CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Hoán vị  Hoán vị không lặp - Một tập hợp gồm n phần tử (với n  1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử - Số hoán vị n phần tử Pn  n !  Hoán vị lặp - Cho k phần tử khác nhau: a1 , a , , a k Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử a1 , n2 phần tử a2 , , nk phần tử ak  n1  n2   nk  n  theo thứ tự gọi hốn vị lặp cấp n kiểu  n1 , n , , nk  k phần tử - Số hoán vị lặp cấp n, kiểu  n1 , n , , nk  k phần tử Pn  n1 ; n2 ; n3   n! n1 !n2 ! nk !  Hoán vị vòng quanh - Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử ­ Số hốn vị vòng quanh n phần tử Qn   n  1! 2) Chỉnh hợp  Chỉnh hợp không lặp ­ Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A 1  k  n  theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A ­ Số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank  n  n  1 n    n  k  1  n!  n  k ! Chú ý: ­ Công thức cho trường hợp k  k  n ­ Khi k  n Ann  Pn  n !  Chỉnh hợp lặp ­ Cho tập A gồm n phần tử Mỗi dãy gồm k phần tử A, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A ­ Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank  nk 3) Tổ hợp Trang ­ Giả sử tập A có n phần tử  n  1 Mỗi tập gồm k 1  k  n  phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho ­ Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử Cnk  n! k !  n  k ! Cnk  Cnn  k   k  n  ­ Hai công thức quan trọng:  k 1 k k Cn 1  Cn1  Cn 1  k  n  Chú ý (Phân biệt Chỉnh hợp Tổ hợp): °Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Ank  k !Cnk °Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: khơng có thứ tự  Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử  chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp °Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử  k  n  : +) Không thứ tự, khơng hồn lại: Cnk +) Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Dạng Hốn vị Ví dụ Giải phương trình sau: a) n! n!  3  n  ! (n  1)! b) n!   n  3 ! 20n c) n3  n!  10 (n  2)! Lời giải: a) Điều kiện: n  Ta có n! n!    n  n  1  n   n  2n    n  ! (n  1)!   n  3 n  1   n  b) Điều kiện: n  Ta có n!   n  3!  n  n  1 n    20n  n  3n   20 20n  n  3n  18    n  3 n     n  c) Điều kiện: n  Ta có n3  n!  10  n3  n  n  1  10  n  n  n  10   n  !   n    n  3n     n  Trang Ví dụ Chứng minh a) Pn  Pn1   n  1 Pn1 b) Pn   n  1 Pn1   n   Pn 2   P2  P1  n2 1   n !  n  1 !  n  ! c) Lời giải: a) Ta có Pn  Pn 1  n !  n  1 !   n  1 !  n  1   n  1 Pn1  Pn  Pn1   n  1 Pn 1 b) Từ câu a, ta có: Pi  Pi 1   i  1 Pi 1  Pi  Pi 1   i  1 Pi 1 (*)  Pn  Pn 1   n  1 Pn 1   Pn 1  Pn   n   Pn   Áp dụng cho i  1, n :  Pn   Pn3   n  3 Pn3    P2  P1    Pn   n  1 Pn 1   n   Pn    P2  P1  c) Ta có n2 1 n2  n       n  n  1 !  n.n !  n.n !  n.n ! n !  n  1 !  n   ! n !  n  1 ! Ví dụ Giải bất phương trình sau: a)  n  n  1 !  n  1!    5 n   n   n  3 !4! 12  n    n   !2!  b) n3  n!  10  n  ! Lời giải: a) Điều kiện: n  Ta có   n  n  1 !  n  1!   4n ! 5     n   n   n  3 !4! 12  n  3  n  !2!  n  24  n  3 ! n!   n  n  1  30   n   n     n  6  n  ! Đối chiếu với điều kiện ta n  4, n  5, n  b) Điều kiện: n  Ta có n3  n!  10  n3  n  n  1  10  n3  n2  n  10   n  !  n  2n  3n  6n  5n  10    n    n  3n     n  Đối chiếu với điều kiện  n  1; n  Trang Ví dụ Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a) Bạn C ngồi giữa? b) Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? Lời giải: a) Cho bạn C ngồi vào Hốn vị bạn cịn lại suy 4! , tức 24 cách xếp b) Hai bạn A E ngồi đầu ghế, hoán vị bạn cịn lại có 3! Tức cách Đổi vị trí hai bạn A E có 2.6 tức 12 cách Ví dụ Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau? Lời giải: Coi bi màu tập hợp có tập hợp tất  có 4! cách xếp tập hợp ° Có 3! cách để xếp bi đen ° Có 4! cách để xếp bi đỏ ° Có 5! cách để xếp bi vàng ° Có 6! cách để xếp bi đen Vậy có 4!3!4!5!6! cách xếp Ví dụ Có đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi phát cho 10 học sinh khối 11 10 học sinh khối 12 Có cách xếp 20 học sinh vào phịng thi có dãy ghế cho hai em ngồi cạnh có đề khác nhau, cịn em ngồi nối có đề? Lời giải: Có dãy ghế mà có 20 học sinh tức có cột học sinh Do em nối đuôi chung đề nên cột học sinh học sinh đề em ngồi cạnh đề khác nên cột cạnh đề khác (ta coi cột đề so le) Từ có 10 học sinh đề xếp vào cột tương tự với 10 học sinh lại nên: °Có 10! cách xếp 10 học sinh vào cột đề °Có cách chọn đề cho 10 học sinh °Còn 10 học sinh lại nên có 10! cách xếp Như có 10!.2.10! cách xếp Ví dụ Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tùy ý? b) Theo môn? c) Theo mơn sách Tốn nằm giữa? Lời giải: a) Tổng số sách có kệ    12 Trang Sắp xếp cách tùy ý từ 12 sách, tức ta hoán vị 12 sách  có P12  12! cách xếp b) Xếp sách theo môn: °5 sách Toán, ta hoán vị sách  P5  5! cách xếp °4 sách Lý, ta hoán vị sách  P4  4! cách xếp °3 sách Văn, ta hoán vị sách  P3  3! cách xếp Do đó, xếp tất sách theo mơn có 3!  3!.4!.5!  103680 cách xếp c) Cố định sách Toán nên ta hốn vị mơn Lý Văn  có: 2!  3!.4!.5!  34560 cách xếp Ví dụ Với hốn vị số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta số tự nhiên Tìm tổng tất số tự nhiên có từ hốn vị phần tử trên? Lời giải: Mỗi số tự nhiên có chữ số khác hốn vị phần từ nên có 7! số Vì chữ số bình đẳng nên có 7!  6! số có chữ số hàng đơn vị, 6! số có chữ số 2, 6! số có chữ số Tổng hàng đơn vị 1     6!  28.6! Tương tự với hàng khác, nên ta có tổng cần tìm S  28.6!1  10  102   10   31111108.6! Ví dụ Tìm tổng S tất số tự nhiên, số tạo thành hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Lời giải: Nhận thấy:       S tổng 6!  720 số Mỗi số tổng S tương ứng số tổng cho tổng chúng 777777 Vậy, số tổng S tạo thành 120  60 cặp tổng cặp 777777  S  60.777777  279999720 Ví dụ 10 Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 9? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 19? d) Không bắt đầu 135? Lời giải: Trang a) Gọi số cần tìm 9abcd Từ chữ số: 1, 3, 5, Ta lập 4! số tự nhiên có chữ số khác bắt đầu chữ số  có 4!  24 cách chọn để số có chữ số bắt đầu chữ số b) Từ chữ số cho, ta lập 5! số tự nhiên có chữ số khác Tương tự với câu a, số số bắt đầu chữ số 4!  có 5! 4!  96 số có chữ số khác khơng bắt đầu chữ số c) Gọi số cần tìm 19abc Từ chữ số lại: 3, 5, Ta lập 3! Số tự nhiên có chữ số khác bắt đầu 19  có 3!  cách chọn để số có chữ số bắt đầu 19 d) Số số tự nhiên có chữ số khác bắt đầu 135 (từ chữ số khác đề bài) 13579 13597  có 5!  118 số có chữ số khác khơng bắt đầu 135 Ví dụ 11 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? Lời giải: Xét số mà số cạnh Chọn cố định vị trí cho hai số đứng cạnh nhau, theo chiều xuôi có cách Đổi lại có 5.2 tức 10 cách Hốn vị số cịn lại, có 4!.10=240 số Hoán vị chữ số 6! Số Phủ định, có 6! 240  480 số cần lập Ví dụ 12 [Hốn vị vịng trịn] Có học sinh nam A1, A2, A3, A4, A5 học sinh nữ B1, B2, B3 xếp ngồi xung quanh bàn trịn Hỏi có cách xếp nếu: a) Một cách tùy ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ khơng ngồi cạnh nhau? Lời giải: a) Có tổng cộng học sinh Lấy học sinh làm mốc, hốn vị bạn cịn lại, có 7! cách xếp b) Cố định hai A1 B1 ngồi cạnh nhau, có 6! cách xếp bạn cịn lại Như có 7! 6! cách xếp để A1 không ngồi cạnh B1 c) Cố định hai bạn nữ ngồi cạnh nhau, suy có cách xếp Hốn vị bạn cịn lại, suy có 6! cách xếp Do bàn trịn nên có 7! 3.6!  1440 cách xếp Dạng Chỉnh hợp Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) Pn   210 Ann14 P3 b)  An3  An2   Pn 1 c) Pn  An2  Pn An2  12 Lời giải: Trang a) Điều kiện: n  4, n  N Ta có  n  !  210   n  !  210 Pn   210  n4  n  1!.3! An 1 P3  n  1! 3!  An3  A73  n    n  (thỏa mãn) b) Điều kiện: n  3, n  N Ta có:  An3  An2   Pn1  n! n!    n  1 n !    n 1  n  3 !  n   !  n  3!  n  ! 6  VT  n  !  n  !  1!  2!        °Với n    vô nghiệm VP  n    6  VT  n  !  n  !  1!  2!        °Với n    vơ nghiệm VP  n    6  VT  n  !  n  !  1!  2!        °Với n    PT có nghiệm x  VP  n    Vậy phương trình có nghiệm x  c) Điều kiện: n  2, n  N Pn  An2  Pn An2  12  2.n ! n  n  1  n !.n  n  1  12  n ! n  n     n  n    n    n !   n  n     n !   3!  n  n     n   n  1 2 Đối chiếu điều kiện ta nhận hai giá trị thỏa mãn n  2; n  Ví dụ Giải phương trình sau: b) Px Ax2  72   Ax2  Px  a) A10 x  Ax  Ax c) Ax2  50  A22x Lời giải: a) Điều kiện: x  10, x  N 10 A10 x  Ax  Ax  Ax  x! x! x! x!   Ax10   x  10    x  10  x    x  !  x  8 !  x  10 !  x  10 ! 10 10 10  A10 x   x  10  Ax   x  10  x   Ax  Ax  9  x  10  x     x  10   x  x      x   x  91 A10    91 x 9 x  91  x    Đối chiếu với điều kiện ta thấy phương trình vơ nghiệm Trang b) Điều kiện: x  2, x  N Px Ax2  72   Ax2  Px   Ax2  Px     Px      Ax2    Px     A2   A22 x  (đều thỏa mãn)  x  x   Px   P3 Vậy phương trình có nghiệm x  x  c) Điều kiện: x  2, x  N DK x  Ta có Ax2  50  A22x  x  x  1  50  x  x  1  x  50   Ví dụ Giải phương trình sau: a) Axy11.Px  y Px 1  72 b) Pn   720 An5 Pn  c) An6  An5  An4 Lời giải: a) Điều kiện: x  y; x  1; x, y  N Ta có y 1 x 1 A Px  y Px 1  x  1! x  y !   x  y !   x  1 x  x  1!  72  72   72   x  1!  x  1! DK  x  x  72   x  b) Điều kiện: n  5, n  N Ta có Pn 3  720 An5 Pn 5   n  3 !  720  n  3!  720  A3  A3 n!  n  !  n 3 10 n!  n  5!  n   10  n  (thỏa mãn) c) Điều kiện: n  6, n  N DK An6  An5  An4  An6   n   An6   n   n  5 An6  An6  n   n     n  Ví dụ Giải bất phương trình: a) An3  15  15n b) An3  An2  12 c) An11 143  0 Pn  Pn1 Lời giải: a) Điều kiện: n  3, n  N Ta có An3  15  15n  n  n  1 n    15  n  1    n  1  n  2n  15    n  3   n  1 n  3 n  5    1  n  Kết hợp với điều kiện  n  n  giá trị cần tìm b) Điều kiện: n  3, n  N Ta có An3  An2  12  n  n  1 n    n  n  1  12  n3  3n2  2n  n  n  12 Trang  n  4n  3n  12    n    n  3   n  (thỏa mãn) c) Điều kiện: n  1, n  N Ta có An11 143 n 1 143 143  0  0  Pn  Pn 1  n   n  1 n  n  1 !  n  1!  n  2 n Do n  1, n  N nên 1 143    bất PT có nghiệm với n  1, n  N n  n   1.2 Ví dụ Tìm số âm dãy số x1 , x2 , x3 , , xn với: xn  Ann 143   n  1, 2, 3,  Pn  4.Pn Lời giải: Ta có xn   n   n  3 n   n  1  143   n  n   143  Ann 143  0    Pn  4.Pn 4n !  n   n  1 n !  n  7n  95 19 0 n 2 Kết hợp với điều kiện suy n  n  giá trị cần tìm °Với n  x1   63 ° Với n  x2   23 Ví dụ Một khiêu vũ có 10 nam nữ Người ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn? Lời giải: ­Chọn có thứ tự nam tổng số 10 nam, ta có A103 cách chọn ­Chọn có thứ tự nữ tổng số nữ, ta có A63 cách chọn  có A103 A63 cách chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Ví dụ Trong khơng gian cho điểm A, B, C, D Từ điểm ta lập vectơ khác vectơ­khơng Hỏi có vectơ? Lời giải: Vì vecto có chiều khác không, nên từ điểm A, B, C, D cho ta lập vecto khác vecto không tương đương với việc chọn có thứ tự điểm điểm cho  có A42  12 vecto Ví dụ Một lớp học có bàn đơi (2 chỗ ngồi) Hỏi lớp có học sinh, biết xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) Lời giải: Trang Gọi số học sinh lớp n  n  1 Sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp, lớp có bàn đơi tức xếp có thứ tự học sinh n học sinh  An2  132  n!  132  n  n  1  132  n  n  132   n  12  n  ! Vậy lớp học có 12 học sinh Ví dụ Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có cách chọn nếu: a) Cả 11 cầu thủ có khả nhau? (kể thủ mơn) b) Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số Lời giải: a) Chọn cầu thủ để đá luân lưu, phải bố trí người từ số đến số Chọn có thứ tự cầu thủ số 11 cầu thủ: A115  55440 b) Có cầu thủ bị thương  Còn lại: 11   cầu thủ Bố trí cầu thủ A đá số 1, cầu thủ B đá số nên cịn lại cầu thủ cho vị trí Chọn có thứ tự cầu thủ cầu thủ, ta có: A63  120 cách chọn Ví dụ 10 Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu: a) Người có tượng khác nhau? b) Người có tượng khác nhau? c) Người có tượng khác nhau? Lời giải: a) Sắp xếp tượng khác vào dãy có chỗ trống  Có: A66  6!  720 cách xếp b) Chọn có thứ tự tượng xếp vào dãy chỗ trống:  Có: A64  360 cách xếp c) Chọn có thứ tự tượng tượng khác nhau:  Có: A86  20160 cách xếp Trang 10 Câu 10 Trong trường có học sinh giỏi lớp 12, học sinh giỏi lớp 11 học sinh giỏi lớp 10 Cần chọn học sinh giỏi để tham gia thi với trường khác cho khối 12 có em khối 10, 11 có em Vậy số tất cách chọn là: A 60 B 180 C 330 D 90 Câu 11 Trong bình đựng viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên Có cách lấy viên màu? A 18 B C 22 D Câu 12 Một tổ học sinh có nam nữ xếp thành hàng dọc cho khơng có học sinh giới tính đứng kề Số cách xếp là: A 5!.5! B  5! C 10! D 2.5! Câu 13 Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Có số gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số trên? A 120 B 96 C 24 D 28 Câu 14 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho 9? A 16 B 18 C 20 D 14 Câu 15 Dũng có người bạn Dũng muốn mời người bạn quê chơi vào cuối tuần Nhưng người bạn đó, có bạn Hùng Tuấn khơng thích chơi với Như số cách chọn nhóm người để quê Dũng là? A C84 B C64  C63 C C64  2C63 D C64  C73 Câu 16 Một tổ có học sinh, có học sinh nam học sinh nữ Hỏi có cách xếp học sinh tổ thành hàng dọc cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau? A 36 B 42 C 102 D 72 Câu 17 Hai đơn vị thi đấu cờ tướng A B có người người Cần chọn đơn vị người để ghép cặp thi đấu với Hỏi có cách thực thế? A 1200 B C53 C63 C A53  C63 D C53  A63 Câu 18 Một hội đồng gồm nam nữ tuyển vào ban quản trị gồm người Hỏi có cách tuyển chọn? A 240 B 260 C 126 D Kết khác Câu 19 Có cách chọn thứ tự cầu thủ để đá bóng luân lưu 11m Biết 11 cầu thủ có khả A 55440 B 20680 C 32456 D 41380 Câu 20 Một hội đồng gồm nam nữ tuyển vào ban quản trị gồm người Biết ban quản trị có nam nữ Hỏi có cách tuyển chọn? A 240 B 260 C 126 D Kết khác Trang 18 Câu 21 Một lớp có 50 học sinh Hỏi có cách phân công học sinh để làm vệ sinh lớp học ngày? A 117600 B 128500 C 376 D 436 Câu 22 Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn, bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy? A 200 B 30 C 300 D 120 Câu 23 Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số có chữ số khác mà hai chữ số chẵn đứng liền kề nhau? A 6! B 2.6! C 7! D 2.7! Câu 24 Có mơn thi Tốn, Lí, Hóa cần xếp vào buổi thi, buổi mơn cho mơn Tốn khơng thi buổi đầu số cách xếp là: A 3! B 2! C 3! 2! D Câu 25 Có 12 tay đua xe đạp xuất phát đua để chọn người đích Số kết xảy là: A 1250 B 1320 C 220 D 240 Câu 26 Từ 12 người, người ta thành lập ban kiểm tra gồm người lãnh đạo ủy viên Hỏi có cách thành lập ban kiểm tra? A C122 C103 B C102 C125 C C122 C125 D Kết khác Câu 27 Có sách tốn khác nhau, sách lý khác nhau, sách hóa khác Muốn vào kệ dài sách mơn kề nhau, loại tốn lý phải kề số cách là: A 4!.3!.2! B 2.4!.3!.2! C 3.4!.3!.2! D 4.4!.3!.2! Câu 28 Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu Mỗi đội nhận nhiều huy chương đội đoạt huy chương Khi đó, số cách trao loại huy chương vàng, bạc, đồng cho ba đội nhì ba là: A 51 B 4896 C 125 D 12070 Câu 29 Cho số M  25.33.54 M có tất ước số dương? A 60 B 13 C 140 D 120 Câu 30 Có số ước dương 210.36.58 chia hết cho 25.32.54 ? A 30 B 150 C 60 D 120 Câu 31 Một lớp học có 30 học sinh, có 18 em giỏi tốn, 14 em giỏi văn 10 em không giỏi môn Số tất em giỏi văn lẫn toán là: A 20 B 12 C 24 D 48 Câu 32 Tìm tất giá trị x  N thỏa mãn  Px  Px 1   Px 1 A x  B x  C x  2; x  D x  Câu 33 Tính tổng S tất giá trị x thỏa mãn P2 x  P3 x  Trang 19 A S  4 B S  1 C S  D S  Câu 34 Có số tự nhiên x thỏa mãn Ax2  A22x  42  ? A B C D Câu 35 Cho số tự nhiên x thỏa mãn A10 x  Ax  Ax Mệnh đề sau đúng? A x số phương B x số nguyên tố C x số chẵn D x số chia hết cho Câu 36 Có số tự nhiên n thỏa mãn An3  An2   n  15  ? A B C D Câu 37 Tìm giá trị n  N thỏa mãn Cn11  3Cn2  Cn31 A n  12 B n  C n  16 D n  Câu 38 Tính tích P tất giá trị x thỏa mãn C14x  C14x   2C14x 1 A P  B P  32 C P  32 Câu 39 Tính tổng S tất giá trị n thỏa mãn A S  B S  11 D P  12 1   Cn1 Cn21 6Cn1 C S  12 D S  15 Câu 40 Tìm giá trị x  N thỏa mãn C x0  C xx 1  C xx 2  79 A x  13 B x  17 C x  16 D x  12 Câu 41 Tìm giá trị n  N thỏa mãn Cnn41  Cnn3   n  3 A n  15 B n  18 Câu 42 Tìm giá trị n  N thỏa mãn Cn1  Cn2  Cn3  A n  B n  C n  16 D n  12 7n C n  D n  Câu 43 Tính tổng S tất giá trị x thỏa C 1x  6Cx2  6Cx3  x  14 x A S  B S  C S  D S  14 Câu 44 Tìm giá trị n  N thỏa mãn Cn6  3Cn7  3Cn8  Cn9  2Cn8 A n  18 B n  16 C n  15 D n  14 Câu 45 Đẳng thức sau sai? 7 A C2007  C2006  C2006 2000 B C2007  C2006  C2006 2000 1999 C C2007  C2006  C2006 7 2000 D C2007  C2006  C2006 Câu 46 Đẳng thức sau đúng? A      n  Cn21 B      n  An21 Trang 20 C      n  Cn1  Cn2   Cnn D      n  An1  An2   Ann Câu 47 Tính tích P tất giá trị n thỏa mãn Pn An2  72   An2  Pn  A P  12 B P  C P  10 D P  Câu 48 Tính tích P tất giá trị n thỏa mãn  Axx11  Px 1   30 Px A P  B P  C P  28 D P  14 C n  D n  14 C x  D x  12 C n  D n  Câu 49 Tìm giá trị n  N thỏa mãn Cnn83  An3 A n  15 B n  17 Câu 50 Tìm giá trị x  N thỏa mãn Ax2 C xx 1  48 A x  B x  Câu 51 Tìm giá trị n  N thỏa mãn An2  Cnn11  A n  B n  Câu 52 Tính tích P tất giá trị n thỏa mãn An2  3Cn2  15  5n A P  B P  C P  30 D P  360 An4 15  Câu 53 Có số tự nhiên n thỏa mãn ?  n  !  n  1! A B C D Vơ số Câu 54 Có số tự nhiên n thỏa mãn 2Cn21  An2  20  ? A B C D Vơ số Câu 55 Có số tự nhiên n thỏa mãn 2Cn21  An2  30 ? A B C D Vô số Câu 56 Tìm giá trị x  N thỏa mãn Ax4  24  Ax31  C xx   A x  B x  C x  D x  1; x  Câu 57 Có số tự nhiên n thỏa mãn 14 P3Cnn13  An41 A B C D Vô số Câu 58 Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đồn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho học sinh cắm trại Lớp 10A có 19 học sinh nam 16 học sinh nữ Giáo viên cần chọn học sinh để trang trí trại Hỏi có cách chọn học sinh cho có học sinh nữ? Biết học sinh lớp có khả trang trí trại A C195 B C35  C195 C C355  C165 D C165 Trang 21 Câu 59 Một lớp học sinh có 40 học sinh, có 25 nam 15 nữ Giáo viên cần chọn học sinh tham gia vệ sinh cơng cộng tồn trường Hỏi có cách chọn học sinh có nhiều học sinh nam? A 2625 B 455 C 2300 D 3080 Câu 60 Một nhóm đồn viên niên tình nguyện sinh hoạt xã nơng thơn gồm có 21 đồn viên nam 15 đồn viên nữ Hỏi có cách phân chia nhóm ấp để hoạt động cho ấp có đồn viên nam đoàn viên nữ? 12 A 3C36 12 B C36 C 3C217 C155 D C21 C155 C147 C105 Câu 61 Một hộp có viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi cho có đủ ba màu Số cách chọn là: A 2163 B 3843 C 3003 D 840 Câu 62 Đội văn nghệ nhà trường gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn lễ bế giảng Hỏi có cách chọn cho lớp có học sinh chọn? A 126 B 102 C 98 D 100 Câu 63 Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh trường THPT X theo khối sau: khối 10 có học sinh, khối 11 có học sinh khối 12 có học sinh Nhà trường cần chọn đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh Tính số cách lập đội tuyển cho có học sinh ba khối có nhiều học sinh khối 10 A 50 B 500 C 502 D 501 Câu 64 Một hộp bi có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Hỏi có cách lấy viên bi số viên bi đỏ lớn số viên bi vàng A 654 B 275 C 462 D 357 Câu 65 Có tem thư khác bì thư khác Từ người ta muốn chọn tem thư, bì thư dán tem thư lên bì chọn Hỏi có cách làm thế? A 1000 B 1200 C 2000 D 2200 Câu 66 Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết câu tập, người ta cấu hình tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi có câu lý thuyết câu hỏi tập Hỏi tạo đề trên? A 69 B 88 C 96 D 100 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1­C 2­D 3­C 4­A 5­C 6­B 7­C 8­A 9­C 10­A 11­B 12­B 13­B 14­A 15­C 16­D 17­A 18­C 19­A 20­D 21­A 22­D 23­B 24­C 25­C 26­A 27­D 28­B 29­D 30­B Trang 22 31­B 32­C 33­D 34­B 35­B 36­B 37­A 38­B 39­B 40­D 41­D 42­B 43­B 44­C 45­B 46­A 47­A 48­A 49­B 50­A 51­B 52­C 53­C 54­A 55­A 56­C 57­D 58­B 59­D 60­D 61­A 62­C 63­B 64­B 65­B 66­C Câu 1: Số hoán vị A 3!  Chọn C Câu 2: Số hoán vị n phần tử n! Chọn D Câu 3: Số có chữ số khác tạo thành từ tập A 54 Chọn C Câu 4: Số có chữ số khác tạo thành từ tập 5!  120 Chọn A Câu 5: Số cách xếp 10! Chọn C Câu 6: Giả sử số a1a2 a3 a4 a5 Chọn a5 có cách, chọn a1a2 a3 a4 có 4! cách Do có 2.4!  48 số thỏa mãn Chọn B Câu 7: Giải sử số a1a2 a3a4 Chọn a4 có cách chọn, chọn a1a2 a3 có A43 cách Do có A43  72 số thỏa mãn Chọn C Câu 8: Ta có P0  nên A sai Chọn A Câu 9: Giả sử số a1a2 a3 a4 a5 Trường hợp 1: a5  chọn a1a2 a3 a4 có A54 cách  có A54 số thỏa mãn Trường hợp 2: a5  2; 4 chọn a1 có cách chọn, chọn a2 a3 a4 có A43 cách  có 2.4.A43 cách Do có A54  2.4 A43  312 số thỏa mãn Chọn C Câu 10: Chọn học sinh lớp 12 có C43 cách, chọn học sinh lớp 11 có C31 cách, chọn học sinh lớp 10 có C51 cách Do có C43 C31.C51  60 cách chọn Chọn A Câu 11: Số cách lấy hai viên bi màu đỏ C42 Số cách lấy hai viên bi màu xanh C32 Như số cách lấy hai viên bi màu C42  C32  cách Chọn B Câu 12: Theo ra, ta thấy cách xếp việc nam nữ đứng xen kẽ Như có hai trường hợp, bạn nam đứng đầu hàng bạn nữ đứng đầu hàng Và bạn nam thay đổi vị trí cho tương ứng với 5! cách Tương tự với bạn nữ thay đổi vị trí tương ứng với 5! cách Vậy số cách xếp cần tìm  5! Chọn B Câu 13: Gọi số cần tìm có dạng abcde , +) Có cách chọn chữ số a (trừ chữ số 0) Trang 23 +) Có cách chọn chữ số b +) Có cách chọn chữ số c +) Có cách chọn chữ số d +) Có cách chọn chữ số e Vậy có tất 4.4.3.2.1  96 số cần tìm Chọn B Câu 14: Gọi số cần tìm có dạng abc với a, b, c  0,1, 2,3, 4, 5 Vì abc  nên suy tổng chữ số a  b  c  Khi a, b, c   0; 4;5  ,  2;3;  , 1;3;5  TH1 Với a, b, c  0; 4;5 suy có 2.2  số thỏa mãn yêu cầu TH2 Với a, b, c  2;3; 4 suy có 3!  số thỏa mãn yêu cầu TH3 Với a, b, c  1;3;5 suy có 3!  số thỏa mãn yêu cầu Vậy lập 16 số tự nhiên thỏa mãn toán Chọn A Câu 15: TH1 Trong bạn mời, có Hùng khơng có Tuấn   Số cách chọn nhóm người trường hợp C63 cách TH2 Tương tự TH1, có Tuấn khơng có Hùng nên số cách chọn C63 cách TH3 Trong bạn mời, khơng có Hùng Tuấn   Số cách chọn nhóm người trường hợp C64 cách Vậy số cách chọn cần tìm C64  2C63 cách Chọn C Câu 16: Ta xét hai trường hợp: TH1 Bạn nam đứng đầu hàng, số cách xếp 3.2.3!  36 cách TH2 Bạn nữ đứng đầu hàng, tương tự TH1, suy có 36 cách xếp Vậy có 72 cách xếp thõa mãn yêu cầu toán Chọn D Câu 17: Số cách chọn người từ đơn vị A C53 cách Số cách chọn người từ đơn vị B C63 cách Lấy người đơn vị A ghép cặp đấu với người đơn vị B, ta cách Lấy người người lại đơn vị A ghép cặp cấu với người lại đơn vị B, ta cách Vậy có C53 C63 3.2  1200 cách thực việc ghép cặp thi đấu Chọn A Câu 18: Số cách chọn ban quản trị gồm nam nữ C51.C43 cách Số cách chọn ban quản trị gồm nam nữ C52 C42 cách Số cách chọn ban quản trị gồm nam nữ C53 C41 cách Trang 24 Số cách chọn ban quản trị gồm nam C54 cách Số cách chọn ban quản trị gồm nữ C44 cách Vậy tổng số cách chọn cần tìm C51.C43  C52 C42  C53 C41  C54  C44  126 Chọn C Câu 19: Số cách chọn cầu thủ 11 cầu thủ xếp có thứ tự A115  55440 Chọn A Câu 20: Số cách chọn ban quản trị gồm nam nữ C51.C43 cách Số cách chọn ban quản trị gồm nam nữ C52 C42 cách Số cách chọn ban quản trị gồm nam nữ C53 C41 cách Vậy tổng số cách chọn cần tìm C51.C43  C52 C42  C53 C41  120 cách Chọn D Câu 21: Số cách phân công học sinh để làm vệ sinh lớp học A503  117600 Chọn A Câu 22: Cố định tem thư xếp theo hàng ngang từ trái sang phải vị trí 1, 2, Rõ ràng có bì thư thứ tự xếp bì thư từ trái sang phải cách dán Số cách làm cần tìm là: A63  120 Chọn D Câu 23: Số số có chữ số khác lặp từ chữ số cho: 7! Xếp chữ số lẻ hàng ngang với vị trí bất kỳ: 4! cách Ở tạo thành khoảng trống (bao gồm khoảng trống hai chữ số lẻ khoảng trống vị trí đầu cuối) Ở khoảng trống, ta điền chữ số chẵn 2, 4, vào không kể thứ tự cho khoảng trống có chữ số chẵn: A53 Cách xếp số số thỏa mãn yêu cầu đề: A53 4!  2.6! Chọn B Câu 24: Số cách xếp môn vào buổi thi 3! Giả sử mơn Tốn thi buổi đầu, số cách xếp mơn cịn lại vào buổi lại 2! Vậy số cách xếp cần tìm: 3! 2! Chọn C Câu 25: Ở yêu cầu người đích đầu tiên, nên người không cần phải phân định thứ tự nhì ba Số kết xảy là: C123  220 Chọn C Câu 26: Số cách chọn lãnh đạo từ 12 người cho: C122 Số cách chọn ủy viên từ 10 người lại: C103 Tổng số cách thành lập ban kiểm tra: C122 C103 Chọn A Câu 27: Đối với vị trí loại sách sách hóa đứng đầu cuối: cách chọn Tương ứng vị trí loại sách hóa số cách xếp sách hóa là: 2! Tương tự, số cách xếp toán lý là: 2.4!.3! Vậy tổng số cách xếp cần tìm: 2.4!.3!  2!.2   4.4!.3!.2! Chọn D Trang 25 Câu 28: Ta có đội 18 đội có khả đạt huy chương, thứ tự đội cho biết loại huy chương mà đội nhận, số cách trao cần tìm: A18  4896 Chọn B Câu 29: Số ước dương là:   1  1  1  120 Chọn D Câu 30: Để ý 210.36.58  25.32.54  25.34.54  Với ước dương 25.34.54 nhân với 25.32.54 ước dương 210.36.58 thỏa mãn yêu cầu đề Số ước dương cần tìm   1  1  1  150 Chọn B Câu 31: Số học sinh giỏi môn là: 30  10  20 Số học sinh giỏi văn lẫn toán là: 18  14  20  12 Chọn B Câu 32: Điều kiện: x  x  N  Px  Px 1   Px 1   x !  x  1!   x  1 !   x  1 !  x  1   x  1!.x  x  1 x    x  1  x  x  1  x  x     (thỏa mãn) Chọn C x   x  1 Câu 33: P2 x  P3 x   2!.x  3!.x   x  x      S  Chọn D x  Câu 34: Điều kiện: x  x  N Ax2  A22x  42    x !  42  x!   x  !  x  !  x  7  loaïi  Chọn B   x  1 x   x  1 x  42   x  x  42     x   thỏa mãn  Câu 35: Điều kiện: x  10 x  N A10  Ax9  Ax8  x x! x! x!  9  x  10 !  x  !  x  8!  x  11  thỏa mãn  1 Chọn B     x  16 x  55    x   x   x  8  x   loaïi  Câu 36: Điều kiện n  n  N Ta có An3  An2   n  15  n! n!   2n  30   n   !  n  !   x    n  1 n   n  1 n  2n  30   n3  2n  5n  30   n  Chọn B Câu 37: Điều kiện n  n  N Trang 26 Cn11  3Cn2  Cn31   n    n  1!   n  !   n  1! 1!.n! 2!.n! 3!  n  !  n  1  n     n  1 n. n  1    n     n  1 n 6  n  2  loaïi  Chọn A   9n  18  n2  n  n2  10n  24     n  12  thỏa mãn  Câu 38: Điều kiện:  x  12 x  N C14x  C14x   2C14x 1   14! 14! 14!  2 x ! 14  x !  x  ! 12  x !  x  1!13  x !  14  x 13  x   x  1 x     x  113  x    x  1 x    14  x 13  x    x  14  x  x   x  12 x  32      P  4.8  32 Chọn B x  Câu 39: Điều kiện: n  n  N  n  1!  2!. n  1!   n  3!    1    n! Cn Cn 1 6Cn   n  1!  n  ! n n  n  1  n    n   thỏa mãn   n  11n  24      S    11 Chọn B  n   thỏa mãn  Câu 40: Điều kiện: x  N C x0  C xx 1  C xx 2  79  C x0  C 1x  C x2  79  1 x  x  x  1  x  12  thỏa mãn  Chọn D  79  x  x  156     x  13  loaïi  Câu 41: Điều kiện: n  N Cnn41  Cnn3   n    Cn3  Cn33   n  3   n   n     n   n  1   3n  36   n  12 (thỏa mãn) Chọn D 3! Câu 42: Cn1  Cn2  Cn3  3! 7n n! n! n! 7n      n  1! 2!  n  ! 3! n  3!  n  16    n  Chọn B Câu 43: Điều kiện: x  x  N Trang 27 C1x  6Cx2  6Cx3  x  14 x  x! x! x!    x  14 x 1!  x  1! 2!  x  ! 3!  x  !  x   loaïi   Chọn B  x  x  x  1   x   x  1 x  x  14 x   x   loaïi    x   thỏa mãn  Câu 44: Điều kiện: n  n  N Áp dụng công thức Cnk  Cnk 1  Cnk11 , ta có Cn6  3Cn7  3Cn8  Cn9  2Cn8    Cn6  Cn7  Cn7  Cn8  Cn8  Cn9  2Cn8  Cn71  2Cn81  Cn91  2Cn8      Cn71  Cn81  Cn81  Cn91  2Cn8  Cn8  Cn9  2Cn8  Cn9  Cn8   n     n  15 Chọn C 7 Câu 45: Áp dụng công thức Cnk  Cnk 1  Cnk11 , ta có C2006  C2006  C2007 Do A 2000 C  C2006 Áp dụng công thức Cnk  Cnn  k    2006 1999 C2006  C2006 7 2000 1999 2000 Suy C2007  C2006  C2006  C2006  C2006  C2006  C2006 Do C, D đúng; B sai Chọn B Câu 46: Ta có      n  n  n  1 Cn21   n  1!  n  n  1 2! n   ! Do A Chọn A Câu 47: Điều kiện: n  n  N   Ta có Pn An2  72  An2  Pn  n!  n!  n!  72    2.n!  n  !   n  !     n !  n  1 n  72   n  1 n  2.n!   n !  n  n  12   n   thỏa mãn    n  n  12     n  3  loaïi    P  4.3  12 Chọn A   n !   n   thoûa maõn  Câu 48: Điều kiện: x  x  N   x  1!  Ta có Axx11  Px 1  30 Px     x  1!  30 x !  2!     x   thỏa mãn   x  x  1   7    30 x  x  53 x  28      P  Chọn A   x  loaï i    Trang 28 Câu 49: Áp dụng cơng thức Cnk  Cnn  k , ta có Cnn83  An3  Cn58  An3   n  8 n     n 5!  n  17  thỏa mãn  Chọn B  15n  544     n  32  loaïi  Câu 50: Điều kiện: x  x  N Ta có Ax2 C xx 1  48  x! x!  48  x  !  x  1!.1!   x  1 x.x  48  x  x  48   x  (thỏa mãn) Chọn A Câu 51: Điều kiện: n  n  N Ta có An2  Cnn11    n  1!   n  n  n  n  1   n!     n  !  n  1!2!  n  2  loaïi  Chọn B  n2  3n  10     n   thỏa mãn  Câu 52: Điều kiện: n  n  N Ta có An2  3Cn2  15  5n   n  n  1  n  n  1 n! n!   15  5n  n  ! 2!  n  !  n   thỏa mãn   15  5n   n2  11n  30     n   thỏa mãn    P  5.6  30 Chọn C Câu 53: Điều kiện: n  n  N Ta có Ann  n  !   n  !  15   n  3 n    15 15  n  n  1!  n  !.n!  n  1! nN   n  3 n    15n  n  8n  12    n    n  3,4,5 Chọn C Câu 54: Điều kiện: n  n  N Ta có 2Cn21  An2  20    n  1!  n!  20  2!  n  1!  n  !  n  n  1   n  1 n  20   2n2  n  10   2  n  n   n  Chọn A nN Câu 55: Điều kiện: n  n  N Ta có C2n 1  An2  30   n  1!  n!  30 2!  n  1!  n  ! Trang 29 n2  n  n  1   n  1 x  30  2n  n  15     n    n  Chọn A nN Câu 56: Điều kiện: x  x  N   Ta có A 4x  24 Ax31  Cxx   23  23   x  1!  x! x!  24     x  !   x  !  x  !4!   x 1   1 x 1   24      23  24    x  !   x  !  x  !.4!    x   x  3 1.24   23  24  x   loaïi  x 1 x 1 Chọn C 1  1   x   thỏa mãn   x   x  3  x   x  3 Câu 57: Điều kiện: n  n  N Ta có 14.P3Cnn13  An41  14.3!  n  1!   n  1!  n  3!.2!  n  3!  n  7  42  n   n  1   n   n  1 n  n  1  42  n  n  1  n2  n  42    n  n  n3   Chọn D nN n  N Câu 58: Tổng số học sinh lớp 10A 35 Có C35 cách chọn học sinh từ 35 học sinh lớp 10A Có C195 cách chọn học sinh từ 19 học sinh nam lớp 10A Do có C355  C195 cách chọn học sinh cho có học sinh nữ Chọn B Câu 59: Do học sinh chọn có nhiều học sinh nam nên ta có trường hợp sau: Số học sinh nam Số học sinh nữ Số cách chọn C25  C152 C25  C153 Vậy có C25  C152  C25  C153  3080 cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D Cách khác Số cách chọn học sinh lớp là: C40 cách Số cách chọn học sinh có học sinh nam, học sinh nữ là: C25  C15 cách Số cách chọn học sinh nam là: C25  C150 cách   3 Vậy có C40  C25  C15  C25  C150  3080 cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán Câu 60: Số cách chọn nhóm thứ là: C21  C155 cách Trang 30 Số cách chọn nhóm thứ hai là: C147  C105 cách Số cách chọn nhóm thứ ba là: C77  C55 cách       7 Vậy có C21  C155  C147  C105  C77  C55  C21 C155 C147 C105 cách chia nhóm thỏa mãn u cầu tốn Chọn D Câu 61: Số cách chọn viên bi hộp là: C155 cách Số cách chọn viên bi mà khơng có viên bi màu vàng là: C115 cách Số cách chọn viên bi mà khơng có viên bi màu đỏ là: C105 cách Số cách chọn viên bi mà khơng có viên bi màu xanh là: C95 cách   Vậy có C155  C115  C105  C95  2163 cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A Câu 62: Do học sinh có đủ học sinh lớp 12A, 12B, 12C nên ta có trường hợp sau: Số học sinh lớp Số học sinh lớp Số học sinh lớp Số cách chọn 12A 12B 12C 2 C42  C31  C22 2 C41  C32  C22 2 C42  C32  C21 1 C43  C31  C21 C41  C33  C21 Vậy có C42  C31  C22  C41  C32  C22  C42  C32  C21  C43  C31  C21  C41  C33  C21  98 cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C Cách khác Tổng số học sinh đội văn nghệ nhà trường học sinh Số cách chọn học sinh học sinh là: C95 cách Số cách chọn học sinh mà khơng có học sinh lớp 12A là: C55 cách Số cách chọn học sinh mà khơng có học sinh lớp 12B là: C65 cách Số cách chọn học sinh mà khơng có học sinh lớp 12C là: C75 cách   Vậy có C95  C55  C65  C75  98 cách thỏa mãn yêu cầu toán Câu 63: Từ giả thiết suy có khả xảy sau: ●TH1: Có học sinh khối 10 Số cách chọn học sinh khối 10 là: C51 cách Số cách chọn học sinh lại từ khối 11 12 là: C109 cách Trang 31 ●TH2: Có học sinh khối 10 Số cách chọn học sinh khối 10 là: C52 cách Số cách chọn học sinh lại từ khối 11 12 là: C108 cách Vậy có C51  C109  C52  C108  500 cách lập đội thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B Câu 64: Tổng số bi lấy có viên mà bi đỏ nhiều bi vàng nên có trường hợp xảy ra: ●TH1: Khơng có bi vàng, số bi đỏ phải từ viên trở lên Số cách lấy viên bi tổng số viên bi (gồm đỏ xanh) là: C94 cách Số cách lấy viên bi xanh là: C44 cách  Số cách lấy thỏa mãn trường hợp là: C94  C44  125 cách ●TH2: Có viên bi vàng, số bi đỏ phải từ viên trở lên Số cách lấy viên bi vàng: C31 cách Số cách lấy viên bi cịn lại có bi đỏ bi xanh là: C52  C41 cách Số cách lấy viên bi lại bi đỏ là: C53  C40 cách    Số cách lấy thoả mãn trường hợp là: C31  C52  C41  C53  C40  150 cách Vậy có 125  150  275 cách lấy thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B Câu 65: Số cách chọn tem thư tem thư khác là: C53 cách Số cách chọn bì thư bì thư khác là: C63 cách Số cách dán tem thư thứ vào bì thư là: C31 cách Số cách dán tem thư thứ vào bì thư cịn lại là: C21 cách Số cách dán tem thư thứ vào bì thư cuối là: C11 cách     Vậy có C53  C63  C31  C21  C11  1200 cách làm thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B Câu 66: Theo ra, đề thi gồm câu hỏi vừa có câu hỏi lý thuyết vừa có câu hỏi tập nên ta xét: ●TH1: Đề thi gồm câu lý thuyết, câu tập Lấy câu lý thuyết câu lý thuyết có C41 cách, tương ứng lấy câu tập câu tập có C62 cách Vậy có C41 C62 đề ●TH2: Đề thi gồm câu lý thuyết, câu tập Lập luận tương tự TH1, ta tạo C42 C61 đề Vậy tạo C41  C62  C42  C61  96 đề thi thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C Trang 32 ... y  Ví dụ Một túi chứa vi? ?n bi trắng vi? ?n bi xanh Lấy vi? ?n bi từ túi đó, có cách lấy được: a) vi? ?n bi màu? Trang 15 b) vi? ?n bi trắng, vi? ?n bi xanh? Lời giải: a) Để lấy vi? ?n bi màu có khả chúng... chọn vi? ?n bi hộp là: C155 cách Số cách chọn vi? ?n bi mà khơng có vi? ?n bi màu vàng là: C115 cách Số cách chọn vi? ?n bi mà khơng có vi? ?n bi màu đỏ là: C105 cách Số cách chọn vi? ?n bi mà khơng có vi? ?n... Một đồn tàu có toa chở khách Toa I, II, III Trên sân ga có khách chu? ??n bị tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi: a) Có cách xếp cho vị khách lên toa b) Có cách xếp cho vị khách lên tàu có toa có vị khách