Tổng hợp đề thi HSG TOÁN 6 2021 2022

PHÒNG GD & ĐT TÂN KỲ TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG ĐỀ THI KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HSG NĂM HỌC 2021 – 2022 Mơn: Tốn - Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1( điểm) Tính giá trị biểu thức sau: { } A = −522 − −222 −  −122 − ( 100 − 522 ) + 2022  1 B = + (1 + 2) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 20) 20 5.4 − ( −8) C= 4.213.38 + 2.84.( −27)3 Câu 2: (4 điểm) Tìm số nguyên x biết: a )14.7 2021 = 35.7 2021 − 3.49 x 1 1 1 b)  + + + + + ÷x = + + + + + 10  2 Câu (4 điểm) a) Tìm số nguyên n để A= 2n2 + n- chia hết cho 2n + b) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh : p − 1M24 c) Tìm số nguyên tố x y biết x2 - 6y2 = Câu 4: (5 điểm) a) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 15m, chiều rộng 8m Người ta trồng vườn hoa hình thoi mảnh đất đó, biết diện tích phần cịn lại 75m2 Tính độ dài đường chéo AC, biết BD = 9m b) Cho hai tia Ox Oy đối nhau, tia Ox lấy hai điểm A M cho OA=5cm, OM=1cm; tia Oy lấy điểm B cho OB=3cm Chứng tỏ: Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB c) Cho 30 điểm có điểm thẳng hàng ( ngồi khơng cịn điểm thẳng hàng) Qua điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất đường thẳng Câu 5: (3 điểm): a) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn: 3xy + 2x - 5y= b) Tìm số tự nhiên n để phân số M = 6n − đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn 4n − Hết PHÒNG GD & ĐT TÂN KỲ TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG Câu Ý HƯỚNG DẪN CHẤM KĐCL MƠN TỐN NĂM HỌC 2021 – 2022 { Nội dung } A = −522 − −222 − −122 − ( 100 − 522 ) + 2022  a) 1.5 điểm b) Câu 1.5 điểm (4 điểm) c) điểm A = −522 + 222 − 122 − 100 + 522 + 2022 A = ( −522 + 522 ) + (222 − 122 − 100) + 2022 A = 2022 1 B = + (1 + 2) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 20) 20 2.3 3.4 20.21 B = 1+ + + + 2 20 2 21 B = + + + + 2 2 B = (1 + + + + 20) 20.21 B= = 105 2 5.46.94 − 39.(−8) C= 4.213.38 + 2.84.( −27)3 5.46.94 − 39.84 4.213.38 − 2.84.27 5.212.38 − 39.212 C = 15 13 − 212.38.(5 − 3) 212.38.2 C = 13 = =1 (2 − 3) 213.38 C= Điểm 0.5 0.5 0.5 0.75 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 a )14.7 2021 = 35.7 2021 − 3.49 x Câu (4 điểm) a) điểm b) điểm 3.49 x = 35.7 2021 − 14.7 2021 3.7 x = 2022.(5 − 2) = 3.7 2022 x = 2022 2.x = 2022 x = 1011 1 1 1 b)  + + + + + ÷x = + + + + + 10  2 1 1 1 1  2  8   + + + + + ÷.x =  + ÷+  + 1÷+ +  + 1÷+ 10  2 9  8  2  1 10 10 10 10 1 1  + + + + + ÷.x = + + + + 10  10 2 1 1  1 1 1  + + + + + ÷.x = 10  + + + + ÷ 10  10  2 2 0.25 0.75 0.5 0.5 0.5 0.5 ⇒ x = 10 0.25 Ta có A = 2n + n − = n.(2n + 1) − Vì A chia hết cho 2n+1 nên 6M2n + 0.5 ⇒ 2n + ∈ U (6) = { ±1; ±2; ±3; ±6} a) 1.5điểm Do 2n+1 số lẻ nên ta có bảng sau -1 -2 -1 2n+1 2n n -3 -4 -2 Vậy với n ∈ { −2; −1; 0;1} A chia hết cho 2n+1 p nguyên tố lớn nên p số lẻ p khơng chia hết cho Ta có p2-1 =p2-p+p-1=(p-1)(p+1) p số lẻ nên p=2k+1( k ∈ N * ) Câu ⇒ p − = ( p − 1)( p + 1) = 2k (2k + 2) = 4k (k + 1) M 8(1) b) điểm 1,5 điểm Mặt khác p-1,p,p+1 số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p không chia hết p-1 p+1 chia hết cho Từ suy p2-1=(p-1)(p+1) M3 (2) Vì (3,8)=1 từ (1) (2) nên suy p2-1 M24 Ta có x2-6y2=1 ⇒ x − = y ⇒ x − x + x − = y ⇒ ( x − 1) ( x + 1) = y c) điểm 2 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 Vì 6y2 M2 ⇒ ( x − 1) ( x + 1) M2 mà (x+1)+(x-1)=2x M2 nên x-1 x+1 hai số chẵn liên tiếp ⇒ ( x + 1) ( x − 1) M8 0.5 ⇒ y2 M ⇒ y M4 ⇒ y M2 mà y số nguyên tố nên y=2 Với y=2 suy x2-6.22=1 ⇒ x = 25 ⇒ x = Vậy (x;y)=(5;2) Câu IV điểm 0.25 a)1,5 điểm Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: b) điểm 0.5 15.8 = 120 ( m ) 0.5 Diện tích phần trồng hoa hình thoi là: 120-75=45(m2) Độ dài đường chéo AC 45.2:9=10(m) 0.5 c)1.5 điểm Vì hai điểm A M thuộc tia Ox OM0 nên để M đạt giá trị lớn 4n-6 đạt giá 4n − trị dương nhỏ với n số tự nhiên Do 4n-6=2=>4n=8=>n=2 Khi M = + = Vậy GTLN M 4,5 n=2 0.25 0.25 0.25 0.25 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TÂN YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi có 03 trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 MƠN: TOÁN LỚP Ngày thi: 27/03/2022 Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề A- TRẮC NGHIỆM (6 điểm) – Thời gian làm 40 phút Câu Tìm số tự nhiên x, biết a số nguyên tố chẵn thỏa mãn a x = 1024 A x = B x = C x = 10 D x = 16 Câu Với giá trị k dãy k + 1, k + 2, k + 3, , k + 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất? A k = B k = 10 C k = D k = Câu Một người leo núi với vận tốc 2km/h, lúc xuống núi với vận tốc 6km/h Vận tốc trung bình người tồn hành trình lên xuống là: A 3,5km/h B 4,5km/h C 4km/h D 3km/h 10 12 30 31 62 64 Câu Giá trị T = × × × × × × × A 362 Câu Xét phân số A = số A chưa tối giản A 79 B 230 C 236 D 232 n2 + Hỏi có số tự nhiên n khoảng từ đến 2022 cho phân n+ B 89 C 99 D 69 Câu Gọi S tập hợp giá trị nguyên x để x + chia hết cho x − Số tập hợp tập hợp S là: A B 16 C 15 D n+ n+2 n n * Câu Cho số B = − + − với n ∈ ¥ Khi chữ số tận B A B C D Câu Có số nguyên dương n để 3n − 16; 4n − 21,5n − 23 số nguyên tố? A.3 B C D 2022 n Câu Cho T = + + + + Tìm số tự nhiên n, biết 2.T + = Khi n bằng: A 2020 B 2023 C 2021 D 2022 Câu 10 Số nguyên dương nhỏ ước tích 1.2.3.4.L 96.97.98 A 78 B 99 C 101 D 100 Câu 11 Tập hợp M có 255 tập hợp khác rỗng Hỏi M có phần tử? A 10 B C D Câu 12 Gọi N tập hợp ước nguyên số 2022 Hỏi tổng phần tử tập hợp N A B 4056 C 2028 D 8112 1  1 1  + + + + + + + + ÷x = 10.60  1.11 2.12 3.13 50.60  1.51 2.52 3.53 Câu 13 Số tự nhiên x thỏa mãn:  A x = B x = Câu 14 Tính giá trị biểu thức P = A B C x = D x = 2.84.27 + 4.69 ta kết là: 27.67 + 27.40.94 C D Câu 15 Cho đoạn thẳng AB = 12cm Biết điểm M thuộc đoạn thẳng AB cho AM = 7cm, AM - MB A 3cm B 4cm C 2cm D 5cm Câu 16 Cho đoạn thẳng CD = 20 cm Gọi M trung điểm CD, I trung điểm MC, K trung điểm MD, IK có độ dài A 10cm B 5cm C 6cm D 2,5cm x Câu 17 Biết x số tự nhiên thỏa mãn 5.3 − 135 = Giá trị P = 674 x − 2021 A -1 B C Câu 18 Trên hình vẽ sau có ba điểm thẳng hàng? A B C D D.1 2020 Câu 19 Biết ( x, y ) cặp số thỏa mãn ( x − y − 1) + y 2022 = Khi giá trị 2022x − y A 2019 B 2020 C 2021 D 2022 Câu 20 Cho 20 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng Hỏi kẻ đoạn thẳng? A 190 B 180 C 380 D 200 B TỰ LUẬN (14 điểm)- Thời gian làm 80 phút Bài (5,5 điểm) 1  2 2 − +  − + 11 ÷: 2021 M = − Tính giá trị biểu thức 7 7 7 ÷  − + − + ÷ 2022 10   11 2021 2020 2 Chứng tỏ M = 75 ( + + + + + 1) + 25 chia hết cho 100 Tìm số tự nhiên x, y, z nhỏ khác không cho 18.x = 24 y = 36.z Bài (3,5 điểm) Tìm số nguyên tố p cho p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 số nguyên tố Bạn Lan tính tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến n nhận thấy tổng chia hết cho 29 Bạn Loan tính tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến m nhận thấy tổng chia hết cho 29 Tìm số tự nhiên m n biết m < n < 50 Bài (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 8cm Lấy điểm C nằm hai điểm A B cho BC = 4,5 cm Tính độ dài đoạn thẳng AC Một khu đất hình chữ nhật có chu vi 132m Nếu giảm chiều rộng 5m tăng chiều dài lên 5m chiều dài gấp đơi chiều rộng Người ta dùng 30% diện tích khu đất để trồng rau, 11 diện tích 30 khu đất để trồng ăn quả, diện tích cịn lại để xây nhà Hỏi diện tích xây nhà bao nhiêu? Bài (1.0 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện 2.22 + 3.23 + 4.24 + + n.2 n = 2n +11 - Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TÂN YÊN ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC A- TRẮC NGHIỆM CÂU ĐÁP ÁN C HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN NGÀY THI 27/03/2022 MƠN TỐN LỚP Bản hướng dẫn chấm có 05 trang CÂU 11 ĐÁP ÁN C 10 D D C D B A C B C 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B- TỰ LUẬN Bài A A D C A D D D A Hướng dẫn giải Bài Điểm (5.5 điểm) 1  2 2 − + ÷  − + 11 2021 Tính giá trị biểu thức M =  7 − 47 57 ÷: 2022  − + ÷ − + 10   11 Ta có: (2 điểm)  1 1  1  1  2 2  − + ÷ − + − + − +  ÷ 2021  ÷ 2021 11  M =  11 − ÷: =  − ÷:  − + 1 − + ÷ 2022   − + ÷  − + ÷ ÷ 2022  11 ÷  11 10       0.75    ÷ 2021 =  − ÷: 2022 7 ÷  2 0.5  2  2021 =  − ÷: =0  7  2022 0.5 Vậy M = 0.25 2021 2020 2 Chứng tỏ M = 75 ( + + + + + 1) + 25 chia hết cho 100 Đặt S = 42021 + 42020 + + 42 + + ⇒ M = 75.S + 25 Ta có S = 42021 + 42020 + + 42 + + ⇒ 4S = 42022 + 42021 + + 43 + 42 + 2022 (2 điểm) => 4S − S = 42022 − ⇔ S = − Do M = 75.S + 25 = 75 (1.5 điểm) 2022 3 −1 + 25 = 25 ( 2022 − 1) + 25 = 25.4 2022 = 100.4 2021 100 Suy M M Tìm số tự nhiên x, y, z nhỏ khác không cho 18.x = 24 y = 36.z 18; mM24; mM36 Đặt 18 x = 24 y = 36 z = m (với m ∈ ¥ * ) ⇒ mM 0.5 0.75 0.5 0.25 0.25 Do x, y, z nhỏ khác không thỏa mãn 18 x = 24 y = 36 z = m nên m 18; mM24; mM36 ⇒ m = BCNN(18,24,36) nhỏ mà mM Ta tìm BCNN(18,24,36) = 72 ⇒ m = 72 Với m = 72 ta tìm x = 4; y = 3; z = Vậy x = 4; y = 3; z = Bài Tìm số nguyên tố p cho p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 số nguyên tố Với p = 2; p = thấy không thỏa mãn Với p = 5, ta có: p + = + = 11; p + 12 = + 12 = 17; p + 18 = + 18 = 23; p + 24 = + 24 = 29 (2 điểm) số nguyên tố (thỏa mãn) Với p > 5, ta xét khả năng: p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + (với k ∈ ¥ * ) khơng thỏa mãn Vậy p = 0.5 0.25 0.25 0.25 (3.5 điểm) 0.25 0.75 0.75 0.25 Bạn Lan tính tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến n nhận thấy tổng chia hết cho 29 Bạn Loan tính tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến m nhận thấy tổng chia hết cho 29 Tìm số tự (1,5 điểm) nhiên m n biết m < n < 50 k (k + 1) Xét + + + + k = với k ∈ N < k < 50 k (k + 1) Vì chia hết cho 29 nên k (k + 1)M29 mà 29 số nguyên tố ⇒ k M29 k + 1M29 Do k ∈ N < k < 50 nên k = 29 k + = 29 ⇒ k ∈ { 29; 28} ⇒ m = 28, n = 29 (vì m < n < 50) Vậy m = 28, n = 29 0.25 0.5 0.5 0.25 (4.0 điểm) Bài Cho đoạn thẳng AB = 8cm Lấy điểm C nằm hai điểm A B (2 điểm) cho BC = 4,5 cm Tính độ dài đoạn thẳng AC Vì điểm C nằm hai điểm A B nên ta có 0.5 0.75 AC + CB = AB ⇒ AC = AB − CB Thay AB = 8cm, BC = 4,5cm ta AC = − 4, = 3,5 (cm) 0.5 Vậy AC = 3,5 cm 0.25 Một khu đất hình chữ nhật có chu vi 132m Nếu giảm chiều rộng 5m tăng chiều dài 5m chiều dài gấp đơi chiều rộng Người ta dùng 30% diện tích khu đất để trồng rau, 11 diện tích khu đất để 30 trồng ăn quả, diện tích cịn lại để xây nhà Hỏi diện tích xây nhà bao nhiêu? Khi giảm chiều rộng 5m tăng chiều dài 5m chu vi khơng đổi Ta có nửa chu vi lúc sau là: 132: = 66 (m) Lúc sau chiều dài gấp đôi chiều rộng hay chiều rộng (2.0 điểm) chiều dài Suy chiều rộng lúc sau nửa chu vi Chiều rộng khu đất là: 66 + = 27 (m) Chiều dài khu đất là: 66 – 27 = 39 (m) Diện tích khu đất là: 27.39 = 1053 (m2) Đổi: 30% = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 10 Diện tích đất làm nhà chiếm số phần là: − 11 − = (diện tích khu 10 30 0.25 đất) Diện tích đất xây nhà là: 1053 = 351 (m2) 0.25 Đáp số: 351m2 Bài Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện 2.22 + 3.23 + 4.2 + + n.2 n = n+11 Đặt S = 2.22 + 3.23 + 4.24 + + n.2n ⇒ S = 2n +11 Ta có: 2.S = 2.23 + 3.2 + 4.25 + + n.2n+1 n +1 n Suy ra: S = 2S − S = ( 2.2 + 3.2 + 4.2 + + n.2 ) − ( 2.2 + 3.2 + 4.2 + + n.2 ) S = n.2 n +1 (1 điểm) 0.25 0.25 − − (2 + + + + ) 3 n Đặt P = 23 + 24 + 25 + + 2n , ta tính P = P − P = 2n +1 − 23 ⇒ S = n.2n +1 − 23 − 2n +1 + 23 = ( n − 1).2 n+1 n +1 n +11 10 10 Do ( n − 1) = ⇒ n − = ⇒ n = + = 1025 Vậy… Tổng 0.25 0.25 0.25 (14 điểm) Lưu ý chấm bài: + Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2020 – 2021 Câu Ý Nội dung Điể m A = 1800:{450:[450-(4.53-23.52)]} a 0,5 0,5 5.415.99 − 4.320.89 B= 5.210.619 − 7.2 29.27 A ( 29.318 5.2 − 32 29.318 ( 5.3 − ) 10 − = = 15 − = b (4,0 điểm ) ) 5.415.99 − 4.320.89 5.2 2.15.32.9 − 2.320.23.9 = 5.210.619 − 7.2 29.27 5.210.219.319 − 7.2 29.33.6 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: 0,5 c 0,5 (4,0 a điểm ) 2 − 11 ⇒ x :8 = 2   0, + − ÷ 11   2 −  3 11 x :  − ÷=  2  1, + − 11 0, + 0, + ⇒ x :8 = ⇒ x = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy x = b c) ( x − 15) = ( x − 15 ) ⇒ ( x − 15 ) − ( x − 15 ) = ⇒ ( x − 15 ) ( x − 15 ) − ( x − 15 ) = 3 ⇒ ( x − 15 ) ( x − 15 ) − 1 =   0,5 0,5 0,5 0,5  x − 15 =  x = 7,5 ( x − 15 ) =  x − 15 =  ⇒ ⇒ ⇒  x − 15 = ⇒  x = 2 ( x − 15 ) − = ( x − 15 ) =   x − 15 = −1  x = Vì nên x = x = Vậy x ∈ { 7;8} a) Tìm số nguyên tố x,y,z thỏa mãn xy + = z Vì x, y số nguyên tố ⇒ x ≥ 2, y ≥ a (4,0 điểm ) ⇒ Z ≥ ⇒ Z số nguyên tố lẻ ⇒ x y số chẵn ⇒ x chẵn 0,5 ⇒ x = thay vào ta có 0,5 Z = 2y +1 Nếu y lẻ ⇒ y + 1M3 ( a n + b n Ma + b lẻ) 0,5 ⇒ Z M3 vơ lí Do y số chẵn ⇒ y = 0,5 Thay x = 2, y = ⇒ Z = Vậy x = 2, y = ⇒ Z = Tìm số nguyên a, b biết rằng: a 1 − = b+3 a 1 2a − − = ⇒ = ⇒ ( 2a − ) ( b + 3) = 14 b+3 14 b +3 nên 2a − ∈ U (14) b Do Vì 2a − lẻ nên 2a − ∈ { ±1; ±7} ⇒ a ∈ { 0;3; 4;7} Vậy ( a; b ) = { ( 0; −5 ) ; ( 3; −17 ) ; ( 4;11) ; ( 7; −1) } 0,5 0,5 0,5 0,5 a 1) Trên tia Ox lấy hai điểm M N , cho OM = cm ON = cm (6,0 a) Tính độ dài đoạn thẳng MN điểm b) Lấy điểm P tia Ox , cho MP = cm Tính độ dài đoạn thẳng OP ) 0,5 a) Trên tia Ox , ta có: OM < ON ( < ) nên M nằm hai điểm O N ⇒ OM + MN = ON ⇒ + MN = 0,75 ⇒ MN = − = (cm) Vậy MN = (cm) b)TH1: P nằm M N Vì P nằm M N mà M nằm hai điểm O N Nên M nằm O P ⇒ OP = OM + MP 0,75 ⇒ OP = + = (cm) TH2: P nằm O M Vì P nằm O M Nên OM = OP + PM ⇒ = OP + ⇒ OP = (cm) 2) Cho 25 điểm có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ tất đường thẳng? Nếu 25 điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ MP; MQ; NP; NQ đường thẳng (câu a) b Với điểm, khơng có điểm thẳng hàng vẽ được: 8.7 : = 28 (đường thẳng) Còn điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng Do số đường thẳng bị giảm là: 28 − = 27 (đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm là: 300 − 27 = 273 (đường thẳng) c 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 3) Một tờ giấy hình chữ nhật gấp theo đường chéo hình vẽ Diện 0,5 diện tích hình chữ nhật ban đầu Biết diện tích phần tơ 0,5 tích hình nhận màu 18 cm Tính diện tích tờ giấy ban đầu 0,5 0,5 Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo đường chéo (đường nét đứt) phần hình tam giác tơ màu bị xếp chồng lên Do diện tích hình chữ nhật ban đầu lớn diện tích hình nhận diện tích tam giác tơ màu Diện tích hình chữ nhật ban đầu giảm − = diện tích hình chữ nhật ban đầu Do diện tích tam giác tơ màu 3 diện tích hình chữ nhật ban đầu, hay 8 diện tích hình chữ nhật ban đầu 18cm Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là: 18 : = 48 (cm ) Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c đôi khác thỏa mãn điều kiện: (2,0 điểm ) 20abc < 30( ab + bc + ca ) < 21abc 1 Từ giả thiết suy < + + < Để khơng giảm tính tổng quát giả sử a b c 10 a > b > c > < ⇒ 2c < , c ∈ { 2;3} Suy c 1 1 1 1 Với c = suy < + + < ⇒ < + < ⇒ < < b c 10 a b b b Do b ∈ { 7;11} 1 1 1 ⇒ a ∈ { 19; 23; 29;31;37; 41} < + < suy < < a b 42 a 35 1 1 < < ⇒ a = 13 a > b + Với b = 11 từ < + < suy a b 66 a 55 1 11 ⇒ < ⇒ b < ⇒ b = (do b > c ) Với c = từ giả thiết suy < + < a b 30 b 1 11 15 Thay b = vào < + < ta < a < ⇒ a = a b 30 Vậy ba số nguyên tố khác ( a; b; c ) thỏa mãn là: + Với b = , từ ( 19;7; ) , ( 23;7; ) , ( 29;7; ) , ( 31; 7; ) , ( 37; 7; ) , ( 41; 7; ) , ( 13;11; ) , ( 7;5;3) hoán vị Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Bài hình (Câu 4) khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm PHÒNG GD&ĐT HUYỆN HẬU LỘC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày khảo sát: 15/3/2022 (Đề gồm: 01 trang) Câu I( điểm): Tính giá trị biểu thức sau: 1) A = −5 22 − {− 222 − [ − 122 − (100 − 22 ) + 2022]} 2) B = + (1 + 2) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 20) 20 5.4 6.9 − 39.( − 8) 4.213.38 + 2.8 4.(−27) Câu II(4 điểm): Tìm số nguyên x, biết: 1) 14.7 2021 = 35.7 2021 − 3.49 x 3) C = 1 1 1 2)  + + + + +  x = + + + + + 10  2 Câu III(4 điểm): 1.Tìm số nguyên n để A=2n2+n-6 chia hết cho 2n+1 Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: p − 124 Tìm số nguyên tố x y biết x − y = Câu IV(5điểm): 1)Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 15 m , chiều rộng 8m Người ta trồng vườn hoa hình thoi mảnh đất đó, biết diện tích phần cịn lại 75m2 Tính độ dài đường chéo AC , biết BD  = 9m 2) Cho tia Ox Oy đối nhau, tia Ox lấy hai điểm A M cho OA = 5cm, OM = 1cm; tia Oy lấy điểm B cho OB = 3cm Chứng tỏ: Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB 3) Cho 30 điểm có điểm thẳng hàng (ngồi khơng cịn điểm thẳng hàng) Qua điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất đường thẳng Câu V(3 điểm): 1)Tìm cặp số nguyên x,y thỏa mãn: 3xy + x − y = 6n − 2) Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn 4n − …………………………………………………………….… Hết………………………………………………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Câu Ý Nội dung { [ ( ) A = −5 22 − − 222 − − 122 − 100 − 22 + 2022 (1,5 điểm) ( ) ( ) ] A = −5 22 + 222 − 122 − 100 − 22 + 2022 A = −5 22 + 222 − 122 − 100 + 22 + 2022 ( Câu I (1,5 điểm điểm) [ A = −5 22 + 222 + − 122 − 100 − 22 + 2022 ]} ) A = − 22 + 22 + ( 222 − 122 − 100 ) + 2022 = 2022 1 B = + (1 + ) + (1 + + 3) + ⋅ ⋅ ⋅ + (1 + + + + 20) 20 2.3 3.4 20.21 B = 1+ ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅ 2 20 2 21 B = + + + ⋅⋅⋅ + 2 2 1 20.21 B = ( + + + ⋅ ⋅ ⋅ + 21) = (1 + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + 20) = ⋅ = 105 2 2 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,75 0,25 0,5 5.4 6.9 − 39.( − 8) 5.4 6.9 − 39.8 = 4.213.38 + 2.8 4.(−27) 4.213.38 − 2.8 4.27 (1,0 điểm) Câu II điểm C= 5.212.38 − 39.212 212.38 ( − 3) 212.38.2 C = 15 13 = 13 = 13 = − 3 − 3 14.7 2021 = 35.7 2021 − 3.49 x ( ) 3.49 x = 35.7 2021 − 14.7 2021 3.7 x = 5.7.7 2021 − 2.7.7 2021 (2,0 điểm) 0.5 3.7 x = 5.7 2022 − 2.7 2022 3.7 x = 5.7 2022 − 2.7 2022 3.7 x = 2022 ( − ) = 3.7 2022 x = 2022 x = 2022 x = 2022 : = 1011 Vậy x=1011 (2,0 điểm) 1,0 1 1 1  + + + + +  x = + + + + + 10  2 1 1 1 1  2  3  8   + + + + +  x =  + 1 +  + 1 +  + 1 + +  + 1 + 10  2 9  8  7  2  1 10 10 10 10 10 1 1 + + + + +  + + + + +  x = 10  10 2 1 1 1 1 1 1  + + + + +  x = 10 + + + + +  ⇒ x = 10 10  10  2 2 0.5 0.5 0.5 0,25 0,75 1,0 1,5 điểm Câu III điểm 1,5 điểm 2.a 1,0 điểm Vậy x=10 0,25 Ta có: A = 2n + n − = n( 2n + 1) − Vì A chia hết cho 2n+1 nên n( 2n + 1) − 62n + mà n( 2n + 1) 2n + nên 62n + ⇒ 2n + ∈ U( ) = { ± 1;±2;±3 ± 6} Do 2n+1 số lẻ nên 0,5 2n + ∈ U( ) = { ± 1;±3} Ta có bảng sau: 2n+1 2n n 0 -1 -2 -1 -3 -4 -2 0,5 Vậy với n ∈ { − 2;−1;0;1} A=2n2+n-6 chia hết cho 2n+1 Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ p không chia hết cho Ta có: p − = p − p + p − = p( p − 1) + ( p − 1) = ( p − 1)( p + 1) 0,25 ⇒ p − = ( p − 1)( p + 1) = 2k ( 2k + 2) = 4k ( k + 1) 8(1) Mặt khác , p-1,p,p+1 ba số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p không chia hết p-1 p+1 chia hết cho Từ suy ra: ⇒ p − = ( p − 1)( p + 1) 3( ) 0,5 Do p số lẻ nên p = 2k + 1( k ∈ N * ) 0,25 0,5 Vì (3;8)=1 từ (1) (2) nên suy p − 124 0,25 Ta có: x − y = ⇒ x − = y ⇒ x − x + x − = y ⇒ ( x + 1)( x − 1) = y 0,25 Vì y 2 ⇒ ( x + 1)( x − 1) 2 mà ( x + 1) + ( x − 1) = x 2 nên x-1 x+1 số chẵn liên tiếp ⇒ ( x + 1)( x − 1) 8 ⇒ y 8 ⇒ y 4 mà (3,4)=1 nên y 4 ⇒ y 2 mà y số nguyên tố nên y=2 0,5 Với y=2, suy x − 6.2 = ⇒ x − 24 = ⇒ x = 25 = ⇒ x = 0,25 Vậy (x;y)=(5;2) Câu IV điểm 1,5 điểm Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: ( ) 15. 8 = 120 m2 0,5 Diện tích phần trồng hoa hình thoi là: ( ) 120 – 75 = 45 m2 0,5 Độ dài đường chéo AC là: 45. 2 : 9 = 10 m ( ) 0,5 x A M O B y Vì hai điểm A,M thuộc tia Ox (OM OM+MA=OA =>MA=OA-OM=5-1=4cm suy MO MA 2a 2,0 điểm tia đối (1) 0,75 Vì Ox Oy hai tia đối M thuộc Ox, B thuộc Oy nên OM OB hai tia đối => O nằm B M=> OM+OB=MB =>MB=3+1=4cm suy MO MB tia trùng (2) 0,75 Từ (1) (2) suy MA MB tia đối nhau, hay M nằm A, B MA=MB=4cm nên M trung điểm AB 0,5 Giả sử có 30 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng số đường thẳng là: 30(30-1):2=435 (đường thẳng) 0,25 Với điểm, khơng có điểm thẳng hàng vẽ được: 0,25 2b 5(5-1):2=10 (đường thẳng) (1,5 điểm) Nếu điểm thẳng hàng vẽ (đường thẳng) Do số đường thẳng giảm là: 10-1=9 (đường thẳng) 0,25 0,5 Vậy vẽ 435-9=426 (đường thẳng) xy + x − y = ⇒ x( y + ) − y = ⇒ 3x( y + ) − 15 y = 18 ⇒ x( y + ) − 15 y − 10 = 18 − 10 ⇒ x( y + ) − 5( y + ) = ⇒ ( 3x − 5)( y + ) = ⇒ y + ∈ U ( 8) = { ± 1;±2; ;±4;±8} Mà 3y+2 số chia cho dư ⇒ y + ∈ { − 1;2;−4;8} Câu V điểm (2 điểm) Ta có bảng sau: 3y+2 -4 -1 3x-5 -2 -8 y -2 -1 x -1 Vậy ( x; y ) ∈ { (1;−2 ) , ( − 1;−1) , ( 3;0 ) , ( 2;2)} 0,5 0,5 2 1,0 Ta có: M = 6n − 3 = + 4n − 4n − Vì phân số có tử 6>0 nên để M đạt giá trị lớn 4n-6 đạt giá 4n − 0,25 0,25 trị dương nhỏ với n số nguyên Do 4n − = ⇒ 4n = ⇒ n = Khi M = Vậy giá trị lớn M 4,5 n=2 0,25 + = 2 0,25 0,25 UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2021-2022 Mơn: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút (Đề gồm 07 câu, 02 trang) Câu I (1,5 điểm) 1)Tìm số phần tử tập hợp sau: A = { 3; 6; 9; 12; ; 2022} 2) Tính giá trị biểu thức sau: a) 41,54 − 3,18 + 23,17 + 8, 46 − 5,82 − 3,17 1  1  1  1     − 1÷  − 1÷ b)  − 1÷. − 1÷  − 1÷. − 1÷           2022   2023  Câu II (1,5 điểm) Tìm x, biết 1) 105 − [(2 x + 7) − 13] = 25 2) x + x + + x +3 = 2751 Câu III (1,0 điểm) 1) Số nhà hai bạn An Bình số tự nhiên có bốn chữ số dạng a53b chia hết cho Tìm số nhà hai bạn biết số nhà bạn An lớn số nhà bạn Bình 2) Tìm số nguyên tố p cho p + 10 p + 20 số nguyên tố Câu IV (1,5 điểm) 5n + 1) Chứng minh với số tự nhiên n phân số tối giản 3n + 2) Vào tháng 9, giá bán máy tính 24 000 000 đồng Đến tháng 10, cửa hàng tăng giá lên 20% Đến tháng 11, cửa hàng hạ giá tháng 10 xuống 20% Hỏi giá bán máy tính vào tháng tháng 11, tháng đắt Câu V (1,0 điểm) Hùng tập ném bóng vào rổ Khi thực ném 100 lần có 35 lần bóng vào rổ 1) Lập bảng thống kê; 2) Tính xác suất thực nghiệm kiện ném bóng vào rổ; Câu VI (3,0 điểm) 1) Người ta xếp bốn hình chữ nhật có chiều rộng hình cm ; chiều dài cm để hình vng ABCD bên có hình vng MNPQ (như hình vẽ) Tính diện tích hình vuông MNPQ 2) Lấy điểm O đường thẳng xy Trên tia Ox lấy điểm A cho OA = 2cm Trên tia Oy lấy hai điểm M B cho OM = 1cm; OB = 4cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BM b) Chứng tỏ M trung điểm đoạn thẳng AB c) Cho điểm Q không thuộc đường thẳng xy lấy thêm 2017 điểm phân biệt khác thuộc đường thẳng xy không trùng với điểm A, B, M, O Hỏi vẽ đoạn thẳng có đầu mút điểm số điểm cho? Câu VII (0,5 điểm) 15 20232 − Cho A = + + + + Chứng minh giá trị A tự nhiên 20232 - Hết HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2021-2022 Mơn: TỐN - LỚP Câu Nội dung 1)Tìm số phần tử tập hợp sau: A = { 3; 6; 9; 12; ; 2022} Số phần tử tập hợp A 2022 − + = 674 Điểm 0,5 2) Tính giá trị biểu thức sau: Câu I (1,5 điểm) a) 41,54 − 3,18 + 23,17 + 8, 46 − 5,82 − 3,17 = ( 41,54 + 8, 46 ) − ( 3,18 + 5,82 ) + ( 23,17 − 3,17 ) 0,25 = 50 − + 20 = 61 1  1  1  1     − 1÷  − 1÷ b)  − 1÷  − 1÷  − 1÷  − 1÷           2022   2023  0,25 2021 2022 = 2022 2023 = 2023 1) 105 − [(2 x + 7) − 13] = 25 105 − [(2 x + 7) − 13] = 25 105 − [(2 x + 7) − 13] = 52 (2 x + 7) − 13 = 105 − 25 0,25 0,25 0,25 ( x + ) − 13 = 80 x + = 93 Câu II x = 86 (1,5 điểm) 0,5 x = 43 2) x + x + + x +3 = 2751 x + x.49 + x.253 = 2751 x ( + 49 + 343) = 2751 x.393 = 2751 7x = x =1 1) Vì a53b chia hết b 0,25 0,5 0,25 Câu III (1,0 điểm) + Với b = 0, số a53bM9 nên a + + + b = a + + + chia hết cho Suy a = + Với b = 5, số a53bM9 nên a + + + b = a + + + chia hết cho Suy a = Vậy số nhà bạn An 5535, số nhà bạn Bình 1530 2) Tìm số nguyên tố p cho p + 10 p + 20 số nguyên tố + Nếu p số chẵn p + 10 số chẵn lớn nên hợp số + Nếu p số lẻ p = 3k, p = 3k − 1, p = 3k + Với p = 3k − p + 10 = 3k − + 10 = 3k + = 3(k + 3) hợp số Với p = 3k ⇒ p = , p + 10 = 13, p + 20 = 23 số nguyên tố Với p = 3k + p + 20 = 3k + + 20 = 3k + 21 = 3(k + 7) hợp số Vậy p = thỏa mãn đề 1) Chứng minh với số tự nhiên n 0,25 0,25 0,25 5n + phân số tối giản 3n + Gọi d = ƯCLN (5n + 3, 3n + 2) ⇒ 5n + 3Md;3n + 2Md Do ⇒ ( 5n + 3) Md; ( 3n + ) Md Câu IV (1,5 điểm) Câu V(1,0 điểm) Câu VI(3,0 điểm) 0,25 ⇒ [ 15n + 10 − (15n + 9) ] Md ⇒ 1Md Suy d = 5n + Do phân số tối giản 3n + 2) Giá bán máy tính tháng 10 24 000 000 + 24 000 000 20% = 28 800 000 đồng Giá bán máy tính tháng 11 28 800 000 - 28 800 000 20% = 23 040 000 đồng Vậy giá bán máy tính vào tháng đắt tháng 11 1) Lập bảng thống kê 2) Xác suất thực nghiệm kiện ném bóng vào rổ là: 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 35 = 0,35 100 0,5 1) Độ dài cạnh hình vng MNPQ là: – = (cm) 0,5 Diện tích hình vng MNPQ là: 3.3 = (cm2) 0,5 2) Vẽ hình 0,25 a) Vì M nằm O B nên OM + MB = OB Từ tính MB = cm b) Tính độ dài AB = 6cm Tính độ dài đoạn AM = 3cm AB Suy AM = MB = nên M trung điểm AB c) Tổng số điểm đường thẳng xy 2021 điểm 0,5 0,5 0,5 Gọi tên điểm A, B, M, O, P1, P2, P3, , P2017 Từ Q vẽ 2021 đoạn thẳng nối với điểm lại Từ A vẽ 2020 đoạn thẳng nối với điểm lại (trừ điểm Q) Từ B vẽ 2019 đoạn thẳng nối với điểm lại (trừ điểm A, Q) Vậy tổng số đoạn thẳng vẽ là: 2021 + 2020 + 2019 + + + + = 2022.1010 + 1011= 043 231 Cho A = 0,25 15 20232 − + + + + Chứng minh biểu thức A khơng có 22 32 20232 giá trị tự nhiên Câu VII (0,5 điểm) 22 − 32 − 42 − 20232 − + + + + 22 32 42 20232 1 A = − + − + + − 20232   1 A = 2022 −  + + + ÷ 20232  2 1 1 1 < + + + = 1−