CHUONG 4

Bài giảng Giải tích Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ §1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1 Khái niệm tích phân bất định 1.1.1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định (a, b) Nếu tồn hàm số F(x) thỏa mãn F’(x) = f (x) hay dF(x) = f (x) dx, ∀x ∈ ( a, b ) , F(x) gọi nguyên hàm f (x) (a, b) Định lý 4.1 Giả sử F(x) khả vi (a, b) F(x) nguyên hàm f (x), ∀x ∈ ( a, b ) Khi đó: • Với số C, F(x) + C nguyên hàm f (x), ∀x ∈ ( a, b ) Ngược lại, nguyên hàm f (x), ∀x ∈ ( a, b ) có dạng F(x) + C Định lý 4.2 Mọi hàm số liên tục đoạn [a, b] có nguyên hàm đoạn Ví dụ a F(x) = sinx + nguyên hàm f (x) = cosx , ∀x ∈ ¡ • b F(x) = x − nguyên hàm f (x) = 3x , ∀x ∈ ¡ 1.1.2 Định nghĩa tích phân bất định Nếu F(x) nguyên hàm f (x) (a, b) hay [a, b] biểu thức F(x) + C (C số tùy ý), gọi tích phân bất định f (x) (a, b) hay [a, b] Kí hiệu: ∫ f ( x)dx = F ( x) + C • Dấu ∫ gọi dấu tích phân • f (x) gọi hàm dấu tích phân • f (x) dx gọi biểu thức dấu tích phân • x gọi biến số tích phân 1.1.3 Các tính chất Nếu F(x), G(x) nguyên hàm f (x), g(x), ∀x ∈ ( a, b ) ∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx = aF ( x) + C , a: số khác ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx = F ( x) ± G ( x) + C 1.1.4 Bảng tích phân hàm số thông dụng Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 51 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ∫ 0.dx = C ∫ 1.dx = ∫ dx = x + C ∫ sin x α+1 x dx = + C , α ≠ −1 ∫ α +1 ∫ x dx = ln | x | +C ∫ + x dx = arctan x + C ∫ − x dx = arcsin x + C ax x ∫ a dx = ln a + C ∫ cos ∫ e dx = e + C ∫ sin x dx = − cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C ∫ α x x x x dx = − cot x + C dx = tan x + C dx x = arctan + C , a ≠ +x a a dx a+x ∫ a − x = 2a ln a − x + C , a ≠ dx x ∫ a − x = arcsin a + C , a ≠ ∫a ∫ a − x dx = ∫ dx x +α a2 x x a − x + arcsin + C 2 a = ln( x + x + α ) + C , α ∈ ¡ x + β dx = ( x x + β + β ln | x + x + β | +C ) 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 1.2.1 Phương pháp đổi biến số a Đổi biến dạng u = u(x) Định lý 4.3 Nếu u = u ( x) có đạo hàm liên tục [a, b] có f ( x) dx = g (u )du [a, b] ta có: ∫ f ( x)dx = ∫ g (u )du Ví dụ Tính I = ∫ − x dx Điều kiện: −1 ≤ x ≤  π π Đặt x = sin t , t ∈  − ,   2 ⇒ dx = cos t.dt Khi I = ∫ − sin t cos t.dt = ∫ cos t.dt = ∫ + cos 2t 1 dt = t + sin t cos t + C dt 2 1 = arcsin x + x − x + C 2 b Đổi biến dạng x = ϕ(t) (ϕ(t) hàm liên tục, có đạo hàm liên tục, có hàm số ngược) Định lý 4.4 Giả sử hàm số f (x) liên tục x [a, b] hàm số x = ϕ(t ) liên tục, có đạo hàm liên tục, đơn điệu t [α, β] lấy giá trị [a, b] Khi đó: ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ(t )]ϕ '(t )dt Ví dụ Tính I = ∫ sin x cos xdx Do d (sin x) = cos xdx , nên ta đặt t = sin x Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên ⇒ 52 dt = cos xdx Khi Bài giảng Giải tích t4 sin x ⇒ I = ∫ t dt = + C I= +C 4 1.2.2 Phương pháp tích phân phần Định lý 4.5 Giả sử u = u ( x), v = v( x) có đạo hàm liên tục x [a, b] Khi đó, [a, b] ta có: ∫ u( x).v '( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u '( x)dx * Các dạng tích phân phần thường gặp •  e ax    Dạng ∫ Pn ( x)  sin ax dx Đặt u = Pn ( x ) cos ax    Ví dụ Tính I = ∫ x cos xdx u = x du = dx ⇒  Đặt   dv = cos xdx v = sin x Suy ra: I = ∫ x cos xdx = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C •  ln x   ln x   arcsin x   arcsin x      dx u = Dạng ∫ Pn ( x)  Đặt    arccos x  arccos x   arctgx   arctgx  Ví dụ Tính I = ∫ arctan x dx x2 dx  du = u = arctan x    + x2 ⇒ Đặt    dv = x dx v = −  x Suy ra: arctan x dx x  1 dx = − arctan x + ∫ = − arctan x + ∫  − dx 2 ÷ x x x(1 + x ) x  x 1+ x  1 | x| = − arctan x + ln | x | − ln(1 + x ) + C = − arctan x + ln + C x x + x2 I =∫ • Ví dụ ax  sin bx  Dạng ∫ e  dx cos bx  Đặt u = e ax ax ax Tính I = ∫ e cos bxdx , J = ∫ e sin bxdx , ab ≠ du = −b sin bxdx u = cos bx  ⇒  Đặt  ax ax  dv = e dx v = a e Suy ra: I = ax b b e cos bx + ∫ e ax sin bxdx = e ax cos bx + ∫ e ax sin bxdx a a a a Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 53 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ax Tính J = ∫ e sin bxdx  du = b cos bxdx u = sin bx  ⇒  Đặt  ax ax dv = e dx v = a e J= Suy ra: Từ đó: I = ax b b e sin bx − ∫ e ax cos bxdx = e ax sin bx − I a a a a ax b1 b  b b2 e cos bx +  e ax sin bx − I ÷ = e ax cos bx + e ax sin bx − I a aa a  a a a  b2  b ⇒ 1 + ÷I = e ax cos bx + e ax sin bx a a  a  e ax (a sin bx − b cos bx) + C a + b2 1.3 Tích phân phân thức hữu tỉ Xét phân thức hữu tỉ R ( x ) có dạng ⇒ I= R( x) = b0 + b1 x + + bm x m a0 + a1 x + + an x n Trong đó, , bi ∈ ¡ , an ≠ 0, bm ≠ • Nếu m < n R ( x ) gọi phân thức thực • Nếu m > n R ( x ) gọi phân thức khơng thực Để đưa phân thức không thực dạng tổng đa thức phân thức thực sự, ta lấy tử chia cho mẫu Do đó, ta cần tìm cách tính tích phân phân thức thực sự: I1 = ∫ I2 = ∫ I3 = ∫ I4 = ∫ dx = ln ax + b + C , a ≠ ax + b a dx ( ax + b ) k = 1 + C , k ≠ , a ≠ − k a (ax + b) k −1 ( Ax + B ) dx (∆ = b − 4ac < 0) x + bx + c Ax + B ( x + bx + c) k (k ≥ 2, ∆ = b − 4ac < 0) Ta tính tích phân có dạng I I • I3 b b2 b2  b  b2  Ta có: x + bx + c = x + x + + c − =  x + ÷ +  c − ÷ 4  2  4 2 Từ giả thiết ta có: c − b2 b2 b2 > nên đặt m = c − ⇒ m= c− 4 Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 54 Bài giảng Giải tích Thực đổi biến: x + b = t ⇒ dx = dt x + bx + c = t + m , Ax + B = At + ( B − Ab ) Khi đó: I3 = ∫ Ab ) 2t Ab dt A Ab =A dt + ( B − )∫ = ln(t + m ) + ( B − )J 2 2 ∫ t +m t +m t +m 2 At + ( B − t  md  ÷ dt dt t  m =∫ = arctan  ÷+ C 2 Trong đó: J = ∫ t + m = m ∫  t   m m t  m 1 +  ÷ ÷  ÷ +1  m ÷ m   Suy ra: I = A Ab t  ln(t + m ) + ( B − ) arctan  ÷+ C 2 m m Đổi biến x, ta được: I = A B − Ab 2x + b ln( x + bx + c) + arctan +C 4c − b 4c − b Cũng phép đổi biến trên, ta có : Ax + B I4 = ∫ =∫ ( x + bx + c) k Ta tính ∫ (t Ab Ab ) B− A tdt dt = dt + (t + m ) k ∫ (t + m ) k ∫ (t + m ) k At + ( B − 2tdt + m2 )k Đổi biến: u = t + m ⇒ du = 2tdt Vậy: ∫ (t 2tdt du 1 =∫ k =− k −1 + C k +m ) u k −1 u Do đó: I = − A Ab dt + (B − )∫ 2 k −1 2(k − 1) (t + m ) (t + m ) k Ta tính: J k = ∫ dt , k = 1, 2,3, (t + m ) k  u = (t + m ) k Đặt   dv = dt  Ta có : J k = 2tk  2 − k −1 dt  du = − k (t + m ) 2tdt = − (t + m ) k +1 ⇒  v = t  t t2 + k ∫ (t + m2 )k +1 dt (t + m ) k (*) Mặt khác : t2 (t + m ) − m dt dt 2 dt = ∫ (t + m2 )k +1 ∫ (t + m2 )k +1 dt = ∫ (t + m2 )k − m ∫ (t + m2 )k +1 = J k − m J k +1 Thay vào (*) ta : J k = t + 2k ( J k − m J k +1 ) k (t + m ) Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 55 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ⇒ J k +1 = Vậy I = − t 2k − 1 + Jk 2 k 2km (t + m ) 2k m A Ab + (B − )Jm k −1 2(k − 1) (t + m ) Định lý sau cho phép kết luận việc lấy tích phân phân thức thực cuối dẫn đến việc lấy tích phân bốn dạng Định lý 4.6 n Mọi đa thức bậc n , với hệ số thực : Q( x) = a0 + a1 x + + an x ; an ≠ phân tích thành tích thừa số nhị thức bậc tam thức bậc hai nghiệm thực, có thừa số trùng : Q( x) = an ( x − a) α ( x − a)β ( x + px + q )µ ( x + lx + s ) v Trong : a, b, ∈ ¡ ; p − 4q < 0, , l − s < α + β + + 2(µ + + v) = n Khi đó, phân thức thực tương ứng P ( x) phân tích thành tổng phân thức tối giản Q( x) A A1 P ( x) A = + + + α−1 + α α−1 Q( x) ( x − a) ( x − a) x−a B B B1 + + + + β−1 + + β β−1 ( x − b) ( x − a ) x −b M µ−1 x + N µ−1 Mx + N M x + N1 + + + + + ( x + px + q)µ ( x + px + q)µ−1 x + px + q M x + N λ−1 Px + Q P x + Q1 + + + + λ− λ λ−1 ( x + lx + s) ( x + lx + s ) x + lx + s + Trong đó, A, A1 , , Aα−1 , B, B1 , , Bβ−1 , M , N , M , N1 , , M µ−1 , N µ−1 , P, Q, P1 , Q1 , , Pλ−1, Qλ−1 số xác định theo phương pháp đồng hệ số * Để tính tích phân hàm lượng giác vơ tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng tích phân phân thức hữu tỉ 1.4 Tích phân biểu thức lượng giác 1.4.1 I = ∫ R(sin x ,cos x )dx , R(sinx,cosx) biểu thức hữu tỉ sinx cosx x Đặt t = tan , − π < x < π , sin x = Đưa tích phân dạng Ví dụ Tính I = 2t 1− t2 2dt , cos x = , dx = 2 1+ t 1+ t 1+ t2  2t − t  2dt I = ∫ R , 2 ÷  1+ t 1+ t  1+ t 1 − a2 dx ∫ − 2a cos x + a Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên (0 < a < 1; − π < x < π) 56 Bài giảng Giải tích Giải x Đặt t = tan , − π < x < π Ta có:    ÷ dt dt I = ( − a2 ) ∫ = ÷= ( − a ) ∫ 2  1− t 1+ t  (1 − a ) + t (1 + a ) ÷ +a ÷  − 2a 1+ t2   − a  t (1 + a )  d + a  − a  1+ a  = (1− a ) = arctan  t ÷+ C 1− a  t (1 + a )   (1 − a ) 1 + − a   x 1+ a tan ÷+ C Vậy I = arctan  2 1− a Đặt biệt: - Nếu R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx), đặt t = cosx - Nếu R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx), đặt t = sinx - Nếu R(-sinx,-cosx) = R(sinx,cosx), đặt t = tanx t =cotx n m 1.4.2 I = ∫ sin x cos xdx - ( n, m ∈ ¢ ) Nếu m lẻ, đặt cos x = t Nếu n lẻ, đặt sin x = t Nếu m, n chẵn (m > n > 0) ta dùng cơng thức hạ bậc Nếu m, n chẵn (m < n < 0) đặt t = tan x Ví dụ Tính I = cos5 x.sin xdx Giải Đặt sin x = t ⇒ dt = cos xdx I = ∫ cos x.sin x cos xdx = ∫ cos x.sin x.d (sin x) = ∫ (1 − t )2 t dt = ∫ (t − 2t + t )dt = t7 t3 − t + 7 Vậy I = sin x − sin x + sin x 1.4.3 I = ∫ cos ax cos bxdx , I = ∫ sin ax sin bxdx , I = ∫ cos ax sin bxdx Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, biến đổi hàm dấu tích phân thành tổng Ví dụ Tính I = ∫ cos x.sin x.dx Giải Ta có: cos 3x.sin x = ( sin x + sin x ) Nên Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 57 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1 1 ( sin x + sin x ) dx = − cos8 x − cos x + C ∫ 2 2 1 = − cos8 x − cos x + C 16 I= n n 1.4.4 I = ∫ sin xdx , I = ∫ cos xdx Dùng công thức hạ bậc Ví dụ Tính I = ∫ cos xdx Giải 1  + cos x  cos x =  ÷ = (1 + 2cos x + cos x) = + cos x + (1 + cos x) 4   Ta có: 1 = + cos x + cos x 8 1 Suy ra: I = ∫ cos xdx = x + sin x + sin x + C 32 1.5 Tích phân hàm vô tỉ m p r 1.5.1 I = R( x , x n , x q , , x s )dx ∫ Đặt t = x k , k = [n, q, , s] Suy x = t k ⇒ dx = kt k −1dt p m r  q 1.5.2 I = ∫ R (ax + b ) , (ax + b ) n ,(ax + b ) s  dx , k = [q , n, , s]   Đặt (ax + b) k = t , ax + b = t k , dx = k t k −1 dx a 1.5.3 I = ∫ R( x , (ax + bx + c ) dx Đổi biến: u = x + b ⇒ du = dx , đưa dạng sau: 2a ∫ R(u, a − u )du , đặt u = asint ∫ R(u, a + u )du , đặt u = a tant ∫ R(u, u − a )du , đặt u = acost Ví dụ Tính I = ∫ x + x + dx = ∫ ( x + 1) + dx = ∫ u + du Giải I = ∫ x + x + dx = ∫ ( x + 1) + dx = ∫ u + du Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 58 Bài giảng Giải tích Đặt u = tan x ⇒ du = I = ∫ + tan x  π π dt , t ∈  − , ÷ cos t  2 1 cos t d (sin t ) dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ cos t cos t cos t (1 − sin t ) Đặt sin t = y dy dy A B C D = + + + Suy : I = ∫ (1 − y ) = ∫ 2 [ (1 − y)(1 + y )] (1 − y) (1 + y) − y + y A(1 + y ) + B (1 − y ) + C (1 − y )(1 + y ) + D(1 + y )(1 − y ) = 1 Cho y = −1 ⇒ y =1 ⇒ A= y=0 ⇒ A+ B +C + D =1 y=2 ⇒ A + B − 9C + 3D = B= 1 + − 9C + 3D = 4 3D − 9C = − 3D − 9C = − Do D = C ⇒ I =∫ Từ : =− D=C = dy dy 1 B 1 =∫ = ∫ dy + ∫ dy + ∫ dy + ∫ dy 2 2 (1 − y ) (1 + y ) 1− y 1+ y [ (1 − y)(1 + y)] (1 − y) 1 + + ln |1 + y | − ln |1 − y | +C 1+ y 1− y * * * * * §2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1 Định nghĩa tích phân xác định 2.1.1 Bài tốn diện tích hình thang cong Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 59 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Cho hình thang cong aABb, giới hạn trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b đường cong y = f (x), f(x) liên tục đoạn [a, b] Hãy tính diện tích hình thang cong aABb? Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ điểm x0 = a < x1 < x2 < < xn = b Trong đoạn nhỏ [xi −1 , xi ], i = 1, n , ta chọn điểm ξi Dựng hình chữ nhật có cạnh ∆xi = ( xi − xi −1 ) cạnh f (ξi ), ∀i = 1, n Ta thấy, đoạn [xi −1 , xi ] bé hay ∆xi = ( xi − xi −1 ) bé diện tích hình chữ nhật thứ I f (ξi ) ∆xi xấp xỉ diện tích phần thứ I hình thang cong, ∀i = 1, n Nếu S diện tích hình thang cong aABb thì: n S ≈ ∑ f (ξi )∆xi với ∆xi bé, ∀i = 1, n i =1 Người ta chứng minh rằng: n n i =1 i =1 Nếu tồn lim ∑ f (ξi )∆xi lim ∑ f (ξi )∆xi = S (với n → ∞ cho max ∆xi → ) n →∞ n →∞ 2.1.2 Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm số f (x) xác định bị chặn [a, b] Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ điểm chia x0 = a < x1 < x2 < < xn = b Trong đoạn nhỏ [xi −1 , xi ], i = 1, n , ta chọn điểm ξi tùy ý n Lập tổng σ := ∑ f (ξi )∆xi với ∆xi = ( xi − xi −1 ) , ∀i = 1, n i =1 n Nếu lim ∑ f (ξi )∆xi (với n → ∞ cho max ∆xi → ) tồn hữu hạn không phụ n →∞ i =1 thuộc vào cách chia đoạn [a, b] cách chọn ξi giới hạn gọi tích phân xác định hàm f(x) [a, b] Khi ta gọi f (x) hàm khả tích [a, b] b Kí hiệu : ∫ f ( x)dx = lim σ = I a n →∞ [a, b] : gọi đoạn lấy tích phân, a: cận dưới, b: cận Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 60 Bài giảng Giải tích b ∫ : dấu tích phân xác định a f (x) : hàm dấu tích phân x : biến số tích phân 2.1.3 Chú ý Cho f (x) hàm xác định a a ∫ f ( x)dx = a Cho f (x) xác định đoạn [a, b] b a a b ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx Tích phân xác định phụ thuộc vào hàm dấu tích phân xác định, phụ thuộc vào cận, khơng phụ thuộc vào biến số tích phân b b b a a a ∫ f ( x)dx = ∫ f (u )du = ∫ f (t )dt 2.1.4 Ý nghĩa hình học y f(x) S a b x b Nếu f (x) ≥ liên tục [a, b] ∫ f ( x)dx a diện tích hình thang cong giới hạn đường y = f (x), x = a, x = b trục Ox b S = ∫ f ( x)dx a 2.2 Điều kiện khả tích Định lý 4.7 Nếu f (x) liên tục [a, b] f (x) khả tích [a, b] Định lý 4.8 Nếu f (x) bị chặn [a, b] có số hữu hạn điểm gián đoạn [a, b] f (x) khả tích [a, b] Định lý 4.9 Nếu f (x) bị chặn đơn điệu [a, b] f (x) khả tích [a, b] 2.3 Các tính chất tích phân xác định Giả sử f (x), g(x) khả tích [a, b], đó: Tính chất Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 61 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ b b ∫ Cf ( x)dx = C ∫ f ( x) dx , với C: số a a b b a a ∫ Cdx = C ∫ dx = C (b − a) Tính chất b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx Tính chất b ∫ a c b a c f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx , với c ∈ [a, b] Tính chất b Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b] ∫ f ( x)dx ≥ a b Nếu f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] ∫ a b f ( x)dx ≤ ∫ g ( x )dx a b Nếu f (x) khả tích [a, b] |f (x)| khả tích [a, b] ∫ a b f ( x)dx ≤ ∫ | f ( x) | dx a b Nếu m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] m(b –a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b – a) a Các định lý giá trị trung bình tích phân xác định Định lý 4.10 Cho f (x) khả tích [a, b], (a < b) giả sử m ≤ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b] , đó: Tồn µ cho: b ∫ f ( x)dx = µ(b − a), m≤µ≤M a b Đặc biệt, f (x) liên tục [a, b] tồn c ∈ [a, b] , ∫ f ( x)dx = f (c)(b − a) a Ý nghĩa hình học định lý Nếu f (x) liên tục đoạn [a, b] ta ln tìm điểm c ∈ [a, b] cho SaMNb= SaABb y N A f(c ) f(x) M a B S c b f(c) gọi giá trị trung bình f(x) đoạn [a, b] Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 62 x Bài giảng Giải tích Định lý 4.11 (i) Giả sử f (x) tích f (x) g(x)khả tích [a, b] m ≤ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b] (ii) g(x) không đổi dấu [a, b]: g ( x) ≥ ( g ( x) ≤ 0) (iii) Khi đó: b b a a ∫ f ( x) g ( x)dx = µ ∫ g ( x)dx, m≤µ≤M b Đặc biệt, f (x) liên tục [a, b] ∫ a 2.4 b f ( x) g ( x)dx = f (c) ∫ g ( x )dx, a ≤ c ≤ b a Liên hệ tích phân xác định nguyên hàm 2.4.1 Định lý 4.12 (Đạo hàm tích phân theo cận trên) x Cho hàm số f (x) liên tục [a, b] hàm số φ( x) = ∫ f (t )dt víi a ≤ x ≤ b nguyên a hàm hàm f (x) [a, b] Tức là: ′ x  φ '( x) =  ∫ f (t ) dt ÷ = f ( x ) , ∀x ∈ [a, b] a  Một cách tổng quát: ' v( x)   ∫ f (t )dt  = f [v( x)].v '( x)  a  2.4.2 Công thức Newton – Leibnitz Nếu F(x) nguyên hàm f (x) liên tục [a, b] thì: b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a b ∫ f ( x) dx = F ( x ) Hay b a a 2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 2.5.1 Phương pháp đổi biến số Định lý 4.13 b Xét tích phân ∫ f ( x)dx , với f (x) liên tục [a, b] a Nếu thực phép đổi biến x = ϕ(t ) thỏa: (i) ϕ(t ) có đạo hàm liên tục [α, β] (ii) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b (iii) Khi đó: Khi t biến thiên [α, β] x biến thiên [a, b] b β a α ∫ f ( x)dx = ∫ f [ ϕ(t )] ϕ '(t )dx Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 63 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ • Nếu thực phép đổi biến t = ϕ( x) thỏa: ϕ( x) hàm đơn điệu ngặt [a, b] có đạo hàm t ' = ϕ '( x) liên tục [a, b] (i) Biểu thức f (x)dx trở thành g(t)dt, g(t) hàm số liên tục [ϕ(a ), ϕ(b)] b ϕ(b ) a ϕ(a ) ∫ f ( x)dx = ∫ Khi đó: g (t )dt Chú ý: Nếu f (x) khả tích [-a, a] a ∫ −a 0 f (x) hàm số lẻ [-a, a]  a f ( x )dx =  2 ∫ f ( x)dx f (x) hàm số chẵn [-a, a]  2.5.2 Phương pháp tích phân phần Định lý 4.14 Giả sử hai hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tục [a, b], b b ∫ udv = uv a − ∫ vdu b a * a * * * * §3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 3.1 Tích phân có cận vơ hạn 3.1.1 Tích phân khoảng [a, +∞ ) Định nghĩa Giả sử hàm số f (x) xác định [a, +∞) khả tích khoảng hữu hạn [a, b] với b > a Khi đó: b lim b→+∞ ∫ f ( x)dx a gọi tích phân suy rộng f (x) khoảng [a, +∞) +∞ ∫ Kí hiệu: f ( x)dx a +∞ ∫ Như vậy: b f ( x)dx = lim a Ví dụ Tính I = +∞ b →+∞ ∫ f ( x)dx a dx ∫ 1+ x I= +∞ b dx dx π = lim arctan b − arctan = ∫0 + x = blim ∫ →+∞ + x b →+∞ 3.1.2 Tích phân khoảng (-∞ ; b] Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 64 Bài giảng Giải tích Giả sử hàm số f (x) xác định (-∞; b] khả tích khoảng hữu hạn [a, b] với a < b Khi đó: b lim a →−∞ ∫ f ( x)dx a gọi tích phân suy rộng f(x) khoảng (-∞; b] b ∫ Kí hiệu: f ( x)dx −∞ b ∫ Như vậy: −∞ Ví dụ Tính I = b f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx a →−∞ a dx ∫ x +1 −∞ 2 dx dx I= ∫ = lim ∫ = lim ln | x + 1| a = lim (ln − ln | a + 1|) = −∞ a →−∞ x + a→−∞ a x + a→−∞ −∞ Tích phân suy rộng cho phân kì 3.1.3 Tích phân khoảng (-∞ , + ∞ ) Giả sử hàm số f (x) xác định (-∞ , + ∞ ) khả tích khoảng hữu hạn [a, b] , ∀a, b ∈ ¡ , a < b Khi đó: b ∫ f ( x)dx lim a →−∞ b→+∞ a gọi tích phân suy rộng f (x) khoảng (-∞ , + ∞ ) +∞ ∫ Kí hiệu: f ( x)dx −∞ +∞ ∫ Như vậy: b f ( x)dx = lim +∞ ∫ Ta viết : c f ( x)dx = −∞ Tính I = Ví dụ ∫ f ( x)dx + −∞ +∞ ∫ (x −∞ +∞ Đặt u = x + x=a ⇒ ⇒ +∞ ∫ f ( x) dx c 2x dx + 2)2 2x 2x I= ∫ dx = ∫ dx + ( x + 2) ( x + 2) −∞ −∞ ∫ f ( x)dx a →−∞ b →+∞ a −∞ +∞ ∫ 0 b 2x 2x 2x dx = lim ∫ dx + lim ∫ dx 2 a →−∞ b →+∞ ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) a du = x dx u = a2 + ; x = ⇒ u = 2; x =b 2x du 1 dx = ∫ = − =− + Ta có: ∫ ; ( x + 2) u u a2 +2 a +2 a a2 +2 Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 65 ⇒ u = b2 + Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ b 2x ∫0 ( x + 2)2 dx = Suy ra: I = +∞ ∫ (x −∞ 3.1.4 b2 + ∫ b2 + du =− u u2 =− 1 + b +2 2 2x  1 1   dx = lim  − + + lim  − + ÷= − + = ÷ a →−∞ + 2) 2  a +  b→+∞  b + 2  Chú ý Nếu tích phân suy rộng (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3) số hữu hạn ta nói tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại vơ hạn khơng tồn ta nói phân kì +∞ Quy ước ∫ +∞ f ( x)dx = F (+∞) − F (a ) = F ( x) a a +∞ ∫ +∞ dx ∫ f ( x)dx −∞ −∞ +∞ c f ( x)dx hội tụ ⇔ ∫x ∫ f ( x) dx hội tụ c hội tụ α > , phân kỳ α ≤ α a 3.1.5 Sự hội tụ tích phân suy rộng có cận vơ hạn Định lý 4.15 Giả sử hàm số f (x) g(x) khả tích khoảng hữu hạn [a, b], ∀b > a ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a Khi đó: • Nếu +∞ +∞ a a ∫ g ( x)dx hội tụ ∫ +∞ • Nếu ∫ f ( x)dx hội tụ +∞ f ( x)dx phân kì a ∫ g ( x)dx phân kì a Định lý 4.16 Giả sử hàm số f (x) g(x) khả tích khoảng hữu hạn [a, b] ( a ≤ b ) f ( x) ≥ 0, g ( x ) ≥ , ∀x ≥ a Khi đó: Nếu tồn giới hạn lim x →∞ f ( x) = K (0 < K < +∞) g ( x) +∞ Thì tích phân suy rộng ∫ +∞ f ( x)dx a ∫ g ( x)dx hội tụ phân kì a Hệ 4.17 Giả sử hàm số f (x) g(x) khả tích [a, +∞) f ( x) > 0, g ( x) > , ∀x ≥ a Khi đó: • Nếu lim x →∞ f ( x) = g ( x) +∞ ∫ +∞ g ( x)dx hội tụ a Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên ∫ a 66 f ( x)dx hội tụ Bài giảng Giải tích • f ( x) = +∞ Nếu lim x →∞ g ( x ) +∞ +∞ a a ∫ g ( x)dx phân kì ∫ f ( x)dx phân kì Định lý 4.18 +∞ Nếu ∫ +∞ f ( x) dx hội tụ a ∫ f ( x)dx hội tụ a +∞ Khi đó, ta nói ∫ f ( x)dx hội tụ tuyệt đối a o Chú ý +∞ • Nếu ∫ f ( x) dx phân kì chưa kết luận a +∞ • Nếu ∫ +∞ f ( x) dx phân kì mà a ∫ +∞ f ( x)dx hội tụ ta nói a ∫ f ( x) dx bán hội tụ a 3.2 Hàm số lấy tích phân khơng bị chặn 3.2.1 Hàm số lấy tích phân gián đoạn ∞ cận Giả sử hàm số f (x) bị chặn khả tích khoảng đóng [a, b − ε] ( < ε < b − a ) khơng khả tích khoảng đóng dạng [b − ε, b] f (b) không bị chặn dưới, b gọi điểm bất thường hàm số f (x) Khi đó, b −ε lim ε→0 ∫ f ( x)dx gọi tích phân suy rộng f (x) [a, b] a b b −ε a a Kí hiệu: ∫ f ( x)dx := lim ε→0 3.2.2 ∫ f ( x) dx Hàm số lấy tích phân gián đoạn ∞ cận Giả sử hàm số f (x) bị chặn khả tích khoảng đóng [a + ε ', b] khơng khả tích khoảng đóng dạng [a, a + ε '] f (a + 0) không bị chặn, a gọi điểm bất thường hàm số f (x) Khi đó, b lim ε→0 ∫ f ( x)dx gọi tích phân suy rộng f (x) [a, b] a +ε b Kí hiệu: ∫ f ( x)dx := lim ε→0 a 3.2.3 • b ∫ f ( x)dx a +ε Hàm số lấy tích phân gián đoạn ∞ khoảng lấy tích phân f ( x) = ∞ , lim− f ( x) = ∞ Khi đó, Xét f (x) liên tục (a, b) xlim →a + x →b Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 67 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ b c ∫ a • b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x )dx = lim a ε→0 c c ∫ f ( x)dx + lim ε→0 a +ε b −ε ∫ f ( x )dx , với a < c < b c f ( x) = ∞ Khi đó, Xét f (x) liên tục [a, b]\{c} lim x →c b c ∫ b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x )dx = lim a a ε→0 c c −ε ∫ b f ( x) dx + lim ε→0 a ∫ f ( x )dx c +ε Nếu giới hạn 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 hữu hạn ta nói tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại tích phân gọi phân kì 3.2.4 Chú ý b • c ∫ f ( x)dx hội tụ ⇔ ∫ f ( x) dx a b • a dx ∫ (b − x) b ∫ f ( x)dx hội tụ c hội tụ α < , phân kỳ α ≥ α a 3.2.5 Định lý 4.19 (Tiêu chuẩn so sánh) Giả sử hàm số f (x) g(x) khả tích (a, b], với x = a điểm bất thường cho: ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ ( a, c] , a < c < b Khi b (i) Nếu ∫ g ( x) dx hội tụ a b ∫ f ( x)dx b (ii) Nếu ∫ f ( x)dx hội tụ a b phân kì a ∫ g ( x)dx phân kì a Giả sử hàm số dương f (x) g(x) khả tích (a, b], với x = a điểm bất thường hai hàm số Khi Nếu tồn giới hạn xlim →a + f ( x) = k , < k < +∞ g ( x) b Tích phân suy rộng ∫ b f ( x)dx hội tụ a ∫ g ( x)dx hội tụ a Hệ 4.20 Giả sử hàm số dương f (x) g(x) khả tích (a, b], có điểm bất thường x = a Khi đó: f ( x) = Nếu xlim + →a g ( x ) Nếu xlim →a + f ( x) = ∞ g ( x) b ∫ g ( x)dx a b hội tụ ∫ f ( x)dx b ∫ g ( x)dx phân kì a b ∫ f ( x)dx a Ví dụ Xét hội tụ tích phân suy rộng sau: Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên hội tụ a 68 phân kì Bài giảng Giải tích +∞ ∫x 1 Ta có: +∞ ∫ Vì 1 < , ∀x ≥ x + 2x x dx hội tụ nên x5 ∫ Ta có: Vì ∫ dx + 2x +∞ +∞ +∞ ∫x dx hội tụ + 2x dx x + −1 > x + −1 , ∀x ≥ x+4 dx phân kì nên x+4 +∞ ∫ dx phân kì x + −1 * * * * * §4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 4.1 Tính diện tích hình phẳng 4.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x), y = g ( x) liên tục [a, b] đường thẳng x = a, x = b tính theo cơng thức: b S = ∫ | f ( x) − g ( x ) | dx a 4.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong cho theo phương trình tham số: x = x(t ), y = y (t ) đường x = a, x = b , trục Ox , tính cơng thức : t2 S = ∫ | y (t ) x '(t ) | dt t1 Với a = x (t1 ), b = x(t2 ); Ví dụ : x(t ), x '(t ), y (t ) liên tục [t1 , t2 ] Tính diện tích hình elip có bán trục a, b Giải Hình elip giới hạn đường elip có phương trình : Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 69 x2 y2 + = a b2 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Đặt x = a cos t , y = b sin t , ≤ t ≤ 2π Áp dụng công thức trên, ta có : 2π 2π π 0 π − cos 2t dt = πab S = ∫ | y (t ) x '(t ) | dt = ∫ | −ab sin t | dt = 4ab ∫ sin t dt = 4ab ∫ 4.2 Độ dài cung phẳng 4.2.1 Độ dài s cung »AB từ A( a, f ( a)) đến B(b, f (b)) đường cong y = f ( x) có đạo hàm liên tục [a, b] tính theo cơng thức: b s = ∫ + f '2 ( x) dx a 4.2.2 Độ dài s cung »AB từ A( x(t1 ), y (t1 )) đến B( x(t2 ), y (t )) đường cho theo phương trình tham số x = x(t ), y = y (t ) , có đạo hàm x '(t ), y '(t ) liên tục biến thiên đơn điệu [t1 , t2 ] tính theo cơng thức: t2 s = ∫ | x '2 (t ) + y '2 (t ) | dt t1 Ví dụ: Tính độ dài cung Astroid, phương trình tham số có dạng  x = a cos3 t ,   x = a sin t a > 0, ≤ t ≤ 2π Giải Ta có: x ' = −3a cos t.sin t ; Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên y ' = 3a sin t.cos t 70 Bài giảng Giải tích 2π 2π s = ∫ | x ' (t ) + y ' (t ) | dt = ∫ | | 9a cos t.sin t + 9a sin t.cos t | dt = 2 0 2π π 0 π = 3a ∫ sin t.cos t dt = 6a ∫ sin 2t dt = −3a cos 2t 02 = 6a 4.3 Tính thể tích vật thể 4.3.1 Vật thể Thể tích vật thể hữu hạn giới hạn mặt cong hai mặt phẳng x = a, x = b , có tiết diện cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox x, a ≤ x ≤ b S ( x) liên tục [a, b] tính theo cơng thức : b V = ∫ S ( x)dx a 4.3.2 Vật thể trịn xoay Thể tích vật thể trịn xoay hình thang cong giới hạn đường x = a, x = b , y = f ( x) ≥ , liên tục [a, b] trục Ox , quay quanh trục Ox, tính theo công thức : b V = ∫ πf ( x) dx a Ví dụ : Tính thể tích hình elipxoid có bán trục a, b, c x2 y2 z + + ≤1 a b2 c2 Giải Thiết diện elipxoid vng góc với trục Ox hình elip Thiết diện nằm mặt phẳng x = x0 , x0 ∈ [ − a, a ] giới hạn elip có bán trục : Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 71 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ b 1− x0 x0 , c − a2 a2  x2 z x0 + = −  c2 a2 b x = x  có phương trình  x0  Áp dụng ví dụ trên, diện tích thiết diện : S ( x0 ) = πbc 1 − ÷ a     x2  x3 Vậy thể tích cần tìm : V = πbc ∫ 1 − ÷dx = 2πbc  a −  a  3a −a   a Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 72  ÷ = πabc ÷ 0 a Bài giảng Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài1 Tìm tich phân bất định sau :   ∫  x + ÷ dx x  ∫ ( x − 5x + x − 3) dx 10 ∫ ( x − 3x + 1) (2 x − 3)dx ∫ (2sin x + 3cos x) dx sin x 10 ∫ 13 (2 ln x + 3)3 dx ∫ x x dx ∫ (ln t ) ∫ (tan x + cot x) dx 3cos x sin x dx ∫ e 20 11 ∫ (2 x + 1) dx 12 ∫ x x3 + dx e2 x ∫ e4 x − dx 17 dx 2x − ∫x ∫ x dx x −2 10 e2 x ∫ e4 x + dx ∫ (x 30 ∫x 3x − dx − 4x + 33 x2 + 2x + ∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 4) dx ∫ 2x 31 xdx ∫ x2 + 2x + 32 x3 + 3x ∫ x + x + dx 34 ∫ 35 ∫ x + 8x + dx x ( x + 1)10 dx − 2x + 5x − 37 ∫ dx 38 ∫ 40 dx ∫ 4sin x + 3cos x + 41 sin x dx ∫ cos x cos x x2 + 2x + sin x + cos x dx x sin x 27 29 x3 + x + 3x + x dx + 2x2 + x 26 ∫ e sin x dx dx + x + 25 x + 2x + ∫ x sin x dx ∫x dx ∫x 24 28 18 − cos x 23 ∫ arctan x dx ∫ x e dx ∫ ∫ 25 x sin x dx 15 21 20 22 ∫ ln dx dt t (1 + x ) x dx ∫ 14 x x   16 ∫  2sin + ÷ cos dx 2   19 x x 3x ∫ dx dx dx + a )n 36 ∫x 39 ∫x dx 5x − 2x + dx + x2 x x 42 ∫ cos x.cos cos dx Bài Tính tich phân xác định tích phân suy rộng sau : π 1 dx ∫ cos π x ∫ cos x dx −x dx +∞ ∫ x.e e −1 dx ∫−∞ x π ln x dx x ∫ − +∞ π +∞ dx ∫−∞ + x x sin x dx x ∫ cos ∫ x.e − x2 dx Bài Khảo sát hội tụ tích phân sau: +∞ ∫ sin( x ) dx +∞ dx ∫ + x10 Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng ∫ cos x − x2 73 dx ln(1 + x ) ∫0 esin x−1 dx Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Bài Tính diện tích hình phẳng y = x − x , y =  x = 2(1 − sin t )  , trục Ox, ≤ t ≤ 2π  y = 2(1 − cos t ) r = 2cos θ Bài Tính độ dài đường cong phẳng y = x3 , ≤ x ≤ 1, y ≥ 5 x = cos t , y = sin t , ≤ x ≤ π π θ r = sin , ≤ θ ≤ Bài Tính thể tích vật Tính thể tích vật tạo quay hình giới hạn đường cong y = ( x − 1)3 đường thẳng x = quanh trục Ox Tính thể tích vật mà đáy tam giác cân có chiều cao h cạnh đáy a Thiết diện ngang vật viên phân parabol có dây cung chiều cao viên phân Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 74 ... hội tụ + 2x dx x + −1 > x + −1 , ∀x ≥ x +4 dx phân kì nên x +4 +∞ ∫ dx phân kì x + −1 * * * * * ? ?4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 4. 1 Tính diện tích hình phẳng 4. 1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường... dx e2 x ∫ e4 x − dx 17 dx 2x − ∫x ∫ x dx x −2 10 e2 x ∫ e4 x + dx ∫ (x 30 ∫x 3x − dx − 4x + 33 x2 + 2x + ∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 4) dx ∫ 2x 31 xdx ∫ x2 + 2x + 32 x3 + 3x ∫ x + x + dx 34 ∫ 35 ∫... 0 π − cos 2t dt = πab S = ∫ | y (t ) x '(t ) | dt = ∫ | −ab sin t | dt = 4ab ∫ sin t dt = 4ab ∫ 4. 2 Độ dài cung phẳng 4. 2.1 Độ dài s cung »AB từ A( a, f ( a)) đến B(b, f (b)) đường cong y = f