Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN và NHIỀU BIẾN Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Khoa Toán Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên vdhuycuonggmail com Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Toán.
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường GIẢI TÍCH: HÀM SỐ MỘT BIẾN NHIỀU BIẾN Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Khoa Toán-Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên vdhuycuong@gmail.com Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Mục lục Hàm số tính chất Khái niệm hàm số Giới hạn hàm số Tính liên tục hàm số Các quy tắc đạo hàm Ý nghĩa hình học Ứng dụng đạo hàm Nguyên hàm tích phân Nguyên hàm hàm số Tích phân xác định Tích phân suy rộng Ứng dụng tích phân Dãy số chuỗi số Dãy số phép tính Chuỗi số phép tính Chuỗi hàm phép tính Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích hàm nhiều biến Cơ sở khái niệm Giới hạn liên tục Đạo hàm vi phân Cực trị hàm hai biến Phép tính tích phân hàm nhiều biến Đổi biến tích phân hàm nhiều biến Phương trình vi phân Định nghĩa pt vi phân Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp Hệ phương trình vi phân Giải tích Tốn học / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Chương Hàm số thực Đạo hàm - Vi phân Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 1.1 Hàm số tính chất 1.1.1 Định nghĩa hàm số Hầu hết tính tốn dựa tập số thực Số thực số biểu diễn dạng thập phân −3/4 = −0.75000 1/3 √ = 0.33333 = 1.4142 Các số thực biểu diễn điểm trục số gọi trục số thực Kí hiệu IR dùng để tập số thực trục số thực Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 1.1.1 Định nghĩa hàm số Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Toán học / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 1.1.1 Định nghĩa hàm số Ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y (ký hiệu f : X → Y ) quy tắc cho phần tử x ∈ X tương ứng với phần tử xác định y ∈ Y , phần tử y gọi ảnh phần tử x, ký hiệu y = f (x) Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 1.1.1 Định nghĩa hàm số Một hàm số từ tập D ∈ IR đến tập R ∈ IR quy luật cho tương ứng phần tử f (x) ∈ R với phần tử x ∈ D Ví dụ: f (x) = x − hàm số Giá trị f (x) thường gán kí hiệu y Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 1.1.1 Định nghĩa hàm số Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 1.1.1 Định nghĩa hàm số Đồ thị hàm số f tập hợp tất cặp (x, f (x)) hệ trục tọa độ Decartes Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 1.1.2 Tập xác định tập giá trị Tập xác định hàm số tất trị số x cho hàm số có nghĩa Tập giá trị hàm số tập hợp giá trị y tương ứng với phần tử x √ tập xác định Ví dụ: Cho y = − x Tập xác định D = [−1, 1] giá trị làm cho y có giá trị thực Tập giá trị R = [0, 1] với x tập xác định, y nhận giá trị khoảng Một số hàm số, mục đích đó, xác định tập xác định giới hạn Ví dụ: Cho hàm số: y = x với −2 < x < Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học 10 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.3.2 Ptvpc2 tuyến tính hệ số khơng Xét phương trình ay + by + cy = f1 (x) + f2 (x), (92) với f1 (x) f2 (x) có dạng khác (đa thức, lũy thừa, sin cos) Gọi yp1 nghiêm ptvp ay + by + cy = f1 (x) yp2 nghiêm ptvp ay + by + cy = f2 (x) Khi nghiệm yp phương trình (92) xác định sau yp = yp1 + yp2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học 279 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.3.2 Ptvpc2 tuyến tính hệ số không Bài tập: Giải ptvp sau 5.41 y − 4y + 4y = x 5.42 y + y − 6y = x − 2x 5.43 y + 2y + y = e2x 5.44 y − 4y = sin x Bài tập: Giải ptvp sau 5.45 y + 4y = sin x; biết y(0) = 1, y (0) = 5.46 y + y = e2x + 5x; biết y(0) = 0, y (0) = 5.47 y + 2y + y = ex + e−x ; biết y(0) = 0, y (0) = 5.48 y + y = x + cos x; biết y = 1, y = −1 x = Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học 280 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.3.3 Ptvpc2 giảm cấp dạng Phương trình có vế phải khơng chứa hàm cần tìm dy d 2y = f x, dx dx Đặt (93) dy d 2y dp = p, dẫn đến = Phương trình (93) trở thành dx dx dx dp = f (x, p) dx Giải phương trình tìm nghiệm p Sau nghiệm tổng qt y= p(x, C1 )dx + C2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học (94) 281 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.3.3 Ptvpc2 giảm cấp dạng Ví dụ 5.15 Giải ptvp y + y = x x Giải: Đặt y = p, y = p , ta thu ptvp tuyến tính cấp p + p = x x Phương trình theo p có nghiệm sau p = e− dx x xe dx dx x + C1 x C1 dy = + ⇔ dx x (95) Ptvp có nghiệm tổng quát y= dy x3 = + C1 ln x + C2 dx Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học 282 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.3.3 Ptvpc2 giảm cấp dạng Bài tập: Giải ptvp sau 5.49 xy = y + x 5.50 xy = y + x 5.51 x y − xy = 5.52 xy − y = x ex Bài tập: Giải ptvp sau 5.53 xy = y (x + 1); biết y(1) = 0, y (1) = 5.54 y − y = ex ; biết y(0) = 1, y(1) = 5.55 (1 + x )y − 2xy = 0; biết y(0) = 0, y (0) = 5.56 y sin x − y cos x = −1 − sin2 x; y(0) = 1, y (π/2) = Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học 283 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.3.4 Ptvpc2 giảm cấp dạng Phương trình có vế phải khơng chứa biến x dy d 2y = f y, dx dx Đặt (96) dy d 2y dp = p, dẫn đến = p Phương trình (96) trở thành dx dy dx p dp = f (y, p), dy Giải phương trình tìm nghiệm p Sau nghiệm tổng quát dy = x + C2 p(y, C1 ) Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Toán học (97) 284 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.3.4 Ptvpc2 giảm cấp dạng Ví dụ 5.16 Tìm nghiệm tổng qt ptvp 2yy + (y )2 = Giải dp Đặt y = p, ta có y = p Thế y y vào pt đề bài, ta thu dy 2yp dp + p = dy Xét trường hợp p = Tách biến ta dp dy =− p 2y Tích phân vế, ta ln |p| = − ln |y| + ln |C1|, Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học 285 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.3.4 Ptvpc2 giảm cấp dạng nghĩa với y > C p = √1 y dy C = √1 dx y ⇔ ⇔ √ ydy = C1 dx Tích phân hai vế ta thu nghiệm ptvp y = C1 x + C2 Xét trường hợp p = 0, nghĩa y = const Đây nghiệm ptvp ban đầu Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học 286 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.3.4 Ptvpc2 giảm cấp dạng Bài tập: Giải ptvp sau 5.57 y = − 2y 5.58 yy = y 5.59 yy = y y + y 5.60 y cos y + y sin y = y Bài tập: Giải ptvp sau 5.61 y + yy = yy ; biết y(0) = 1, y (0) = 5.62 + y = 2yy ; biết y(1) = 1, y (1) = 5.63 yy + y = y ; biết y(0) = 1, y (0) = 5.64 yy + y = y ; biết y(0) = 1, y (0) = Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Toán học 287 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.3.4 Ptvpc2 giảm cấp dạng Phân biệt dạng ptvp cấp Dạng pt Lũy thừa y y pt tuyến tính Có pt tuyến tính khơng Có pt giảm cấp dạng (có x) pt giảm cấp dạng (có y) - Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học y , y y khơng thuộc đơn thức Có Có - Có chứa đơn thức khơng chứa y, y y Khơng Có Có Khơng 288 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.4 Hệ phương trình vi phân 5.4.1 Định nghĩa hệ ptvp Hệ phương trình vi phân hệ phương trình dạng yi = fi (x, y1 , , yn ), i = 1, , n (98) fi hàm số (n + 1) biến, yi hàm chưa biết biến x Giải hệ có nghĩa tìm tất n hàm số yi (x) thỏa mãn (98) Bộ nghiệm gọi nghiệm tổng quát hệ Nếu cho trước điểm x0 giá trị b1 , b2 , , bn ∈ IR nghiệm y1 (x), y2 (x), , yn (x) hệ (98) thỏa mãn điều kiện (khởi đầu) yi (x0 ) = bi , i = 1, , n (99) gọi nghiệm riêng hệ Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học 289 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.4.1 Định nghĩa hệ ptvp Phương trình vi phân bậc cao ln đưa hệ phương trình vi phân bậc Ví dụ 5.17 Xét phương trình vi phân cấp hai y +y =x Nếu đặt y1 = y y2 = y phương trình tương đương với hệ phương trình sau y1 = y2 , y2 = x − y1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học 290 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.4.2 Hệ tuyến tính Hệ phương trình vi phân tuyến tính n hàm số hệ có dạng yi = a1i (x)y1 + + ani (x)yn , i = 1, , n (100) aji (x) hàm số theo biến x Ta kí hiệu Y vectơ cột chứa yi (x) A ma trận chứa aji (x) y1 a1 (x) · · · an1 (x) Y = , A = , · · · n n yn a1 (x) · · · an (x) hệ (100) viết dạng ma trận Y = AY Với giả thiết tính liên tục hàm hệ số aji điều kiện đầu thích hợp, tồn nghiệm Y (x) hệ (100) Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Toán học 291 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.4.2 Hệ tuyến tính Để tìm nghiệm Y (x) hệ Y = AY ta thực sau: Bước 1: Tìm λi trị riêng Y i vector riêng A n Ci Y eλi Bước 2: Nghiệm Y (x) = i=1 −1 −1 −1 X Ví dụ 5.18 Giải hệ phương trình X = −1 Ma trận A có giá trị riêng 2, ± i với Y = [0, −1, 1]T , [1, −i, 1]T Ta thu nghiệm t t e cos t e sin t Y (x) = C1 −e2t + C2 −et sin t + C3 −et cos t et cos t et sin t e2t Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Toán học 292 / 293 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.4.3 Hệ tuyến tính khơng Hệ phương trình vi phân tuyến tính n hàm số hệ có dạng Y = A(x)Y + B(x) (101) A(x) ma trận cấp n × n B(x) vectơ cột n thành phần hàm theo x Giả thiết Yg nghiệm tổng quát hệ (100) Yp nghiệm hệ khơng (101) Khi nghiệm tổng quát hệ không có dạng Y (x) = Yg (x) + Yp (x) Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích Tốn học (102) 293 / 293