SKKN phương pháp kẻ hình lăng trụ là hình vuông trong giải toán hình học

MỤC LỤC Mở đầu Trang 1.1 Lí chọn đề tài Trang 1.2 Mục đích ngiên cứu Trang 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Trang 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trang 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Trang 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trang 2.3.1 Kiến thức hình vuông Trang 2.3.2 Phương pháp dựng trực tiếp Trang Bài toán Trang Bài toán Trang Bài toán Trang Bài toán Trang Bài toán Trang Bài toán Trang Bài toán Trang Bài toán Trang 10 2.3.3 Phương pháp dựng gián tiếp Trang 12 Bài toán Trang 12 Bài toán 10 Trang 13 Bài toán 11 Trang 14 Bài toán 12 Trang 15 Bài toán 13 Trang 16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đối Trang 17 Kết luận, kiến nghị Trang 18 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Để giúp cho học sinh hình thành, phát triển lực phẩm chất trí tuệ người giáo viên cần phải sử dụng phương pháp kĩ thuật dạy học tích cực, kĩ thuật động não kĩ thuật giúp học sinh tìm kiếm, chứng minh định lý, tìm lời giải hay cho tốn, có tác dụng rèn luyện cho học sinh phương pháp khoa học suy nghĩ, suy luận… qua có tác dụng rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo, linh hoạt, nhạy bén, Trong tốn học phần hình học mơn học khó với lứa tuổi học sinh trung học sở, tính trừu tượng mơn học cao Có thể nói rằng, hầu hết học sinh gặp nhiều khó khăn việc học tập mơn hình học, từ phần nắm bắt lý thuyết, định nghĩa, định lý, tiên đề,… đến việc hoàn thiện chứng minh dạng toán, lập luận, suy luận để dẫn đến điều phải chứng minh Hầu hết học sinh chưa cảm nhận hay, đẹp hình học, ngại học mơn nhiều nguyên nhân khác dẫn tới kết học tập chưa cao Một điều kiện phát triển tư tích cực - độc lập sáng tạo học sinh giáo viên phải sử dụng kĩ thuật động não cách phù hợp với đơn vị kiến thức với đối tượng học sinh nhằm kích thích học sinh tìm tịi, phát giải vấn đề Trước u cầu đó, tơi xin trình bày đề tài: “ Phương pháp kẻ đường phụ làm xuất hình vng giải tốn hình học” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Đề tài “ Phương pháp kẻ đường phụ làm xuất hình vng giải tốn hình học” giúp cho học sinh hình thành nên phương pháp để chứng minh đặc tính hình học Qua rèn luyện cho học sinh khả nhìn nhận tư xác, hợp lơgic Việc xây dựng nên “Phương pháp kẻ đường phụ làm xuất hình vng giải tốn hình học” có tác dụng rõ rệt việc rèn luyện cho học sinh phương pháp khoa học suy luận, biến kiến thức thu nhận thành công cụ để nhận thức học tập - Học sinh hiểu phương pháp kẻ đường phụ làm xuất hình vng, từ hệ thống hóa bổ sung kiến thức liên quan chương trình hình học lớp 7, 8, - Trong đề tài đưa hệ thống tốn có phân tích để tìm đươc cách kẻ đường phụ làm xuất hình vng trực tiếp hay gián tiếp từ tìm cách giải cho tốn 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU + Đề tài tập trung vào việc giải tập hình học địi hỏi phải vẽ thêm đường phụ, hình phụ + Đề tài phải để học sinh thấy cần thiết phải vẽ thêm đường phụ, hình phụ + Học sinh phải vẽ đường phụ, hình phụ, tìm tịi lời giải toán phải hiểu xem lại kẻ thêm đường phụ, hình phụ 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu kĩ lí luận dạy học làm tiền đề xây dưng sở lí thuyết cho sáng kiến kinh nghiệm - Quan sát việc giải tốn có sử dụng việc vẽ đường phụ, hình phụ học sinh để thấy ưu nhược điểm học sinh - Điều tra khảo sát thực tế việc giải tốn hình học cách vẽ đường phụ học sinh đồng thời tìm tịi tốn có sử dụng vẽ đường phụ hình vng để giải - Từ xếp tốn cách hợp lí để trình bày vào sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: - Khi thực hành giải Tốn phải có thao tác, phương pháp định để đưa toán từ phức tạp đến đơn giản khơng rườm rà, cầu kì làm cho tốn thêm phức tạp Do giáo viên cần hướng dẫn, có phương pháp phù hợp, dễ hiểu đề đến kết nhanh xác - Học sinh học tập cách thụ động, máy móc, hay dựa vào mẫu sách giáo khoa, sách tham khảo chưa hình thành cho phương pháp riêng để giải tốn - Giáo viên tránh đơn điệu nhàm chán học toán, giải toán mà phải tạo hứng thú học toán, giải toán - Một số tốn giải nhiều cách khác song việc tìm lời giải hợp lí, ngắn gọn, độc đáo việc không dễ dàng Càng không dễ định hướng cách giải, phương pháp giải gần gũi với em Do “ Phương pháp kẻ đường phụ làm xuất hình vng giải tốn hình học” góp phần làm cho em có hứng thú sáng tạo học tốn, giải toán 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Phần lớn học sinh chưa cảm nhận vẻ đẹp, tính Logic, tư hình học, ngại học hình, tính trừu tượng cao, nhiều áp lực giải hàng loạt định lý, định nghĩa, tiên đề, hệ quả,… Song bên cạnh đó, hệ thống tập thực hành cịn ít, khó, khơng cụ thể, khơng đa dạng - Số lượng học sinh lớp đông, dẫn đến việc chuẩn bị điều kiện học tập cho học sinh giáo viên nhiều, việc quản lí học sinh học tạo điều kiện cho học sinh phát biểu ý kiến cịn - Một số học sinh chưa có thái độ đắn, chưa tự giác học tập, chưa tập trung ý, khám phá kiến thức, thực yêu cầu giáo viên sách giáo khoa đề ra, mà ỷ lại bạn bè, phụ thuộc vào bạn bè hoạt động học tập điều dẫn đến hiệu quả, chất lượng học tập không cao - Một số học sinh xem nhẹ việc học lý thuyết, việc vận dụng lý thuyết vào thực tế giải toán - Phần lớn học sinh hiểu vấn đề, song khơng diễn đạt được, khơng thể trình bày hồn chỉnh, khơng định hướng phương pháp giải tốn hướng phân tích tổng hợp 2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 2.3.1 Kiến thức hình vng a) Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh b)Tính chất: - Tính chất cạnh: có cạnh - Tính chất góc: có góc 900 - Tính chất đường chéo: + Hai đường chéo + Hai đường chéo cắt trung điểm đường + Hai đường chéo vng góc với + Hai đường chéo tia phân giác góc hình vng c) Dấu hiệu nhận biết hình vng: Dấu hiệu 1: Hình chữ nhật có hai cạnh kề Dấu hiệu 2: Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng Dấu hiệu 3: Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng Dấu hiệu 4: Hình thoi có góc vng hình vng Dấu hiệu 5: Hình thoi có hai đường chéo hình vng 2.3.2 Phương pháp dựng trực tiếp: Ngoài cách vẽ đường phụ như: đường vng góc, đường song song, tia phân giác, đường kính đường trịn,… cách vẽ hình phụ như: tam giác đều, hình bình hành, đường trịn,… Khi vẽ hình phụ hình vng làm xuất trung điểm đoạn thẳng, đoạn thẳng nhau, góc nhau, tam giác nhau, đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, góc có số đo 450,…giúp dễ dàng đến với lời giải tốn Dưới số ví dụ cụ thể Bài tốn 1: Cho  ABC vng A (AC > AB) có đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Vẽ tia Dx vng góc với BC cắt AC E Chứng minh rằng: AB = AE Hướng dẫn: Ta thấy = 900 AH = HD nên ta dựng hình vng nhận ba điểm A, H, D làm ba đỉnh Từ xuất hai tam giác nhận AB, AE tương ứng hai cạnh tốn giải C D E F x H Chứng minh: Xét tứ giác AHDF có: B A Gọi F hình chiếu A Dx = = 900 =  Tứ giác AHDF hình chữ nhật mà AH = HD ( GT )  Tứ giác AHDF hình vng Xét HAB FAE có: = 900 = AH = AF ( AHDF hình vng ) = (cùng phụ với )  HAB = FAE ( g.c.g )  AB = AE (đpcm) Từ toán 1khi tam giác ABC vng cân có đường trung tuyến CM ta có toán sau Bài toán 2: Cho  ABC vng cân A, có đường trung tuyến CM Đường thẳng qua A vng góc với CM cắt BC H Tính tỉ số ? Hướng dẫn: Do ABC vuông cân A nửa hình vng nên ta nghĩ tới việc dựng hình vuông nhận ba điểm A, B, C làm ba đỉnh Trong trường hợp làm xuất trung điểm đoạn thẳng để từ tính tỉ số N B K H M A C Chứng minh: Dựng hình vng ABKC Gọi giao điểm AH BK N Xét ACM BAN có: = = 900 AC = AB ( ABKC hình vng ) = (cùng phụ với )  ACM = BAN ( g.c.g )  AM = BN Ta có: AM = AB AB = AC  BN = AC  = Ta có: BN // AC ( BK // AC ) HBN ~ HCA  = = Vì tam giác vng nửa hình chữ nhật nên thay tam giác vng thành hình chữ nhật ta có tốn sau Bài tốn 3: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH  AC ( H  AC ) Trên tia đối tia BH lấy điểm E cho BE = AC Tính số đo ? Hướng dẫn: Dựng hình vng có cạnh AB Lúc ta có ba điểm thẳng hàng Dẫn tới góc tam giác vng cân nên tính số đo F K A E B H D C Chứng minh: Dựng hình vng ABKF Xét ABC BKE có: AB = BK ( ABKF hình vng ); = (cùng phụ với ) AC = BE ( GT )  ABC = BKE ( c.g.c ) = 900 mà = = 900 ( ABKF hình vng )  Ba điểm E, K, F thẳng hàng Ta có: BC = KE ( ABC = BKE ) Mà BC = AD ( ABCD hình chữ nhật )  KE = AD Mặt khác: KF = AF ( ABKF hình vng )  KE + KF = AD + AF  EF = DF Xét FDE có:  = 900 EF = DF  FDE vuông cân F = 450 hay = 450 Nếu từ tam giác vng mà có điều kiện đặc biệt hai cạnh góc vng ta có tốn sau Bài tốn 4: Cho  ABC vng A có AB = AC Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho AD = DE = EC Chứng minh rằng: = 450 + Hướng dẫn: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B ta dựng hình vng, lúc xuất góc có số đo : + toán giải B A M D N E C Chứng minh: Trên nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa điểm B dựng hình vng ADNM Xét MBN DCN có: MB = DC, = 900, MN = DN =  MBN = DCN ( c.g.c ) =  mà = (so le trong) = Ta có:  + = 900 +  = 900 = 900 Xét BNC có: = 900 NB = NC ( MBN = DCN )  BNC vuông cân N  = 450 Xét AEB DCN có: AE = DC; = = 900; AB = DN  AEB = DCN ( c.g.c )  = Ta có: + = + = = 450 ( đpcm ) Cũng từ tam giác vuông cân ta lấy trung điểm hai cạnh góc vng ta có toán sau Bài toán 5: Cho  ABC vuông cân A Gọi M, N trung điểm AB, AC Kẻ NH  CM ( H  CM ) Chứng minh rằng:  ABH cân dẫn: Ta dự đốn ABH cân B Vì ta chứng B K minh AB = BH đoạn thẳng thứ ba Do ta dựng hình vng để có đoạn thẳng có lời giải toán IHướng M H A N C Chứng minh: Dựng hình vng ABKC Xét AMC CKN có: AM = CN ( AM = AB, CN = AC AB = AC ) ( = 900 ) = AC = CK ( ABKC hình vng )  AMC = CKN ( c.g.c )  = Ta có:  = ( bù với ) =  Ba điểm N, H, K thẳng hàng Gọi giao điểm CM KB I Xét MBI MAC có: MB = MA ( M trung điểm AB ) = = ( đối đỉnh ) ( = 900 )  MBI = MAC ( g.c.g )  BI = AC Mà AC = BK ( ABKC hình vng )  BI = BK Xét HIK vng H có HB đường trung tuyến ứng với cạnh huyền IK  HB = IK = BK Mà BK = AB ( ABKC hình vng )  HB = AB  ABH cân B ( đpcm ) Vì tam giác vng cân nửa hình vng nên thay tam giác vng cân thành hình vng ta có tốn sau Bài tốn 6: Cho hình vng ABCD Lấy điểm M nằm hình vng cho = = 150 Chứng minh rằng:  ABM Hướng dẫn: Ta thấy AMB tam giác cân M Để chứng minh AMB ta cần chứng minh AM = AB Mà AB cạnh hình vng ABCD Do ta dựng hình vng cạnh DM toán giải A B E F M C D Chứng minh: Trên nủa mặt phẳng bờ DM có chứa điểm A, dựng hình vng DMEF Xét ADF CDM có: AD = DC ; = 150; DF = DM =  ADF = CDM ( c.g.c )  AF = MC = DM = EF Và = – =  AEF ( AF = FE  AE = EF = EM = AF  = = 1500 - 900 = 600 = = 600 ) = 600 = 600 + 900 = 1500 + Ta có: AME = ADF ( c.g.c ) (do AE = AF, = + = 1500, EM = FD )  AM = AD  Tứ giác AHMK hình chữ nhật  HM = AK (2) Từ (1) (2)  HB = AK Xét ABK BDH có: = 900 ; AK = HB (CM ) AB = BK ( ABKC hình vng ); Â =  ABK = BDH ( c.g.c )  = mà  + = 900 = = 900  BK  DH E ( với E giao điểm BK DH ) Tương tự: CH  DK F ( với F giao điểm CH DK ) Xét DHK có: KE  DH ( BK  DH ), HF  DK ( CH  DK ) Gọi giao điểm KE HF I  I trực tâm DHK  DI  HK (1) Gọi P giao điểm HM CD Ta có: Tứ giác CKMP hình vng Xét PMD MKH có: PM = MK; = = 900; PD = MH  PMD = MKH ( c.g.c )  =  DM  HK (2) Từ (1) (2)  Ba điểm I, M, D thẳng hàng  MI qua điểm D điểm cố định 2.3.3 Phương pháp dựng gián tiếp: Bên cạnh đó, có tốn ta vẽ đường phụ làm xuất hình vng trực tiếp Mà việc lấy điểm phụ, vẽ đường phụ cách hợp lí, toán xuất tứ giác mà ta chứng minh tứ giác hình vng Từ kết nối giả thiết với tìm lời giải cho tốn Dưới số ví dụ cụ thể Bài tốn 9: Cho  ABC vng A ( AB < AC ) Gọi M trung điểm BC Trên đường trung trực BC lấy điểm E cho ME = MB ( E A khác phía BC ) Chứng minh rằng: AE phân giác 12 = 900 Bài yêu cầu chứng minh AE phân Hướng dẫn: Ta thấy giác nên ta nghĩ tới việc tạo tứ giác sau chứng minh cho tứ giác hình vng có AE đường chéo E H B M A K C Chứng minh: Kẻ EH  AB ( H  AB ), EK  AC ( K  AC ) Xét tứ giác AHEK có: = = = 900  Tứ giác AHEK hình chữ nhật (1)  = 900 Xét MBE có MB = ME = 900  MBE vuông cân M  = 450 Tương tự: Ta có: = 450 = + = 450 + 450 = 900 Xét HBE KCE có: = = = 900 ( phụ với ) EB = EC ( E thuộc đường trung trực BC )  HBE = KCE ( ch.gn )  EH = EK (2) Tù (1) (2)  Tứ giác AHEK hình vng 13  AE phân giác (đpcm) Từ tam giác vuông toán lấy trung điểm cạnh huyền ta vẽ tia phân giác góc vng ta có tốn 10 sau Bài tốn 10: Cho  ABC vng A Tia phân giác AD Đường thẳng qua D vng góc với BC cắt AC I Chứng minh rằng: DB = DI Hướng dẫn: Ta thấy = 900 có AD tia phân giác nên ta dựng hình vng AMDN với M  AB, N  AC Lúc xuất hai tam giác nhận DB, DI làm cạnh tương ứng Bài toán giải A I N M B C D Chứng minh: Kẻ DM  AB ( M  AB ) Kẻ DN  AC ( N  AC ) Xét tứ giác AMDN có = = = 900  Tứ giác AMDN hình chữ nhật Hình chữ nhật AMDN có AD đường phân giác  Tứ giác AMDN hình vng Xét MBD NID có: = = 900 MD = ND ( tứ giác AMDN hình vuông ) = ( phụ với )  MBD = NID ( g.c.g )  DB = DI ( đpcm ) Khi thay tam giác vuông thành dạng đặc biệt tam giác vng cân ta có toán 11 sau 14 Bài toán 11: Cho  ABC vuông cân tai A Trên nủa mặt phẳng có bờ BC khơng chứa điểm A vẽ tia Bx cho = 1350 Gọi D điểm cạnh AB Đường thẳng qua D vuông góc với CD cắt tia Bx E Chứng minh rằng:  CDE vuông cân Hướng dẫn: Gọi giao điểm BE CD K Dựng hình vng nhận BD làm đường chéo Vận dụng kết tốn giải ta có DK = DI Từ ta có lời giải cho toán x E B I N H K D A C Chứng minh: Gọi giao điểm BE CD K Gọi giao điểm BC DE I Xét DEK DCI có: = = 900 DK = DI ( theo toán ) = ( phụ với )  DEK = DCI ( g.c.g )  DE = DC  DCE vuông cân D (đpcm ) Không xét tam giác vuông mà xét tam giác ta có tốn 12 sau 15 Bài toán 12: Cho  ABC có AH đường cao Trên tia HC lấy điềm D cho HD = HA Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tia Dx cho = 150 Tia Dx cắt AB E Chứng minh rằng:  EHD cân Hướng dẫn: Ta thấy = 450 Do ta kẻ DF  AB ( F  AB ) FDE vng cân F Dựng hình vng có FH đường chéo tốn A đươc giải F N M B x C H D E Chứng minh: Kẻ DF  AB ( F  AB ), HM  AB ( M  AB ), HN  DF ( N  DF ) Xét tứ giác HMFN có = = = 900  Tứ giác HMFN hình chữ nhật (1) Xét MAH NDH có: = 900; HA = HD ( GT ) ; = = = 300  MAH = NDH (ch.gn)  MH = NH (2) Từ (1) (2)  Tứ giác HMFN hình vng  = Xét FDE có: = 900 = 450  FDE vuông cân F Xét FHD FHE có: 16 FD = FE ( FDE vng cân F ) = (do = ) FH chung  FHD = FHE ( c.g.c )  HD = HE  HDE cân H Bài tốn sau khơng xét trường hợp đặc biệt tam giác mà tam giác nhọn ta có tốn 13 sau Bài tốn 13: Cho  ABC nhọn có đường cao BD, CE cắt H thỏa mãn AH = BC Gọi G trọng tâm  ABC Chứng minh rằng: GH qua trung điểm DE Hướng dẫn: Để chứng minh GH qua trung điểm DE ta dựng hình vng có DE đường chéo Gọi giao điểm hai đường chéo hình vng I Ta chứng minh cho ba điểm H, I, G thẳng hàng Lúc tốn chứng A minh N K I G D E H B M C Chứng minh: Gọi M, K, N trung điểm BC, AH, AG Xét DBC vng D có DM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC  BC = 2.DM Tương tự BC = EM, AH = 2.DK, AH = 2.EK Mà BC = AH 17  DM = EM = DK = EK  Tứ giác MDKE hình thoi (1) Ta có: = Mà =  = , = ( phụ với Mặt khác +  + = 900  = 900 (2) ) = 900 Từ (1) (2)  Tứ giác MDKE hình vng Gọi I giao điểm MK DE Ta có: IG đường trung bình MKN  IG // KN KN đường trung bình AHG  HG // KN  Ba điểm H, I, G thẳng hàng  HG qua trung điểm DE (đpcm) 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG Để kiểm tra đánh giá khả tiếp thu học sinh, hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng học sinh khối 8(học sinh không áp dụng đề tài học sinh sau thời gian áp dụng đề tài) Đề bài: Cho ABC vuông cân A Gọi M trung điểm AC H hình chiếu A BM Tính số đo K B N P H A Chứng minh: M C Dựng hình vng ABKC Gọi giao điểm AH CK N Kẻ CP  AN (P  AN)  HM // CP ( vng góc với AN ) Xét ACP có MA = MC, HM // CP  HA = HP 18 Ta có PAC = HBA ( ch.gn )  CP = HA  HP = CP  PHC vuông cân P  = 450  = 1350 Kết đạt Đối với học sinh không áp dụng đề tài: Số học sinh tham gia : 30 Mức điểm(đ) đ< 5≤ đ