Chuyên Đề Ứng Dụng Vectơ Để Giải Toán Hình Học Có Lời Giải

thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Phương pháp chung Để giải tốn tổng hợp phương pháp vectơ ta thường thực theo bước sau Bước 1: Chuyển giả thiết kết luận tốn sang ngơn ngữ vectơ, chuyển toán tổng hợp toán vectơ Bước 2: Sử dụng kiến thức vectơ để giải tốn Bước 3: Chuyển kết tốn vectơ sang kết toán tổng hợp Sau số dạng toán thường gặp I CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH Phương pháp giải  Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ phương, tức tồn số thực k cho:  Để chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định ta chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H điểm cố định Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B Chứng minh M thuộc đường thẳng AB có hai số thực có tổng cho: , Lời giải * Nếu A, B, M thẳng hàng Đặt * Nếu với Suy M, A, B thẳng hàng Ví dụ 2: Cho góc xOy Các điểm A, B thay đổi nằm Ox, Oy cho trung điểm I AB thuộc đường thẳng cố định Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I (*) Từ ví dụ ta cần xác định hai điểm cố định A', B' cho thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' Ox, Oy Ta có hợp với giả thiết Chứng minh với Do từ hệ từ ta cần chọn điểm cho ta chọn điểm A' B' cho thuvienhoclieu.com Kết Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Lời giải Trên Ox, Oy lấy hai điểm A', B' cho Do I trung điểm AB nên Ta có Do điểm I thuộc đường thẳng A'B' cố định Ví dụ 3: Cho hình bình hành , I trung điểm cạnh BC E điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta tìm số k cho , muốn ta phân tích vectơ dụng nhận xét " qua hai vectơ không phương với và sử hai vectơ khơng phương " từ tìm Lời giải (hình 1.35) Ta có Mặt khác theo giả thiết ta có (1) A suy B I E D (2) C Hình 1.35 Từ (1) (2) suy Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động hai đoạn thẳng cố định BC BD ( ) cho Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Lời giải thuvienhoclieu.com Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Dễ thấy tồn điểm I thuộc MN cho Gọi H điểm thỏa mãn H cố định Ta có (theo (1)) (3) Do điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định hệ thức (3)) Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song giác đường tròn (O) Chứng minh trực tâm ba tam nằm đường thẳng Lời giải Gọi trực tâm tam giác Ta có: , Suy Vì dây cung song song với Nên ba vectơ Do hai vectơ có phương phương hay ba điểm thẳng hàng Bài tập luyện tập Bài 1.101: Cho tam giác điểm M trung điểm AB, N thuộc cạnh AC cho điểm đối xứng với B qua C Chứng minh M, N, P thẳng hàng thuvienhoclieu.com , P Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Bài 1.102: Cho tam giác Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho Gọi O giao điểm CM BN Trên đường thẳng BC lấy E Đặt Tìm x để A, O, E thẳng hàng Bài 1.103: Cho trọng tâm G lấy điểm I, J thoả mãn Bài 1.104: Cho tam giác , Chứng minh IJ qua Hai điểm M, N di động thỏa mãn a) Chứng minh MN qua điểm cố định b) P trung điểm AN Chứng minh MP qua điểm cố định Bài 1.105: Cho hai điểm M,P hai điểm di động thỏa mãn qua điểm cố định Chứng minh MP Bài 1.106 Cho hình bình hành Gọi E điểm đối xứng D qua điểm A, F điểm đối xứng tâm O hình bình hành qua điểm C K trung điểm đoạn OB Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng K trung điểm EF Bài 1.107: Cho hai tam giác Gọi Chứng minh Bài 1.108 Cho tam giác ; trọng tâm tam giác trọng tâm tam giác thẳng hàng tính , Các điểm M, N, P nằm đường thẳng BC, CA, AB cho Tìm điều kiện , ,  để M, N, P thẳng hàng Bài 1.109: Cho tứ giác BD tâm O thẳng hàng Bài 1.110: Cho lục giác ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh trung điểm hai đường chéo AC, nội tiếp đường tròn tâm O thỏa mãn giác dựng tam giác trọng tâm tam giác Bài 1.101: Ta chứng minh Về phía ngồi lục đồng dạng cân M, N, P, Q, R, S Gọi Chứng minh ba điểm thẳng hàng M, N, P thẳng hàng Bài 1.102: Ta có: A, E, O thẳng hàng thuvienhoclieu.com Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Vậy giá trị cần tìm Bài 1.103: Suy I, J, G thẳng hàng Bài 1.104: a) Gọi G trọng tâm tam giác Suy suy thẳng hàng hay MN qua điểm cố định G b) P trung điểm AM Gọi I trung điểm BC, J trung điểm AI suy Do suy MP qua điểm cố định J Bài 1.105: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác suy Do Vậy MP qua điểm cố định I Bài 1.106: Ta có: , Vì K trung điểm EF Bài 1.107: Vì Tương tự trọng tâm tam giác suy trọng tâm tam giác suy Mặt khác Mà trọng tâm tam giác thuvienhoclieu.com Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Suy Do Vậy Bài 1.108: Ta có: Ta có: Và Để M, N, P thẳng hàng ta phải có Bài 1.109: Gọi P, Q, R, S tiếp điểm đoạn thẳng AB,BC,CD,DA đường tròn tâm O Đặt Áp dụng định lý nhím cho tứ giác ta có: Suy O, M, N thẳng hàng (đpcm) Bài 1.110: Gọi hình chiếu Suy lên trung điểm thuvienhoclieu.com Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Ta có ( Vì theo định lí nhím Mặt khác ) suy Do Hay ba điểm thẳng hàng II CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp giải  Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta chứng minh đường thẳng CD điểm A không thuộc  Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh theo hai hướng sau: + Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định + Chứng minh đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng cịn lại Các ví dụ Ví dụ 1: Cho ngũ giác Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I, J trung điểm đoạn MP NQ Chứng minh IJ song song với AE A B M Lời giải (hình 1.36) I Ta có E J Q N C P D Hình 1.36 Suy IJ song song với AE Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn , AM, BN, CP đồng quy O, với O điểm xác định Lời giải thuvienhoclieu.com Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Ta có Suy M, O, A thẳng hàng hay AM qua điểm cố định O Tương tự ta có BN, CP qua O Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy Ví dụ 3: Cho sáu điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi tam giác có ba đỉnh lấy sáu điểm tam giác có ba đỉnh cịn lại Chứng minh với cách chọn khác đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác đồng quy Định hướng Giả sử sáu điểm A, B, C, D, E, F Ta cần chứng minh tồn điểm H cố định cho với cách chọn khác H thuộc đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác Nếu tam giác ABC tam giác DEF Gọi G G' trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF H thuộc đường thẳng có số thực k cho Vì vai trị điểm A, B, C, D, E, F tốn bình đẳng nên chọn k cho Lời giải Gọi H trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F Giả sử trọng tâm hai tam giác suy Suy Do GG' qua điểm cố định H đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác đồng quy Bài tập luyện tập Bài 1.111: Cho tứ giác , gọi K, L trọng tâm tam giác ABC tam giác BCD Chứng minh hai đường thẳng KL AD song song với thuvienhoclieu.com Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Bài 1.112: Trên cạnh BC, CA, AB tam giác lấy điểm Trên cạnh lấy điểm Chứng minh tam giác tam giác cho cho có cạnh tương ứng song song với cạnh Bài 1.113: Trên đường tròn cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Qua trọng tâm ba năm điểm kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng qua hai điểm lại Chứng minh mười đường thẳng nhận cắt điểm Bài 1.114 Cho tứ giác nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Kẻ MM', NN', PP', QQ' vng góc với CD, DA, AB, BC Chứng tỏ bốn đường thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy điểm Nhận xét điểm đồng quy hai điểm I, O (I giao điểm MP NQ) Bài 1.115: Cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi năm điểm đó, hai điểm lại xác định đoạn thẳng đường thẳng nối trọng tâm tam giác Bài 1.116: Cho tam giác tam giác có ba đỉnh lấy Chứng minh với cách chọn trung điểm đoạn thẳng khác qua điểm cố định Ba đường thẳng x, y, z qua A, B, C chúng chia đôi chu vi tam giác Chứng minh x, y, z đồng quy Bài 1.117: Cho tam giác ABC, đường trịn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P.Chứng minh AM, BN, CP qua điểm, xác định điểm Bài 1.118 : Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Gọi G giao điểm MP NQ Chứng minh b) Gọi trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh đường thẳng đồng quy điểm G Bài 1.119: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M điểm tùy ý Gọi với M qua trung điểm I, J, K cạnh BC, CA, AB Chứng minh a) Các đường thẳng đồng quy trung điểm O đường b) M, G, O thẳng hàng Bài 1.120: Cho tam giác cạnh Gọi Gọi M, N, P tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác đường thẳng qua trung điểm PN vng góc với BC, qua trung điểm PM vng góc với AC, minh với đường thẳng đường thẳng qua trung điểm MN vng góc với AB Chứng đồng quy Bài 1.121: Cho hai hình bình hành xếp cho B' thuộc cạnh AB, D' thuộc cạnh AD Chứng minh đường thẳng Bài 1.111: Ta có điểm đối xứng đồng quy thuvienhoclieu.com Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Trừ vế với vế ta Suy KL//AD Bài 1.112: , Tương tự ta có nên Bài 1.113: Giả sử năm điểm điểm H thuộc mười đường thẳng Gọi G trọng tâm tam giác nằm đường tròn (O) Ta cần chứng minh tồn ; P trung điểm đoạn thẳng nên điểm H thuộc đường thẳng qua G vng góc với đường thẳng Mà Vì (do có số thực k cho (vì G trọng tâm tam giác (vì P trung điểm đoạn thẳng ) ) ) Do Hay Vì điểm tốn có vai trị bình đẳng nên chọn k cho Khi Hay (G trọng tâm hệ điểm ) Bài 1.114: Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc đường thẳng MM', NN', PP', QQ' Vì OP CD (do OC = OD) nên điểm H thuộc đường thẳng MM' có số thực k cho Mà M P trung điểm AB CD nên Do Hay Vì điểm A, B, C, D tốn có vai trị bình đẳng nên chọn Khi Hay (Dễ thấy I trọng tâm tứ giác ABCD) thuvienhoclieu.com Trang 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Vậy H điểm đối xứng O qua I Bài 1.115: Gọi A, B, C ba đỉnh tam giác DE đoạn thẳng Gọi G trọng tâm tam giác M trung điểm DE với điểm O tùy ý ta có Do GM ln qua điểm cố định O trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, E Bài 1.116: Hướng dẫn : Đặt Giả sử đường thẳng x qua A cắt BC M ta có Suy Do : Tương tự ta có : Do x, y, z đồng quy I xác định bới Bài 1.117: Giả sử đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC M Gọi B’,C’ tiếp điểm cạnh AB,AC với đường tròn bàng tiếp góc A Khi Đến tương tự 1.116 Bài 1.118: a) Ta có: b) ; phương hay AA1 qua G Tương tự ta có BB1 qua G; CC1 qua G; DD1 qua G Vậy ta có đồng quy G Bài 1.119: a) Gọi O trung điểm CC1 (vì hình bình hành) hay O trung điểm AA1 thuvienhoclieu.com Trang 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Tương tự ta có hay O trung điểm BB1 Vậy đồng quy trung điểm O đường b) Ta có: M, G, O thẳng hàng Bài 1.120: Đặt Gọi X, Y, Z trung điểm NP, PM, MN O điểm xác định Suy Suy Suy , tương tự ta có đồng quy O Bài 1.121: Đặt Gọi I giao điểm BD' DB' Ta có Do ; Suy Suy I, C', C thẳng hàng đpcm thuvienhoclieu.com Trang 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com III BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp Phân tích vectơ qua hai vectơ khơng phương sử dụng kết sau: Cho hai vectơ khơng phương  Với vectơ tồn số thực cho   Nếu hai vectơ phương Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho Gọi O giao điểm CM BN A Tính tỉ số M Lời giải (hình 1.37) N Giả sử ; B Ta có O Hình 1.37 C ; Và Vì có cách biểu diễn qua suy Vậy Ví dụ 2: Cho hình bình hành M thuộc đường chéo AC cho điểm P, Q cho Tính tỉ số Trên cạnh AB, BC lấy Gọi N giao điểm AQ CP theo thuvienhoclieu.com Trang 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Lời giải (hình 1.38) Đặt P A , ta có: B N Q M D Vì C Hình 1.38 nên Mặt khác Vì nên Từ (1) (2) ta suy ra: Do Ví dụ 3: Cho tam giác có trung tuyến AM Trên cạnh AB AC lấy điểm B’ C’ Gọi M' giao điểm B'C' AM Chứng minh: Lời giải (hình 1.39) Đặt A Vì B' C' M' B M C Hình 1.39 thuvienhoclieu.com Trang 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Hay Bài tập luyện tập đpcm Bài 1.122 Cho tam giác ABC, cạnh AB, BC ta lấy điểm M, N cho Gọi I giao điểm AN CM Tính tỉ số Bài 1.123: Cho tam giác trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt đoạn thẳng AM, AC BC D, E F Một điểm G nằm cạnh AB cho FG song song AC Tính Bài 1.124: Cho có Phân giác AD góc cắt trung tuyến BM I Tính Bài 1.125: Cho tam giác , cạnh AC lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm N cho: , gọi O giao điểm AN BM Tính diện tích biết diện tích Bài 1.126: Cho hình bình hành Bài 1.127: Cho tứ giác AG cắt BC I Tính có hai đường chéo cắt O Qua trung điểm M AB dựng đường thẳng MO cắt CD N Biết cạnh Gọi M, N nằm cạnh AB, CD cho , G trọng tâm tam giác Bài 1.128 Cho tam giác , , tính M điểm nằm cạnh BC cho Một đường thẳng cắt phân biệt Chứng minh Bài 1.129: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB CD cắt M Qua trung điểm S BD kẻ SM cắt AC K Chứng minh Bài 1.122: Đặt thuvienhoclieu.com Trang 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Ta có: Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có: Tương tự: Bài 1.123: Ta đặt: Khi số k cho , với Vì E nằm ngồi đoạn thẳng AC nên có Khi Điểm D nằm AM EF nên có hai số x y cho: Hay Vì hai vectơ không phương nên Suy , Ta có: Chú ý = hay suy Do Bài 1.124: Ta có: (1) (2) Từ (1) (2) suy Bài 1.125: Vì A, O, N thẳng hàng nên: thuvienhoclieu.com Trang 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Tương tự: hay Đặt , (1) , Ta có : Thay vào (1) ta có: Từ ta có: Với hay Vì Bài 1.126: Đặt Ta có Mặt khác G trọng tâm tam giác Vì suy phương nên Bài 1.127: Ta có Vì Đặt cung phương nên có số thực k cho , ta có thuvienhoclieu.com Trang 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuvienhoclieu.com Suy Bài 1.128: Ta có Đặt Ta có Mặt khác , phương nên Hay Bài 1.129: (hình 1.56) Đặt Ta có: C K (1) B M S A Do: D phương nên Hình 1.56 Mặt khác Suy Từ (1) (2) suy ra: thuvienhoclieu.com Trang 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... mãn Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta tìm số k cho , muốn ta phân tích vectơ dụng nhận xét " qua hai vectơ không phương với và sử hai vectơ. .. II CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp giải  Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta chứng minh đường thẳng CD điểm A không thuộc  Để chứng minh... cho Gọi O giao điểm CM BN A Tính tỉ số M Lời giải (hình 1.37) N Giả sử ; B Ta có O Hình 1.37 C ; Và Vì có cách biểu diễn qua suy Vậy Ví dụ 2: Cho hình bình hành M thuộc đường chéo AC cho