KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 chuyên toán THPT chuyên Lê Khiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2019 2020 Ngày thi 06/6/2019 Môn Toán (Hệ chuyên) Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (2,0 điểm) a) Giải phương trình b) Giải h[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 Ngày thi: 06/6/2019 Mơn: Tốn (Hệ chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Bài (2,0 điểm) a) Giải phương trình x + x − x −19 = x + 74  x + y − x = b) Giải hệ phương trình  9 x − xy + y − y + = Bài (2,5 điểm) x + x x −1 x + x + − với x > 0, x ≠ Rút gọn tìm giá trị x x− x x x +x nhỏ biểu thức P b) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a2 + 4ab − 7b2 = ( a ≠ b a ≠ −b ) Tính giá trị 2a − b 3a − 2b + biểu thức Q = a− b a+ b c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ( d) : y = ( m+ 2) x − m+ a) Cho biểu thức P = ( d') : x + ( m+ 2) y = m+ m tham số Chứng minh giao điểm hai đường thẳng nói thuộc đường cố định m thay đổi Bài (1,5 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x + y + +1 = x + y b) Số tự nhiên n = 1116 có tất ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích tất ước số Bài (3,5 điểm) Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính AB CD vng góc với Gọi M điểm di động đoạn thẳng OB ( M khác O B ) Tia CM cắt đường tròn (O) N ; DB cắt CN P ; AN cắt CD Q a) Chứng minh PQ // AB b) Chứng minh ∆CAQ đồng dạng với ∆AMC , từ suy diện tích tứ giác ACMQ khơng đổi M di động đoạn thẳng OB CQ  CN  = c) Chứng minh hệ thức ÷ AM  AN  d) Xác định vị trí điểm M đoạn thẳng OB để NQ tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác CPQ Tính OM theo R trường hợp Bài (0,5 điểm) Trên bảng vng 2019 × 2019 , người ta điền tồn dấu + Sau thực q trình đổi dấu (dấu + sang dấu − , dấu − sang dấu + ) theo bước sau: Bước 1: Các ô dòng thứ i đổi dấu i lần, i = 1, 2, , 2019 Bước 2: Các ô cột thứ j đổi dấu j + lần, j = 1, 2, , 2019 Tính số dấu + cịn lại bảng ô vuông sau thực xong trình đổi dấu .HẾT Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 Ngày thi: 06/6/2019 Mơn: Tốn (Hệ chun) Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (2,0 điểm) a) Giải phương trình x + x − x −19 = x + 74  x + y − x = b) Giải hệ phương trình  9 x − xy + y − y + = Tóm tắt cách giải 1a) Điều kiện: x − x −19 ≥ Điểm x + x − x −19 = x + 74 ⇔ ( x − x −19 ) + x − x −19 − 36 = Đặt t = x − x −19 , t ≥ Phương trình tương đương với 2t + t − 36 = Giải t = (nhận) t = − (loại) t = ⇔ x − x −19 = ⇔ x − x −19 = 16 ⇔ x − x − 35 = Giải x = (nhận) x = −5 (nhận) 1b) Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta x − xy + y + x − x + = ⇒ ( 3x − y ) + ( x − 3) = 2 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x = ⇒  y = 3x 0,25 đ ⇒ ( x; y ) = ( 3; 3) ( x; y ) = ( 3; −3) 0,25 đ Thử lại ta ( x; y ) = ( 3; 3) nghiệm hệ phương trình cho 0,25 đ Bài (2,5 điểm) x + x x −1 x + x + − a) Cho biểu thức P = với x > 0, x ≠ Rút gọn tìm giá trị x x− x x x +x nhỏ biểu thức P b) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a2 + 4ab − 7b2 = ( a ≠ b a ≠ −b ) Tính giá trị 2a − b 3a − 2b + biểu thức Q = a− b a+ b c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ( d) : y = ( m+ 2) x − m+ ( d') : x + ( m+ 2) y = m+ m tham số Chứng minh giao điểm hai đường thẳng nói thuộc đường cố định m thay đổi Tóm tắt cách giải Điểm 2a) P= x + x x −1 x x +1 + − x x− x x+ x 2x + P= + x P= ( )( x( 0,25 đ ) −( x −1 x + x +1 ) x −1 )( x( ) x +1 x − x +1 ) x +1 x + x + x +1 x − x +1 + − x x x 0,25 đ 2x + x + P= x P=2 x+ +2 x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có x + 0,25 đ ≥ Suy P ≥ + x Khi x = (tmđkxđ) P = + nên giá trị nhỏ P + 0,25 đ 2b) 2a − b 3a − 2b 2a2 + ab − b2 + 3a2 − 5ab + 2b2 5a2 − 4ab + b2 + = = a− b a+ b a2 − b2 a2 − b2 Vì a2 + 4ab − 7b2 = , a ≠ b a ≠ −b nên ta có: 6(a2 − b2 ) − (a2 + 4ab − 7b2 ) 6(a2 − b2 ) Q= = 2 = a2 − b2 a −b Q= 0,5 đ 0,5 đ 2c) Ta có = (m+ 2).1− m+ thỏa mãn với m Vậy đường thẳng ( d) : y = ( m+ 2) x − m+ qua điểm A(1;3) cố định m thay đổi 0,25 đ Ta có + (m+ 2).1= m+ thỏa mãn với m Vậy đường thẳng ( d') : x + ( m+ 2) y = m+ qua điểm B(0;1) cố định m thay đổi Với m= −2 (d) : y = (d') : x = vng góc với x +1 Với m ≠ −2 ta có ( d ') : y = − m+2 0,25 đ   Khi ta có a.a ' = ( m + )  − ÷ = −1 nên (d ) ⊥ (d ') với m ≠ −2  m+2 Tóm lại: (d ) ⊥ (d ') với m Vậy giao điểm hai đường thẳng nói nhìn đoạn AB góc vng nên thuộc đường trịn đường kính AB cố định m thay đổi Bài (1,5 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x + y + +1 = x + y b) Số tự nhiên n = 1116 có tất ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích tất ước số Tóm tắt cách giải 3a) Ta có x + y + + = x + y Điểm ⇔ x + y + + x + y + + = x + xy + y ⇔ x + y + = xy − ⇔ x + y + = xy − xy + (với xy > ) (1) xy − x − y + ⇔ xy = Nếu xy khơng số phương VT số vơ tỉ, cịn VP số hữu tỉ, vơ lí Do xy số phương, tức xy = k hay xy = k (với k ∈ ¥ * , k > ) 0,25 đ Ta lại có (1) ⇔ x + y + xy = xy − xy + ⇔ ⇔ ( x+ y ) =( ) xy − y = k − − x (vì ⇔ x + y = xy − (vì xy > ) (2) xy = k ) ⇔ y = ( k − 1) − ( k − 1) x + x ⇔ x = 0,5 đ ( k − 1) + x − y ( k − 1) (vì k > ) Nếu x khơng số phương VT số vơ tỉ, cịn VP số hữu tỉ, vơ lí Do x số phương Lí luận tương tự y số phương Đặt x = a y = b với a, b nguyên dương Do (2) ⇔ a + b = ab − ⇔ (a − 1)(b − 1) = Từ tìm (a; b) = (2;3), (3; 2) Suy ( x; y ) = (4;9), (9;4) Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên dương (4;9), (9;4) 3b) Ta có n = 1116 = 36 × 37 Mỗi ước số nguyên dương n có dạng 3x × 37 y x ∈ { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6} 0,25 đ 0,25 đ y y ∈ , , , , , , x { } Do nhận giá trị nhận giá trị nên n có tất 7× = 49 ước số nguyên dương phân biệt n Nếu a ước số nguyên dương n , a ≠ 1113 b = ước a số nguyên dương n , b ≠ a Khi a b tạo thành cặp ước số nguyên dương n chúng có tích n Trong 49 ước số nguyên dương phân biệt n , ngoại trừ 1113 , 48 ước số 0,25 đ lại chia thành 24 cặp ước số có tính chất cặp ước ( a; b ) ( Vậy tích tất ước nguyên dương phân biệt n 1116 ) 24 1113 = 111147 Bài (3,5 điểm) Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính AB CD vng góc với Gọi M điểm di động đoạn thẳng OB ( M khác O B ) Tia CM cắt đường tròn (O) N ; DB cắt CN P ; AN cắt CD Q a) Chứng minh PQ // AB b) Chứng minh ∆CAQ đồng dạng với ∆AMC , từ suy diện tích tứ giác ACMQ không đổi M di động đoạn thẳng OB CQ  CN  = c) Chứng minh hệ thức ÷ AM  AN  d) Xác định vị trí điểm M đoạn thẳng OB để NQ tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ Tính OM theo R trường hợp Tóm tắt cách giải Điểm 0,5 đ » = CB » ⇒ CNA · · · · 4a) Vì AB ⊥ CD nên CA Hay PNQ = CDB = PDQ · · · Nên tứ giác PQDN nội tiếp; PND + PQD = 1800 mà PND = 900 (cmt) · Nên PQD = 900 , nghĩa PQ ⊥ CD AB ⊥ CD suy PQ //AB 4b) Tứ giác ACMQ có AM ⊥ CQ nên SACMQ = 0,5 đ 0,5 đ AM.CQ 0,25 đ · · · · Xét ∆CAQ ∆AMC có ACQ = MAC = 450 , lại có CAQ = AMC » + sđ BN » = sđ BC » + sđ BN » ) (Do sđ AC CA CQ = ⇒ AM.CQ = AC2 AM AC AM.CQ 2R Mặt khác AC = OA + OC = 2R nên SACMQ = = = R2 2 Hay diện tích tứ giác ACMQ khơng đổi M di động OB nên ∆CAQ đồng dạng ∆AMC ⇒ 0,5 đ 0,25 đ CA CQ AQ CQ  AQ  = = ⇒ = ÷ (1) AM AC MC AM  MC  · · · ∆COM ഗ ∆CND (vì DCN chung, COM = CND = 900 ) CM CO = Suy ⇒ CM CN = R.R = R CD CN Tương tự ta chứng minh AQ AN = R 4c) ∆CAQ ഗ ∆AMC (câu b) ⇒ 0,25 đ AQ CN = MC AN CQ  CN  = Từ (1) (2) suy ÷ AM  AN  Do CM CN = AQ AN ⇒ (2) 0,25 đ · · 4d) Ta có tứ giác PQDN nội tiếp (câu a) ⇒ PQN = PDN · · · · Mà PDN nên PQN = BCN = BCN · · NQ tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆CPQ PQN = PCQ · · » = ND » Do BCN hay BN = PCQ · Suy CN phân giác góc OCB Tam giác BOC vng cân O ⇒ BC = OB = R OM OC R = = = Vì CM phân giác tam giác BOC nên MB CB R 2 Ta lại có OM + MB = R ⇒ OM = R Vậy OM = R ∆CPQ ( ) ( 0,25 đ ) −1 − NQ tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp 0,25 đ Bài (0,5 điểm) Trên bảng vng 2019 × 2019 , người ta điền tồn dấu + Sau thực trình đổi dấu (dấu + sang dấu − , dấu − sang dấu + ) theo bước sau: Bước 1: Các dịng thứ i đổi dấu i lần, i = 1, 2, , 2019 Bước 2: Các ô cột thứ j đổi dấu j + lần, j = 1, 2, , 2019 Tính số dấu + cịn lại bảng vng sau thực xong q trình đổi dấu Tóm tắt cách giải Theo trình đổi dấu ô vuông dòng i cột j đổi dấu i + j + lần Điểm 0,25 đ Mà i + j + i + j hai số khơng tính chẵn lẻ (vì (i + j + 1) − (i + j ) = j + số lẻ) Do vng dịng i cột j mà i + j số lẻ đổi dấu số chẵn lần dấu vng dấu + , cịn vng dịng i cột j mà i + j số chẵn đổi dấu số lẻ lần dấu ô vuông dấu − Mà từ đến 2019 có 1009 số chẵn 1010 số lẻ nên số cặp ( i; j ) mà i + j lẻ 1009.1010 + 1010.1009 = 2038180 0,25 đ Vậy số vng cịn lại mang dấu + 2038180 Ghi : + Mỗi tốn có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa Tổ chấm thảo luận thống biểu điểm chi tiết cho tình làm học sinh + Bài 4, khơng có hình vẽ học sinh thực bước giải có logic cho nửa số điểm tối đa phần đó; vẽ hình sai mặt chất khơng cho điểm + Điểm câu toàn tính đến 0,25 khơng làm trịn số SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 Ngày thi: 06/6/2019 Mơn: Tốn (Hệ chun) Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC MA TRẬN ĐỀ THI Mức độ SỐ HỌC Phân môn Các chủ đề Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Thấp Tổng cộng Cao Bài 3a Phương trình nghiệm nguyên 1,0 Ước số - Bội số 1,5 Bài 3b ĐẠI SỐ 0,5 Giải phương trình, hệ phương trình Bài 1a Bài 1b Rút gọn biểu thức Bài 2a Bài 2b Bài 2c Tính giá trị biểu thức 1,0 1,0 0,5 1,0 1,0 4,5 Giá trị lớn nhất, nhỏ HÌNH HỌC Hàm số, đồ thị Chứng minh tứ giác nội tiếp Hình vẽ Tính độ thẳng 2,5 dài đoạn Bài 4a.b Chứng minh trung điểm đoạn thẳng Bài 4c Bài 4d 0,5 0,5 3,5 TỔ HỢP Cực trị hình học Bài Tính bất biến Tổng cộng 0,5 4 4,5 3,5 2,0 0,5 12 10,0 Trên bảng vng 9× , ô người ta điền hai số −1 thỏa mãn số cuối hàng tích số phía trước hàng số cuối cột tích số phía cột Bạn A phát bảng người ta ghi nhầm số Chứng minh ta vị trí có số mà người ta ghi nhầm  ... 2019 có 100 9 số chẵn 101 0 số lẻ nên số cặp ( i; j ) mà i + j lẻ 100 9 .101 0 + 101 0 .100 9 = 2038180 0,25 đ Vậy số ô vuông lại mang dấu + 2038180 Ghi : + Mỗi tốn có nhiều cách giải, học sinh giải... VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 Ngày thi: 06/6/2019 Mơn: Tốn (Hệ chun) Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC MA TRẬN ĐỀ THI Mức độ SỐ HỌC Phân...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 Ngày thi: 06/6/2019 Mơn: Tốn (Hệ chun) Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH