ĐỀ THI CUỐI KỲ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

tªn cQ, tc cÊp trªn (1) TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ LUẬT KHOA TOÁN KINH TẾ ĐỀ THI CUỐI KỲ Học kỳ II Năm học 2019 – 2020 (Được sử dụng tài liệu) Môn LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Thời lượng 75 phút Mã đề ĐỀ MINH HỌA T.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ LUẬT KHOA TOÁN KINH TẾ _ ĐỀ THI CUỐI KỲ Học kỳ II Năm học 2019 – 2020 (Được sử dụng tài liệu) Môn: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT - Thời lượng: 75 phút Mã đề: ĐỀ MINH HỌA Tên SV : ………………………… MSSV: ………….…… … Mã lớp: ……… Đề thi gồm có: … trang Chữ ký Giám thị Chữ ký Giám thị A Điểm (số) Điểm (chữ) Cán chấm thi Cán chấm thi HƯỚNG DẪN TRẢ LỜI Chọn B A  B  C  D  Bỏ B - Chọn C A  B  C  D  Bỏ C - Chọn lại B  A B  C  D Phần trả lời trắc nghiệm (12 câu) A B C D                                     10     11     12     Lưu ý Trong làm bài, sinh viên phép sử dụng tài liệu quyền • Giáo trình Lý thuyết xác suất UEL: in, khơng photocopy • 01 tờ giấy khổ A4 ghi rõ Họ tên Mã số SV với ghi liên quan: chữ viết tay, không photocopy PHẦN I (Trắc nghiệm – 12 câu, điểm) Câu Điều tra u thích mơn học thuộc lĩnh vực Toán trường học Đại học người ta thu thông tin sau: 50% sinh viên thích Tốn Cao cấp (TCC), 25% thích Thống kê (TK), 40% thích Kinh tế lượng (KTL); 15% thích TCC TK, 8% thích TK KTL, 12% thích KTL TCC; 3% thích ba loại mơn học Chọn ngẫu nhiên sinh viên trường Tính (khơng xấp xỉ) xác suất để sinh viên khơng thích mơn ba mơn kể A 17% B 20% C 23% D Một đáp số khác Đáp án: Đây câu hỏi dễ cấp độ 1, dùng công thức cộng XS trường hợp không xung khắc Xác suất sinh viên chọn khơng thích môn ba môn kể phần bù thích mơn, tức 100% – [(50% + 25% + 40%) – (15% + 8% + 12%) + 3%] = 17% Vậy chọn A Câu Mỗi lần mua máy đo thân nhiệt tự động, xác suất máy bị trục trặc phải đổi thời gian bảo hành 0,1 Một trường Đại học cần mua máy đo thân nhiệt để kiểm soát người vào sở trường Tính (khơng xấp xỉ) xác suất để có máy trục trặc phải đổi thời gian bảo hành A 0,0081 B 0,00081 C 0,0729 D Một đáp số khác Đáp án: Đây câu hỏi dễ cấp độ 1, dùng công thức Bernoulli với n = 5, p = 0,1 XS cần tính P5(3) Ta P5(3) = C53 0,13 (1 − 0,1)5−3 = 0,0081 Vậy chọn A Câu Một cửa hàng nhập hai lô hàng Lơ thứ có 150 sản phẩm gồm 120 sản phẩm tốt 30 sản phẩm xấu Lô thứ hai có 60 sản phẩm gồm 40 tốt 20 xấu Cửa hàng trộn chung sản phẩm hai lô để bày bán Một khách hàng đến hàng chọn ngẫu nhiên sản phẩm bày bán chọn sản phẩm tốt Tính (khơng xấp xỉ) xác suất để sản phẩm tốt vốn sản phẩm thuộc lô thứ hai A 0,25 B 2/3 C 16/21 D Một đáp số khác Đáp án: Đây câu hỏi trung bình (cấp độ 2), tính XS cơng XS điều kiện Gọi T biến cố sản phẩm chọn sản phẩm T; H biến cố sản phẩm chọn vốn lô thứ hai Ta cần tính P(H/T) Ta có P(TH ) 40 / (150 + 60) P(H/T) = = 0,25 = P(T ) (120 + 40) / (150 + 60) Vậy chọn A Câu Một doanh nghiệp nhận 10 hồ sơ ứng viên sinh viên vừa tốt nghiệp UEL tham gia vấn tuyển dụng Biết số 10 ứng viên có: ứng viên loại giỏi với xác suất tuyển dụng 0,8; ứng viên loại với xác suất tuyển dụng 0,7; lại ứng viên loại trung bình với xác suất tuyển dụng 0,5 Chọn ngẫu nhiên ứng viên Tính (khơng xấp xỉ) xác suất để ứng viên tuyển dụng A 0,69 B 2/3 C 0,7 D Một đáp số khác Đáp án: Đây câu hỏi trung bình (cấp độ 2), tính XS cơng thức XS đầy đủ Gọi: G, K, T biến cố ứng viên chọn tương ứng thuộc loại giỏi, khá, trung bình Gọi: D biến cố ứng viên chọn tuyển dụng Ta cần tính P(D) Ta có G, K, T hệ đầy đủ Theo công thức XSĐĐ, ta có  0,8 +  0, +  0,5 = 0,69 P(T) = P(G)P(D/G) + P(K)P(D/K) + P(T)P(D/T) = 10 10 10 Vậy chọn A Câu 5* Có lơ hàng Lơ thứ có sản phẩm gồm sản phẩm tốt, phế phẩm Lơ thứ hai có sản phẩm gồm sản phẩm tốt, phế phẩm Từ lô thứ lấy ngẫu nhiên sản phẩm, từ lô thứ hai lấy sản phẩm tùy ý đem trưng bày Các sản phẩm lại hai lô thứ thứ hai đổ dồn lại thành lô Từ lô lấy ngẫu nhiên (khơng trả lại) sản phẩm; sau lấy tiếp sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy lần sau tốt biết lần đầu lấy phế phẩm A 437/585 B 437/1890 C 13/42 D Một đáp số khác Đáp án: Đây khó cấp độ Cần sử dụng tổng hợp khéo léo công thức cộng XS, công thức nhân XSĐĐ công thức xác suất điều kiện Gọi - Ai biến cố sản phẩm trưng bày có i sản phẩm tốt; i = 0, 1, 2, - Xk biến cố lấy lần thứ k từ lô phế phẩm; k = 1, - Tk biến cố lấy lần thứ k từ lô thứ ba sản phẩm tốt; k = 1, Ta cần tính P(T2/X1) Theo cơng thức xác suất điều kiện ta có P(T2/X1) = P(X1T2)/ P(X1) (1) Ta thấy {A0, A1, A2, A3} hệ đầy đủ biến cố Do ta dùng cơng thức XSĐĐ để tính tử lẫn mẫu (1) Trước hết ta có P(X1) = P(A0)P(X1/A0) + P(A1)P(X1)/A1) + P(A2)P(X1/A2) + P(A3)P(X1/A3) (2) C2 C 2 C1C1 12 Mà P(A0) = = ; P(A1) = + = ; C 63 C2 C2 63 C2 P(A2) = C2 7 + C21C51 C2 = 30 C 20 ; P(A3) = = 63 C 63 Lưu ý + Khi A0 xẩy Hộp có 10 sản phẩm với tốt phế phẩm + Khi A1 xẩy Hộp có 10 sản phẩm với tốt phế phẩm + Khi A2 xẩy Hộp có 10 sản phẩm với tốt phế phẩm + Khi A3 xẩy Hộp có 10 sản phẩm với tốt phế phẩm Do P(X1/A0) = ; P(X1)/A1) = ; P(X1/A2) = ; P(X1/A3) = 10 10 10 10 Thay vào (2) ta 1 12 30 20 13 + + + P(X1) = = 63 10 63 10 63 10 63 10 42 Mặt khác ta lại có P(X1T2) = P(A0)P(X1T2/A0) + P(A1)P(X1T2)/A1) + P(A2)P(X1T2/A2) + P(A3)P(X1T2/A3) 1 12 30 20 437 ( ) + ( )+ ( ) + ( )= = 63 10 63 10 63 10 63 10 1890 437 Thay P(X1) P(X1T2) vào (1) ta P(T2/X1) = (  74,7%) Vậy chọn A 585 Câu Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất sau X a P 0,2 0,1 0,2 0,4 0,1 Với a số Biết kỳ vọng E(5X + 3) = 30 Tìm a A a = B a = 8,5 C a = D Một đáp số khác Đáp án: Đây câu hỏi trung bình (cấp độ 2) ĐLNN rời rạc hữu hạn Ta có E(X) = 0,4a + 2,6 Do E(5X + 3) = 2a + 13 + = 30  a = Vậy chọn A Câu Một người cầm chùm chìa khóa từ giống hệt có chìa mở cửa Người thử chìa (thử xong chìa loại chìa khỏi chùm) mở cửa dừng Xác định kỳ vọng E phương sai V số chìa người phải thử A E = 1,75; V = 0,7875 B E = 1,75; V = 3,85 C E = 4,25; V = 0,7875 D Một đáp số khác Đáp án: Đây câu hỏi trung bình (cấp độ 2) ĐLNN rời rạc Gọi T số chìa người phải thử Ta có T = {1, 2, 3, 4} Hơn ta có 3 3 3 = 0,5; P(T = 2) =  = 0,3; P(T = 3) =   = 0,15; P(K = 4) =   = 0,05; 6 6 Do bảng PPXS T sau T P 0,5 0,3 0,15 0,05 Do E = E(T) = 1,75; V = V(T) = 0,7875 Vậy chọn A Câu Tuổi thọ X loại sản phẩm (đơn vị tính: 1000 giờ) đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất cho sau kx x [0, 1] f(x) = (k tham số thực) x [0, 1] Tính (khơng xấp xỉ) tuổi thọ trung bình (tức kỳ vọng) (đơn vị tính giờ) sản phẩm A 800 B 200 C 4000 D Một đáp số khác Đáp án: Đây câu hỏi trung bình (cấp độ 2) ĐLNN liên tục Từ biểu thức f(x) ta cần tìm k (  0) hệ thức P(T = 1) = +  − f ( x)dx =   kx 3dx =  k =  k = 4 Do đó, tuổi thọ trung bình sản phẩm kỳ vọng EX cho +  − xf ( x)dx =  x dx = 0,8 = 800 Vậy chọn A Câu Cho vectơ ngẫu nhiên chiều (X, Y) với bảng phân phối xác suất đồng thời sau: Y X p 0,2 0,15 0,25 0,2 0,1 Ở p số thực dương thích hợp Xét mệnh đề (1) EX = 0,55; EY = 1,9 E(XY) = 1,045 (2) X, Y độc lập (3) Cov(X, Y) = 0,095 Đếm số khẳng định A B C D Đáp án: Đây câu hỏi trung bình (cấp độ 2) vectơ chiều rời rạc Từ tính chất tổng xs tương ứng đồng thời ta p = – (0,2 + 0,15 + 0,25 + 0,2 + 0,1) = 0,1 Ta có E(XY) = 0(…) + 110,25 + 120,2 + 130,1 = 0,95 Mặt khác PP lề bên phải X lề Y cho ta X P 0,45 0,55 Y P 0,35 0,4 0,25 Suy EX = 0,55; EY = 1,9 EX  EY = 1,045  0,95 = E(XY) Vậy X, Y chắn không độc lập Hơn Cov(X, Y) = E(XY) – EX  EY = 0,95 – 1,045 = – 0,095 Như ba khẳng định sai Vậy chọn A Câu 10 Đề thi Toán kỳ thi Trung học Phổ thông đề trắc nghiệm với 50 câu hỏi độc lập, câu có phương án trả lời có phương án phù hợp với câu hỏi Mỗi câu 0,2 điểm, câu sai bị trừ 0,1 điểm Một thí sinh thi hồn tồn khơng học nên làm cách chọn hú họa cho câu hỏi Tính kỳ vọng E phương sai V số điểm mà sinh viên nhận A E = – 1,25; V = 0,84375 B E = 3,75; V = 2,8125 C E = 1,125; V = 0,84375 D Một đáp số khác Đáp án: Đây câu hỏi trung bình (cấp độ 2) về PP nhị thức Gọi X số câu thí sinh làm Đ điểm mà thí sinh nhận Mỗi câu có phương án trả lời có phương án phù hợp với câu hỏi nên đánh hú họa có xác suất ¼ = 0,25 Vì đề gồm 50 câu độc lập nên X  B(50; 0,25) Do EX = 50  0,25 = 12,5 VarX = 50  0,25  (1 – 0,25) = 9,375 Vì câu 0,2 điểm, câu sai bị trừ 0,1 điểm nên rõ ràng Đ = 0,2X – 0,1(50 – X) = 0,3X – Từ suy E = E(Đ) = 0,3EX – = – 1,25 ; V = Var(Đ) = 0,32  VarX = 0,84375 Vậy chọn A Câu 11 Một lô hàng có 20 sản phẩm có phế phẩm 12 phẩm Chọn ngẫu nhiên đồng thời sản phẩm để kiểm tra chất lượng Gọi C số phẩm số sản phẩm kiểm tra Xét khẳng định (1) C có phân phối siêu bội kiểu H(20, 12, 5) (2) E(C) = (3) Var(C) = 18/19 Đếm số khẳng định sai A B C D Đáp án: Đây câu hỏi trung bình (cấp độ 2) PP siêu bội Rõ ràng C có PP siêu bội kiểu H(20, 12, 5) Do E(C) = 5(12/20) = 3; Var(C) = 5(12/20)(1 – 12/20)(20 – 5)/(20 – 1) = 18/19 Như ba khẳng đúng Vậy chọn A Câu 12 Tại trạm bán xăng, xe cộ ghé trạm cách ngẫu nhiên, độc lập trung bình phút có 20 xe ghé trạm Gọi X(t) xe ghé trạm khoảng thời gian t phút (t > 0) Xét khẳng định (1) Xác suất để có xe ghé trạm phút 128/(15e4); (2) Xác suất để khơng có xe ghé trạm 15 giây 1/e; (3) Xác suất để có xe ghé trạm 30 giây – 1/e2 Đếm số khẳng định sai A B C D Đáp án: Đây câu hỏi trung bình (cấp độ 2) PP Poisson Rõ ràng X(t) có PP Poisson kiểu P(4t) với t > Xét khẳng định Xét (1): Ở t = nên X(1)  P(4) Nghĩa P[X(1) = 5] = 45/(e55!) = 128/(15e4) (1) Xét (2): Ở t = 0,25 nên X(1/4)  P(1) Nghĩa P[X(0,25) = 0] = e– 110/0! = 1/e (2) Xét (3): Ở t = 0,5 nên X(0,5)  P(2) Nghĩa P[X(0,5) ≥ 1] = – P[X(0,5) = 0] = – 1/e2 Do (3) Như khẳng định Ta chọn A PHẦN II (Tự luận – 02 câu, điểm) Câu 13 (2 điểm) Một công ty chuyên cung cấp thực phẩm cho 100 khách đại lý mua sỉ với số lượng lớn Hàng ngày, xác suất đại lý cần lấy thực phẩm 0,98 a) Tính xấp xỉ (quy tròn đến chữ số lẻ thập phân) xác suất để ngày có khơng q đại lý khơng cần lấy thực phẩm b) Tính xấp xỉ (quy tròn đến chữ số lẻ thập phân) xác suất để ngày có 95 đại lý cần lấy cà chua Đáp án: Đây toán mà hai câu hỏi mức trung bình (cấp độ 2) PP nhị thức xấp xỉ với phân phối Poisson Theo đề bài, xác suất đại lý không cần lấy thực phẩm ngày p = – 0,98 = 0,02 Gọi X số đại lý khơng cần lấy thực phẩm ngày Khi X  B(100; 0,02) Vì n = 100 (khá lớn) p = 0,02 < 0,1 (quá bé) với np = 100  0,02 = nên ta dùng xấp xỉ phân phối nhị thức với phân phối Poisson, cụ thể xem X  B(100; 0,04)  P(2) a) Xác suất cần tính (xấp xỉ) 21 22  −2  P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)  e  + +   0,6767  0! 1! 2!  b) Xác suất cần tính xác suất có 100 – 95 = đại lý không cần lấy thực phẩm sạch, tức  25  P(X = 5)  e−2    0,0361  5!  Đáp số: a)  0,6767 = 67,67%; b)  0,0361 = 3,61% Câu 14 (2 điểm) Một cơng ty có hai dự án cần đầu tư Cho biết lãi suất A (%) đầu tư vào dự án thứ ĐLNN đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) có trung bình 10 (%) độ lệch chuẩn (%); lãi suất B (%) đầu tư vào dự án thứ hai ĐLNN có trung bình 15 (%) phương sai Hơn nữa, lãi suất đầu tư vào hai dự án độc lâp với Cơng ty dùng 300 tỉ đồng đem đầu tư 300x tỉ đồng (0  x  1) vào dự án thứ nhất, 300(1 – x) tỉ đồng vào dự án thứ hai Gọi X tiền lãi (đơn vị: tỷ đồng) thu gói đầu tư a) Giả sử x = 0,6 Hãy tính kỳ vọng xấp xỉ (quy tròn đến chữ số lẻ thập phân) độ lệch chuẩn X b) Tìm x (xấp xỉ đến chữ số lẻ thập phân) để phương sai X (tức độ rủi ro gói đầu tư) nhỏ Đáp án: Đây bái tốn PP chuẩn mà câu (a) trung bình (cấp độ 2) câu (b) câu khó cấp độ Gọi Y (%) lãi suất gói đầu tư tổng quát Khi ta có Y = xA + (1 – x)B; X = 300Y a) (1 điểm) Với x = 0,6 ta có: E(Y) = 0,6E(A) + 0,4E(B) = 0,610 + 0,415 = 12 (%) Var(Y) = 0,62Var(A) + 0,42Var(B) = 0,3622 + 0,169 = 2,88 (phần vạn) Vậy E(X) = E(300Y) = 300E(Y) = 30012% = 36 tỷ đồng; Var(X) = 3002Var(Y) = 25,92  (X)  5,0912 tỷ đồng Kết luận: E(X) = 36 tỷ đồng; (X)  5,0912 tỷ đồng b) (1 điểm) Xét lãi suất gói đầu tư tổng quát Y = xA + (1 – x)B; ≤ x ≤ Khi ta có Var(Y) = x222 + (1 – x)29 = 13x2 – 18x + 9; ≤ x ≤ Hiển nhiên Var(X) = 3002Var(Y) nhỏ Var(Y) nhỏ nhất, tức x = 18/26  0,6923 Kết luận: với x = 18/26  0,6923 rủi ro gói đầu tư nhỏ  ... giỏi với xác suất tuyển dụng 0,8; ứng viên loại với xác suất tuyển dụng 0,7; cịn lại ứng viên loại trung bình với xác suất tuyển dụng 0,5 Chọn ngẫu nhiên ứng viên Tính (khơng xấp xỉ) xác suất để... cho 100 khách đại lý mua sỉ với số lượng lớn Hàng ngày, xác suất đại lý cần lấy thực phẩm 0,98 a) Tính xấp xỉ (quy trịn đến chữ số lẻ thập phân) xác suất để ngày có khơng q đại lý khơng cần lấy... thập phân) xác suất để ngày có 95 đại lý cần lấy cà chua Đáp án: Đây toán mà hai câu hỏi mức trung bình (cấp độ 2) PP nhị thức xấp xỉ với phân phối Poisson Theo đề bài, xác suất đại lý không cần