Tối ưu hóa góc quay các khớp trong điều khiển cánh tay robot

Bài viết Tối ưu hóa góc quay các khớp trong điều khiển cánh tay robot trình bày một phương pháp hình học để tính toán và tối ưu hóa các góc quay của các khớp trong việc điều khiển cánh tay robot trong mặt phẳng. Phương pháp được sử dụng trong bài báo mang tính trực quan và có thể mở rộng cho nhiều trường hợp.

KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ TỐI ƯU HĨA GĨC QUAY CÁC KHỚP TRONG ĐIỀU KHIỂN CÁNH TAY ROBOT OPTIMIZATION OF JOINT-ANGLES IN CONTROLLING ROBOT ARM Nguyễn Mai Quyên1, Chu Bình Minh2, Hà Bình Minh3 Khoa Tốn kinh tế - Trường Đại học Kinh tế quốc dân Khoa Khoa học - Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp Khoa Hệ thống thông tin quản lý - Trường Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh Đến Tịa soạn ngày 07/05/2021, chấp nhận đăng ngày 13/07/2021 Tóm tắt: Bài báo trình bày phương pháp hình học để tính tốn tối ưu hóa góc quay khớp việc điều khiển cánh tay robot mặt phẳng Phương pháp sử dụng báo mang tính trực quan mở rộng cho nhiều trường hợp Từ khóa: Ma trận, phép quay, cánh tay robot, tối ưu hóa, điều khiển Abstract: The paper presents a geometrical method for calculating and optimizing the joint-angles of robot arm in the plane The method used in the paper is very visual and can be extended to general cases Keywords: Matrix, rotation, robot arm,; optimization, control GIỚI THIỆU Cánh tay robot với ưu điểm thiết bị thực thao tác phức tạp môi trường khắc nghiệt nguy hiểm Cánh tay robot thực công việc cánh nhanh chóng, xác, lặp lại nhiều lần mà không mệt mỏi Do vậy, cánh tay robot ngày trở nên phổ biến nhiều lĩnh vực công nghiệp sống Bên cạnh việc thiết kế cánh tay robot cho phù hợp với công việc, việc nghiên cứu động học cánh tay robot để tối ưu hoá lượng cho q trình điều khiển ln tốn quan tâm Bài toán động học cánh tay robot gồm hai tốn tốn động học thuận toán động học nghịch Trong toán động học thuận, ta cần xác định vị trí điểm điều 16 khiển bàn tay robot biết vị trí khớp góc cánh tay Trong tốn động học nghịch, ta cần xác định vị trí khớp cánh tay robot biết vị trí cuối chúng [1-3] Bài toán thuận giải tương đối trọn vẹn nhiều trường hợp; tốn nghịch tốn khó khơng có phương pháp chung để giải cho trường hợp Với trường hợp cánh tay robot, ta cần phải áp dụng kiến thức hình học đại số vào để tìm góc quay cho khớp Trong báo này, sử dụng kết hợp phương pháp biến đổi ma trận biến đổi hình học để tìm góc quay tối ưu cho khớp cánh tay robot ba khâu mặt phẳng Trong Mục 2, chúng tơi trình bày sở tốn học để thuận tiện cho q trình tính tốn mơ cánh tay robot Mục TẠP CHÍ KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ SỐ 33 - 2022 KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ nội dung báo, chúng tơi phát biểu tốn động học trình bày phương pháp tiếp cận thú vị dựa kiến thức tốn học hình học phẳng Cuối cùng, phần kết luận trình bày mục với thảo luận toán mở theo hướng nghiên cứu CƠ SỞ TOÁN HỌC: KHUNG TỌA ĐỘ VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI MA TRẬN 2.1 Biểu diễn điểm, vector, khung tọa độ Để q trình tính tốn vị trí khớp cánh tay robot q trình điều khiển cánh tay robot thực hiện, có ba khái niệm cần biểu diễn là: điểm, vector khung tọa độ Biểu diễn điểm vector Trong hình học giải tích thơng thường, điểm vector biểu diễn ba (a,b,c)T Tuy nhiên, toán điều khiển cánh tay robot, ta cần phân biệt rõ hai khái niệm Do vậy, ta cần thêm thành phần thứ tư w vào biểu diễn điểm vector dạng (a,b,c,w)T Nếu w=1 biểu diễn tọa độ điểm w=0 biểu diễn vector Chẳng hạn, P=(2,3,1,1)T biểu diễn điểm P có tọa độ (2,3,1)T T v   2,3, 1,  biểu diễn vector v có tọa độ (2,3,1)T Biểu diễn khung tọa độ Mỗi vật thể không gian làm việc cánh tay robot gắn với khung tọa độ Khung tọa độ biểu diễn gồm bốn thành phần có dạng i j k G  , ba thành phần đầu ba vector phương thành phần thứ tư gốc tọa độ Như vậy, khung tọa độ biểu diễn dạng toán học ma trận cỡ 44 Chẳng hạn, khung tọa độ có gốc O vector phương vector đơn vị sở TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ SỐ 33 - 2022 biểu diễn dạng 1 0 0  i0 J k0 O     0 0 0 0  0  0 1 (1) 2.2 Các phép biến đổi khung tọa độ Trong điều khiển cánh tay robot, có ba phép biến đổi khung tọa độ bao gồm: phép tịnh tiến; phép quay quanh trục tọa độ; phép biến đổi kết hợp phép tịnh tiến phép quay a Phép tịnh tiến Phép tịnh tiến phép biến đổi từ khung tọa độ cũ sang khung tọa độ mà gốc tọa độ nhận cách tịnh tiến gốc tọa độ cũ theo trục tọa độ, vector phương khung tọa độ không thay đổi Chẳng hạn hình 1, khung tọa độ {1} nhận cách tịnh tiến khung tọa độ 0  i0 J k0 O  đến điểm gốc B=(a,b,c,1)T Khi đó, khung tọa độ {1} xác định 0  i0 J k0 O  B   0T1 (a, b, c).0 rong 0T1 (a, b, c) ma trận tịnh tiến từ khung tọa độ {0} sang khung tọa độ {1}, cho công thức sau: 1 0 T1 (a, b, c)   0  0 0 a b  c  0 1 (2) Hình Phép tịnh tiến 17 KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ b Phép quay quanh trục tọa độ Phép quay quanh trục tọa độ phép biến đổi từ khung tọa độ cũ sang khung tọa độ mà gốc tọa độ vector phương trục quay không thay đổi; hai vector phương khung tọa độ nhận cách quay hai vector phương khung tọa độ cũ góc  Dấu  xác định theo quy tắc “bàn tay phải”, nghĩa  nhận giá trị dương quay ngược chiều kim đồng hồ Tương ứng với ba trục tọa độ, ta có ba phép quay quanh trục tọa độ là: phép quay quanh trục Oz góc ; phép quay quanh trục Ox góc ; phép quay quanh trục Oy góc  Xét khung tọa độ 1  i1 J1 k1 O  nhận cách quay khung tọa độ 0  i0 J k0 O  quanh trục Oz góc  hình Do trục Oz không thay đổi nên k1  k0 Gọi tọa độ điểm P khung tọa độ {0} {1} tương ứng  x0   x1  y  y  p   ; 1p   1  z0   z0      1  1  p  R1  z,  p với R1  z,  ma trận quay khung tọa độ {0} thành khung tọa độ {1} quanh trục Oz góc  Ma trận R1  z,  xác định cos   -sin    sin   cos   R1  z,     0   0 0  0 0  1 (3) Ngược lại, ta xác định khung tọa 18 Hình Phép quay quanh trục Oz góc  Do ma trận nên ta có R1  z,  ma trận trực chuẩn R0  z,     R1  z,     R1  z,    cos   sin     sin   cos     0   1 T 0  0 0  1 (4) Tương tự, ma trận quay phép biến đổi khung tọa độ {0} thành khung tọa độ {1} cách quay quanh trục Ox Oy góc  tương ứng Khi 0  i0 J k0 O  từ khung tọa độ 1  i1 J1 k1 O  cách quay khung tọa độ {1} quanh trục Oz góc ( Khi đó: p  1R0  z,   p độ 0 1 0 cos  -sin      R1  x,    0 sin   cos    0 0  cos    0 R1  y,     -sin     0  0  1 (5) sin     0 cos     0 1 (6) c Phép biến đổi kết hợp Để có khung tọa độ có gốc hướng cần thiết từ khung tọa độ ban đầu, ta áp TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ SỐ 33 - 2022 KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ dụng liên tiếp phép tịnh tiến phép quay theo thứ tự định Phép biến đổi gọi phép biến đổi kết hợp Chẳng hạn, hình minh họa phép biến đổi kết hợp theo thứ tự sau: BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC CHO CÁNH TAY ROBOT (1) Quay khung tọa độ {0} quanh trục Ox góc ; (2) Tịnh tiến khung tọa độ nhận theo trục Ox, Oy Oz đoạn tương ứng a, b c Trong mục chúng tơi trình hai toán động học cho cánh tay robot ba khâu , minh họa hình Chiều dài khâu tương ứng l1, l2, l3 góc quay khớp K1, K2, K3 tương ứng 1, 2, 3 Giả thiết điều kiện biên ngoại lực, yếu tố ngẫu nhiên lý tưởng Bài toán xét đến yếu tố hình học Hình Phép biến đổi kết hợp Để tìm ma trận chuyển cho phép biến đổi này, gọi iTj ma trận chuyển từ khung tọa độ {i} thành khung tọa độ {j} ip tọa độ điểm P khung tọa độ {i} Do {1} khung tọa độ nhận từ khung tọa độ {0} cách quay quanh trục Ox góc  nên T1  R1  x,   ; {2} khung tọa độ nhận cách tịnh tiến {1} theo trục Ox, Oy Oz đoạn tương ứng a, b c nên 1T2  1T2  a, b, c  Ta có Hình Cánh tay robot khâu p  0T2 p  0T1 0T2 p 3.1 Bài toán động học thuận Phát biểu tốn: Cho trước góc 1,2,3 tìm vị trí điểm cuối K4 cánh tay khung tọa độ gốc Để xác định vị trí K4 khung tọa độ gốc, ta gắn vào khớp khung tọa độ nhận từ khung tọa độ gốc phép tịnh tiến phép quay quanh trục tọa độ hình Cụ thể, khung tọa độ biến đổi theo bước sau = R1  x, a  1T2  a, b, c  p Ma trận chuyển từ khung tọa độ {0} đến khung tọa độ {2} T2  R1  x, a  1T2  a, b, c  0 1 0 cos  -sin       0 sin   cos    0 0 a b  c  1 (7) TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ SỐ 33 - 2022 Hình Các khung tọa độ cánh tay robot Bước Khung tọa độ {1}={i1,j1,k0,K1} 19 KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ nhận từ khung tọa độ gốc {0}={i0,j0,k0,K1} phép quay quanh trục Oz góc 1 Ma trận chuyển bước 0T1  R1  z, 1  2  i2 , j2 , k0 , K2  tọa 1  i1 , j1 , k0 , K1 Bước Khung tọa độ nhận từ khung phép tịnh tiến theo trục Ox đoạn l1 Ma trận chuyển bước T2  1T2  l1 ,0,0  Bước Khung tọa độ nhận từ khung tọa 3  i3 , j3 , k0 , K2  2  i2 , j2 , k0 , K2  phép quay quanh trục Oz góc 2 Ma trận chuyển bước T3  R3  z,   Bước Khung tọa độ nhận từ khung tọa 4  i4 , j4 , k0 , K3 3  i3 , j3 , k0 , K2  phép tịnh tiến theo trục Ox đoạn l2 Ma trận chuyển bước T4  3T4  l2 ,0,0  Bước Khung tọa độ nhận từ khung tọa 5  i5 , j5 , k0 , K3 4  i4 , j4 , k0 , K3 phép quay quanh trục Oz góc 3 Ma trận chuyển bước T5  R5  z, 3  Bước Khung tọa độ nhận từ khung tọa 6  i6 , j6 , k0 , K4  5  i5 , j5 , k0 , K3 phép tịnh tiến theo trục Ox đoạn l3 Ma trận chuyển bước T6  5T6  l3 ,0,0  Cuối cùng, điểm cuối K4 gốc khung T tọa độ {6} nên K4   0, 0, 0,1 Do đó, vị trí điểm cuối K4 khung tọa độ gốc {0} tính theo công thức sau: K4  0T1.1T2 2T3 3T4 4T5 5T6 K4 với kết sau tính tốn 20 l1cos 1   l2 cos 1     l3cos 1         l1sin 1   l2sin 1     l3sin 1        K4        3.2 Bài toán động học nghịch Phát biểu tốn: Tìm góc 1, 2, 3 khớp K1, K2, K3 cho trước vị trí K4 với khung tọa độ gốc {0} T K4   x, y, 0,1 Dựa vào tốn động học thuận ta tính vị trí K4 khung tọa độ gốc qua góc 1, 2, 3 Khi đó, tốn đưa tốn tìm nghiệm 1,2,3 hệ phương trình sau l1cos 1   l2 cos 1     l3cos 1        x      l1sin 1   l2sin 1     l3sin 1         y    0        1  Do hệ phương trình có hai phương trình ba ẩn số nên hệ có vơ số nghiệm 1,2,3 Việc giải hệ phương trình phương pháp đại số cho nhiều kết quả, nhiên kết khơng có tính trực quan Ta áp dụng phương pháp hình học để tìm nghiệm 1, 2, 3 cách trực quan Hơn nữa, cách mở rộng phương pháp hình học này, ta giải tốn tối ưu góc quay điều khiển cánh tay robot đề cập Mục 3.3 Các bước giải tốn động học nghịch theo phương pháp hình học minh hoạ Hình trình bày sau Bước (Xác định góc 1) Dựng đường trịn tâm K1 bán kính l1 đường trịn tâm K4 bán kính l1+l3 Gọi F, G giao hai đường trịn Ta lấy 1 tuỳ ý cho thấy K2 nằm cung FG Bước (xác định góc 2,3) Dựng đường trịn tâm K2 bán kính l2 đường trịn tâm K4 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ SỐ 33 - 2022 KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ bán kính l3 Lấy 2 cho K3 giao hai đường tròn Ứng với vị trí K3, góc quay 3 góc hai vector K2K3 K3K4 đường tròn tâm P bán kính l2+l3 Khi xảy hai trường hợp K2 nằm cung IJ K2 không nằm cung IJ a Trường hợp K2 nằm cung IJ Hình Các góc tốn động học nghịch 3.3 Bài toán động học nghịch mở rộng: tối ưu hóa góc quay theo thứ tự ưu tiên Bài toán động học nghịch Mục 2.2 mở rộng tốn điều khiển tối ưu góc quay khớp sau: Phát biểu toán: Cho trước điểm P vị trí K4 cánh tay robot Hình Tìm góc quay 1, 2 3 tương ứng khớp K1, K2 K3 để điều khiển điểm cuối K4 đến vị trí điểm P cho trước cho góc quay cực tiểu hóa theo thứ tự 1, 2, 3 Trong toán trên, ta giả định việc quay khớp K1 tốn nhiều lượng so với khớp K2, K3; việc quay khớp K2 tốn nhiều lượng so với khớp K3 Như vậy, để tối ưu hóa lượng việc di chuyển cánh tay robot ta cần cực tiểu hóa góc quay theo thứ tự ưu tiên 1, 2, 3 Do đó, theo cách phát biểu khác, tốn tốn tối ưu hóa lượng việc di chuyển cánh tay robot từ vị trí ban đầu đến vị trí định Để xác định giá trị góc quay cần điều chỉnh, ta dựng đường trịn tâm K1 bán kính l1 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ SỐ 33 - 2022 Hình Trường hợp K2 nằm cung IJ Bước (Tối ưu góc 1) Do K2 nằm cung IJ ta cần điều chỉnh K3, K4 mà không cần điều chỉnh vị trí K2 Do đó, góc 1 khơng cần phải thay đổi (xem hình 7) Bước (tối ưu góc 2) Để xác định vị trí cần đến K3 ta dựng đường trịn tâm K2 bán kính l2 đường trịn tâm P bán kính l3 Hai đường trịn giao H, K Đây vị trí cần điều khiển K3 đến Để tối ưu lượng, ta cần điều khiển K3 theo cung K3H (xem hình 8) Hình Quỹ đạo K3 Bước (Tối ưu góc 3) Điều khiển K4 đến P cách chọn chiều quay thích hợp để góc quay 3 nhỏ (xem hình 9) 21 KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ Bước (tối ưu góc 3) Điều khiển K2 đến P cách chọn chiều quay thích hợp để góc quay 3 nhỏ (xem hình 12) Khi đó,3=0 Hình Quỹ đạo K4 b Trường hợp K2 không nằm cung IJ Bước (Tối ưu góc 1) Điều chỉnh K2 vào cung IJ Để tối ưu 1, ta điều khiển K2 đến l theo chiều quay thích hợp hình 10 Hình 12 Quỹ đạo K4 Như vậy, với điểm P nằm không gian làm việc cánh tay robot, ta sử dụng phương pháp hình học để tính góc quay tối ưu khớp điều khiển điểm cuối K4 cánh tay robot đến điểm P KẾT LUẬN Hình 10 Quỹ đạo K2 Bước (Tối ưu góc 2) Do K2P = l2+l3 nên cần điều khiển K3 đến L, với L giao điểm đường tròn tâm K2 bán kính l2 với đoạn K2P Để tối ưu 2 ta chọn chiều quay nhỏ (xem hình 11) Hình 11 Quỹ đạo K3 22 Với việc áp dụng phép biến đổi ma trận kiến thức hình học cho động học cánh tay robot, minh họa lời giải cách trực quan tính toán chi tiết cho toán động học thuận, toán động học nghịch, toán động học nghịch mở rộng cho cánh tay robot ba khâu Hơn nữa, cách mở rộng phương pháp hình học này, chúng tơi tính tốn góc quay tối ưu cho tốn điều khiển cánh tay robot ba khâu mặt phẳng Trong nghiên cứu tiếp theo, mở rộng kỹ thuật tính tốn để tối ưu góc quay khớp cho cánh tay robot không gian, mở rộng toán với ràng buộc liên quan đến cánh tay robot, ràng buộc liên quan đến môi trường làm việc cánh tay robot TẠP CHÍ KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ SỐ 33 - 2022 KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Mạnh Tiến, “Điều khiển robot công nghiệp”, NXB Khoa học Kỹ thuật (2007) [2] Nguyễn Văn Khang, Chu Mỹ Anh, “Cơ sở robot công nghiệp”, NXB Giáo dục (2011) [3] Đào Văn Hiệp, “Kỹ thuật robot”, NXB Khoa học Kỹ thuật (2006) Thông tin liên hệ: Chu Bình Minh Điện thoại: 0912207854 - Email: cbminh@uneti.edu.vn Khoa Khoa học bản, Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Cơng nghiệp TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ SỐ 33 - 2022 23 ... rộng: tối ưu hóa góc quay theo thứ tự ưu tiên Bài tốn động học nghịch Mục 2.2 mở rộng tốn điều khiển tối ưu góc quay khớp sau: Phát biểu toán: Cho trước điểm P vị trí K4 cánh tay robot Hình Tìm góc. .. trí cần điều khiển K3 đến Để tối ưu lượng, ta cần điều khiển K3 theo cung K3H (xem hình 8) Hình Quỹ đạo K3 Bước (Tối ưu góc 3) Điều khiển K4 đến P cách chọn chiều quay thích hợp để góc quay 3... nhiều lượng so với khớp K2, K3; việc quay khớp K2 tốn nhiều lượng so với khớp K3 Như vậy, để tối ưu hóa lượng việc di chuyển cánh tay robot ta cần cực tiểu hóa góc quay theo thứ tự ưu tiên 1, 2,