tuyen chọn 45 de thi mon toan vao lop 10 chuyen

TUYỂN CHỌN 45 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN CÓ ĐÁP ÁN www.thuvienhoclieu.com Mục Lục Đề số Chuyên Bắc Ninh Năm học 2014-2015 Đề số Chuyên Bến Tre Năm học: 2014-2015 Đề số Chuyên Toán Sư Phạm Hà Nội Năm học: 2014-2015 14 Đề số Chuyên SP Hà Nội Năm học: 2014-2015 .19 Đề số Chuyên Hà Tĩnh Năm học: 2014-2015 23 Đề số Chuyên Khánh Hòa Năm học: 2014-2015 27 Đề số Chuyên Nam Định Năm học: 2014-2015 30 Đề số Chun Lê Q Đơn Bình Định Năm học: 2014-2015 .34 Đề số Chuyên Ninh Bình Năm học: 2014-2015 38 Đề số 10 Chuyên Năng Khiếu HCM Năm học: 2014-2015 44 Đề số 11 Chuyên Ngoại Ngữ DHQG Hà Nội Năm học: 2014-2015 50 Đề số 12 Chuyên Nguyễn Trải – Hải Dương Năm học: 2014-2015 55 Đề số 13 Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An Năm học: 2014-2015 59 Đề số 14 Chuyên Thái Bình Năm học: 2014-2015 64 Đề số 15 Chuyên Thái Bình Năm học: 2014-2015 70 Đề số 16 Chuyên HCM Năm học: 2014-2015 75 Đề số 17 Chuyên Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa Năm học: 2014-2015 81 Đề số 18 Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa Năm học: 2014-2015 86 Đề Số 19 Chuyên Năng Khiếu - HCM Năm học: 2014-2015 91 Đề số 20 Chuyên Hà Nội Amsterdam Năm học: 2014-2015 97 Đề số 21 Chuyên Bắc Giang Năm học: 2015-2016 105 Đề số 22 Chuyên Bạc Liêu Năm học: 2015-2016 112 Đề số 23 Chuyên Bạc Liêu Năm học: 2015-2016 116 Đề số 24 Chuyên Đại học Vinh Năm học: 2015-2016 120 Đề số 25 Chuyên Hà Giang Năm học: 2015-2016 126 Đề số 26 Chun Hồng Văn Thụ - Hịa Bình Năm học: 2015-2016 130 Đề số 27 Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ Năm học: 2015-2016 135 Đề số 28 Chuyên Khánh Hòa Năm học: 2015-2016 141 Đề số 29 Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa Năm học: 2015-2016 145 Đề số 30 Chuyên Nam Định Năm học: 2015-2016 151 Đề số 31 Chuyên Nam Định Năm học: 2015-2016 159 Đề số 32 Chuyên HCM Năm học: 2015-2016 164 Đề số 33 Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên Năm học: 2015-2016 168 Đề số 34 Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình Năm học: 2015-2016 172 Đề số 35 Chuyên Nguyễn Du - Đaklak Năm học: 2015-2016 178 Đề số 36 Chuyên Hải Dương Năm học: 2015-2016 184 Trang www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Đề số 37 Chuyên Quảng Bình Năm học: 2015-2016 191 Đề số 38 Chuyên Quảng Nam Năm học: 2015-2016 197 Đề số 39 Chuyên Quảng Nam Năm học: 2015-2016 204 Đề số 40 Chuyên Quang Trung – Bình Phước Năm học: 2015-2016 209 Đề số 41 Chuyên Quốc Học Huế - Thừa Thiên Huế Năm học: 2015-2016 .215 Đề số 42 Chuyên SPHN Năm học: 2015-2016 221 Đề số 43 Chuyên Thái Bình Năm học: 2015-2016 226 Đề số 44 Chuyên Vũng Tàu Năm học: 2016-2017 230 Đề số 45 Chuyên Sơn La Năm học: 2016-2017 235 Đề số 46 Chuyên SPHN Năm học: 2016-2017 240 Trang www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Đề số Chuyên Bắc Ninh Năm học 2014-2015 Câu I ( 1, điểm ) Cho phương trình x  2mx  2m   (1) , với ẩn x , tham số m 1) Giải phương trình (1) m = 2 2) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 cho x1  x2 nhỏ Câu II ( 1,5 điểm ) Trong hệ toạ độ , gọi (P ) đồ thị hàm số y = x2 (d) đồ thị hàm số y = -x + 1) Vẽ đồ thị (P) (d) Từ , xác định toạ độ giao điểm (P) (d) đồ thị 2) Tìm a b để đồ thị ∆ hàm số y = ax + b song song với (d) cắt (P) điểm có hoành độ -1 Câu III ( 2,0 điểm ) 1) Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24km Khi từ B trở A người tăng vận tốc thêm 4km so với lúc , thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B ) Giải phương trình x   x  x(1  x)  Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường thẳng AH M 1) Chứng minh năm điểm A, B ,C , D , M thuộc đường tròn 2) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh BM = CD góc BAM = góc OAC 3) Gọi K trung điểm BC , đường thẳng AK cắt OH G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Câu V ( 2, điểm ) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014 2) Có thành phố thành phố có thành phố liên lạc với Chứng minh thành phố nói tồn thành phố liên lạc với Trang www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Hết Hướng dẫn sơ lược đề thi mơn tốn dành cho tất thí sinh năm học 2014-2015 Thi vào THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh Câu I ( 1, điểm ) Giải: 1) GPT m =1 + Thay m =1 v (1) ta x2 + 2x - =  ( x + ) ( x – ) =  x = { - ; } KL : Phương trình có nghiệm phân biệt x = x = 2 2) xét PT (1) : x  2mx  2m   (1) , với ẩn x , tham số m  '  m  2m   (m  1)   + Xét PT (1) có (1) (ln ) với m => PT (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với m + Mặt khác áp dụng hệ thức viét vào PT ( 1) ta có :  x1  x2  2m (I )   x1 x2  (2m  6) 2 + Lại theo đề (I) có :A = x1  x2 = ( x1 + x2 )2 – x1x2 = ( - 2m )2 + ( 2m + ) = 4m2 + 4m + 12 = ( 2m + 1)2 + 11 ≥ 11 với m => Giá trị nhỏ A 11 m = KL : m =   2 thỏa mãn yêu cầu toán Câu II ( 1,5 điểm ) Giải : 1) Lập bảng giá trị vẽ đồ thị hàm số: Trang www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Dựa vào đồ thị ta có giao điểm d (P) điểm M ( ; 1); N ( -2 ; ) 2) Do đồ thị ∆ hàm số y = ax + b song song với (d) y = -x + Nên ta có: a = -1 ∆ cắt (P) điểm có hồnh độ – nên ta thay x = -1 vào pt (P) ta được: y = Thay x = -1; y = vào pt ∆ ta a = -1 ; b = =>Phương trình ∆ y = - x Câu III ( 2,0 điểm ) Giải: 1) Đổi 30 phút = ½ Gọi x ( km /h ) vận tốc người xe đạp t A -> B ( x > ) Vận tốc người từ B-> A là: x + (km/h) 24 Thời gian người từ A -> B là: x 24 Thời gian người đố từ B A là: x  Theo ta có: 24 24 48( x  4) 48 x x ( x  4)       x  x  192  x x4 2 x( x  4) x( x  4) x( x  4) Trang www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com => x = 12 ( t/m ) KL : Vậy vận tốc người xe đáp từ A đến B 12 km/h 2) ĐKXĐ ≤ x ≤ Đặt < a = x  1 x  a2 1  x(1  x) a2 1   a  2a    (a  1)(a  3)  + PT : a +  a = { -3 ; } => a = > x  1 x  + Nếu a = = >  x   x  x (1  x)   x(1  x)   x = { ; } ( t/m) KL : Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt x = 0; x = Câu IV ( 3,0 điểm ) Giải 1) Chứng minh tứ giác ABMD , AMDC nội tiếp Do BHCD hình bình hành nên: Ta có: BD//CC’ => BD  AB => ABD = 90o Có:AA’  BC nên: MD  AA’ => AMD = 90o => ABD + AMD = 180o Trang www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com => tứ giác ABMD nội tiếp đường trịn đường kính AD Chứng minh tương tự ta có tứ giác AMDC nội tiếp đường trịn đường kính AD => A, B ,C,D , M nằm đường trịn 2) Xét (O) có dây MD//BC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD + Theo phần 1) BC//MD => góc BAM =góc OAC OK  3)Chứng minh OK đường trung bình tam giác AHD => OK//AH OK = AH hay AH (*) OK GK    AG  2GK + Chứng minh tam giác OGK đồng dạng với tam giác HGA => AH AG , từ suy G trọng tâm tam giác ABC Câu V ( 2, điểm ) Giải: 1) Giá trị nhỏ P 2011 a =b = 4P = a2 - ab + b2 + 3(a2 + b2 + + 2ab – 4a – 4b ) + 2014 – 12 = (a-b)2 + (a + b – 2)2 +8044 ≥ 8044 P≥ 2011 a  b  a  b   a  b    Dâu “=” xảy  Vậy giá trị nhỏ P 2011 a = b = 2) Gọi thành phố cho A,B,C,D,E,F + Xét thành phố A theo ngun l í Dirichlet ,trong thành phố cịn lại có thành phố liên lạc với A có thành phố khơng liên lạc với A ( số thành phố liên lạc với A không vượt số thành phố không liên lạc với A khơng vượt q ngồi A , số thành phố cịn lại khơng vượt q ) Do xảy khả sau :  Khả : số thành phố liên lạc với A khơng , giả sử B,C,D liên lạc với A Theo đề thành phố B,C,D có thành phố liên lạc với Khi thành phố với A tạo thành thành phố đôi liên lạc với  Khả : số thành phố không liên lạc với A , khơng ,giả sử thành phố không liên lạc với A D,E,F Trang www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Khi thành phố ( A,D,E) D E liên lạc với ( v ì D,E khơng liên lạc với A) Tương tự ( A,E,F) v ( A,F,D) th ì E,F liên lạc với , F D liên lạc với D,E,F l thành phố đôi liên lạc với Vậy ta có ĐPCM Đề số Chuyên Bến Tre Năm học: 2014-2015 Câu 1: (2,5 điểm) A a) Rút gọn biểu thức sau: 34 34  1 52  x 2 x 2 B     x x x  x 1 x 1    b) Cho biểu thức: với x  0, x    i) Rút gọn biểu thức B ii) Tìm giá trị nguyên x để B nhận giá trị nguyên Câu 2: (2,5 điểm) mx  y   Cho hệ phương trình 3 x  (m  1) y  1 với m tham số a) Giải hệ với m = b) Giải biện luận hệ theo m c) Tìm m ngun để hệ có nghiệm số nguyên Trang www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Câu 3: (2 điểm) Cho phương trình bậc hai: x  mx  m   (1), với m tham số i) Giải phương trình (1) m = ii) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức 1 x1  x2   x1 x2 2014 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính AD.Gọi M điểm di động cung nhỏ AB(M không trùng với điểm A B) a) Chứng minh MD đường phân giác góc BMC b) Cho AD=2R.Tính diện tích tứ giác ABDC theo R c) Gọi O tâm đường trịn đường kính AD.Hãy tính diện tích hình viên phân giới hạn cung AMB dây AB theo R d) Gọi K giao điểm AB MD,H giao điểm AD MC.Chứng minh ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy ĐÁP ÁN Câu 1: a) Ta có: Trang www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com  (a  b  c )  3( ab  bc  ca)   ab  bc  ca  3 (abc )2 Bất đẳng thức hiển nhiên  Hay a+b+c   3abc Dấu xảy a=b=c=1 Cho số dương a,b,c thỏa mãn a+ b +c  3.Chứng minh rằng: ab bc ca    c2  a2  b2  ( a  b  c)  ab  bc  ca  ab  bc  ca  3 Ta có: Ta có ab ab ab ab 1    (  ) ac bc ( a  c)(b  c) c2  c  ab  bc  ca ab ab bc bc ca ca (      )  ( a  b  c)  ac bc ca ba cb ab 2 Dấu xảy a = b = c = VT  Đề số 44 Chuyên Vũng Tàu Năm học: 2016-2017 Câu (2,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức A 1 2   1 1 3 x  y   b) Giải hệ phương trình 2 x  y  c) Giải phương trình x  x   Câu (2,0 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng (d): y = 4x – m a) Vẽ parabol (P) b) Tìm tất giá trị tham số m để (d) (P) có điểm chung Câu (1,5 điểm) Trang 243 www.thuvienhoclieu.com 0,25 0,25 www.thuvienhoclieu.com a) Cho phương trình x2 – 5x + 3m + = (m tham số) Tìm tất giá trị m để 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn | x1  x2 | 15 b) Giải phương trình (x – 1)4 = x2 – 2x + Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O) có đường kính AB = 2R CD dây cung thay đổi nửa đường tròn cho CD = R C thuộc cung AD (C khác A D khác B) AD cắt BC H, hai đường thẳng AC BD cắt F a) Chứng minh tứ giác CFDH nội tiếp b) Chứng minh CF.CA = CH.CB c) Gọi I trung diểm HF Chứng minh tia OI tia phân giác góc COD d) Chứng minh điểm I thuộc đường tròn cố định CD thay đổi Câu (0,5 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Chứng minh rằng: a b c    a  bc b  ca c  ab 2 ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu A a) 1 1 2(2  3)   2  2  1 (  1)(  1) 3 x  y   y  3x   y  3x   y  3x   x       11x  11 x  y  b)  x  y   x  3(3x  1)  Hệ có nghiệm (1;2) c) x2 + 2x – = Có ∆’ = + = > Câu a) Bảng giá trị x Trang 244 -2 -1 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com y = –x2 -4 -1 -1 Đồ thị: b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): –x2 = 4x – m ⇔ x2 + 4x – m = (1) (d) (P) có điểm chung ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = 22 – (–m) =  + m = ⇔ m = –4 Vậy m = –4 Câu a) x2 – 5x + 3m + = Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2⇔ ∆ = 52 – 4(3m + 1) > ⇔ 21 – 12m > 21  m < 12 21 Với m < 12 , ta có hệ thức =>  x1  x2    x1 x2  3m  (Viét) | x1  x2 | ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2  52  4(3m  1)  21  12m Trang 245 www.thuvienhoclieu.com -4 www.thuvienhoclieu.com | x12  x22 || ( x1  x2 )( x1  x2 ) || 5( x1  x2 ) | | x1  x2 | 21  12m 2 Ta có | x1  x2 | 15  21  12m  15  21  12m   21  12m   12m  12  m  tm Vậy m = giá trị cần tìm b) ( x  1)  x  x  3(1)  ( x  1)2   x  x   ( x  x  1)  x  x  (1)  (2) 2 Đặt t = x2 – 2x + 1, t≥0, phương trình (2) trở thành t  t   t  t    (t  2)(t  1)   t = (tm) t = –1 (loại) 2 Với t = có x  x    x  x    x   Vậy tập nghiệm phương trình (1) 1 2;1   Câu a) Vì C, D thuộc nửa đường trịn đường kính AB nên ACB  ADB  90o  FCH  FDH  90o  FCH  FDH  180o Suy tứ giác CHDF nội tiếp Trang 246 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com b) Vì AH ⊥ BF, BH ⊥ AF nên H trực tâm ∆ AFB ⇒ FH ⊥ AB  CFH  CBA(  90o  CAB )  CFH : CBA( g g )  CF CH   CF CA  CH CB CB CA o c) Vì FCH  FDH  90 nên tứ giác CHDF nội tiếp đường trịn tâm I đường kính FH => IC = ID Mà OC = OD nên ∆ OCI = ∆ ODI (c.c.c) => COI = DOI => OI phân giác góc COD d) Vì OC = CD = OD = R nên ∆ OCD => COD = 60o CAD  COD  30o  CFD  90o  CAD  60o Có Xét góc nội tiếp góc tâm chắn cung CD (I), có CID  60o CID = 2CFD = 120 => OIC = OID = o COD  30o  OID  DOI  90o  OID Mặt khác COI = DOI = vuông D Suy OI  OD 2R  o sin 60  2R   O;  3 Vậy I ln thuộc đường trịn  Câu ab  bc  ca 1 3   3 abc a b c Từ điều kiện đề ta có Áp dụng hai lần bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương, ta có: a  bc  a bc  2a bc  a   a  bc 2a bc bc 1 11 1 a 11 1         b c  b c  a  bc  b c  b 11 1 c 11 1    ;     Tương tự ta có: b  ca  c a  c  ab  a b  Trang 247 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com a b c 11 1        Suy a  bc b  ca c  ab  a b c  2 Đề số 45 Chuyên Sơn La Năm học: 2016-2017 Câu I (2.0 điểm)  x  P  ( x  0; x  1) : x  x x  x  x    Cho biểu thức Rút gọn biểu thức P P 2 Tìm giá trị x để Câu II (1.5 điểm) Cho phương trình: x2-5x+m=0 (1) (m tham số) Giải phương trình m = Tìm m để phương trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn: |x1-x2|=3 Câu III (2.0 điểm) Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai 0,4 Tính vận tốc tơ Câu IV ( 3.5 điểm) Cho đường trịn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn d) Gọi S, S1, S2 thứ tự diện tích ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh: Câu V ( 1.0 điểm) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a  b  2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: HẾT -( Cán coi thi khơng giải thích thêm) Trang 248 www.thuvienhoclieu.com S1  S  S P 1  a b www.thuvienhoclieu.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƠN LA VÀ PTDT NỘI TRÚ TỈNH SƠN LA NĂM HỌC 2016-2017 -Câu I(2đ):  x  P  ( x  0; x  1) : x  x x  x  x    a) Rút gọn biểu thức:   ( x  1) x     x ( x  1)  x  x ( x  1)   1 x ( x  1) ( x  1)( x  1) x    x x ( x  1) x x x P b)Tìm giá trị x để x 1   2( x  1)  x  x  2 Với x > 0, x  x Vậy với x > Câu II(1,5đ): P 2 a) Với m = phương trình trở thành: x  x     (5)  4.1.6  25  24   x1  ( 5)  ( 5)   3; x2  2 2 => phương trình có hai nghiệm phân biệt: x ;x b) Để phương trình có nghiệm ta phải có 0 25  (5)  4.1.m   25  4m   m  (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai cho ta  x1  x2  (2)   x1 x2  m Mặt khác theo u cầu tốn phương trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện: |x1-x2|=3 hai vế đẳng thức dương, bình phương hai vế ta được: (| x1  x2 |)  32  ( x1  x2 )2   ( x1  x2 )2  x1 x2  9(3) Thay (2) vào (3) ta được: Trang 249 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com 52  m   m  Thoả mãn (1) với m = giá trị cần tìm để phương trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện: |x1-x2|=3 Câu III(2đ): v v (v  0; v  0, km/giờ) Gọi vận tốc xe thứ xe thứ hai theo thứ tự là: Vì tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10km nên ta có phương trình thứ nhất: v1-v2=10(1) 120 t1  ( h) v1 Thời gian ô tô thứ hết quảng đường AB là: t2  120 ( h) v2 Thời gian ô tô thứ hai hết quảng đường AB là: Vì Ơ tơ thứ đến trước ô tô thứ hai 0,4 nên ta có phương trình thứ hai: 120 120 120(v1  v2 ) t2  t1  0,    0,   0, 4(2) v2 v1 v1v2 Thay (1) vào (2) ta được: 120.10  0,  v1v2  3000(3) v1v2 v  v  10 thay vào (3) ta được: Từ (1) => (3)  v2 (v2  10)  3000  v2  10v2  3000   v  50(TM )    v  55( L) Khi v2=50=>v1=50+10=60 Vậy vận tốc xe thứ 60 km/giờ; vận tốc xe thứ hai 50 km/giờ Câu IV(3,5đ): a) Xét tứ giác ABCD có :  AB  CD  OA  OB  OC  OD ( Đường kính đường trịn bán kính đường trịn) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, suy ACBD hình chữ nhật Trang 250 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com b) Tứ giác ACBD hình chữ nhật nên:  CAD= BCE =90o (1) Lại có CBE sđ BC (góc tạo tiếp tuyến dây cung); ACD sđ AD (góc nội tiếp), mà BC =AD (do BC = AD cạnh hình chữ nhật)CBE =ACD (2) Từ (1) (2) suy ∆ACD ~ ∆CBE c) Vì ACBD hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra: CBE =DFE (3) Từ (2) (3) suy ACD=DFE tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn  S1 EB  d) Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra: S EF S1 EB  => S EF Tương tự ta có S BF  S EF S1 S2    S1  S  S S S Từ suy ra: Câu V(1đ): Cách 1: Với a, b ta ln có: (a - b)20  a  b  2ab   a  b  2ab  a  b  2ab  4ab  (a  b)  4ab (*) Vì a, b dương nên ab a+ b dương bất đẳng thức (*) trở thành: a b 1 4       P  ab ab a b ab a  b mà a+b  2  4   P  ab 2 (a  b)     a  b  a  b  2   Dấu “ = ” xảy Vậy P= Cách 2: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2 0 (a + b)2 4ab => (*) giải tiếp ta co  si co  si 1 } } 2.2 4 P       a b ab ab 2 ab Cách 3: Với hai số a > 0, b > ta có Dấu “ = ” xảy a  b  Vậy P= Cách 4: Ta chứng minh toán sau: Cho a, b số dương 1   (*) Chứng minh rằng: a b a  b 1 ; Thật áp dụng vất đẳng thức cô sinh cho hai số dương a b, a b ta được: Trang 251 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com a  b  ab (1) 1  2 (2) a b ab Do vế (1) (2) dương nên nhân vế với vế hai BĐT dương chiều, tađược: 1 ( a  b)(  )  a b Dấu đẳng thức xảy a=b 1 4  2      2(3)  a  b a  b 2 2 a  b Áp dụng (*) => P a+b  P  dấu "=" xẩy (1), (2) (3) đồng thời xẩy dấu "=" kết hợp với điều kiện ta có: a  b  1  a  b    a b  a  b  2 Khi đó:  Vậy minP = a=b= Cách 5: Bằng phương pháp tương đương ta chứng minh toán sau: Cho a, b số dương Chứng minh 1   rằng: a b a  b => bạn giải tiếp Cách 6: Cho hai số x, y dương a, b hai số ta có: (a  b)2 a b a b (a  b )   hay   (1) x y x y x y x y ( Bất đẳng thức Svac – xơ) a b  x y Đẳng thức xảy Thật áp dụng bất đẳng thức Bun nhiacopxki cho   a 2  b   a b2  ( x )2  ( y )2 (  )( x  y )         x y  x   y     2 a b a b (a  b )  ( a  b)  (  )( x  y )  (a  b) hay   x y x y x y   Áp dụng (1) ta có:  12 12  (1  1) (1  1) hay P       x y 2  x y  x y 1  Dấu "=" xẩy khỉ a b hay a=b kết hợp với điều kiện ta có:Vậy minP = a=b= Hết Trang 252 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Đề số 46 Chuyên SPHN Năm học: 2016-2017   1 a 1 a 1 P         a 2 a  1 a  1 a  a   a   Câu (2 điểm) Cho biểu thức với < a < Chứng minh P = –1 Câu (2,5 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng d: y = 2mx – với m tham số a) Tìm tọa độ giao điểm d (P) m = b) Chứng minh với giá trị m, d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi y1, y2 tung độ 2 A, B Tìm m cho | y1  y2 | Câu (1,5 điểm) Một người xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách 120 km Vận tốc 1 quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc quãng đường AB sau vận tốc quãng đường AB đầu Khi đến B, người nghỉ 30 phút trở lại A với vận tốc lớn vận tốc quãng đường AB lúc 10 km/h Thời gian kể từ lúc xuất phát A đến xe trở A 8,5 Tính vận tốc xe máy quãng đường người từ B A? Câu (3,0 điểm) Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng M nằm A, B Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, dựng hai tam giác AMC BMD Gọi P giao điểm AD BC a) Chứng minh AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CP.CB  DP.DA  AB c) Đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC BMPD cắt PA, PB tương ứng E, F Chứng minh CDFE hình thang Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh 5a   5b   5c   ––––––––Hết––––––– ĐÁP ÁN Trang 253 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Câu Với < a < ta có:      a 1 a 1 a2    P      1 a  1 a  a2 a  a  a   a           1 a  a    (1  a )(1  a )        1 a  1 a a2 a 1 a 1 a  1 a        1 a 1 a  1 a 1 a       a a   a   a  a   a         a   a  a  a  (1  a)  (1  a) 2a 1 a  1 a 1 a  1 a   1 a  1 a     1 a  1 a   1 a  1 a  2a 1 a  1 a  2a 1 a 1 a 2a    1 2a 2a Câu a) Khi m = ta có d : y = 2x – (P): y = –x2 Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: Với x  1   y  3  2 Với x  1   y  3  2 Vậy giao điểm  1   2; 3  2 ; 1  2; 3  2  2 b) Phương trình hoành độ giao điểm d (P):  x  2mx   x  2mx   (*) Phương trình (*) có ∆’ = m2 + > ⇒ (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2∀ m hay d cắt (P) hai điểm phân biệt Áp dụng Viét ta có: Trang 254  x1  x2  2m  | x1  x2 | ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2  4m   m   x1 x2  1 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Khi ta có  y1  2mx1  | y12  y22 || (2mx1  1)  (2mx2  1) |   y2  2mx2  | y12  y22 || (2mx1   2mx2  1)(2mx1   2mx2  1) || m( x1  x2 )[m( x1  x2 )  1] | | 4m(2m  1)( x1  x2 ) | m(2m  1) | x1  x2 | | m | (2m  1)2 m  2 2 2 4 Ta có | y1  y2 |  64m (2m  1) (m  1)  45  64(4m  4m  1)(m  m )  45 Đặt m  m  t  có phương trình Suy Vậy m4  m  m 64t (4t  1)  45  256t  64t  45   t  16 (vì t ≥ 0)  16m  16m    m   16 2 Câu 3 Gọi vận tốc người xe máy quãng đường AB đầu (90 km) x (km/h) (x > 0) Vận tốc người xe máy quãng đường AB sau 0,5x (km/h) Vận tốc người xe máy quay trở lại A x + 10 (km/h) 90 30 120     8,5 Tổng thời gian chuyến x 0,5 x x  10  90 60 120 150 120   8    75( x  10)  60 x  x( x  10) x x x  10 x x  10  x  95 x  750   x  30 (do x > 0) Vậy vận tốc xe máy quãng đường người từ B A 30 + 10 = 40 (km/h) Trang 255 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Câu o o a) Vì CMA  DMB  60  CMB  DMA  120 Xét ∆ CMB ∆ AMD có CM  AM  MCB  MAD  CMB  DMA  CMB  AMD (c.g c )    MBC  MDA  MB  MD  Suy AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Vì AMPC tứ giác nội tiếp nên CPM  180o  CAM  120o  CMB  CPM : CMB ( g g )  CP CM  CM CB  CP.CB  CM  CP.CB  CM Tương tự DP.DA  DM Vậy CP.CB  DP.DA  CM  DM  AM  BM  AB c) Ta có EF đường trung trực PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân E Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM ⇒ PE = PM Tương tự PF = PM Ta có CM // DB nên PCM = PBD Mà BMPD tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD Suy PCM = PMD Ta lại có CPM = DPM = 120o  CPM : MPD( g g )  CP PM CP PE    MP PD PF PD Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE hình thang Trang 256 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Câu a (1  a)  a  a    a, b, c   b(1  b)   b  b c (1  c)  c  c   Vì a, b, c khơng âm có tổng nên Suy 5a   a  4a   ( a  2)2  a  Tương tự 5b   b  2; 5c   c  Do 5a   5b   5c   (a  b  c)   (đpcm) Trang 257 www.thuvienhoclieu.com ... đường 11h40 phút – 7h- 10 phút = Nên ta có PT: 90 30   x x  10 180( x  10) 60 x x ( x  10)    x( x  10) x( x  10) x( x  10)  240 x  1800  x  90 x  x  330 x  1800  90  3(h)... đầu x (km/h) x >10 Thì vận tốc quãng đường sau x -10 (km/h) 90 (h) Thời gian quãng đường ban đầu x 30 (h) Thời gian quãng đường sau x ( h) Vì thời gian quãng đường 11h40 phút – 7h- 10 phút = Nên... y ∈ A, x > y , : Ghi : Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh .số báo danh……………… Hướng dẫn giải đề thi chun Tốn sư phạm Hà Nội vịng -2014 Ngày thi 6/6/2014 a b c x y z   0