Thông tin tài liệu
TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 50 ĐỀ ÔN THI LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP MỤC LỤC Trang Đề thi Đáp án 55 Đề thi HSG lớp huyện Tiền Hải năm học 2016-2017 57 Đề thi HSG lớp huyện Quốc Oai năm học 2015 -2016 60 Đề thi HSG lớp huyện Thanh Uyên năm học 2017 -2018 62 Đề thi HSG lớp huyện Quế Sơn năm học 2009 -2010 66 Đề thi HSG lớp huyện Anh Sơn năm học 2013 -2014 68 Đề thi HSG lớp huyện Việt Yên năm học 2012 -2013 10 70 Đề thi HSG lớp huyện Hoài Nhơn năm học 2012 -2013 11 74 Đề thi HSG lớp Trường Trần Hưng Đạo 2017 -2018 12 76 10 Đề thi HSG lớp Trường Trần Mai Ninh 2017 -2018 13 79 11 Đề thi HSG lớp huyện Hoằng Hóa năm học 2013 -2014 14 82 12 Đề thi HSG lớp huyện Sông Lô năm học 2013 -2014 15 85 13 Đề thi HSG lớp huyện Quốc Oai năm học 2016 -2017 16 87 14 Đề thi HSG lớp huyện Hậu Lộc năm học 2013 -2014 17 89 15 Đề thi HSG lớp Trường Bảo Sơn 2013 -2014 18 92 16 Đề thi HSG lớp huyện Hậu Lộc năm học 2017 -2018 19 96 17 Đề thi HSG lớp Trường Võ Thị Sáu 2010 -2011 20 99 18 Đề thi HSG lớp huyện Triệu Sơn năm học 2016 -2017 21 102 19 Đề thi HSG lớp huyện Vĩnh Lộc năm học 2016 -2017 22 105 20 Đề thi HSG lớp huyện Vĩnh Bảo năm học 2017 -2018 23 109 21 Đề thi HSG lớp huyện Nguyễn Chích năm học 2017 -2018 24 112 22 Đề thi HSG lớp huyện Ứng Hòa năm học 2015 -2016 25 115 23 Đề thi HSG lớp huyện Ngọc Lặc năm học 2015 -2016 26 118 24 Đề thi HSG lớp huyện Thiệu Hóa năm học 2016 -2017 27 121 25 Đề thi HSG lớp huyện Thạch Đồng năm học 2017 -2018 28 124 Đề thi HSG lớp huyện Chương Mỹ năm học 2014-2015 THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 26 Đề thi HSG lớp huyện Yên Mô năm học 2016 -2017 29 127 27 Đề thi HSG lớp huyện Như Xuân năm học 2015 -2016 30 130 28 Đề thi HSG lớp huyện Vũ Thư năm học 2015 -2016 31 133 29 Đề thi HSG lớp huyện Hương Khê năm học 2011 -2012 32 139 30 Đề thi HSG lớp huyện Sơn Động năm học 2014 -2015 33 140 31 Đề thi HSG lớp huyện Thanh Sơn năm học 2013 -2014 34 142 32 Đề thi HSG lớp huyện Nga Thắng năm học 2017 -2018 35 145 33 Đề thi HSG lớp huyện Tam Dương năm học 2014 -2015 36 148 34 Đề thi HSG lớp huyện Thanh Chương năm học 2013 -2014 37 150 35 Đề thi HSG lớp huyện Ý Yên năm học 2015 -2016 38 152 36 Đề thi HSG lớp huyện Thanh Oai năm học 2013 -2014 39 156 37 Đề thi HSG lớp huyện Đức Phố năm học 2015 -2016 40 160 38 Đề thi HSG lớp huyện Yên Định năm học 2010 -2011 41 163 39 Đề thi HSG lớp huyện Sơn Dương năm học 2012 -2013 42 165 40 Đề thi HSG lớp huyện Hoài Nhơn năm học 2015 -2016 43 168 41 Đề thi HSG lớp huyện Hồng Hà năm học 2015 -2016 44 172 42 Đề thi HSG lớp huyện Tiền Hải năm học 2016 -2017 45 174 43 Đề thi HSG lớp Thị xã Phú Thọ năm học 2010 -2011 46 177 44 Đề thi HSG lớp huyện Dân Hòa năm học 2015 -2016 47 178 45 Đề thi HSG lớp huyện Triệu Sơn năm học 2014 -2015 48 181 46 Đề thi HSG lớp huyện Triệu Sơn năm học 2015 -2016 49 183 47 Đề thi HSG lớp trường Hoằng Phụ năm học 2016 -2017 50 186 48 Đề thi HSG lớp huyện Lâm Thao năm học 2016 -2017 51 188 49 Đề thi HSG lớp huyện Nghĩa Đàn năm học 2011 -2012 53 191 50 Đề thi HSG lớp tỉnh Bắc Giang năm học 2011 -2012 54 193 THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆNCHƯƠNG MỸ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2014-2015 MƠN THI: TỐN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số (Đề thi có trang) Câu 3 + 11 12 + 1,5 + − 0, 75 a Thực phép tính: 5 −0, 265 + 0,5 − − 2,5 + − 1, 25 11 12 b So sánh: 50 + 26 +1 168 0,375 − 0,3 + Câu a Tìm x biết: x − + − x = x + b Tìm x; y Z biết: xy + x − y = c Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z 4x - 3y + 5z = Câu a Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x Từ áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ + n 2bz − 3cy 3cx − az ay − 2bx x y z = = = b Cho Chứng minh: = a 2b 3c a 2b 3c Câu Cho tam giác ABC ( BAC 90o ), đường cao AH Gọi E; F điểm đối xứng H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC M N Chứng minh rằng: a AE = AF; b HA phân giác MHN ; c CM // EH; BN // FH _Hết _ Họ tên: Số báo danh: THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN Thời gian: 120 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆNTIỀN HẢI ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (5 điểm) 212.35 a) Thực phép tính: A 22.3 b) Tính giá trị biểu thức: 46.92 510.73 84.35 125.7 255.492 59.143 B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ 17.18.19 c) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị đồng thời giảm chữ số hàng chục giảm chữ số hàng đơn vị n đơn vị số có chữ số gấp n lần số có chữ số ban đầu Câu (3 điểm) a) Tìm số x, y, z biết rằng: b) Tìm x biết: x 3x = 4y, 5y = 6z xyz = 30 1,6 Câu (3 điểm) 1) Cho hàm số y = f(x) = (m – 1)x a) Tìm m biết: f(2) – f(–1) = b) Cho m = Tìm x biết f(3 – 2x) = 20 2) Cho đơn thức A 2 x yz ,B 2 xy z ,C x 3y Chứng minh đơn thức A, B, C nhận giá trị âm Câu (7 điểm) Cho ABC nhọn có góc A 600 Phân giác ABC cắt AC D, phân giác ACB cắt AB E BD cắt CE I a) Tính số đo góc BIC b) Trên cạnh BC lấy điểm F cho BF = BE Chứng minh c) Trên tia IF lấy điểm M cho IM = IB + IC Chứng minh THCS.TOANMATH.com CID = CIF BCM tam giác Trang TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN Câu (2 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆNQUỐC OAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n = 2n+11 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2015-2016 MƠN THI: TỐN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số (Đề thi có trang) Câu ( 3.0 điểm ) Cho x, y, z số khác x2 = yz , y2 = xz , z = xy Chứng minh rằng: x = y = z Câu (4 điểm ) a) Tìm x biết: 5x + 5x+2 = 650 b) Tìm số hữu tỷ x,y biết: (3x – 33 )2008 + y − 2009 0 Câu ( điểm ) Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c Biết với a, b, c, d Z f (1) 3; f (0) 3; f (−1) Chứng minh a, b, c chia hết cho Câu (7 điểm ) Cho tam giác ABC, AD tia phân giác góc A B C a) Chứng minh ADC − ADB = B − C b) Vẽ đường thẳng AH vng góc BC H Tính ADB HAD biết B − C = 400 c) Vẽ đường thẳng chứa tia phân giác góc đỉnh A, cắt đường thẳng BC E Chứng minh AEB = HAD = B −C Câu ( điểm ) 1 1 1 1 1 + + + − + + a) Cho S = − + − + + P = 1007 1008 2011 2012 2013 2012 2013 Tính ( S − P ) 2013 b) Cho A= THCS.TOANMATH.com x +1 Tìm x Z để A có giá trị số nguyên x −3 Trang TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN _Hết _ Họ tên: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆNTHANH UN ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 MÔN THI: TỐN Thời gian: 120 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) Đề số (Đề thi có trang) Câu (4,0 điểm) 193 33 11 1931 − + : + + a) Thực phép tính: A = 2 193 386 17 34 1931 3862 25 b) Rút gọn : B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017 Câu (4,0 điểm) 12a − 15b 20c − 12a 15b − 20c = = a) Tìm a, b, c biết a + b + c = 48 11 b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; Nhưng sau số người đội thay đổi nên chia lại tỉ lệ với 6; 5; Như có đội làm nhiều so với dự định 6m3 đất Tính tổng số đất phân chia cho đội Câu (4,5 điểm) |x − 2017| +2018 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = |x − 2017| +2019 15 n2 − b) Chứng tỏ S = + + không số tự nhiên với n N, n > + + 16 n2 c) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho: x - 2xy + y = Câu (5,5 điểm) Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN c) Đường thẳng vng góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Câu (2,5 điểm) Trong hình bên, đường thẳng OA đồ thị hàm số y = f(x) = ax y −2 a) Tính tỉ số x0 − b) Giả sử x0 = Tính diện tích tam giác OBC THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Hết _ Cán coi thi khơng giải thích thêm – SBD: …………… KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP THCS NĂM HỌC 2009-2010 HUYỆNQUẾ SƠN MƠN THI: TỐN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (2,0 điểm) a Tìm x, y biết: b Cho 4+x = x + y = 22 7+y 2x + 3y + 4z y z x y = = Tính M = 3x + 4y + 5z Câu (2,0 điểm) Thực tính: 2010 − 2009 − 2008 − − a S = 1 1 b P = + (1 + 2) + (1 + + 3) + (1 + + + 4) + + (1 + + + + 16) 16 Câu (2,0 điểm) Tìm x biết: a) 30 31 = 2x 10 12 62 64 b) 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 2x 5 5 +3 +3 +2 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có B 90o B = 2C Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D a Chứng minh BEH = ACB b Chứng minh DH = DC = DA c Lấy B’ cho H trung điểm BB’ Chứng minh tam giác AB’C cân d Chứng minh AE = HC THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Hết _ Cán coi thi khơng giải thích thêm – SBD: …………… KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP THCS NĂM HỌC 2013-2014 HUYỆNANH SƠN MƠN THI: TỐN Thời gian: 120 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu 1( 2,0 điểm) Tính hợp lý biểu thức sau: 5 a) 27 − 13 8 b) c) − + 22.10 + 23.6 22.15 − 24 Câu ( 2,5 điểm).Tìm x biết: a) ( x – ) + b) c) x+ =4 −5 = (2x − 1)7 = (2x − 1)5 Câu (1,5 điểm) Ba đội chuyển khối lượng gạch Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai đội thứ ba làm xong công việc giờ, giờ, Tính số người tham gia làm việc đội, biết số người đội thứ ba số người đội thứ hai người Câu (3,5điểm) Cho tam giác ABC vuông A với AB D Kẻ DE ⊥ BC (E BC) AB = BC = 15cm Tia phân giác góc C cắt AC a) Chứng minh AC = CE b) Tính độ dài AB; AC c) Trên tia AB lấy điểm F cho AF = AC Kẻ tia Fx ⊥ FA cắt tia DE M Tính DCM Bài 5(0,5điểm): Tìm giá trị lớn biêu thức: A = x − x − THCS.TOANMATH.com Trang TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Hết _ Cán coi thi khơng giải thích thêm – SBD: …………… KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 HUYỆNVIỆT N MƠN THI: TỐN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4,0 điểm) 2 1 − 0, 25 + 0, − + 11 : 2012 − 1) Tính M = 1, − + 1 − 0,875 + 0, 2013 11 2) Tìm x, biết: x + x − = x + Câu (5,0 điểm) 1) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: a +b−c b+c −a c +a −b = = c a b b a c Hãy tính giá trị biểu thức B = 1 + 1 + 1 + a c b 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x − + x − 2013 với x số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z = xyz Câu (6,0 điểm) Cho xAy =600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh : a ) K trung điểm AC b ) KMC tam giác c) Cho BK = 2cm Tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c chứng minh rằng: THCS.TOANMATH.com a b c + + 2 bc + ac + ab + Trang TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆNHỒI NHƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN Thời gian: 120 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) Đề số (Đề thi có trang) Bài (4 điểm): a) So sánh hai số: (– 5)39 (– 2)91 b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với n N Bài (4 điểm): a) Tìm tất cặp số (x; y) thỏa mãn: ( x − y + ) b) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: 2012 + x −3 2013 + + + + n = aaa Bài (4 điểm): Ba lớp trường K có tất 147 học sinh Nếu đưa 7A1, 0 số học sinh lớp 1 số học sinh lớp 7A2 số học sinh lớp 7A3 thi học sinh giỏi cấp huyện số học sinh lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K ˆ = 3Bˆ = 6Cˆ Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC có A a) Tính số đo góc tam giác ABC b) Kẻ AD vng góc với BC (D thuộc BC) Chứng minh: AD < BD < CD Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM + AN = 2AB a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN c) Đường trung trực MN tia phân giác góc BAC cắt K Chứng minh rằng: KC ⊥ AC Hết -Cán coi thi không giải thích thêm – SBD: …………… THCS.TOANMATH.com Trang 10 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Suy ra: x − y = Thay x − y = vào hai đẳng thức cho ta x = ; y = − 10 1 Thay x − y = − vào hai đẳng thức cho ta x = − ; y = 10 1 2.Từ (x − 3) x + suy x – x + dấu 2 Dễ thấy x – < x + nên ta có: • x – x + dương x – > x > 1 • x – x + âm x + < x < - 2 Vậy x > x < - Câu 7n − 2(7n − 8) 7(2n − 3) + = = = + 2n − 2(2n − 3) 2(2n − 3) 2(2n − 3) Phân số cho có giá trị lớn lớn 2(2n − 3) Từ suy ra: n = Vậy giá trị lớn phân số cho n = 2.Vì p(x) với x nguyên nên p(0) = d p(1) = a + b + c + d (1) p(- 1) = - a + b - c + d (2) Từ (1) (2) suy 2(b + d) 2(a + c) Vì 2(b + d) 5, mà (2, 5) = nên b + d suy b p(2) = 8a + 4b + 2c + d mà d 5; b nên 8a + 2c Kết hợp với 2(a + c) 6a a (6, 5) = Từ suy c Vậy a, b, c, d chia hết cho a a a+a 1 (1) 3.Vì a b + c nên b+c b+c b+c+a b b b+b 1 Tương tự, ta có: (2) c+a c+a c+a +b c c c+c 1 (3) a+b a+b a+b+c a b c 2a + 2b + 2c + + = Từ (1), (2) (3) suy ra: b+c c+a a+b a+b+c Ta có: Câu THCS.TOANMATH.com Trang 179 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN A M B I C E D N O 1.Tam giác ABC cân A nên ABC = ACB; NCE = ACB; (đối đỉnh) Do đó: MDB = NEC ( g.c.g ) DM = EN Ta có MDI = NEI ( g.c.g ) MI = NI Vì BD = CE nên BC = DE Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN Suy BC < MN 3) Ta chứng minh được: ABO = ACO(c.g.c) OC = OB, ABO = ACO MIO = NIO(c.g.c) OM = ON Ta lại có: BM = CN Do BMO = CNO(c.c.c) MBO = NCO , Mà: MBO = ACO suy NCO = ACO , mà hai góc kề bù nên CO ⊥ AN Vì tam giác ABC cho trước, O giao phân giác góc A đường vng góc với AC C nên O cố định Câu ( ) ( ) Ta có đẳng thức: a102 + b102 = a101 + b101 (a + b) − ab a100 + b100 với a, b Kết hợp với: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Suy ra: = (a + b ) − ab (a − 1)(b − 1) = a = + b100 = + b101 = + b102 b = 100 101 102 b = + a = + a = + a a = Do P = a 2014 + b 2015 = 12014 + 12015 = Đề số 46 Câu a) Ta có: x −1 (1+5) = 162 x −1 = 27 => x-1= => x = b) Ta có: THCS.TOANMATH.com Trang 180 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 3x + x2 = x(3 + x) = x = x = -3 c) Ta có: (x-1)(x-3) < x-1 > x-3 nên x − ( x − 1)( x − ) x − x Câu a)Ta có: Từ 2 2 x2 y z2 2x2 2y 3z2 2x + 2y − 3z −100 x y z ta có: = = = = = = = =4 = = 16 25 18 32 75 −25 −25 x+1 -1 -3 y+1 -3 -1 x -2 -4 y -4 -2 x = y = x = 36 x = 10 y = 64 x = −6 z = 100 y = −8 z = −10 ( Vì x, y, z dấu) b) Ta có: a b c d a+b+c+d = = = = = Ta có 2b 2c 2d 2a 2b + 2c + 2d + 2a (do a,b,c,d > => a + b + c + d > 0) suy a = b = c = d Thay vào tính P = Câu a) Ta có: Ta có x+y+xy =2 x + + y(x + 1) = (x+1)(y+1)=3 Do x, y nguyên nên x + y + phải ước Lập bảng ta có: Vậy cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) b) Ta có: 27 − 2x Q= = 2+ 12 − x 12 − x THCS.TOANMATH.com Trang 181 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN lớn 12 − x * Xét x > 12 Vì phân số có tử mẫu số dương, tử không đổi nên phân 12 − x số có giá trị lớn mẫu nhỏ 12-x Vậy để lớn x Z x = 11 12 − x 12-x nhỏ A có giá trị lớn x =11 A lớn Câu a) Ta có: nghiệm f(x) => f(1) = hay a + b + c = (1) -1 nghiệm f(x) => f(-1) = hay a - b + c = (2) Từ (1) (2) suy 2a + 2c = => a + c = => a = -c Vậy a c hai số đối b) Ta có: ( x − + ) x ( x − + ) Dấu "=" xảy x = y + y , Dấu "=" xảy y = -3 Vậy P = ( x − + ) + y + + 2007 + 2007 = 2011 Dấu "=" xảy x = y = -3 Vậy giá trị nhỏ P = 2011 x = y = -3 Câu B a) - Chứng minh IBM = KCM => IM= MK - Chứng minh IMC = KMB M => CI = BK góc MKB = góc MIC => BK//CI b) Chỉ AM = MC => AMC cân M I => đường cao MN đồng thời đường trung tuyến AMC A N => N trung điểm AC AKC vuông K có KN trung tuyến => KN = O O' AC Mặt khác MC = BC 1 Lại có ABC vng A => BC > AC => BC > AC hay MC > KN 2 Vậy MC > KN (ĐPCM) c) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD THCS.TOANMATH.com K D H C Trang 182 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Vậy để AI = IM = MK = KD cần AI = IM Mặt khác BI ⊥ AM => BI vừa trung tuyến, vừa đường cao ABM => ABM cân B (1) Mà ABC vuông A, trung tuyến AM nên ta có ABM cân M (2) Từ (1) (2) ruy ABM => góc ABM = 600 Vậy vng ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600 d) Xảy trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI DH cắt tia MN Gọi O giao điểm BI tia MN, O’ giao điểm DH tia MN Dễ dàng chứng minh AIO = MHO’ => MO = MO’ => O O’ Suy BI, DH, MN đồng quy Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB => BI BH cắt tia đối tia MN Chứng minh tương tự trường hợp Vậy BI, DH, MN đồng quy (Học sinh sử dụng cách khác để CM: VD sử dụng tính chất đồng quy đường cao ) Đề số 47 Câu a) A= = 212 35 − 46 ( 2 ) + 35 510 − 252 49 (125.7 ) + 59 14 ( )=2 − ( + 1) ( + ) 212 34 ( − 1) 212 − 54 56 − 3 = 212 35 − 212 34 510 − 54 − 212 36 + 212 35 59 + 59 3.7 ( ) 34 − 56 − − = − 12 59 3.9 12 55 − 2(56 − 7) 2429 = = − 6250 2.5 b) Xét A= 1 1 1 − + + − + + − 72 74 n−2 n 798 7100 1 1 + + n−4 − n−2 + + 96 − 98 7 7 1 50 A = − 100 A (đpcm) 50 Ta có: 49A=1 − c) B = 12+ 22 + 32 + 42 + 52 +……….+ 982 = (1.2+2.3+3.4+ 98.99) – (1+2+3+4+ 97+98) = 318549 d) P2-1=(p-1)(p+1) Vì p >3 nên p lẻ => (p-1)(p+1) tích hai số chẵn nên chia hết cho Ta có (p-1)p(p+1)là tích số ngun liên tiếp nên có số chia hết cho mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho hai số (p-1);(p+1) phải có số chia hết cho (**) THCS.TOANMATH.com Trang 183 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Vì (8;3) = => P2-1 chia hết cho 24 Câu a) Ta có: x− + = x− ( −3, ) + −16 x− + = + 5 5 14 + = 5 x −1 = x= x− =2 35 x−1=−2 x=− 3 3 m + 3m + 2m + m + 3m + 2m + 5 b) Cho C = với m N = = 1+ 3 m(m + 1)(m + 2) + m + 3m + 2m m + 3m2 + 2m Vậy C số hữu tỉ c) Ta có xét dấu sau: x -2 _ (x - 1) (x + 2) (3 - x) M = (x - 1)(x + 2) (3 – x) _ - + _ + + + + + + + + + 0 - Từ bảng xét dấu ta thấy M < -2 < x < x > Câu a c a) Từ = suy c = a.b c b a + c a + a.b a (a + b) a = = = b + c b + a.b b(a + b) b b) Ta có: x2 – y2 = (x+y)(x-y) =5 THCS.TOANMATH.com Trang 184 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN x+y x-y x y -5 -1 -3 -2 -2 -1 -5 -3 Vậy có cặp (x, y) (3; 2), (-3;-2), (3; -2) (-3; 2) Câu A 350 B D C M E 750 = 37030' ADM = ABD + BAD = 72030' a) Ta có: BAD = CAD = ( Góc ngồi cảu tam giác ABD ); Tam giác DAE vng có AM đường trung tuyến nên MAD cân M , AMD = 1800 − 2.ADM = 1800 − 1450 = 350 (1) 0 Trong tam giác ABC ta lại có: BAC = 75 , ABC = 35 ACB = 70 CAM = ACB − AMC = 350 (2) Từ (1) (2) suy tam giác ACM cân b) Theo ý a, ta có: ABM = AMB = 35 AB = AM (3) Mặt khác: AM = DE (Trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông) AD + AE mà DE AD + AE AM (4) AD + AE Từ (3) (4) AB (đpcm) c) Ta có: AC = CM ( ACM cân), MA = ME(AME cân) AM = AB(ABM cân) Do đó: BE = BC + CA + AB Câu Gọi ba số cần tìm a, b, c; số chia hết cho 18 nên chia hết cho a + b + c Lại có: a + b + c 27 Suy ra: a + b + c nhận giá trị 9, 18, 27 (3) THCS.TOANMATH.com Trang 185 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN a b c a+b+c a+b+c mà a N nên = = = N (4) 6 Từ (3) (4) a + b + c = 18 a b c Vậy = = = Từ ta có: a = 3, b = 6, c = Theo theo ta có: Do số cần tìm chia hết cho 18 nên tận phải số chẵn Vậy số cần tìm là: 396 936 Đề số 48 I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu Đ án A C C II Phần tự luận (14 điểm) A B D B A C 10 D 11 B 12 C Câu a) M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.(4- 1)(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.[4(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 = 25.(42018+ 42017+ + 42 +4) - 25(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.42018 – 25 + 25 = 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 100 Vậy M 102 b) Đặt a.b = c2 (1) Gọi (a,c) = d nên a d, c d Hay a = m.d c = n.d với (m,n) = Thay vào (1) ta m.d.b = n2 d2 => m.b = n2 d => b n2 (a,b) = 1= (b,d) Và n2 b => b = n2 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm Câu Ta có A = 2x2 – 6x – x2 + 7x – 5x + 2015 = x2 – 4x + 2015 A, Với x = ta A = 2015 x = B, A = 2015 => x2 – 4x = => x(x - 4) = x = Gọi số ba lớp trồng a, b, c ( cây, a,b,c N*) Theo đề ta có b : c = 1,5: 1,2 b – a = 120 a = 32,5%( a + b + c) Vậy lớp trồng số 2400 Câu THCS.TOANMATH.com Trang 186 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN a) Vẽ tia CO cắt tia đối tia By điểm E Chứng minh AOC = BOE ( g − c − g ) AC = BE; CO = EO Chứng minh DOC = DOE ( c − g − c ) CD = ED Mà ED = EB + BD = AC + BD Từ : CD = AC + BD (đpcm) b, Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vng BOE BOD ta có: 2 OE = OB + EB OE + OD2 = 2OB + EB2 + DB 2 OD = OB + DB Mà OE + OD2 = DE ; Nên DE = 2OB + EB + DB = 2OB + EB ( DE − BD ) + DB.( DE − BE ) = 2OB + EB.DE − EB.BD + DB.DE − DB.BE = 2OB + ( EB.DE + DB.DE ) − BD.BE = 2OB + DE ( EB + DB ) − 2BD.BE = 2OB + DE − 2BD.BE Suy 2OB − BD.BE = BD.BE = OB AB Mà BE = AC ; OB = 2 AB AB Vậy AC.BD = (đpcm) = Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC D, kẻ đường thẳng // với AC cắt AB E Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –c-g) AD = HE; AE = HD Δ AHD có HA< HD + AD nên HA < AE + AD (1) Từ HE ⊥ BH ΔHBE vuông nên HB < BE (2) Tương tự ta có HC < DC (3) Từ 1,2,3 HA + HB + HC < AB + AC (4) Tương tự HA + HB + HC < AB + BC (5) THCS.TOANMATH.com Trang 187 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HA + HB + HC < BC + AC (6) Từ suy HA + HB + HC < ( AB + AC + BC ) đpcm Câu Ta có |7x – 5y| 0; |2z – 3x| | xy + yz + zx - 2000| Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| Mà A = |7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = x y Có: |7x – 5y| = 7x = 5y = x z |2z – 3x| = = |xy + yz + zx - 2000| = xy + yz + zx = 2000 x = 20; y = 28; z = 30 Từ tìm x = −20; y = −28; z = −30 A 0, mà A = (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30) Vậy MinA = (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30) Đề số 49 Câu 212.35 − (22 )6 (32 )2 (24 )3.310 + 23.3.5.(2.3)9 212.35 − 46.92 163.310 + 120.69 + + = (22 )6 36 + (23 )4 35 (22.3)6 + 84.35 (22 )6 312 + (2.3)12 46.312 + 612 212.35 − 212.34 212.310 + 212.310.5 = 12 12 + 12 12 12 12 + 3 + 12 12 10 (3 − 1) (1 + 5) + = 12 (3 + 1) 212.310.9 = + = 6 b) Ta có P(x) = x2012 – 2011 x2011 - 2011 x2010 - … – 2011 x2 - 2011 x + = x2012 – (2012-1) x2011 - (2012-1) x2010 - … – (2012-1) x2 - (2012-1) x + = (x2012 – 2012x2011) + (x2011 – 2012x2010) + …+ ( x2 – 2012x) + x + = x2011(x – 2012) + x2010(x – 2012) + ….+ x(x – 2012) + x + a) A = Vậy P( 2012) = 2012 +1 = 2013 Câu a) 2012 = x − 2010 + x − 2008 (1) + Nếu x 2008 , từ (1) 2012 = 2010 – x + 2008 – x x = 1003 ( thỏa mãn) + Nếu 2008 < x 2010 , từ (1) 2012 = 2010 – x + x – 2008 2012 = ( vô lý) + Nếu x 2010 , từ (1) 2012 = x – 2010 + x – 2008 x = 3015( thỏa mãn) Vậy giá trị x cần tìm : 1003 3015 THCS.TOANMATH.com Trang 188 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN b) ( x − 3) x − ( x − 3) x+2 = ( x − 3)x [1− ( x − 3)2 ] = x − = ( x − 3) x = x − = 1 − ( x − 3) = x − = −1 x = x = x = Từ 3x − y z − x y − 3z 15 x − 10 y z − 15 x 10 y − z = = = = 25 c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 15 x − 10 y z − 15 x 10 y − z 15 x − 10 y + z − 15 x + 10 y − z = = = =0 25 38 x y 2 = 15 x − 10 y = 3x = y x z 6 z − 15 x = 2 z = x = 10 y − z = 5 y = 3z 2 z y 5 = x y z x + y + z 50 = = = = =5 + + 10 x = 10, y = 15, z = 25 Câu a) 2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d = = = a b c d 2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d − 2011 = − 2011 = − 2011 = − 2011 a b c d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d = = = (*) a b c d + Nếu a + b + c + d khác Từ (*) suy a = b = c = d Vậy M = + +1 +1 = + Nếu a + b + c + d = a + b = - ( c + d) ; a + c = - ( b + d) ; a + d = - ( b +c) Vậy M = - - – – = - b) Từ ( a – 21 b + 5)( a – b + 1) ( a – b + 1) ( a – 21 b + 5) không chia hết cho số nguyên tố Từ ( a – b + 1) (42a + 14b +14 ) + ( a – b + 1) (42a + 14b + 14 ) 43a + 11b + 15 ( đpcm) Câu Ta có : A = x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 THCS.TOANMATH.com Trang 189 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN = ( x − 2010 + 2014 − x ) + x − 2012 Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối : a + b a + b dấu ‘ =’ xẩy a.b , ta có Ta có x − 2010 + 2014 − x x − 2010 + 2014 − x = H với x (1) x − 2012 với x ( 2) Từ (1) (2) A với x Vậy A có giá trị nhỏ = ( x − 2010)(2014 − x) Khi (1) (2) xẩy dấu “ =” hay : x = 2012 x − 2012 = Vậy x = 2012 A có giá trị nhỏ : Câu a) Gọi I giao điểm MD AB, K giao điểm ME AC IM = ID , MK = KE MIA = DIA = 900 , MKA = EKA = 900 ( Do AB đường trung trực MD, D AC đường trung trực ME) A ∆ AIM = ∆ AID ( c.g.c) ∆ AKM = ∆ AKE ( c.g.c) I AM = AD AM = AE AM = AD = AE b) + Nếu M trùng B ( C) D ( E) trùng B( C) K trùng A ( I trùng B A) điểm A, D, E thẳng hàng E K C M + Nếu M không trùng B ( C) Theo ý a ta có : ∆ AIM = ∆ AID ( c.g.c) ∆ AKM = ∆ AKE ( c.g.c) A1 = A2 A3 = A4 Mà A2 + A3 = 900 A1 + A2 + A3 + A4 = 1800 suy điểm A, D, E thẳng hàng c) Theo chứng minh ý a, b ta có với M điểm A, D, E thẳng hàng AM = AD = AE DE = 2.AM Kẻ đường cao AH , ta có AM AH ( Quan hệ đường vng góc đường xiên) Suy DE AH , tam giác ABC không đổi nên AH không đổi DE nhỏ nhât = 2.AH Vậy DE nhỏ M trùng với H Đề số 50 Câu 15 18 1) A = − + : − + 10 10 10 12 12 12 12 11 = : 10 12 THCS.TOANMATH.com Trang 190 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 72 = = 11 55 72 Vậy A = 55 2) P = x − 2012 + x − 2013 + Nếu x = 2012 x = 2013 P = + Nếu x 2013 P = x − 2012 + x − 2013 + x − 2013 + Nếu x 2012 P = x − 2012 + x − 2013 x − 2012 + + Do giá trị nhỏ P 1, đạt x = 2012 x = 2013 Câu 1) Ta có x + 2.3x +1.5x = 10800 2x.22.3x.3.5x = 10800 ( 2.3.5) = 900 x 30 x = 302 x = Vậy x = kết cần tìm 2) + Gọi số viên bi An, Bình, Cường a, b, c Vì tổng số viên bi ba bạn 74 nên a + b + c = 74 a b a b + Vì số viên bi An Bình tỉ lệ với nên = = 10 12 b c b c + Vì số viên bi Bình Cường tỉ lệ với nên = = 12 15 a b c a+b+c 74 = = = = =2 + Từ ta có 10 12 15 10 + 12 + 15 37 + Suy a = 20; b = 24; c = 30 Câu 1) + Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng p = 3k 1( k , k 1) +Với p = 3k + ( ) ( ) suy p + 2012 = ( 3k + 1) + 2012 = 9k + 6k + 2013 p + 2012 +Với p = 3k − suy p + 2012 = ( 3k − 1) + 2012 = 9k − 6k + 2013 p + 2012 Vậy p + 2012 hợp số 2) + Vì n số có hai chữ số nên n 100 18 2n 200 + Mặt khác 2n số phương chẵn nên 2n nhận giá trị: 36; 64; 100; 144; 196 + Với 2n = 36 n = 18 n + = 22 khơng số phương 2n = 64 n = 32 n + = 36 số phương 2n = 100 n = 50 n + = 54 không số phương 2n = 144 n = 72 n + = 76 không số phương THCS.TOANMATH.com Trang 191 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 2n = 196 n = 98 n + = 102 không số phương + Vậy số cần tìm n = 32 Câu 1) + Xét hai tam giác AIB BCE Có AI=BC (gt) BE=BA( gt) + Góc IAB góc ngồi tam giác ABH nên IAB = ABH + AHB = ABH + 900 + Ta có EBC = EBA + ABC = ABC + 900 Do IAB = EBC + Do ABI = BEC (c − g − c) + Do ABI = BEC (c − g − c) nên AIB = BCE + Trong tam giác vuông IHB vng H có AIB + IBH = 900 Do BCE + IBH = 900 KL: CE vng góc với BI 2) + Do tính chất đường phân giác, ta có DM ⊥ DN + Gọi F trung điểm MN Ta có FM = FD = FN + Tam giác FDM cân F nên FMD = MDF FMD = MBD + BDM ( góc ngồi tam giác) = MBD + CDM Suy MBD = CDF (1) Ta có MCD = CDF + CFD (2) Do tam giác ABC cân A nên MCD = 2MBD (3) Từ (1), (2), (3) suy MBD = DFC hay tam giác DBF cân D Do BD = DF = MN Câu + Ta có: 1 1 P= + + + + 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 = 1 + + + + + + + + + − 1 + + + + 1006 1007 1008 2012 2013 1006 THCS.TOANMATH.com Trang 192 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + + + + + −2 + + + + 1006 1007 1008 2012 2013 2012 1 1 = − + − + − + =S 2012 2013 Do ( S − P ) 2013 =0 _Hết _ THCS.TOANMATH.com Trang 193 ... trường K có tất 1 47 học sinh Nếu đưa 7A1, 0 số học sinh lớp 1 số học sinh lớp 7A2 số học sinh lớp 7A3 thi học sinh giỏi cấp huyện số học sinh cịn lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K... 0,005p Nếu tiền gửi 1 75 00 0 tiền lãi là: A 8 850 đ B 8 75 0 đ C 7 850 đ D .7 750 đ Câu 12: Cho tam giác ABC cân A, Â = 20 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Số đo góc BDC là: A 500 B 70 0 C 300 D 800 II... THCS.TOANMATH.com Trang 27 TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2016-20 17 MƠN THI: TỐN
Ngày đăng: 13/10/2022, 22:06
Xem thêm:
