ m   m+ b  uur Ta có I(−m; −1) ⇒ AI = (−m; −2) Cho hàm số: y = 121 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả uuu r uur AB.AI = Tam giác ABI vuông cân A ⇔  2 AB = AI  m − 2b  m − 2b bm =− mb + m + b =    m+ b  2⇔ 2  m − 2b  m2 + = b2 +  m2 + = b2 + m b  ÷    m+ b  ( (1) (2) ) (2) ⇔ m2 b2 − + 4(b2 − 4) = ⇔ (b2 − 4)(m2 + 4) = ⇔ b2 = ⇔ b = ±2 * b = thay vào (1) ta được: ⇔ m = 1,m = −4 * b = −2 thay vào (1) ta được: m− = −m ⇔ m2 + 3m − = m+ m+ = m ⇔ m2 − 3m − = m− ⇔ m = −1,m = Vậy m = ±1, m = ±4 giá trị cần tìm CÁC BÀI TỐN DÀNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC 4x + Bài 1: Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = 3− x 1.Chứng minh rẳng tích khoảng cách từ điểm M tùy ý ( C ) đến hai đường tiệm cận số Tìm điểm thuộc ( C ) cho tổng khoảng cách từ điểm đến hai đường tiệm cận ( C ) nhỏ 2 Bài 2: Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = mx + (3 − m)x + m − ,m x−1 tham số Khi ( C ) có tiệm cận xiên , gọi đường tiệm cận xiên ( d) Tìm m để ( d ) qua điểm A(1; 4) ( d ) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( d ) (m + 1)x2 + (2m + 1)x + Bài 3: Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = x+ 1 Tìm m để tích khoảng cách từ điểm ( C ) đến hai đường tiệm cận 122 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Chứng minh giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) thuộc parabol (P) : y =  − x2 Khi ( C ) có tiệm cận xiên , tìm m để tiệm cận xiên tiếp xúc với 3x − Bài 4: Cho hàm số y = có đồ thị (C) x− Tìm điểm nằm (C) cách hai trục tọa độ Tìm điểm M nằm (C), cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Tìm hai điểm A, B nằm hai nhánh (C) cho AB nhỏ Tìm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 12 ∆ : 3x − 4y + = đường tròn (γ ) : x2 + y2 = 123 ... đường thẳng : x = x0 tiệm cận đứng đồ thị Q(x0) ≠ hàm số ii) Tiệm cận ngang Nếu bậc P(x) bé bậc Q(x) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục hoành độ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) đồ thị hàm có tiệm cận. .. = ⇒ Đường thẳng y = − x − x→+∞ x→−∞ tiệm cận xiên (C) CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : 3x + −2x − y = y = x− 3x + Bài 2: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau... [f(x) − ax] = b đường thẳng y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị x→−∞ hàm số f P(x) P(x), Q(x) Q(x) hai đa thức x ta thường dùng phương pháp sau để tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số i) Tiệm cận đứng P(x0)