韓國數學敎育學會誌 시리즈 E J Korean Soc Math Ed Ser E Communications of Mathematical Education 제 25집 제 1호, 2011 2 119 145 Vol 25, No 1, Feb 2011 119 145 119 시엠피(The Connected.최근 연구가 진행되고 있는 2009 수학과 교육과정 개발 연구에 시사점을 제공할 목적으로 본 연구에서 는 1990년대 이후에 미국에서 추진되고 있는 수학교육 개혁 프로그램 중의 하나인 ‘The Connected Mathematics Project(이하, CMP)’에 대하여 고찰한다. 연구 내용들은 CMP를 추진하게 된 배경, 1991년 에서 1996년 사이에 수행된 CMP(이하, CMP1)에서 개발된 교과서(이하, CMP1 교과서)에 대한 논란, CMP1을 수정․보완하기 위하여 2000년에서 2006년 사이에 수행된 CMP(이하, CMP2)의 교육과정이며, 문헌연구 방법을 통하여 살펴본 결과, CMP2 교육과정에서는 CMP1 교과서에 대해 제기된 논란을 일부 반영하여, 기본적인 기능 습득을 위한 절차를 도입하고 과다한 수업량과 시수를 감축할 뿐만 아니라 대 수를 강조하고 자료 분석 내용들을 강화하였다.
韓國數學敎育學會誌 시리즈 E 제 25집 제 1호, 2011 119-145 J Korean Soc Math Ed Ser E: Communications of Mathematical Education Vol 25, No 1, Feb 2011 119-145 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰1) 김 해 규 (제주대학교) 최근 연구가 진행되고 있는 2009 수학과 교육과정 개발 연구에 시사점을 제공할 목적으로 본 연구에서 는 1990년대 이후에 미국에서 추진되고 있는 수학교육 개혁 프로그램 중의 하나인 ‘The Connected Mathematics Project(이하, CMP)’에 대하여 고찰한다 연구 내용들은 CMP를 추진하게 된 배경, 1991년 에서 1996년 사이에 수행된 CMP(이하, CMP1)에서 개발된 교과서(이하, CMP1 교과서)에 대한 논란, CMP1을 수정․보완하기 위하여 2000년에서 2006년 사이에 수행된 CMP(이하, CMP2)의 교육과정이며, 문헌연구 방법을 통하여 살펴본 결과, CMP2 교육과정에서는 CMP1 교과서에 대해 제기된 논란을 일부 반영하여, 기본적인 기능 습득을 위한 절차를 도입하고 과다한 수업량과 시수를 감축할 뿐만 아니라 대 수를 강조하고 자료 분석 내용들을 강화하였다 I 연구 필요성과 목적 2010년 12월 현재 2007 개정 수학과 교육과정이 일선 학교에 단계적으로 도입되고 있을 뿐만 아니 라, 2009 교육과정의 총론이 고시되어 2009 수학과 교육과정을 개발하는 연구가 진행 중이다 Schmidt, McKnight, & Raizen(1997)은 ‘제 3회 수학․과학 성취도 국제비교 연구(Third International Mathematics and Sciences Study, 1996)’ 결과에 따른 「미국의 과학 및 수학교육에 대한 조사」에 서 교육과정이 학생들의 성취도에 있어서 중요하다고 언급하였다 한편, 제 7차 수학과 교육과정(교 육부, 1997)과 2007 개정 수학과 교육과정(교육인적자원부, 2007)에서 추구하는 문제해결, 추론 및 수 학적 의사소통에 관한 내용들은 1989년 NCTM 규준과 2000년 NCTM의 규준의 내용과 매우 유사하 므로(김연미, 2004), 1990년대 이후에 미국에서 추진되고 있는 수학교육 개혁 프로그램을 고찰하는 것은, 현재 연구가 진행되고 있는 2009 수학과 교육과정의 개발 방향에 시사점을 제공할 수 있을 것 이다 미국과학재단(NSF)은 NCTM(1989) 규준에 맞는 수학교육과정을 개발하기를 원하는 수학 교육 자들에게 연구비를 지원하여 NCTM-지향 교육과정을 개발하였는데, 본 연구에서는 1989년 NCTM 규준과 2000년 NCTM 규준에 따라 개발된 미국의 개혁 교육과정 중의 하나인 ‘The Connected Mathematics Project(이하, CMP)’에 대하여 고찰하고자 한다 CMP는 6학년에서 8학년까지의 교육과 * 접수일(2010년 12월 27일), 심사(수정)일(2011년 1월 28일), 게재확정일자(2011년 2월 8일) * ZDM분류 : B73, B53 * MSC2000분류 : 97C90 * 주제어 : Connected Mathematics Project, CMP2 교육과정, CMP2 교과서, 수학 전쟁 1) 본 연구는 2008년도 제주대학교 학술연구지원사업에 의하여 연구되었음 119 120 김해규 정인데, 본 논문에서는 NCTM(1989) 규준에 따라 개발된 교육과정을 CMP1 교육과정2)으로, NCTM(2000) 규준에 따라 개발된 교육과정을 CMP2 교육과정3)으로 구분하여 나타내며, CMP1과 CMP2를 구분할 필요가 없을 경우에는 CMP로 나타낸다 중학교 수준의 NCTM-지향 교육과정중의 하나인 CMP를 선택한 이유는 다음과 같다 첫째, 미국과학진흥회(American Association for the Advancement of Science, AAAS, 2000)에서 수행된 Project 20614)에서, 1989년 당시 미국의 중학교 수학 교과서들 중에서, “가장 잘 팔리는” 교 과서들과 교육과정 개발자들, 연구자들 및 교과서 출판업자들의 노력 정도를 고려하여 13개 교과서 를 선택하여 좋은 교과서를 평가하였는데, 그 중 CMP 교과서와 Mathematics in Context(이하, MiC) 교과서가 가장 높게 평가5)되었다 둘째, CMP는 NCTM(1989)과 NCTM(2000) 규준 중에서 연결성 관점에 중점을 두고 문제해결 능력 강화와 수학적 의사소통능력 향상시키기 위해서 개발된 교육과정 으로, 현재 우리나라에서 도입되고 있는 ‘2007 개정 수학과 교육과정’에서 추구하는 목표와 매우 유 사하다 셋째, CMP 교육과정은 미국의 6학년에서 8학년까지의 학년을 대상으로 개발되었으므로, 우 리나라의 초등학교 6학년 수학 내용들과 중학교 1, 2학년에서 다루는 수학 내용들을 연결시키는 아 이디어를 제공할 수 있을 것으로 판단되었으며, 넷째, CMP2는 최근에 미국과학재단에서 막대한 연 구비를 투자하여 더 많은 미국 학생들에게 보급하기위해 노력하고 있는 과제 중의 하나이므로 ‘2007 개정 수학과 교육과정’ 뿐 만 아니라, 앞으로 개발될 새로운 교육과정을 위한 좋은 벤쳐마킹으로서의 역할을 할 수 있을 것으로 판단했으며, 다섯째 MiC 교과서는 우리나라에 이미 많이 알려져 있기 때 문이다 2) 1991년에서 1996년까지 개발된 CMP 교육과정이다 3) 2000년에서 2006년까지 개발된 CMP 교육과정이다 4) 이 과제의 목적은 어떤 교과서가 학생들에게 학업 성취도를 개선시키는데 가장 효과적으로 도움을 주는가에 대하여 수학교육자들에게 도움을 주기 위한 목적으로 수행되었는데, 교과서 내용 평가에서는 중학교 학생들 이 성취해야할 중요한 내용인 6개영역, 지도법 평가는 교과서 내용을 얼마나 잘 설명하고 있는가에 대한 항 목으로 7개 범주의 24개 항목을 구성하였다 6개의 내용영역은 수 개념(Number concepts), 수의 활용 (Number skills), 기하 개념(Geometry concepts), 기하의 활용(Geometry skills), 대수 그래프 개념(Algebra Graph concepts) 및 대수 방정식 개념(Algebra Equation concepts)이며, 지도법에 대한 7개 범주는 교육과정 목적 일치정도 확인하기(Identifying a sense of purpose), 수학에 대한 학생들의 아이디어 기르기(Building on student ideas about mathematics), 수학에 학생들 참여시키기(Engaging students in mathematics), 수학적 아 이디어 개발하기(Developing mathematical ideas), 수학에 대한 학생 사고 촉진시키기(Promoting student thinking about mathematics), 수학 능력 향상도 평가하기(Assessing student progress in mathematics) 및 수 학 학습목표 신장하기(Enhancing the mathematics learning goal)이다 5) 6개의 내용 영역과 7개 범주(24개 항목)의 지도법에서 중앙값(median)들이 모두 3점 만점에 2.5점 이상인 교 과서는 3개로 평가되었는데, 이들은 CMP(Dale Seymour Publishers, 1998), Mathematics in Context (Encyclopedia Britannica Educational Corporation, 1998), MathScape(Creative Publications, 1998)이다 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰 121 본 연구에서는 CMP1을 추진하게 된 배경과 CMP1에서 개발한 교과서에 대한 논란을 고찰한 후, CMP1을 수정․보완한 CMP2의 교육과정과 개발된 교과서의 내용들을 고찰하고자 한다 II 연구 방법 및 내용 1990년 이후 지금까지 약 20년간 추진되어온 미국 수학교육 개혁 프로그램 중의 하나인 CMP가 추진된 배경, CMP1에서 개발된 교과서에 대한 논란, CMP1을 수정․보완한 CMP2의 교육과정과 개 발된 교과서의 내용들을 고찰하기 위하여, 연구 방법은 문헌 연구를 수행하며, 구체적인 연구 내용은 다음과 같다 첫째, NCTM 규준 지향 교육과정 중의 하나인 CMP1의 추진 배경을 살펴본다 둘째, CMP1 교육과정에서 개발된 교과서가 수학전쟁6)이라는 논란을 거친 이유와 사례를 고찰한 다 셋째, NCTM(2000) 규준에 따라 개발된 CMP2 교육과정의 개발 배경을 고찰한다 넷째, NCTM(2000) 규준에 따라 개발된 CMP2 교육과정과 CMP2 교과서의 내용을 고찰한다 III 연구의 실제 CMP1의 추진 배경 1989년 NCTM은 「학교수학을 위한 교육과정과 평가규준(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, 1989)」를 출판하면서 미국 수학교육에 대한 근본적인 변화를 요구하였는 데, NCTM(1989)에서는 다음과 같이 기술하고 있다 이 규준은 수학적 소양을 갖춘 시민을 만들기 위하여 “수학 교육과정과 그에 연관된 평가의 개정에 지 침이 되는 일련의 규준을 만들려는” 노력이었고(NCTM 1989, p 1), 이 출판물에 명시된 교과과정과 평 가 기준은 “양질을 보장하고, 목표를 제시하고, 변화를 촉진하는데”(p 2) 사용될 것이다(강문봉 외 18인, 1999, p 31, 재인용) 이 규준은 학년을 K～4학년, 5～8학년, 9～12년인 세 학년급으로 나누어 K～4학년과 5～8학년은 각각 13개 규준씩, 9～12학년은 14개 규준을 제시하였는데, 과정 규준(process standards)인 4가지 규 6) 김연미(2004)는 1990년대 미국의 수학교육계는 1989년 NCTM에서 발표한 규준과 이 후 여기에 기초한 교과 서들이 출간되면서 뜨거운 논쟁에 휩싸였는데, 1989년 규준의 기본 이념이나 그것에 근거한 교과서들은 1989 년 NCTM 규준이 발간되기 전의 교육과정을 따르는 전통주의자들과 보수적인 학부모들의 비판을 받으며 각 종 매체를 통하여 찬반 논쟁이 계속되고 있는데 이를 미국 역사상 두 번째의 수학전쟁이라고 부르고 있다 김해규 122 준들 즉, 문제해결 규준, 추론 규준, 의사소통 규준, 연결성 규준은 공통적으로 제시되었다 반면, 내 용 규준(content standars)은 K(유치원)～4학년과 5～8학년은 각각 9가지씩 제시하였는데7), 전통적인 교육과정8)에 비해 1989년 NCTM 규준에 제시된 내용들을 요약하면 다음과 같다 첫째, 새로운 교수 법을 요구했는데, 수학교육에 있어서 교사는 언어적 전달자에서 안내자로서의 교사로 역할이 대체되 어야 하고, 전통적 교수법에서는 거의 없었던 논의가 강조되었으며, 교수-학습 방법에는 구성주의 철 학을 실현하기 위한 방법으로 소집단 활동이 제안된 했다(Latterell, 2004, p 151) 둘째, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 기초적인 산술 기능은 더 이상 핵심사항이 아니다 5～8학년에서 전통적으로 강 조되었던 규칙과 알고리즘의 암기, “지루한” 지필 계산 연습, 정확한 형태의 정답 찾기와 같은 내용 이 약화되었으며(Latterell, p 147), 만약, 학생들이 기초 기능을 습득하지 못하면, 그들은 계산기를 사용할 수 있고 계속해서 수학을 할 수 있다 셋째, 문제해결을 더욱 더 강조한다 전통적인 수학교 육과정에도 문제해결이 포함되어 있지만, 산술, 계산 과정, 절차적 알고리즘에 치중되어 있는 반면에, 1989년의 규준에서는 문제해결을 더욱 더 강조하였으며 문제해결은 학생들의 주된 활동이었다 넷째, 모든 학년, 심지어는 유치원에서도, 테크놀로지를 사용해야 한다 이 규준에 깔려 있는 기본 가정은 계산기, 컴퓨터, 비디오테이프를 포함한 과학기술이 적절한 때에 사용되어야 하며, 모든 교실은 탐구 학습을 위한 계산기와 컴퓨터를 갖추고 있어야 한다고 기술하고 있다(강문봉 외 18인, 1999, p 35) 다섯째, 1989년의 대수규준에서는 그래핑 계산기를 이용하여 절편을 찾는 것과 같은 방법을 사용하 여 1차 방정식을 해결할 것을 장려하는 등, 기호조작을 약화시키려고 하였다(Latterell, p 148) CMP1 교과서에 대한 논란과 사례 NCTM(1989), NCTM(1991), 및 NCTM(1995) 등의 NCTM의 세 규준들을 기반에 두고 개발된 교 육과정(이하, 개혁적 교육과정)과 전통적 교육과정 사이에서 벌어지고 있는 심각한 논쟁을 수학전쟁 (Math Wars)이라고 부른다 이 절에서는 수학전쟁이 일어난 원인을 살펴본 뒤, CMP1 교육과정에 의하여 개발된 CMP1 교과서에 대한 논란과 그 사례를 살펴보기로 한다 가 수학전쟁이 일어난 원인 Latterell(2004)는 전통적 교육과정에 대하여 다음과 같이 기술하고 있다 전통적 수학의 내용에는 기초적 산술, 문장제 해결(일반적으로 알고리듬을 적용하면 해결되는), 절차, 대 수학, 기하학, 삼각함수, 함수론, 미적분학(고등학교나 대학에서 학습하는) 등이 포함된다 전통적 수학 7) K(유치원)～4학년의 내용 규준은 어림, 수 감각과 수 개념, 영과 자연수의 연산에 대한 개념, 영과 자연수의 계산, 기하와 공간 감각, 측정, 확률과 통계, 분수와 소수, 규칙성과 관계이며, 5～8학년의 내용 규준은 수와 수 사이의 관계, 수 체계와 수론, 계산과 어림, 규칙성과 함수, 대수, 통계, 확률, 기하, 측정이다 8) 전통적인 교육과정이라 함은 1989년 NCTM 규준이 발간되기 전의 교육과정을 통칭하여 일컫는다 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰 123 교육과정에서는 숙제를 내주는 것과 같은 방식의 교수법을 적용한다 가령, 교사가 새로운 과제를 제시 하면 학생들은 연습문제를 연습한다 학생들은 보통 혼자서 활동한다 제시된 연습문제는 한 가지 과정 과 정답이 들어 있는 문제이다 전통적 교육과정을 옹호하는 사람들은 개혁적 NCTM-지향 교육과정에 는 중요한 수학이 빠져있다고 생각한다 (p 113) Latterell(2004)은 수학 전쟁에 대해서 자세하게 소개하고 있는데, Latterell은 수학전쟁은 현재 진행 중에 있고 NCTM이 여전히 주도적인 역할을 한다는 점에서 1989년부터 현재까지를 ‘NCTM의 시기’ 라고 보고 있으며, 수학전쟁의 시기는 NCTM에서 1989년에 처음으로 규준집을 발간하면서 시작된 것으로(p 60) 보고 있다 Latterell은 수학전쟁에 대한 입장을 일반적인9) 수학교육자10)와 수학자11)들 의 견해를 중심으로 수학전쟁에 대하여 기술하고 있다 따라서, 여기서는 1989년 NCTM 규준에서 약 화된 내용과 새롭게 도입된 규준 중에서, 문제해결, 추론, 의사소통 등을 중심으로 Latterell에 의해 소개된 내용을 요약하면 다음과 같다 첫째, 1989년 NCTM 규준에서는 많은 계산 절차뿐만 아니라, 기초적인 산술 기능과 계산기를 사용하지 않고 지필로 대수 방정식을 해결하는 기호조작 및 기하학 에서 가르치는 전통적인 증명과 같은 형식적인 증명 기법들이 약화시켰다(pp 110-111) 반면에, 수학 자들이 K-12학년에서 가장 중요하게 생각하는 두 가지 영역은 산술 기능과 대수적 기능이며, 특히 기호를 조작하는 능력은 전통적인 대수에서는 핵심적인 것이다(p 150) 둘째, 전통적인 교육과정을 따르는 입장과 개혁적 교육과정을 따르는 입장 간의 또 다른 주된 차이점은 절차적인 것을 얼마만큼 중요시 하느냐에 달려있는데, 전통적 입장은 비록 개념적인 것과 절차적인 것을 모두 추구하지만, 절 차적인 것을 더 강조하는 반면에 개혁적 입장은 절차적인 것도 약간은 강조하지만, 주로 개념적인 것을 강조한다(pp 149-150) 셋째, 1989년 NCTM 규준에서는 암기를 약화시켰는데, 수학자들은 일련 의 수학적 절차를 암기하면 나중에 (아마도 대학 수준에서) 그것을 활용하여 보다 강력한 수학을 할 수 있게 된다고 믿고 있다(p 148) 넷째, 1989년 NCTM 규준에서는 수학을 계속 공부할 학생들은 대학에 들어가서 부족한 것을 더 공부할 수 있고, 그것이 어렵다면 부족한 부분을 스스로 공부할 수 있으며 부족한 전통적인 기능들은 나중에 습득할 수 있다는 NCTM의 주장에 대해서 수학자들은 회 의적이며(p 140), 수학자들은 대학에서 또는 적어도 정규 수학 강의에서는 그러한 기능을 가르치려 하지 않는다(141) 다섯째, 수학자들은 NCTM이 정의한 의사소통을 중요하게 생각하지 않는다는 것 이다 수학자들은 문제해결 자체를 수학적 의사소통으로 생각하기 때문에(p 143), 학생들에게 자신의 해결 과정을 지필로 표현하게 할 필요는 없다고 생각하며(p 144), 표준화 검사는 일반적으로 선다형 9) 수학전쟁에서 모든 수학자들이 같은 편에 있고, 모든 수학교육자들은 다른 편에 있다고 생각해서는 안 된다 그러나, 일반적인 수학자들은 NCTM과 반대적 입장을 취하고, 수학교육자들은 NCTM에 우호적인 입장에 있 다(Latterell, pp 34-35) 10) 수학교육에 박사학위를 갖고 있으며 대학의 수학과 또는 교육학과(거의 대부분이 여기에 해당함)에서 일을 하는 사람 일부는 과학재단(NSF)이나 주교육부와 같이 정부 기관에서 일한다(Latterell, p 30) 11) 순수 수학 분야에 박사학위(일반적으로 이학 박사)를 갖고 대학에서 일하는 사람 따라서 수학교수들은 모두 수학자이다(Latterell, p 30) 124 김해규 으로 구성되기 때문에 수학적 의사소통이 가능하지 않다고 생각한다 따라서, 의사소통 규준은 표준 화 검사로는 평가하기 어려운 항목으로 보고 있다(p 143) 여섯째, 추론으로서의 수학은 학생들이 추 론 능력과 증명 기법을 개발해야 하는데, 여기서 증명 기법은 정당화의 방법으로서, 수학자들은 이것 을 증명으로 생각하지 않는다(p 144) 일곱째, “테크놀로지는 학교 수학교육에서 필수적인 요소이어 야 한다”는 개혁적 교육과정을 따르는 입장에 반하여, 전통적 교육과정을 따르는 입장은 저학년에서 는 계산기의 사용을 최소화하고 고학년(분명히 초등학교 아니다)에서나 계산기를 사용해야 한다는 것이다(p 113) 나 CMP1 교과서에 대한 논란 CMP1 교과서에 대한 논란의 사례는 R James Milgram(1999), Bill Quirk(2003), 및 Plano 지역 학 부모들(1999) 등 많은 사례가 있지만, 이들 내용은 큰 범위에서는 대부분은 유사하므로, 여기서는 R James Milgram의 평가 내용과 R James Milgram의 내용과 중복되지 않은 Plano 지역의 학부모들 이 제기한 내용을 살펴보면 다음과 같다 1) R James Milgram(1999)의 평가내용 첫째, CMP는 대단히 불완전한 프로그램이며, 둘째, 보통 학생이나 높은 성취도를 보이는 학생들이 아닌, 자기 능력 이하의 성적을 내는 학생들을 목표로 하는 프로그램이며, 셋째, 대부분의 반대론자 들처럼 학생들 자신이 전적으로 지식을 구성해야하는 구성주의 철학에 대하여 반대하고, 넷째, 계산 기를 항상 이용하지만 실제적인 계산 능력은 훌륭하지 않다는 것과, 다섯째, 분수의 사칙연산에 대 한 표준 알고리즘이 전혀 소개되지 않고 있으며, 여섯째, 정확한 정의(Definition)도 전혀 주어지지 않 는다 일곱째, 기본적인 조작기능과 같은 기능을 개발하는 반복적인 연습이 전혀 없으며, 특히, 대수 학의 7학년과 8학년의 단원에는, 일차방정식을 풀기위한 표준 알고리듬의 개발뿐만 아니라, 다항식이 나 분수형태의 다항식을 간단히 하는 연습도 없으며, 표준적인 기능 개발이 없고, 표준의 지수법칙과 같은 정도의 토론도 없다 여덟째, 각 단원들이 분리된 소책자로 제시되기 때문에 전통적인 교과서와 는 달리 보통 단일한 문제와 거의 간접적으로 주제가 소개되며, 아홉째, 확률과 자료 해석 단원에서 는 시간이 많이 소요되며, 줄기-잎 그림과 같은 자료 표현 방법들이 소수의 사람들만이 사용하는 방 법이 도입되고 있으며, 통계의 사용과 오용과 같은 주제들에 거의 주의를 기울이지 않았다 2) R James Milgram의 내용과 중복되지 않은 Plano 지역의 학부모들이 제기한 내용 첫째, 개념을 “발견하는(discover)” 방식의 수업은 초등학교에서 시작하여 중학교 단계로 나아가야 한다 둘째, 프로그램은 수업이 45분보다 적게 소요된다고 하지만 충분하지 않다 셋째, 중학교에서 개혁 교육과정을 이수한 학생들이 9학년에서 전통적인 교육과정을 배우면 어떻게 할 것인가? 넷째, 학생들은 분수, 소수 및 유리수의 계산은 계산기를 사용하기 전에 손으로 푸는 것을 먼저 배워야만 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰 125 한다 다섯째, 수월성 교육과 부진아 지도를 받아야 할 학생들은 어떻게 할 것인가? 여섯째, 9학년에 서 배워야 할 대수를 어떻게 준비해야 하는가? 등이다 NCTM(2000) 규준에 따라 개발된 CMP2 교육과정의 개발 배경 NCTM이 1989년부터 발간한 세 권의 규준집12)들은 모든 학생을 위한 수학 및 교수법의 수행과 개발에 대한 안내자로서 역할을 하였다 2000년에는 NCTM이 위의 규준집 세권을 개선하여 한권으 로 통합한「학교수학을 위한 원리와 규준(Principles and Standards for School Mathematics, 2000)」 을 발표하였다 이 규준은 지난 10년 동안에 진보한 교수법과 학습법 그리고 기술공학에 관한 연구 를 반영하였는데, 이들 네 가지의 규준들이 CMP2 개발의 안내자로서 역할을 하였다 지난 10년 동안에 진보한 교수법과 학습법 그리고 기술공학에 관한 연구 및 수학전쟁에서 제기된 내용들이 1989년 NCTM 규준에 반영되어 NCTM(2000) 규준이 만들어지고, CMP2 교육과정은 CMP1 교과서에 대한 논쟁에서 제기된 일부 내용들을 참고하여 NCTM(2000) 규준에 따라 수정․보 완하여 개발한 교육과정이다 따라서, CMP1 교과서에 대한 논쟁에서 살펴본 바와 같이 CMP1 교과 서에 대한 논쟁의 주된 내용들은 1989년 NCTM 규준에서 약화된 내용과 거의 같으므로, 여기서는 2000년 NCTM 규준이 어떻게 개발되어 졌는가를 중심으로 살펴볼 것이다 2000년 NCTM 규준은 1989년 규준과 비교할 때, 전체적으로는 거의 같지만, 몇 가지 점 즉, 기초 기능의 중요성 인식, 대수의 강조, 표현 규준의 도입, 테크놀로지 관의 변화, 이산 수학 및 확률 통계 의 강조에 있어서 차이가 있다 이렇게 변화된 점을 중심으로 살펴보면 아래와 같다 첫째, K-12학년까지 모든 학생이 습득해야하는 10개의 규준으로 이루어져있으며, 5개의 내용 규준 과 5개의 과정 규준으로 구성되어 있다 내용규준은 수와 연산, 대수, 기하, 측정, 자료 분석과 확률 이며, 과정 규준은 1989년 규준과 같이 네 개의 규준(문제해결, 추론과 증명, 의사소통, 연결성)과 표 현 규준이 하나 더 추가되었다 둘째, Latterell(2004)에 따르면, 2000년 규준이 절차적인 방법보다는 개념적인 방법을 중요하게 생각하지만, 2000년 규준에서도 기초기능을 강조하고 있다 특히, 1989년 규준과 2000년 규준간의 가장 큰 차이점은 기초 기능, 계산 및 절차를 약화시키려고 했던 이전의 많 은 제안들이 삭제되었으며 2000년 규준에서, 이러한 기능들이 다른 내용과 과정만큼 그리고 수학자 들이 바라는 정도로 강조되지는 않았지만 그 기능들의 중요성이 특별히 언급되었다(p 160) 셋째, 1989년의 규준에서는 문제해결을 강조하기 위하여 대수 내용들을 약화시켰으나, 2000년 규준에서는 모든 학생들은 대수를 배워야 한다며, 대수를 유아원․유치원에서부터의 교육과정에서 하나의 주된 흐름으로 취급하여 중․고등학교에서 세련된 대수 공부를 위한 준비과정으로 변화되었다(NCTM 2000, p 42) 넷째, 2000년 규준에서 새로 추가된 표현 규준에서 학생들은 수업에서 수학적 아이디어 12) 학교수학을 위한 교육과정과 평가규준(1989), 수학 수업을 위한 전문성 규준(1991), 학교수학을 위한 평가 규 준(1995)을 의미한다 김해규 126 를 조직하고 기록하며 의사소통하기 위해서 표현을 만들고 활용할 수 있어야 하며, 문제를 해결하기 위해서 수학적 표현을 선정하고 적용하며 변환할 수 있고, 물리적 사회적, 수학적 현상을 모델링하고 해석하기 위해 표현을 활용할 수 있어야 하며(NCTM, 2000, p 83), 다섯째, 2000년 규준에서는 이산 수학, 확률과 통계와 같은 새로운 내용 및 과정 규준도 역시 중요하다고 지적하고 있다(Latterell, p 158) 여섯째, “테크놀로지는 학교 수학교육에서 필수적인 요소이어야 한다”는 1989년의 제안은 2000 년 규준에서도 바뀌지 않았다 그러나, 2000년 규준에서는 테크놀로지가 기초 기능을 대체하는 것이 아니라 기초 기능을 촉진하는 것이어야 한다고 제안하고 있다(NCTM 2000, p 25; Latterell, p 159, 재인용) CMP2 교육과정과 CMP2 교과서의 내용 미국과학재단(NSF)은 NCTM 규준에 맞는 수학교육과정을 개발하기를 원하는 수학 교육자들에게 연구비를 지원하여 NCTM-지향 교육과정을 개발하였는데13), 중학교 수준의 개혁 교육과정들은 아래 와 같다 중학교 수준의 NCTM-지향 교육과정의 예로는 Connected Mathematics(Connected Mathematics Project), Mathematics in Context(the development of an "achieved" curriculum for middle school), MATH Thematics(Six through Eight Mathematics, STEM), Pathways to Algebra and Geometry(Middle Grade Mathematics through Applications Project), MathScape(Seeing and Thinking Mathematically)가 포함된다(Latterell, 2004, p 165) 이들 교육과정 중에서 본 연구의 주제인 CMP에 대하여 살펴보기로 한다 가 CMP2 교육과정과 교과서에 대한 전반적 이해 CMP는 James T Fey(University of Maryland), William M Fitzgerald(Michigan State University, Deceased), Susan N Friel(University of North Carolina), Glenda Lappan(Michigan State University), Elizabeth Difanis Phillips(Michigan State University)에 의하여, 1991-1996년과 2000-2006년에 NSF의 지원으로 개발된 중학교 수학과 교육과정으로 학생들과 교사들이 수, 기하, 측 정, 대수, 확률과 통계에서 중요한 수학적 개념들과 숙련들, 과정들, 사고하고 추론하는 방법들을 이 해하는 것을 개발하는데 도움을 준다 CMP는 문제 기반 교육과정이며, 다양한 지역의 약 4만 5천명 의 학생들과 390명의 교사들을 대상으로 현장실험을 거쳤다 CMP 관련 연구와 보고서들은 문제해결 능력의 시험에서 CMP 교육과정들이 비 CMP 교육과정보다 우수하다는 것을, 그리고, 기능 시험에서 는 비 CMP 교육과정보다 우수하거나 대등할 뿐만 아니라, Lisa Maria Covington Clarkson(2001)의 연구 결과에 의하면 CMP 교육과정은 6-8학년을 대상으로 하는 3년간의 과정이므로 장기간 사용하 13) 물론, NCTM-지향 교육과정 중에는 NSF의 지원과는 무관하게 개발된 것도 있다(Latterell, 2004, p 165) 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰 127 면 훨씬 더 효과적이라고 한다 이 교육과정은 NCTM(1989, 2000)의 연결성 규준에 특히 초점을 맞 춘 것으로 6학년부터 8학년을 대상으로 하며, NCTM(2000)에 제시된 연결성 규준은 다음과 같다 연결성 규준은 학생들이 수학적 아이디어 간의 연결성을 인식하고 활용하며, K-12학년 수학 교육과정 을 연결되고 통합된 전체로서 이해하고, 일상생활을 포함하여 수학이 아닌 다른 과목들과의 연결성을 알 수 있어야 한다(NCTM 2000) Latterell(2004, pp 168-170)의 내용과 CMP 교수모형(2009)에서 소개한 내용을 요약하면 CMP의 학년별 교육과정은 8개의 단원으로 구성되어 있는데, 이 단원들은 수, 기하, 측정, 대수, 확률, 통계와 같은 내용들을 취급한다 이 교육과정에서는 먼저 학생들에게 문제 상황을 제시하면, 학생들은 개인 이나 소집단으로 수학을 탐구하고, 논의하며 그 결과를 기록하는 방식으로 진행된다 하루의 수업은 세 단계의 과정으로 진행되는데, 폴리아(Polya)의 문제해결 단계와 유사하다 1단계의 도입(Launch) 단계에서 교사는 전체 학급을 대상으로 수업상황을 도입하며 문제에 대한 학생들의 이해와 수학적 맥락을 돕는 발문이 포함된다 교사는 새로운 아이디어와 정의를 소개하고, 배운 개념들을 복습시키 고 학생들의 과거 문제해결 경험과 연결시킨다 2단계의 탐구(explore) 단계에서 학생들은 개별 활동, 짝 활동, 소그룹 활동, 때로는 전체 활동을 하며, 교사는 안내자가 되어서 궤간 순시를 한다 마지막 으로 3단계의 정리(summary) 단계에서 교사는 전체 논의를 통하여 수업을 하는데 이 단계에서 교사 는 문제에 대한 수학적 목표에 도달하도록 안내해야하고, 학생들이 새롭게 이해한 것과 수학적 목표 를 연결시켜 주어야 한다 이 단계에서 학생들은 학생들이 문제를 해결하기 위해 사용했던 전략들과 본인들이 해결한 해를 제시하고 토론하면서 자료를 조직하고 해를 찾는다 토론하는 동안에 교사는 주어진 문제에서 수학의 개념적 이해를 신장시키고 학생들의 전략을 더 효율적으로 세련시키고 기법 이나 알고리듬을 일반화 할 수 있도록 도와야 한다 이 세 단계(도입, 탐구, 정리)는 일년 내내 반복 되며, Connected mathematics에서는 계산기를 항상 사용할 수 있어야 한다는 철학에 따라 계산기의 사용을 중시하며, 계산기는 주로 복잡한 계산과 방정식을 해결하는데 사용되는데, 7학년에서는 그래 핑 계산기의 사용하고 6학년에서는 그래핑 계산기가 아닌 일반 계산기를 사용한다 Connected mathematics에서 학생들은 강의를 들으면서 수학을 학습하는 것이 아니라, 문제를 해결하는 과정에 서 수학을 학습한다 학생들은 문제와 해결방법에 대하여 사고하고 그것을 친구들과 논의한다 모든 문제는 다양한 해결 방법을 갖고 있는 것들이다 전통적 교육과정에서는 학생들에게 둘레와 넓이를 구하는 공식을 직접 가르쳤다 교사가 그 공식을 정당화하기 위하여 노력했더라도, 전통적 교육과정 에서는 학생들이 그것을 “발견”한 것이 아니다 물론, 이러한 과정을 거치기 위해서는 많은 시간이 요구된다 그러나 스스로 발견한 것을 훨씬 더 쉽게 기억한다는 것은 분명한 사실이다 나 초등학교에서 배우는 내용과 CMP 교육과정 내용과의 관계 다음 내용은 Transition(2009)의 내용을 번역한 내용이다 CMP 저자들은 6학년에 입학하는 학생들 이 범 자연수에 대한 깊은 이해와 기능들을 갖고 있으며, 또한 그들은 유리수, 기하, 측정, 확률과 통 128 김해규 계에 대한 개념과 과정에 대한 기초지식을 가지고 있다는 가정 하에 교육과정을 개발하였다 6학년 의 첫 단원인 Prime Time은 범자연수의 인수와 배수에 대한 이해를 위해 개발되었는데, 교사들이 범 자연수에 대해 학생들이 갖고 있는 지식을 평가하고, 또 범자연수에 대한 학생들의 이해를 더 강 화하기 위해 개발되었다 Bits & Pieces I, II, III의 세 단원은 유리수들의 연산과 동치의 더 정교한 이해를 위해 개발되었으며, Shapes and Design 단원은 도형에 대한 깊은 이해를 다룬다 Covering and Surrounding 단원은 면적과 둘레의 길이에 대한 알고리즘과 이해를 돕기 위해 개발되었으며, How Likely Is It?와 Data About Us 단원들은 확률과 통계 학습을 위해 개발되었고, Ruins of Montarek 은 2차원과 3차원 도형에서 공간시각화 기능을 개발하기 위해서 개발되었다 대수적 사고 는 대부분의 6학년 단원에서 함축되어있다 특히, 학생들은 관계들과 과정들을 배우고, 원의 면적과 분수 덧셈의 알고리즘과 같은 공식에서의 이들 관계와 과정들을 표현할 수 있다 다 CMP2 교육과정 아래의 내용은 CMP 홈페이지에서 제공하는 자료 중, 본 연구자가 Mathematics Learning(2009)의 내용을 번역하였으며, 필요에 따라 적절하게 편집하였다 Mathematics Learning은 내용 규준과 과정 규준인 수학 영역들에 대한 목표와 각 단원에 대한 내용 목표로 구성되어 있다 1) 내용 규준 Connected Mathematics(이하, CM)에서는 수, 기하와 측정, 자료 분석과 확률, 대수 영역의 4개영 역에 대하여 개발한다 각 영역별 수학적 학습 목표들은 8학년말까지 학생들이 할 수 있어야만 하는 것들이다 가) 수영역의 CMP2 규준: CM에서 수와 관련된 추론능력 개발 수영역에서는 수에 대한 지대한 영향을 미칠 아이디어들 즉, 여러 가지 방법으로 어떻게 수들의 양을 표현하는가와 그들의 표현에 대한 이유를 어떻게 아는가를 개발 한다 특별한 단원은 알고리즘 들과 능숙한 기법들을 개발하는데 중점을 두며, 분수의 나눗셈에 대한 알고리즘들을 개발하되, 모델 들을 사용하고 또 비례적인 추론을 할 수 있는 학생들의 능력을 요구한다 즉, 알고리즘들을 사용한 계산하기와 양들에 대한 추론하기는 상호보완적인 아이디어들이다 (1) CMP2 수영역에서의 전반적인 목표 8학년 말에 수영역에서, 아래의 수학적 학습 목표들을 학생들이 할 수 있어야 한다 (가) 수 감각(Number Sense) 여러 가지 형태로 수를 사용하여 문제를 해결 할 수 있다 (6, 7, 8) 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰 131 (1) CMP2의 기하와 측정 규준에 대한 전반적 목표 8학년 말에 기하와 측정 영역에서, 아래의 수학적 학습 목표들을 학생들이 할 수 있어야 한다 (가) 모양(형(形))들과 그들의 성질들 각, 선, 2차원과 3차원의 도형의 중요한 예들을 만들어 낼 수 있다 (6) 표현의 다양성 관점에서 도형들을 범주화하고, 정의하고 관계 지울 수 있다 (6, 7) 왜 어떤 도형들이 특수한 목적에 사용되는가에 대한 이유와 함께 도형들이 건설에 사용되는 원리 이해할 수 있다 (예를 들면 트러스에서 삼각형) (6) 여러 가지 2차원 표현으로부터 3차원 도형을 시각화하고 만들 수 있으며, 그 반대로도 할 수 있다 (6) 도형과 도형의 성질을 인식하여 사용하고 수학적 논쟁을 할 수 있고 문제도 해결할 수 있다 (6, 7, 8) 특수한 삼각형들(예: 직각 이등변 삼각형)의 성질들과 피타고라스의 정리 사용하여 문제들을 해결 할 수 있다 (8) 좌표 격자를 사용하여 도형사이의 관계들을 조사하고 설명할 수 있다 (7, 8) 표준의 필수적인 기하 용어를 알고 사용할 수 있다 (6, 7, 8) (나) 변환-대칭, 닮음과 합동 선대칭, 회전대칭 및 변환대칭을 이해하고 사용하여 문제들을 해결할 수 있다 (6, 8) 비나 비례 상수를 사용하여 닮은 도형들을 만들거나 두 개 또는 그 이상의 도형들이 닮음 또는 합동인가 아닌가를 결정할 수 있다 (7) 닮음과 합동변환의 방법을 예측하여 선, 각도, 둘레, 면적, 부피와 회전사이의 관련성을 이해할 수 있다 (7, 8) 도형에 관한 하나 혹은 더 많은 변환들을 결합하는 효과를 조사할 수 있다 (8) 합동 삼각형이나 합동 사각형을 사용하고 인식하여 도형과 측정에 관한 문제를 해결할 수 있다 (6, 8) 닮은 도형의 성질을 사용하여 도형과 측정에 관한 문제를 해결할 수 있다 (7) 좌표 격자를 사용하여 닮음과 합동 관계를 증명하고 탐구할 수 있다 (7, 8) (다) 측정 도형과 현상의 속성을 측정하는 의미를 이해할 수 있다 (6) 도구나 공식을 사용하여 각, 선분, 넓이, 부피를 측정하고 어림할 수 있다 (6, 7) 다각형에서 각도와 변의 길이간의 관계를 알 수 있다 (6) • 사각형, 평행사변형, 삼각형, 원, 불규칙 도형의 넓이와 둘레의 길이를 구할 수 있다 (7) • 직육면체, 원기둥, 각기둥, 원뿔과 각뿔의 부피와 겉넓이를 구하고, 구의 부피도 구할 수 있다 (7) 132 김해규 • 측정의 미터법 체계와 관례적 체계를 이해할 수 있으며, 측정 단위 사이의 관계를 이해하고, 같 은 체계 내에서 하나의 단위를 다른 단위로 전환할 수 있다 (6, 7) • 비와 비례를 사용하여 간접적인 측정(: 속도와 농도와 같은 속성의 유도된 측정과 비율이 포함 된 문제)을 유도할 수 있다 (7) • 측정 개념들을 사용하여 문제해결을 할 수 있다 (6, 7, 8) (라) 기하적 연결 기하적 개념들을 사용하여 수학의 다른 영역에서의 개념들을 이해할 수 있다 (6, 7, 8) 기하적 개념들과 수학의 다른 영역내의 개념들과 연결시킬 수 있다 (6, 7, 8) (2) 기하 및 측정영역에서 개발된 단원들은 다음과 같다 (가) Shapes and Designs (6학년 3단원) (나) Covering and Surrounding (6학년 5단원) (다) Ruins of Montarek (6학년 8단원) (라) Stretching and Shrinking (7학년 2단원) (마) Filling and Wrapping (7학년 6단원) (바) Looking for Pythagoras (8학년 2단원) (사) Kaleidoscopes, Hubcaps and Mirrors (8학년 5단원) (아) Shapes of Algebra (8학년 7단원) CMP2에서 기하단원은 7개가 있는데, 비록 그들의 초점이 주로 수나 대수에 관한 것이지만, 기하 적 사고를 개발하는 단원들도 있다 예를 들면, 8학년 7단원 Shapes of Algebra는 주로 대수적인 초 점이지만, 대수와 기하 간의 강력한 연결성들로부터 그것의 힘을 얻는다 (3) CMP2의 기하 및 측정 영역에서 단원의 배치 CMP2의 기하영역에서 설명되는 모든 중요한 아이디어들은 학생들의 발달 수준에 적절한 초기 개 발을 하기위해서 그리고, 이미 배운 다른 단원들과 생산적으로 연결시키기 위해서, 신중하게 배치되 어졌다 예를 들면, CMP2에서 기하적 아이디어들에 대한 공식적인 학습은 6학년 3단원 Shapes and Designs에서 시작하는데 한 도형의 성질들에 관한 아이디어가 소개되어 있다 실세계의 중요한 특징 인 시각적 특징과 도형들에 대하여 인식하고, 배열하고, 분석하고, 측정하고, 추론하기 위한 능력을 개발하기 위해, 비형식적으로 정다각형과 비정다각형을 비교하고, 어떤 다각형-가령 등변 또는 평행 선들-의 성질들을 인식하기 시작한다 7학년 2단원 Stretching and Shrinking에서는 도형들의 성질에 관한 닮음 변환의 효과를 조사하고, 6학년 5단원 Covering and Surrounding과 7학년 6단원 Filling and Wrapping에서는 여러 가지 다각형 또는 각기둥의 겉넓이와 부피를, 8학년 2단원 Looking For 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰 133 Pythagoras 단원은 직각삼각형의 특별한 성질에 관한 것이며, 마지막 기하단원인 8학년 5단원 Kaleidoscopes, Hubcaps and Mirrors에서는 학생들이 끊임없이 도형의 닮음과 합동에 대한 조건들과 특수한 기하적 모양들의 성질들에 대한 형식적인 방법으로 추론하기 위해 일차변환의 개념들을 사용 하며, 하나의 도형이 가질 수도 있는 다른 성질로서 대칭을 인식하는 것을 배운 다음, 대칭들에 관한 형식적인 정의들을 만드는 것을 배운다 측정과 관련된 첫 단원은 6학년 5단원 Covering and Surrounding인데, 여기서는 면적과 둘레에 중점을 두며, 7학년 6단원 Filling and Wrapping에서는 곡면적과 부피의 측정에 중점을 둔다 8학년 2단원 Looking for Pythagoras에서 삼각형의 변들의 길이와 정사각형의 면적들은 중요한 아이디어들 이다 8학년 5단원 Kaleidoscopes, Hubcaps and Mirrors에서는 한 축이나 회전의 중심으로부터의 거 리의 측정이 중요한 역할을 한다 공간 시각화는 기하와 기학적 추론의 중요한 측면이다 그러나, 이것은 중학교 수학교육과정에서 종종 가볍게 다루거나 완전히 무시되어진다 ‘Ruins of Montarek’은 풍부하고, 직접해보는 문제 상황 을 통하여 학생들의 공간시각화 기량들을 개발한다 학생들은 닮음과 일차변환들에 대한 이해를 개 발함에 따라, 시각화 기량을 계속해서 사용한다 많은 목표들이 동일 학년이나 뒤의 학년에서 나중의 단원들, 또는 classroom problems 내에서나 the Connections problems in the ACE 숙제에 다시 등장되어진다는 것을 아는 것은 중요하다 한편, 초점이 비기하적인 단원들은 이들 기하 단원들 사이에 배치되어 있으며, 기하적 아이디어들 의 연결성과 분산학습을 배치하였다 실제로 기하적 아이디어들은 종종 도구로 사용되는데, 비기하단 원에서 더 잘 이해하기위해서, 예를 들면, “직사각형의 면적”은 8학년 4단원 Frogs, Fleas and Painted Cubes의 다항식의 곱셈 또는 두개의 독립사건들에 대한 확률을 다루는 7학년 7단원 What Do you Expect를 이해하는 아주 유용한 모델이다 각 단원의 목표들은 ‘ Mathematical Help section lists the goals for each unit.’에서 이용할 수 있다 다) 자료 분석 및 확률 영역(Data Analysis and Probability Strand)의 CMP 규준 CM에서의 자료 분석 및 확률 영역: 자료 분석 분야에서는 두 가지 다른 주제인 ‘불확실성을 포함 하는 상황에 대한 질문과 답하기’ 및 ‘자료 분석’을 다룬다 (1) CMP 자료 분석 및 확률영역에서의 전반적 목표 8학년 말에 자료 분석 및 확률 영역에서 학생들이 할 수 있어야 하는 것들이다 (가) 질문 만들기 자료 수집과 분석을 통하여 답이 될 수 있는 문제를 만들 수 있다 (6, 7, 8) • 자료 수집 전략을 설계하여 이들 문제들의 답을 얻기 위하여 자료를 수집할 수 있다 (6, 7, 8) • 실험과 시뮬레이션 설계하여 확률상황에 대한 가설을 검증 할 수 있다 (8) 134 김해규 (나) 자료 수집 자료 수집 전략들을 수행하여 문제의 답을 구할 수 있다 (6, 7, 8) • 표본과 모집단의 구별할 수 있다 (8) • 무작위로 추출된 표본들이 대표성을 갖는가, 갖지 못하는가에 대한 특성을 기술할 수 있다 (8) • 이런 특성들을 사용하여 자료의 질을 평가할 수 있다 (8) (다) 자료의 분석 • 자료를 조직하고 분석하고 설명하여, 결정을 내리고, 논쟁을 만들고, 예측할 수 있다 (6, 7) 중심 경향과 산포도를 시용하여, 자료 집합들을 비교하고 설명할 수 있다 (6, 7) • 막대그래프, 꺽은 선 그래프, 좌표 그래프, 박스그래프, 히스토그램, 줄기-잎 그림과 같은 자료 표현들을 선택하고, 만들어 내고 읽을 수 있다 (6, 7) • 자료 집합들 간의 유의미 한 차이를 비형식적으로 평가할 수 있다 (7, 8) • 표본들로부터 정보를 사용하여 모집단에 대한 결론을 이끌어 낼 수 있다 (8) (라) 확률 이론적인 확률과 실험적인 확률을 이해하고 그들 사이의 관계를 이해할 수 있다 (6) • 확률 개념을 사용하여 결정을 내릴 수 있다 (6) • 기댓값을 이해하고 설명할 수 있다 (7) • 2단계 결과들을 포함하는 여러 가지 결과들의 변화들을 계산하고 비교할 수 있다 (7) • 다양한 전략을 사용하여 확률과 조합적인 문제들에서 결과들을 셀 수 있다 (2) 자료 분석 및 확률영역에서 개발된 단원들은 다음과 같다 (가) Data About Us? (6학년 8단원) (나) How Likely is It? (6학년 7단원) (다) What you Expect? (7학년 7단원) (라) Data Distributions (7학년 8단원) (마) Samples and Populations (8학년 8단원) (바) Data Around Us (Grade 7) @ 2004 (사) Clever Counting (Grade 8) @ 2004 (3) CMP2의 자료 분석 및 확률 영역에서 단원의 배치 CMP2의 자료 분석 및 확률영역에서는 5개 단원이 있으며 설명된 모든 아이디어들은 학생의 발달 단계에 적절한 초기의 발달을 가능하도록 신중하게 배치하였고, 또한 이미 학습한 다른 단원에 생산 적으로 연결되도록 신중하게 배치하였다 예를 들면, ‘Data About Us’와 ‘How Likely Is It?’은 6학년 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰 135 에서 마지막에 학습하도록 하였다 그렇게 함으로서, 그들은 6학년 Bits and Pieces 단원에서 배운 분수, 소수 및 퍼센트에 대한 수들의 기법들을 연습하고 복습하고 적용시키는 장점을 취득할 수 있 다 How Likely is It?은 자료 분석 및 확률영역에서 첫 단원인데, 이 단원에서는 확률에 대한 추론 과 확률을 이해하기위한 학생들의 능력을 개발할 것이다 학생들은 실험적 확률과 이론적 확률을 이 해할 수 있으며, 그들 사이의 관계도 이해하게 된다 학생들이 시뮬레이션에 의지해야만 할 때, 그들 은 이론적 확률을 계산하기 위하여 적용할 수 있는 공식들의 상황을 인식하는 것을 배운다 자료 분석에 관한 첫 단원은 ‘Data About Us’이다 자료 분석 영역에서의 탐구된 질문들의 유형은 우리 주위의 세계에 대한 대단히 실용적인 질문들로 구성되었다 자료 분석 영역에서 학생들은 물리 및 사회과학 연구에서 현재 사용되는 아이디어들이나 어휘와 마찬가지로 뉴스 보고서에서 보통 사용 하는 아이디어들에 편안해지기 위한 기회를 가진다 많은 통계 및 확률의 목표들은, 수업 문제 내에서나 혹은 ACE 가정 숙제에서 the Connections problems에서 동 학년이나 다음 학년의 후속단원에서 재사용되어진다는 것을 알게 되는 것은 매우 중요하다 ‘자료 분석’에서 초점이 되지 않은 내용들은 이들 ‘자료 분석’과 ‘확률’ 단원사이에 삽입되었다 그 리고 ‘자료 분석에 대한 아이디어’들의 연결성들과 분산학습은 계속해서 나타난다 예를 들면, 7학년 ‘수 단원’인 ‘Comparing and Scaling’에서는 비율, 백분율, 차를 사용함으로서, 측도들 간의 비교하기 가 중심 아이디어인데, 이 단원의 한 ‘ACE question’에서 이들 아이디어들은 ‘자료 분석 맥락들’에 신 중하게 연결되어져 있다 예를 들면, 학생들은 하나의 ‘확률에 관한 Connections 문제’에서, ‘How Likely is It?’의 한 아이디어인 ‘이론적인 확률과 실험적인 확률’을 비교한다 그리고, 확률에 대한 학 생들의 이해들과 비 들과의 관계를 규명한다 3그룹으로 쌓여진 자료를 비교하는, ‘한 ACE question’ 에서 막대그래프가 만들어 진다 이 그래프는, 학생들이 ‘Data About Us’에서 시작된 자료 표현의 레 퍼토리를 확장하고 비교하기 위해서 백분율을 사용하기를 요구한다 마찬가지로, 7학년과 8학년의 다 른 단원에서도 자료 분석과 확률에 관한 아이디어들을 연습하고 복습한다 8학년 마지막 단원은 조합과 순열 단원인 ‘Clever Counting'이다 이 단원은 ‘수’ 단원이지만, 비록 CMP2의 목록에는 언급되어 있지는 않지만, 확률 공부와 매우 밀접하게 연관되어 있다 각 단원의 특별한 목표들에 관한 분명한 아이디어를 가지기 위해서, 각 단원의 명시된 목표들은 ‘Mathematical Help'에서 이용할 수 있다 라) CMP2 대수 영역 규준: CM에서의 대수적 추론 개발 CM의 대수 영역 규준은 상징적 조작을 뛰어 넘는 대수에 대한 학생 관점을 신장시키는 것과 교 육과정을 통하여 학생들을 많은 다른 맥락에 있는 문제에 적용함에 있어서 대수적 추론 기회들을 제 공하는 것을 목표로 한다 CM에서의 대수에 관한 개발은 NCTM 2000 규준에서의 권고와 대부분의 주 체제에 일치한다 CM에서의 대수는 양적인 변수들 사이의 관계를 해석하고, 표현하기 위한 학생 들의 능력을 개발하는 것을 최우선 목표로 삼고 있다 이런 관점에 따라, 변수는 모르는 수를 나타내 136 김해규 는 문자가 아니라, 차라리 다른 양 내에서 변화에 대응하는 대상들, 패턴들, 또는 상황들의 양적인 속성들이다 그런 상황에서 수학적 해석의 가장 중요한 목표는 변수에서 변화의 패턴들을 예측하고 이해하는 것이다 대수의 문자들, 상징적 등식이나 부등식은 변수들 사이의 관계에 대하여 우리가 이 해하기를 원하는 것 또는 우리가 아는 것을 표현하는 도구이다 대체 가능한 동치형태들에 대한 상 징적 표현들을 조작하기위한 대수적 과정들은 변수들 사이의 관계에 대한 통찰의 목표를 위한 수단 이다 (1) CMP2의 대수 영역의 전반적 목표 8학년 말에 대수 영역에서 학생들이 할 수 있어야 하는 것들이다 (가) 변화의 규칙성들-함수들 변수들을 이해하고 사용하고 문제를 해결하거나 결정을 내리기 위하여 양적인 변수들 간의 관계 를 설명할 수 있다 (7, 8) 선형함수, 역함수, 지수함수 그리고 2차함수와 관련된 변화의 패턴들을 구별하고 인식할 수 있다 (7, 8) (나) 표현 표, 그래프, 기호와 말로 설명하고, 변수들의 변화의 패턴을 설명하고 예측할 수 있다 (7, 8) 표, 그래프, 기호와 말로 설명하는 것을 자유롭게 할 수 있다 (7, 8) 각 표현의 편리한 점과 불편한 점을 설명하고, 이들 설명을 사용하여 문제를 해결할 때 선택할 수 있다 (7, 8) 변수들을 포함하는 상황의 수학적 모델로써 일차, 역, 지수방정식, 이차방정식과 부등식을 사용할 수 있다 (7, 8) (다) 기호적 추론 방정식과 문제 상황들을 연결할 수 있다 (7, 8) 일 변수 방정식을 푸는 것과 함수의 특별한 값을 찾는 것을 연결할 수 있다 (8) 기호적 방법을 사용하여 일차 방정식과 부등식, 간단한 이차 방정식을 해결할 수 있다 (7, 8) 분배법칙과 교환법칙의 성질을 사용하여 동치 표현과 동치 방정식을 나타낼 수 있다 (8) 간단한 이차 방정식의 인수분해를 포함하는 방정식의 다양한 종류의 동치 식을 구할 수 있다 (7, 8) 연립 일차 방정식을 해결할 수 있다 (8) 그래프 그리기 방법으로 일차 부등식을 해결할 수 있다 (8) 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰 137 (2) 대수 영역에서 개발된 단원들은 다음과 같다 (가) Variables and Patterns (7학년 1단원) (나) Moving Straight Ahead (7학년 5단원) (다) Thinking with Mathematical Models (8학년 1단원) (라) Looking for Pythagoras (8학년 2단원) (마) Growing, Growing, Growing (8학년 3단원) (바) Frogs, Fleas and Painted Cubes (8학년 4단원) (사) Say it with Symbols (8학년 6단원) (아) Shapes of Algebra (8학년 7단원) 대수 영역에는 7개 단원이 있는데, 주요 내용은 기하와 관련된 아이디어이지만, 초점은 거의 대부 분 대수적인 내용인 8학년 2단원 Looking For Pythagoras를 포함시키면 8개 단원이 된다 게다가 비 록 수나 기하와 관련된 내용이 주를 이루지만 대수적 사고를 개발시키는 단원들도 있다 예를 들면, 7학년 3단원 Comparing and Scaling단원에서는 비례 추론을 개발하고 학생들은 여러 가지 방법으로 비례문제들을 푸는 것을 배우고, 7학년 4단원 Accentuate the Negative 단원에서는 음수, 정수, 유리 수, 연산들의 순서 및 어떤 수들의 성질을 소개하는데, 이런 주제들이 종종 대수 교육과정의 부분으 로 간주되어진다 (3) CMP2의 대수 영역에서 단원의 배치 CMP2의 대수 영역에서 설명된 모든 중요한 아이디어는 학생들의 발달 수준에 적절한 초기 개발 을 위해서, 또한 이미 학습한 다른 단원들과 생산적으로 연결시키기 위해서 신중하게 배치되어져 있 다 예를 들면, 대수적 개념에 대한 수업은 7학년 단원에서 시작하지만, 학생들은 6학년에서 변수사 이의 관계를 공부하기 시작한다 7학년 1단원 Variables and Patterns를 배우기 전에 6학년 학생들은 단어, 그래프, 표들 사이에서, 기호들과 함께 형식화된 패턴이나 관계들을 형식화하고 조사하는 기회 들이 있다 “방정식 풀기”에 대한 아이디어는 7학년 5단원 Moving Straight Ahead에서 정식으로 나 오는데, 학생들은 6학년의 모든 분수 단원(Bits and Pieces I, II, III)에서 수를 문장으로 써보았으며, fact families를 사용함으로서 미지수를 해결해보았다 이 "fact family" 전략은 7학년 4단원 Accentuate the Negative에 연속되어져 있고, 학생들은 방정식의 해가 음의 유리수인 방정식도 풀어 보았다 또한, 7학년 1단원 Variables and Patterns에서 학생들은 2개의 변수사이의 관계에 대한 방정 식을 만들고, 특별한 질문의 답이 되는 해를 가진 1변수 방정식을 나타내기 위해, 2변수 방정식을 조 정한 뒤, 표나 그래프 방법을 사용하여 2변수 방정식을 해결한다 7학년 5단원 Moving Straight Ahead에 학생들이 도달할 때가 되면, 선형방정식을 도표, 그래프, 상징적인 방법을 사용하여 만들고 풀 준비가 충분히 되어 있다 138 김해규 많은 대수의 목표들은, 수업 문제 내에서나 혹은 ACE 숙제인 the Connections problems에서 동 학년이나 다음 학년의 후속단원에서 재사용되어진다 “방정식 풀기”는 7학년 5단원 Moving Straight Ahead에서 공식적으로 도입되지만, 선형 또는 비선형 방정식을 다루는 8학년 1단원 Thinking With Mathematical Models에서 다시 사용되고, 8학년 3단원 Growing, Growing, Growing에서 학생들은 지수 방정식을 해결하고, 8학년 4단원 Frogs, Fleas, and Painted Cubes 에서 2차 방정식을 해결한다 8학년 6단원 Say it with Symbols에서 학생들은 2차 방정식뿐만 아니라 좀 복잡한 선형 방정식을 해결한 후, 8학년 7단원 Shapes of Algebra에서 선형방정식을 풀기위해 배웠던 그 기법을 2변수계의 방정식과 선형 부등식을 풀기 위해 적용한다 한편, 초점이 대수적인 아닌 단원들은 대수적인 단원 사이에 배치되어지고, 대수적 아이디어들의 연결성과 긴 간격을 두고 시행하는 분산학습이 계속 된다 각 단원의 특별한 목표들에 관한 분명한 아이디어를 가지기 위해서, 각 단원의 명시된 목표들은 ‘Mathematical Help'에서 이용할 수 있다 2) 과정 규준 가) 문제해결 규준: 모든 단원에서 CM은 문제-중심 교육과정이므로 문제해결은 모든 단원에서 중 요하다 나) 추론과 증명 규준: 모든 단원에서 교육과정 전반에 걸쳐 학생들은 패턴을 찾고, 추측을 하고, 학생들의 추측에 대한 증거를 제공하고, 학생들의 추측과 전략들을 정교화하고, 학생들의 지식을 연 결하고, 학생들이 찾아낸 것을 확장하는 것을 장려해야 한다 학생들이 6학년에서 8학년을 거침에 따 라, 비형식적인 추론들이 더 연역적인 논쟁으로 발전해야 한다 다) 의사소통 규준: 모든 단원에서 다른 사람들과 아이디어들을 의사소통하라 학생들이 수업 중 문제를 토론하는 것, 학생들의 풀이에 대해서 이야기하기, 학생들의 추측과 전략들을 형식화하기, 보 다 더 일반적인 청중에게 학생들을 아이디어를 의사소통하는 것을 배우는 것을 강조한다 학생들의 아이디어, 풀이, 설명, 그래프, 표와 질문에 사용한 전략을 표현할 수 있다 라) 연결성 규준: 모든 단원에서 수학적 내용은 다른 단원, 수학의 다른 영역, 타 교과목과 실세계 의 응용에 연결되어진다 사전 지식을 구성하고 연결하는 것은 새로운 수학적 지식을 구성하고 보유 하는데 중요하다 마) 표현 규준: 모든 단원에 걸쳐 학생들은 말, 사진, 그래프, 표와 기호를 사용하여 정보와 아이디 어에 대하여 의사소통하고 조직하고 기록할 수 있다 학생들은 주어진 상황에 대한 적절한 표현을 선택하고 해석할 수 있다 또한 학생들을 여러 가지 형태로 제시된 정보를 설명할 수 있다 라 CMP2 교과서의 학년별, 단원별 다루는 주제 아래의 내용은 Brief Description(2009)의 내용을 번역하였으며, CMP2 교과서에서 학년별로 다루 는 제시된 주제를 단원별로 살펴보면 다음과 같다 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰 139 1) 6학년 6학년 단원별 내용 학년 단원명 Prime time : Factors and Multiples Bits and Pieces I : Understanding Rational Numbers Shapes and Designs : Two-Dimensional Geometry 다루는 주제 인수, 배수, 소수(primes), 합성수, 소인수 분해에 관한 수 론 분수, 소수(decimals), 백분율의 이해, 유리수들의 크기와 순서 비교, 동치 분수 정 n각형과 부정 n각형(non-regular polygons), 삼각형, 사 각형, 각도, 각의 합, 타일 깔기, 삼각부등식의 특별한 성 질들 Bits and Pieces II 분수의 사칙연산 이해와 기능 숙달하기 6학년 : Understanding Fraction Operations Covering and Surrounding 최소와 최대를 포함하는 넓이와 둘레의 관계, 공식을 포함 : Two-Dimensional Measurement 하는 다각형과 원의 넓이와 둘레 Bits and Pieces III 소수의 사칙연산 이해와 기능 숙달하기와 백분율 문제 해 : Computing With Decimals and Percents 결하기 How Likely Is It? 불확실성에 대한 추론, 실험적 확률과 이론적 확률 계산하 : Probability 기, 확률이 같은 결과들과 확률이 같지 않은 결과들 Data About Us 문제를 만들기; 자료를 수집하고, 조직하고, 표현하고, 분 : Statistics 석하기; 자료로부터 결과를 해석하기; 중심 경향과 범위 2) 7학년 7학년 단원별 내용 학년 단원명 다루는 주제 Variables and Patterns 변수; 표, 그래프, 말 및 기호를 포함하는 관계의 표현하기 : Introducing Algebra Stretching and Shrinking 닮음 도형; 배율14); 변 길이의 비율; 기본적 닮음 변환 및 : Similarity 그들의 대수적 규칙 Comparing and Scaling 비와 비율; 비교하기; 비례 추론; 비례식 풀기 : Ratio, Proportion, and Percent Accentuate the Negative 양의 정수와 음의 정수, 유리수의 이해 및 모델링하기; 연 : Positive and Negative Numbers 산; 연산의 순서; 분배법칙; 4상한 상에서 그래프 그리기 7학년 Moving Straight Ahead 표, 그래프, 말 및 기호들에서 선형 관계를 인식하고 표현 : Linear Relationships 하기; 일차방정식을 해결하기; 기울기 Filling and Wrapping 공간적 시각화, 여러 가지 입체 도형의 부피와 겉넓이, 부 : Three-Dimensional Measurement 피와 겉넓이 사이의 관계 What Do You Expect? 기댓값, 2단계 결과들의 확률 : Probability and Expected Value Data Distributions 평균 구하기, 자료의 변산도, 자료의 크기가 동일하거나 : Describing Variability and Comparing 다른 분포의 비교하기 Groups 14) 어떤 수치 자료를 일정한 범위에 넣기 위하여 선택된 승수, 또는 나뉨수로 쓰이는 수이다 예를 들어, 423, 김해규 140 3) 8학년 8학년 단원별 내용 학년 단원명 Thinking With Mathematical Models : Linear and Inverse Variation Looking for Pythagoras : The Pythagorean Theorem Growing, Growing, Growing : Exponential Relationships Frogs, Fleas and Painted Cubes : Quadratic Relationships Kaleidoscopes, Hubcaps and Mirrors 8학년 : Symmetry and Transformations Say It With Symbols : Making Sense of Symbols Shapes of Algebra : Linear Systems and Inequalities Samples and Populations : Data and Statistics 다루는 주제 함수와 모델링 소개; 직선의 등식 구하기; 역함수; 부등 식 제곱근; 피타고라스의 정리; 좌표, 기울기, 거리와 넓이사 이의 연결; 평면에서의 거리 표, 그래프, 단어 및 기호에 있어서 지수적인 증가와 감 소를 인식하고 표현하기; 지수 법칙; 과학적 표기법 표, 그래프, 단어 및 기호에 있어서 이차 함수를 인식하 고 표현하기; 간단한 이차식의 인수 디자인들의 대칭, 대칭변환(평행이동, 대칭이동, 회전이 동), 합동, 삼각형의 합동에 대한 규칙들 (연산의 순서, 선형, 이차식의 동치 표현) 등치법, 대입법과 가감법, 이차 등식을 풀이하기, 이차식 의 근의 공식 사용하기 좌표 기하, 부등식 풀기, 일차방정식의 표준형, 연립 일 차 방정식과 연립 일차 부등식 풀기 모집단에 대해 추론하기 위해서 표본을 사용하고, 예측 하고, 표본들과 표본의 분포들을 비교하고, 자료 집합의 속성 사이의 관계를 비교할 수 있다 마 CMP1 교과서와 CMP2 교과서에서의 수업 시수 비교 아래의 내용은 Lappan, Fey, Fitzgerald, Friel, and Phillips(2002)와 Lappan, Fey, Fitzgerald, Friel, and Phillips(2006)를 참고하여 아래의 수업 시수를 분석하였으며, 소경희, 채선희, 정미경(2000, p 159)에 의하면 2000년도 미국 일리노이주의 교육과정 편제 및 수학교과영역의 주당 시간은 6, 7, 8학 년의 경우 225시간씩이며, 주당 수업시간은 6, 7, 8학년 모두 25시간(1500분)씩 임을 참조하여 아래의 분석 자료를 볼 것을 추천한다 656, 759라는 값의 집합을 1과 -1 사이에 들어가도록 하려면 눈금 인수 1/1000을 사용하면 된다 여기서는 축 적과 확대를 의미한다 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰 141 1) 6학년 CMP 1과 CMP 2의 6학년 교과서의 단원별 수업시수 비교 학년 단원명 Prime time: Factors and Multiples Bits and Pieces I: Understanding Rational Numbers Shapes and Designs: Two-Dimensional Geometry Bits and Pieces II: Understanding Fraction Operations Covering and Surrounding: Two-Dimensional Measurement 6학년 Bits and Pieces III: Computing With Decimals and percents How Likely Is It?: Probability Data About Us: Statistics Ruins of Montarek 총 수업시수 CMP1 수업시수 CMP2 수업시수 26시간 22시간 28시간 24시간 23시간 24시간 33시간 22시간 28시간 27시간 30시간 20.5시간 19시간 19.5시간 19.5시간 28시간 206시간 187.5시간 6학년 교과서에서는 수업 시수가 20시간 정도 감소했으며, 이는 CMP2의 교과서는 CMP1 교과서 에서의 탐구의 개수를 줄이거나 통합해서 얻어진 결과이며, 이는 CMP1 교과서에 대한 논쟁에서 제 기된 Plano 지역 학부모들과 같은 논쟁을 어느 정도 반영한 결과로 볼 수 있으며, CMP1에서 공간 시각화 내용을 다루는 Ruins of Montarek를 CMP2에서 뺀 뒤, Bits and Pieces III를 도입한 것은 분 수, 소수 및 유리수의 개념과 절차를 숙달시키는 내용을 보강한 것으로 해석할 수 있다 2) 7학년 CMP 1과 CMP 2의 7학년 교과서의 단원별 수업시수 비교 학년 단원명 CMP1 수업시수 CMP2 수업시수 Variables and Patterns: Introducing Algebra 22.5시간 24시간 Stretching and Shrinking: Similarity 23.5시간 24.5시간 Comparing and Scaling: Ratio, Proportion, and Percent 27～28시간 20시간 Accentuate the Negative: Positive and Negative Numbers 24시간 23.5시간 Moving Straight Ahead: Linear Relationships 29.5시간 26시간 7학년 Filling and Wrapping: Three-Dimensional Measurement 24시간 26.5시간 What Do You Expect?: Probability and Expected Value 25시간 22.5시간 Data Distributions: Describing Variability and Comparing 19.5시간 Groups Data Around Us 22시간 총 수업시수 197.5～198.5시간 186.5시간 7학년 교과서에서도 수업 시수가 12시간 정도 감소했으며, 이는 CMP2의 교과서는 CMP1 교과서 에서의 탐구의 개수를 줄이거나 통합해서 얻어진 결과이며, CMP1에서 Data Around Us를 CMP2에 서 뺀 뒤, Data Distributions를 도입한 것은 자료 분석의 내용을 보강한 것으로 해석할 수 있다 김해규 142 3) 8학년 CMP 1과 CMP 2의 8학년 교과서의 단원별 수업시수 비교 학년 단원명 Thinking With Mathematical Models: Linear and Inverse Variation Looking for Pythagoras: The Pythagorean Theorem Growing, Growing, Growing: Exponential Relationships Frogs, Fleas and Painted Cubes: Quadratic Relationships Kaleidoscopes, Hubcaps and Mirrors: Symmetry and 8학년 Transformations Say It With Symbols: Making Sense of Symbols Shapes of Algebra: Linear Systems and Inequalities Samples and Populations: Data and Statistics Clever Counting 총 수업시수 CMP1 수업시수 CMP2 수업시수 20.5시간 18시간 27.5시간 21.5～22.5시간 26시간 22.5시간 22.5시간 22.5시간 24시간 27.5시간 25～26시간 24시간 30시간 19～23시간 19.5～20.5시간 19.5시간 183.5～186.5시간 186～190시간 8학년 교과서에서는 수업 시수가 오히려 4시간 정도 증가했는데, 이는 좌표 기하나 부등식 풀기, 연립 일차방정식과 부등식을 다루는 대수영역인 Shapes of Algebra의 시간이 대폭 증가했기 때문으 로 풀이할 수 있다 이것 또한 CMP1 교과서에 대한 논쟁에서 제기된 내용들을 CMP2 교과서를 개 발하면서 반영한 것으로 풀이할 수 있다 IV 결 론 본 연구에서는 최근 연구가 진행되고 있는 2009 수학과 교육과정 개발 연구에 시사점을 제공할 목적으로 1990년대 이후에 미국에서 추진되고 있는 수학교육 개혁 프로그램 중의 하나인 CMP를 대 상으로 하여 CMP를 추진하게 된 배경, CMP1에서 개발한 교과서에 대한 논란, CMP1을 수정․보완 한 CMP2의 교육과정과 CMP2의 교육과정에서 개발된 교과서 내용들을 살펴보았는데, 이는 2009 수 학과 교육과정을 연구․개발함에 있어서 수학과 교육과정과 교과서를 집필하는데 참고할 만한 가치 가 있을 것으로 판단된다 또한 6학년과 7학년을 중심으로 CMP1 교과서와 CMP2 교과서에서의 수 업 시수를 비교한 결과 CMP1 교과서를 대상으로 한 논쟁에서 제기된, CMP1 교과서의 수업 양과 수업 시수가 너무 많다는 논란이 CMP2 교과서의 개발에 반영되었음도 살펴보았다 또한 6학년 CMP2 교과서에서 Bits and Pieces III를 도입한 것과 7학년 CMP2 교과서에서 Data Distributions를 도입한 것은 CMP1 교과서에 대한 논쟁에서 제기된 기본적인 기능 습득을 위한 절차를 도입하고, 자 료 분석 영역의 내용을 강화하라는 요구를 반영한 결과로 볼 수 있다 비록 8학년 CMP2 교과서에서 는 수업 시수가 4시간 정도 증가했지만, 이는 좌표 기하나 부등식 풀기, 연립 일차방정식과 부등식을 다루는 대수 영역의 내용인 Shapes of Algebra의 시간이 대폭 증가했기 때문이다 이것 또한 CMP1 시엠피(The Connected Mathematics Project)에 대한 고찰 143 교과서에 대한 논쟁에서 제기된 내용인 9학년을 위한 대수 교육의 논란 점들이 CMP2 교과서를 개 발하면서 반영한 것으로 풀이할 수 있다 따라서, 2007 개정 교육과정에 따라 교과서를 개발하는 집필진이나 2009 수학과 교육과정을 연구 하는 연구진에서도 수학과 교육과정과 교과서들을 개발함에 있어서, 각계각층의 많은 수학자와 수학 교육자들 뿐만 아니라 학부모들의 의견을 적극적으로 공유하여 한쪽으로 편중되지 않은 더 좋은 교 육과정과 교과서가 개발되어지기를 기대한다 후속연구에서는 CMP2 교과서의 내용과 우리나라 교과서를 분석하여 활용 가능한 방안에 대한 연 구가 수행되어 그 결과로서 일선 학교 현장에서 2007 개정 교육과정의 조기 정착이나 2009 교육과정 에 따른 수학교과서 개발 방향에 대한 연구가 수행되길 기대한다 참 고 문 헌 강문봉 외 18인 공역 (1999) 초등 수학 학습지도의 이해 서울: 양서원 교육부 (1997) 제 7차 교육과정, 교육부 고시 제 1997 - 15 [별책 8] 교육인적자원부 (2007) 초․중등학교 교육과정, 교육인적자원부 고시 제 2007 - 79호 [별책 1] 김연미 (2004) 1990년대 미국의 수학전쟁과 몇 가지 시사점, 한국수학교육학회지 시리즈 A , 43(1), 1-12 소경희․채선희․정미경 (2000) 교육과정․평가 국제비교연구(II), 한국교육과정평가원 연구보고 RRC 2000-6-1 American Association for the Advancement of Science (2000) Middle grades mathematics textbooks: A benchmarks-based evaluation Washington, DC: American Association for the Advancement of Science 2010.12.10 추출, http://www.project2061.org/publications/textbook/mgmth/report/default.htm?txtRef=&txtURI Old=%2Fmatheval%2F2context%2Finfo.htm Bill Quirk (2003) Why Guilford Parents Should Oppose CMP Math http://wgquirk.com/CMP.html, 2010 11 26 추출 Brief Description (2009) 2010 11 26 추출, http://www.connectedmath.msu.edu/mathcontent/contents.shtml CMP 교수 모형(2009) 2010 11 26 추출, http://www.connectedmath.msu.edu/components/teacher.shtml Lappan, 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which have been promoted since the 1990s, so that we can provide some suggestions for the recent research of developing the 2009 Korean Mathematics Curriculum In this paper, we examine the background of the CMP, the controversies over the textbooks [CMP1 textbooks] developed by CMP[CMP1] implemented from 1991 till 1996, and the curriculum of the CMP[CMP2] revised from CMP1 and carried from 2000 till 2006 Through the literature study, we can see that the CMP2 curriculum has reflected some of those controversies of the CMP1 textbooks by introducing procedures for students' acquiring basic skills, reducing the number of lessons and the contents supposed to be learned in each lesson, putting more stress on algebra and adding data analysis contents more 15) * ZDM Classification : B73, B53 * 2000 Mathematics Subject Classification : 97C90 * Key Words : Connected Mathematics Project, CMP2 Curriculum, CMP2 Textbooks, Math Wars * This work was supported by the research grant of the Cheju National University in 2008 ... 교육과정의 예로는 Connected Mathematics (Connected Mathematics Project) , Mathematics in Context (the development of an "achieved" curriculum for middle school), MATH Thematics(Six through Eight Mathematics, ... Clarkson (2001) The effects of the connected mathematics project on middle school mathematics achievement 미국 미네소타 대학교 박사학위 논문 Mathematics Learning (2009) 2010.12.26 추출, http://www.connectedmath.msu.edu/mathcontent/goals.shtml... on the Connected Mathematics Project( CMP), one of the American mathematics education reform projects which have been promoted since the 1990s, so that we can provide some suggestions for the