chuyen de 8 uoc va boi cua so tu nhien

thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ 8: ƯỚC VÀ BỘI CỦA SỐ TỰ NHIÊN ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT Ước bội:  Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b ta nói a bội b, cịn b ước a ( a) ( b)  Tập hợp ước a là: Ư , tập hợp bội b kí hiệu: B ( 30) = { 1; 2;3;5;6;10;15;30} Ví dụ: Ư ( ) = { 0; 2; 4;6;8; ; 2k; } B Ước chung ước chung lớn  Số tự nhiên n gọi ước chung hai số a b n vừa ước a vừa ước b  Số lớn ước chung a b gọi ước chung lớn a b ( a, b )  Ta kí hiệu: tập hợp ước chung a b là: ƯC , ( a, b ) tập hợp ước chung lớn a b kí hiệu: ƯC LN ( 30, 48 ) = { 1; 2;3;6} ( 30, 48 ) = Ví dụ:ƯC , ƯCLN Chú ý: ước chung hai số ước ước chung lớn chúng  Hai số nguyên tố hai số có ước chung lớn  Phân số tối giản phân số có tử mẫu hai số nguyên tố  Cách tìm ƯCLN: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số chung Bước 3: Lập tích thừa số chọn thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm Bội chung bội chung nhỏ  Số tự nhiên n gọi bội chung hai số a b n vừa bội a vừa bội b  Số nhỏ khác bội chung a b gọi bội chung nhỏ a b ( a, b )  Ta kí hiệu: tập hợp bội chung a b là: BC , ( a, b ) tập hợp bội chung nhỏ a b kí hiệu: BCNN ( 4,5) = { 0; 20; 40; 60; } Ví dụ:BC , ( 4,5 ) = 20 BCNN Chú ý: Bội chung nhiều số bội bội chung nhỏ chúng Nếu số cho đôi nguyên tố BCNN chúng tích số  Cách tìm BCNN: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số chung riêng Bước 3: Lập tích thừa số chọn thừa số lấy với số mũ lớn Tích BCNN phải tìm  Nhận xét: thuvienhoclieu.com Trang BCNN thuvienhoclieu.com ( a,1) = a ( a, b,1) = BCNN BCNN PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI ( a, b ) A ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN Dạng Nhận biết số ước (bội) số cho trước I.Phương pháp giải a a a + Để xét có ước số cho trước hay không, ta chia số cho Nếu chia hết ước số + Để xét bội số b có bội số khác hay khơng, ta chia b cho số Nếu chia hết II.Bài tốn Bài Cho số sau a) Là Ư 0;1;3;14; 7;10;12;5; 20 ( 6) , tìm số b) Là Ư ( 10 ) Lời giải a) Vì số cho b) Vì số cho Bài Cho số sau a) Là B chia hết cho 10 chia hết cho 1;3 nên 1;5;10 { 1;3} ∈ ( ) Ư nên { 1;5;10} ∈ ( 10 ) Ư 13;19; 20;36;121;125; 201; 205; 206 ( 3) b) Là B , số thuộc tập hợp sau: ( 5) Lời giải a) Vì số cho b) Vì số cho 36; 201 chia hết cho 20;125; 205 nên chia hết cho { 36; 201} ∈ ( 3) B nên { 20;125; 205} ∈ ( 5) B Dạng Tìm tất ước (bội) số I.Phương pháp giải + Để tìm tất ước số Bước 1: Chia a a ta làm sau: cho số Bước 2: Liệt kê số mà a 1; 2;3; ; a chia hết Đó tất ước thuvienhoclieu.com a Trang b + Để tìm bội số Bước 1: Nhân b b ( b ≠ 0) thuvienhoclieu.com ta làm sau: cho số 0;1; 2;3; Bước 2: Liệt kê số thu Đó tất bội b Lưu ý: Nếu tốn tìm ước (bội) số thỏa mãn điều kiện cho trước ta làm sau: Bước 1: Liệt kê ước (bội) số Bước 2: Chọn số thỏa mãn điều kiện đề II.Bài toán Bài 6;10;12;13 a) Tìm tập hợp ước 4;7;8;12 b) Tìm tập hợp bội Lời giải a) Ư Ư b) ( ) = { 1; 2;3;6} Ư ( 12 ) = { 1; 2;3; 4;6;12} Ư B ( ) = { 0; 4;8;12;16; } a) c) x∈ xM Ư ( 12 ) và ( 13) = { 1;13} B ( ) = { 0;7;14; 21; 28; } B ( ) = { 0;8;16; 24;32; } Bài Tìm số tự nhiên ( 10 ) = { 1; 2;5;10} B ( 12 ) = { 0;12; 24;36; 48; } x cho 2≤ x≤8 x ∈ B ( 5) b) 13 < x ≤ 78 d) 12Mx và 20 ≤ x ≤ 36 x>4 Lời giải a) Ta có Ư b) x ∈ B ( 5) Mặt khác c) ( 12 ) = { 1; 2;3; 4;6;12} xM5 và 20 ≤ x ≤ 36 Vì Vì x∈ x ∈ B ( 5) Ư ( 12 ) nên 2≤ x≤8 nên x ∈ { 2;3; 4;6} x ∈ { 0;5;10;15; 20; 25;30;35; 40; } 20 ≤ x ≤ 36 ⇒ x ∈ { 20; 25;30;35} 13 < x ≤ 78 Vì xM nên x ∈ B ( 5) x ∈ { 0;5;10;15; 20; 25;30;35; 40; } thuvienhoclieu.com Trang Mặt khác d) 12Mx thuvienhoclieu.com 13 < x ≤ 78 ⇒ x ∈ { 15; 20; 25;30;35; 40; 45;50;55;60;65;70;75} x>4 Vì 12Mx nên x∈ Ư ( 12 ) = { 1; 2;3; 4;6;12} Bài Tìm tập hợp số tự nhiên vừa ước 100 x>4 x ∈ { 6;12} nên vừa bội 25 Lời giải Gọi Vì x số tự nhiên cần tìm Ta có Ư x ∈ B ( 25 ) nên ( 100 ) = { 1; ; 4;5;10; 20; 25;50;100} xM25 ⇒ x ∈ { 25;50;100} Dạng Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết I.Phương pháp giải Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) định nghĩa ước số tự nhiên II.Bài tốn Bài Tìm số tự nhiên a) c) n cho: 3Mn b) (n + 3)M( n + 1) d) 3M(n + 1) (2n + 3)M(n − 2) Lời giải a) 3Mn ⇔ n ∈ Vậy b) n ∈ { 1;3} 3M(n + 1) ⇔ ( n + 1) ∈ Vậy c) Ư ( 3) = { ;3 } Ư ( 3) = { ;3 } (n + 1) ∈ { 1;3} ⇒ n ∈ { 0; 2} (n + 3)M( n + 1) Ta có ( n + 3) M( n + 1) (n + 1)M(n + 1) Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) ta có [ (n + 3) − (n + 1)] M(n + 1) ⇔ 2M(n + 1) ⇔ ( n + 1) ∈ thuvienhoclieu.com Ư ( 2) = { ; } Trang Vậy d) thuvienhoclieu.com n ∈ { 1;0} (2n + 3)M(n − 2) Ta có (2n + 3) M( n − 2) (n − 2)M( n − 2) Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) ta có [ (2n + 3) − 2(n − 2)] M(n − 2) ⇔ 7M(n − 2) ⇔ ( n − 2) ∈ Vậy Ư ( ) = { ;7 } n ∈ { 3;9} Dạng Viết tập hợp ước chung (bội chung) hai hay nhiều số I.Phương pháp giải Bước Viết tập hợp ước (bội) số cho Bước Tìm giao tập hợp II.Bài toán Bài Viết tập hợp sau: a) ƯC c) BC ( 24, 40 ) b) ƯC ( 2,8 ) d) BC ( 20,30 ) ( 10,15 ) Lời giải a) ƯC ( 24, 40 ) Ta có Ư ( 24 ) = { 1; ;3; 4;6;8;12; 24 } Ư c) BC ( ,8 ) BC Ta có Ư ( 40 ) = { 1; ; 4;5;8;10; 20; 40 } ƯC Ta có B b) ƯC ( 20,30 ) ( 30) = { 1; ;3;5;6;10;30 } Ư ( 24, 40 ) = { 1; ; 4;8 } ( 10,15) ( ) = { 0; ; ;6;8;10;12; } ( 20 ) = { 1; 2; 4;5;10; 20 } ƯC d) BC ( 8) = { 0;8 ;16; 24;32; 40; 48; } B ( 2,8 ) = { 0;8 ;16; 24; } ( 20,30 ) = { 1; 2;5;10 } ( 10 ) = { 0;10 ; 20 ;30; 40;50;60; } Ta có B ( 15) = { 0;15 ;30; 45;60 ; } B ( 10,15) = { 0;30 ;60;90; } BC Dạng 5: Bài tốn có lời văn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com I.Phương pháp giải Bước 1: Phân tích đề bài, chuyển tốn tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) số cho trước Bước 2: Áp dụng cách tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) số cho trước II.Bài tốn Bài 1.Có 20 viên bi Bạn Minh muốn chia số viên bi vào hộp Tìm số hộp số viên bi 20 hộp? Biết khơng có hộp chứa hay viên bi Lời giải Số hộp số viên bi hộp phải ước số Ta có Ư ( 20 ) = { 1; ; 4;5;10; 20 } 20 ; 4;5;10 20 Vì khơng có hộp chứa hay viên bi, nên số viên bi hộp 10 ;5; 4; tương ứng với số hộp 12 Bài Năm Bình tuổi Tuổi mẹ Bình bội số tuổi Bình Tìm tuổi mẹ Bình biết 30 45 tuổi mẹ lớn nhỏ Lời giải Gọi x số tuổi mẹ Bình ( x ∈ Ν;30 < x < 45 ) Tuổi mẹ Bình bội số tuổi Bình nên Mà 30 < x < 45 nên x = 36 x ∈ B ( 12 ) thỏa mãn đk Vậy mẹ Bình 36 tuổi Bài Học sinh lớp 6A nhận phần thưởng nhà trường em nhận phần thưởng 129 215 Cô hiệu trưởng chia hết bút chì màu Hỏi số học sinh lớp 6A bao nhiêu? Lời giải Ta thấy số phần thưởng phải Có ƯC ƯC ( 129 , 215 ) ( 129, 215 ) = { 1; 43} Vì số học sinh lớp 6A khơng thể nên số học sinh lớp 6A thuvienhoclieu.com 43 Trang thuvienhoclieu.com Bài Tính số học sinh trường biết lần xếp hàng , hàng 415 421 vừa đủ hàng số học sinh trường khoàng từ đến , hàng , hàng Lời giải Gọi x số học sinh trường Vì lần xếp hàng Tức ( x ∈ Ν; 415 < x < 421) 4;5;6;7 x , hàng , hàng , hàng vừa đủ hàng nên chia hết cho x ∈ BC ( 4;5;6;7 ) = { 0; 420;840; } Vậy số học sinh trường 420 Mà 415 < x < 421 nên x = 420 học sinh B ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT Dạng Tìm ước chung lớn số cho trước I.Phương pháp giải Cách Để tìm ƯCLN số cho trước ta thực quy tắc bước phía Chú ý a Mb ⇒ a: b ƯCLN dư r ( a , b) = b ƯCLN ( a , b) = ƯCLN ( b,r) Cách Sử dụng thuật toán Ơclit Bước Lấy số lớn chia số nhỏ Giả sử + Nếu r≠0 + Nếu r =0 a = b.x + r ta thực bước ƯCLN ( a , b) = b Bước Lấy số chia, chia cho số dư, + Nếu + Nếu r1 ≠ r1 = ta thực bước ƯCLN ( a ,b) = b Bước Quá trình tiếp tục phép chia hết II.Bài toán Bài Tìm ƯCLN số a) ƯCLN c) ƯCLN ( 18,30 ) ( 18,30,15 ) b) ƯCLN d) ƯCLN thuvienhoclieu.com ( 24, 48) ( 24, 48,36 ) Trang thuvienhoclieu.com Lời giải ( 18,30 ) ( 24 , 48) a) ƯCLN Phân tích số thừa số nguyên tố 18 = 2.32 , 30 = 2.3.5 Từ ƯCLN b) ƯCLN Phân tích số thừa số nguyên tố 24 = 23.3 48 = 24.3 ( 18,30 ) = 2.3 = ( 24, 48 ) = 23.3 = 24 Từ ƯCLN ( 24 , 48,36 ) d) ƯCLN Phân tích số thừa số nguyên tố ( 18,30,15 ) c) ƯCLN Phân tích số thừa số nguyên tố 18 = 2.32 24 = 23.3 , 48 = 24.3 , 36 = 22.32 30 = 2.3.5 , 15 = 3.5 ( 18, 30,15) = Từ ƯCLN Từ ƯCLN Bài Sử dụng thuật tốn Ơclit để tìm ( 174,18) b) ƯCLN a) ƯCLN ( 24, 48,36 ) = 22.3 = 12 ( 124,16 ) Lời giải a) Ta thực theo bước: Lấy Lấy Lấy 174 18 12 chia cho chia cho chia cho 18 12 ta ta ta Vậy ta ƯCLN 174 = 9.18 + 12 18 = 1.12 + 12 = 2.6 + ( 174,18 ) = b) Ta thực theo bước: Lấy Lấy Lấy 124 16 12 chia cho chia cho chia cho 16 12 ta ta ta Vậy ta ƯCLN 124 = 7.16 + 12 16 = 1.12 + 12 = 3.4 + ( 124,16 ) = Dạng Tìm ước chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước I.Phương pháp giải Bước Tìm ƯCLN hai hay nhiều số cho trước Bước Tìm ước ƯCLN thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bước Chọn số ước thỏa mãn điều kiện cho Lưu ý: khơng có điều kiện tốn ước chung hai hay nhiều số ƯCLN số Cách tìm ước chung thơng qua ƯCLN Bước Tìm ƯCLN hai hay nhiều số cho trước Bước Tìm ước ƯCLN II.Bài tốn Bài Tìm ước chung 24 180 thơng qua tìm ƯCLN Lời giải Phân tích số thừa số nguyên tố 24 = 23.3 , 180 = 22.32.5 Từ ƯCLN Mà Ư ( 24,180 ) = 22.3 = 12 ( 12 ) = { 1; 2;3; 4;6;12} Vậy ƯC ( 24,180 ) = { 1; 2;3; 4;6;12} Bài Tìm số tự nhiên x thõa mãn 90Mx ; 150Mx < x < 30 Lời giải Số tự nhiên x thõa mãn 90Mx ; 150Mx nên x∈ ƯCLN ( 90,150 ) Phân tích số thừa số nguyên tố 90 = 2.32.5 , 150 = 2.3.52 Từ Mà Ư ƯCLN ( 30 ) = { 1; 2;3;5; 6;10;15;30} < x < 30 Vì Bài ( 90,150 ) = 2.3.5 = 30 nên x ∈ { 6;10;15 } Tìm số tự nhiên a ,b biết ƯCLN ( a ,b) = a.b = 891 Lời giải thuvienhoclieu.com Trang Ta có thuvienhoclieu.com ( a ,b) = ( k , m) = a = 3k , b = 3m ƯCLN nên ƯCLN a>b⇒k >m Giả sử Ta có a.b = 891 ⇒ 3k 3m = 891 ⇒ k.m = 32.11 k = 11, m = ⇒ a = 33; b = 27 TH1: k = 99, m = ⇒ a = 297; b = TH2: Bài Tìm số tự nhiên n A= để biểu thức 15 2n + có giá trị số tự nhiên Lời giải Để A số tự nhiên Ta có Ư ( 15) = { 1;3;5;15} 2n + phải ước 15 Do đó: + Với + Với + Với + Với 2n + = ⇒ n = 0, A = 15 2n + = ⇒ n = 1, A = 2n + = ⇒ n = 2, A = 2n + = 15 ⇒ n = , A = Bài Tìm số tự nhiên x, y ( x + 1) ( y − 5) = b) a) ( x + 1) ( y − 1) = 15 Lời giải ( x + 1) ( y − ) = = 2.3 = 3.2 = 6.1 = 1.6 a) Ta có bảng sau: x +1 y −5 x y 11 thuvienhoclieu.com Trang 10 Từ Vậy b) ƯCLN n +1 2n + d= Gọi ⇒ { Vậy Gọi ( 2n + 2, 2n + ) ( 2n + 2, 2n + ) = 2n + số nguyên tố với n∈Ν n +1 ƯCLN ƯCLN n +1 Gọi { ( 2n + 1, n + ) { d= ⇒ n∈Ν n + 1Md 2( n + 1) Md ⇒ 2n + 1Md 2n + 1Md ⇒ ( 2n + ) − ( 2n + 1) Md ⇒ 1Md ⇒ d = Từ d) ƯCLN 2n + 2n + { số nguyên tố với 2n + ƯCLN d= ⇒ n+2 2n + 2Md 2n + 3Md ⇒ ( 2n + 3) − ( 2n + ) Md ⇒ 1Md ⇒ d = Từ c) ( n + 1, n + ) = thuvienhoclieu.com ( 2n + 1, n + ) = 3n + ƯCLN ( n + 1,3n + ) { n + 1Md 3(n + 1)Md ⇒ 3n + 4Md 3n + 4Md ⇒ ( 3n + ) − ( 3n + 3) Md ⇒ 1Md ⇒ d = Từ ƯCLN ( n + 1,3n + ) = C BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Dạng Tìm bội chung nhỏ số cho trước I.Phương pháp giải Bước Phân tích số thừa số nguyên tố Bước Chọn thừa số nguyên tố chung thừa số nguyên tố riêng thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Bước Với thừa số nguyên tố chung riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn Bước Lấy tích lũy thừa chọn, ta nhận BCNN cần tìm II.Bài tốn Bài Tìm: a) BCNN b) BCNN ( 15,18 ) c) BCNN ( 84,108) d) BCNN ( 33, 44,55 ) ( 8,18,30 ) Lời giải 15 = 3.5 18 = 2.32 a) Ta có: ; BCNN ( 15,18 ) = 2.32.5 = 90 84 = 3.7 108 = 22.33 b) Ta có: ; ( 84,108) = 22.33.7 = 756 BCNN Bài Tìm: a) BCNN b) BCNN ( 10,12 ) ( 24,10 ) 33 = 3.11 44 = 4.11 55 = 5.11 c) Ta có: ; ; ( 33, 44,55 ) = 3.4.5.11 = 660 BCNN = 23 18 = 2.32 30 = 2.3.5 d) Ta có: , , BCNN ( 8,18,30 ) = 23.32.5 = 240 c) BCNN d) BCNN ( 4,14, 26 ) ( 6,8,10 ) Lời giải 10 = 2.5 12 = 22.3 a) Ta có: ; ( 10,12 ) = 3.5 = 60 BCNN 24 = 23.3 10 = 2.5 b) Ta có: ; ( 24,10 ) = 3.5 = 120 BCNN = 22 14 = 2.7 26 = 2.13 c) Ta có: ; ; ( 4,14, 26 ) = 22.7.13 = 364 BCNN = 2.3 = 23 10 = 2.5 d) Ta có: , , ( 6,8,10 ) = 3.5 = 120 BCNN Dạng Tìm bội chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước I.Phương pháp giải Bước Tìm BCNN số Bước Tìm bội BCNN Bước Chọn số bội thỏa mãn điều kiện cho II.Bài tốn Bài Tìm bội chung 10 thông qua BCNN Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 14 Ta có BCNN Vậy BC ( 8,10 ) = 40 thuvienhoclieu.com ( 8,10 ) = { 0; 40;80;120 } Bài Tìm bội chung 8; 12 15 thông qua BCNN Lời giải Ta có BCNN Vậy BC ( 8,12,15 ) = 120 ( 8,12,15 ) = { 0;120; 240;360 } Bài Tìm số tự nhiên x thỏa mãn xM4 xM6 < x < 50 ; Lời giải ( 4, ) = { 0;12; 24;36; 48;60; } xM4 xM6 x∈ Vì ; nên BC Mà < x < 50 nên x ∈ { 0;12; 24;36; 48} Bài Tìm số tự nhiên x thỏa mãn xM20 xM35 x < 500 ; Lời giải ( 20,35 ) = { 0;140; 280; 420;560; } xM20 xM35 x∈ Vì ; nên BC Mà x < 500 nên x ∈ { 0;140; 280; 420} Bài Tìm bội chung 7; thông qua BCNN Lời giải Ta có BCNN Vậy BC ( 7,9,6 ) = 122 ( 7,9, ) = { 0;122; 244;366 } Dạng Tim số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước I.Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa BCNN Khi tìm hai số biết ƯCLN BCNN tích hai số tích BCNN ƯCLN II.Bài tốn Bài Tìm số tự nhiên a,b biết a) a −b = BCNN ( a, b ) = 60 b) ƯCLN thuvienhoclieu.com ( a, b ) = BCNN ( a, b ) = 60 Trang 15 thuvienhoclieu.com Lời giải a) BCNN ( a, b ) = 60 ⇒ 60Ma, 60Mb Hay a, b ước tự nhiên 60 Các ước tự nhiên 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Vì a −b = nên a>b Ta xét bảng sau a b BCNN 6 ( a, b ) Loại Vậy cặp số tự nhiên cần tìm 20 15 b) ƯCLN Ta có ( a, b ) = ⇒ a = 5a1; b = 5b1 a.b = 5.60 = 300 ⇒ a1.b1 = 12 10 5 15 10 30 20 15 60 Loại Loại Nhận ( a1, b1 ) = Ta có bảng sau: Vậy cặp số tự nhiên ( a, b ) a1 12 a 60 15 b1 12 b 60 20 cần tìm là: ( 5, 60 ) ; ( 60,5) ; ( 15, 20 ) ; ( 20,15) Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a) a −b = BCNN ( a, b ) = 60 b) ƯCLN ( a, b ) = BCNN ( a, b ) = 150 Lời giải a) BCNN ( a, b ) = 60 ⇒ 60Ma, 60Mb Hay a, b ước tự nhiên 60 Các ước tự nhiên 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Vì a −b = nên a>b Ta xét bảng sau a b BCNN ( a, b ) 5 6 10 30 Loại Loại Loại thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com Vậy khơng tìm cặp số tự nhiên thỏa mãn đề b) ƯCLN Ta có ( a, b ) = ⇒ a = 5a1; b = 5b1 a.b = 5.150 = 750 ⇒ a1.b1 = 30 ( a1, b1 ) = Ta có bảng sau: a1 a 10 b1 30 15 b 150 75 5 Vì vai trị a, b nên ta có cặ đảo ngược vị trí Vậy cặp số tự nhiên ( 5,150 ) ; ( 150,5 ) ; ( 10, 75) ; ( 75,10 ) ; ( 15,50 ) ; ( 50,15 ) ; ( 25,30 ) ; ( 30, 25) là: ( a, b ) Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a) ab = 180 BCNN ( a, b ) = 60 b) a = b BCNN ( a, b ) = 140 Lời giải a) Gọi ƯCLN Ta có: Suy ( a, b ) = k ⇒ a = ka1; b = kb1 ab = k a1b1 = 180 k = 3; a1b1 = 20 Mà BCNN với ( a1, b1 ) = ( a, b ) = ka1b1 = 60 Ta có bảng sau: Vậy cặp số tự nhiên ( a, b ) a1 20 a 60 b1 20 1 5 b 60 cần tìm là: 1 ( 3; 60) , ( 60;3) , ( 12;15) , ( 15;12 ) thuvienhoclieu.com Trang 17 cần tìm thuvienhoclieu.com b) Gọi ƯCLN BCNN Vậy ( a, b ) = k Vì a = b ( a, b ) = 4.5.k = 140 ⇒ k = a = 28, b = 35 mà ( 4,5 ) = a = 4k , b = 5k nên Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a + b = 42 BCNN ( a, b ) = 72 Lời giải Gọi ƯCLN Ta có ( a, b ) = k Nên a = ka1, b = kb1 a + b = 42 ⇒ k ( a1 + b1 ) = 42 BCNN ( a, b ) = ka1b1 = 72 Từ (1) (2) suy (1) (2) 42Mk , 72Mk hay k∈ ƯC ( 42, 72 ) ⇒ k ∈ { 1; 2;3;6} Thay k trường hợp ta thấy k = hoăc k = Khi đó: tìm cặp ( a, b ) ( 6,36 ) ( 18, 24 ) , Dạng 4: Bài tốn có lời văn I.Phương pháp giải Bước Gọi ẩn, đặt đơn vị, điều kiện cho ẩn Bước Dựa vào đề biểu diễn kiện theo ẩn Bước Tìm ẩn, so sánh điều kiện Bước Trả lời kết luận II.Bài toán Bài Một số sách xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 vừa đủ Tìm tổng số sách biết số sách khoảng 200 đến 500 Lời giải Gọi số sách cần tìm x quyển, ( x ∈ ¥ , 200 ≤ x ≤ 500 ) Vì xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 vừa đủ nên x ∈ BC ( 10,12,18 ) thuvienhoclieu.com xM 10 xM 12 xM 18 , , suy Trang 18 BCNN BC ( 10,12,18 ) = 360 thuvienhoclieu.com ( 10,12,18) = { 0;360;720; } x ∈ { 0;360;720; } Suy , mà 200 ≤ x ≤ 500 nên x = 360 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số sách cần tìm 360 Bài Hai bạn A B học chung trường hai lớ khác A 10 ngày lại trực nhật, B 12 ngày lại trực nhật Lần hai bạn trực nhật vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại trực nhật Lời giải Do 10 ngày A trực nhật lần nên ngày trực A B Do 12 ngày B trực nhật lần nên ngày trực B B ( 10 ) ( 12 ) Lần hai bạn trực ngày, để đến lần gần trực BCNN ( 10,12 ) = 60 Vậy sau 60 ngày hai bạn lại trực nhật Bài Số học sinh khối trường khoảng từ 300 đến 400 Biết xếp hàng 5, 8, 12 thiếu em Tính số học sinh khối trường Lời giải Gọi số học sinh khối trường cần tìm x học sinh, ( Vì xếp thành 5, 8, 12 thiếu em nên 5, 8, 12 trừ BCNN BC ( 5,8,12 ) = 120 ) x = 5k − x = 8t − x = 12m − , , suy x bôi chung ( 5,8,12 ) = { 0;120; 240;360; 480; 600 } x + ∈ { 0;120; 240;360; 480; 600 } Suy x + = 360 ⇒ x = 359 x ∈ ¥ ,300 ≤ x ≤ 400 , mà 300 ≤ x ≤ 400 ⇒ 301 ≤ x + ≤ 401 nên (thỏa mãn điều kiện) Vậy số học sinh khối 359 học sinh Bài Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho dư 2, chia cho dư chia cho 25 dư 24 Lời giải Gọi x số cần tìm thuvienhoclieu.com Trang 19 thuvienhoclieu.com Vì x chia dư 2, chia cho dư 6, chia cho 25 dư 24 Nên Do x +1 = BCNN ( 3,7, 25) = 525 x +1 chia hết cho 2, 7, 25 Vậy số cần tìm 525 – = 524 Bài Có ba hộp hình vng: Hộp màu đỏ cao 8cm, hộp màu xanh cao 7cm, hộp màu vàng cao 12cm Người ta xếp thành ba chồng nhau, chồng màu Hỏi chiều cao nhỏ chồng hộp Lời giải Gọi chiều cao nhỏ chồng hộp x (cm) Ta có: x= BCNN ( 7,8,12 ) = 23.3.7 = 168 Vậy chiều cao nhỏ chồng hộp 168 (cm) Bài Tìm số tự nhiên x Biết số chia hết cho chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho dư x < 400 Lời giải Ta có: x −1 = BC ( 2,3, 4, 5, ) ⇒ x − 1∈ { 60;120;180; 240;300;360} ⇒ x ∈ { 61;121;181; 241;301;361} Do x chia hết x = 301 Bài Một liênđội thiếu niên xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng thừa người Tính số đội viên liên đội biết số khoảng từ 100 đến 150 Lời giải Gọi số đội viên liên đội x (đội viên) Vì xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng thừa nên: BCNN BC x − 1∈ BC ( 2,3, 4,5 ) ( 2,3, 4,5 ) = 22.3.5 = 60 ( 2,3, 4,5) = { 0;60;120;180; 240; } Mà số đội viên khoảng từ 100 đến 150 Nên x − = 120 ⇒ x = 121 đội viên Bài Một phận máy có hai bánh cửa khớp với nhau, bánh có 18 cưa, bánh xe hai có 12 cưa Người ta đánh dấu “x” vào hai cửa khớp với Hỏi bánh xe phải quay cưa để hai cưa đánh dấu lại khớp với vị trí giống lần trước? Khi bánh xe quay vòng thuvienhoclieu.com Trang 20 thuvienhoclieu.com Lời giải Gọi số cưa phải tìm x (răng) xM 12; x M8 Ta có Vì x nhỏ nên x BCNN ( 8,12 ) = 2232 = 36 Vậy bánh xe phải quay 36 cưa để hai cưa đánh dấu lại khớp với vị trí giống lần trước Khi đó:Bánh xe thứ quay 36 : 18 = vòng Bánh xe thứ hai quay 36 : 12 = vòng BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI A ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN Dạng Tìm tất ước (bội) số Bài Tìm số tự nhiên a) c) x∈ Ư xM ( 20 ) và x cho x >8 b) x < 21 d) x ∈ B ( 8) 20Mx và 18 ≤ x ≤ 72 x>4 Bài Tìm tập hợp số tự nhiên vừa ước 220 vừa bội 11 Dạng Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết Bài Tìm số tự nhiên a) c) n cho: Mn b) (2n + 6) M(2n − 1) d) 7M(n − 1) (3n + 7)M(n − 2) Dạng Viết tập hợp ước chung (bội chung) hai hay nhiều số Bài Viết tập hợp sau: a) ƯC c) BC ( 15, 27 ) b) ƯC ( 4, ) d) BC ( 15, 22 ) ( 6,15 ) Bài Viết tập hợp sau: a) Ư ( 8) ,Ư ( 12 ) c) B ( 12 ) ;B , ƯC ( 18) ( 8,12 ) BC ( 12,18) b) B ( 16 ) ,B ( 24 ) , BC d) Ư ( 16, 24 ) ( 16 ) thuvienhoclieu.com ,Ư ( 24 ) , ƯC ( 16, 24 ) Trang 21 thuvienhoclieu.com Dạng 5: Bài toán có lời văn Bài Có 10 bánh trung thu Bạn Ngọc muốn chia số bánh vào hộp Tìm số hộp số 10 bánh hộp, biết số bánh hộp phải nhiều Bài Bạn Ngọc mua cốc trà sữa Số cốc trà sữa cửa hàng bội số số cốc bạn Ngọc mua 116 123 Tìm số cốc trà sữa cửa hàng, biết số cốc trà sữa lớn nhỏ Bài Tổ I lớp 6A nhận phần thưởng cô giáo chủ nhiệm em nhận phần 54 45 thưởng Cô giáo chủ nhiệm chia hết bút bi Hỏi số học sinh tổ I lớp 6A bao nhiêu? Bài Tính số đồng chí đội văn nghệ bội đội, biết lần xếp hàng 40 45 hàng vừa đủ hàng số học sinh trường khoàng từ đến , hàng , hàng , 10 15 18 12 Bài 10 Một số sách xếp thành bó cuốn, cuốn, cuốn, cuốn, vừa đủ bó Tính số 200 500 sách đó, biết số sách khoảng đến B ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT Dạng Tìm ước chung lớn số cho trước Bài Tìm ƯCLN số a) ƯCLN c) ƯCLN ( 14,32) b) ƯCLN ( 14,32, 20 ) d) ƯCLN ( 50, 60 ) ( 50, 48, 60 ) Dạng Tìm ước chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước Bài Tìm ước chung 42 30 thơng qua tìm ƯCLN Bài 3: Tìm ƯCLN tìm ƯC số sau: a) c) 144 60 và 420 90 60 b) d) Bài Tìm số tự nhiên Bài Tìm số tự nhiên x 132 220 240 300 ; ; thõa mãn x, y Bài 6: Tìm số tự nhiên , x 144Mx ; 420Mx biết ƯCLN ( x , y) = và 2< x x y = 825 biết: thuvienhoclieu.com Trang 22 a) b) c) d) e) 35 Mx, 105 Mx thuvienhoclieu.com x>5 612 Mx, 680 Mx, x > 30 144 Mx, 192 Mx, 240 Mx 280 Mx, 700 Mx, 420 Mx 148 chia x dư 20 cịn 108 Bài 7: Tìm số tự nhiên a) c) và x số tự nhiên có hai chữ số 40 < x < 100 chia cho x dư x y , biết: x ( y + 2) = b) ( x + 5) ( y − 3) = 15 d) n Bài Tìm số tự nhiên A= 12 ( x − ) ( y + 3) = 26 xy + x + y = để biểu thức saucó giá trị số tự nhiên 16 n+3 B= 3n + n−3 Dạng Bài tốn có lời văn đưa tìm ƯCLN 30 42 Bài Bạn Hà có viên bi màu đỏ viên bi màu vàng Hà chia nhiều vào túi cho số bi đỏ bi vàng chia vào túi? Khi túi có viên bi đỏ viên bi vàng? 112m 36m Bài 10 Một hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng chia thành hình vng có diện tích Tính độ dài cạnh hình vng lớn cách chia ? (số đo cạnh số tự m nhiên với đơn vị ) Bài 11: Ba khối 6; 7;8 theo thứ tự có 300 học sinh, 276 học sinh, 252 học sinh xếp thành hàng dọc để điều hành cho số hàng dọc khối Có thể xếp nhiều thành hàng dọc để khối khơng có lẻ hàng? Khi khối có hàng ngang? Bài 12: Mỗi công nhân hai đội giao nhiệm vụ trồng số (nhiều cây) Đội phải trồng 156 cây, đội phải trồng 169 Hỏi đội công nhân phải trồng đội có công nhân? thuvienhoclieu.com Trang 23 thuvienhoclieu.com Dạng Chứng minh hai hay nhiều số số nguyên tố Bài 13 Chứng minh 14 hai số nguyên tố n Bài 14 Chứng minh với số tự nhiên , số sau số nguyên tố a) n + n+4 b) 4n + c) 2n + d) 3n + 10 n+2 3n + 4n + Bài 15: Chứng minh số sau nguyên tố nhau: a) 14n + 21n + b) 2n + 3n + C BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Dạng Tìm bội chung nhỏ số cho trước Bài Tìm a) BCNN b) BCNN c) BCNN d) BCNN e) BCNN ( 8,10, 20 ) f) BCNN ( 16, 24 ) ( 30,105) g) BCNN ( 60,140 ) h) BCNN ( 7,9,11) k) BCNN ( 24, 40,162 ) l) BCNN ( 28,30, 20 ) ( 34,32, 20 ) ( 42,70,52 ) ( 9,10,11) Dạng Tìm bội chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước Bài Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: a) xM 10 xM 15 x < 100 ; b) xM 14 xM 15 xM20 400 < x ≤ 1200 ; , Dạng Tim số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a) a −b = b) ƯCLN BCNN ( a, b ) = ( a, b ) = 140 BCNN ( a, b ) = 84 Dạng 4: Bài tốn có lời văn Bài Một công ty dùng ba ca nô để trở hàng Ca nô thứ ngày cập bến lần, ca nô thứ hai ngày cậ bến lần, ca nô thứ ba ngày cập bến lần Hỏi lần đầu ba ca nô cập bến lúc sau ngày ba ca nô lại cập bến lần thứ hai? thuvienhoclieu.com Trang 24 thuvienhoclieu.com Bài Đội đỏ lớp có ba bạn An, Bình, Mai Ngày đầu tháng đội trực ngày Cứ sau ngày An lại trực lần, sau ngày Bình lại trực lần sau ngày Mai lại trực lần Hỏi sau ngày đội lại trực vào ngày lần tiếp theo? Khi bạn trực lần ĐÁP ÁN BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI A ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN Bài a) c) x ∈ { 10; 20} b) x ∈ { 0;8;16 } Bài d) x ∈ { 24;32; 40; 48;56;64;72} x ∈ { 5;10; 20 } x ∈ { 11; 22; 44;55;110; 220 } Bài a) c) n ∈ { 1;3} b) n ∈ { 1;3} d) n ∈ { 2;8} n ∈{ } Bài a) ƯC ( 15, 27 ) = { 1;3} ( 15, 22 ) = { } b) ƯC ( 4, ) = { 0; 28; } d) BC c) BC ( 6,15 ) = { 0;30; } Bài a) Ư ( 8) = { 1; 2; 4;8 } Ư ( 12 ) = { 1; 2;3; 4;6; 12 } ( 16 ) = { 0;16;32; 48;64; } b) B B ƯC ( 8;12 ) = { 1; 2; } ( 24 ) = { 0; 24; 48;72; } ( 12 ) = { 0;12; 24;36; 48; } ( 18) = { 0;18;36;54; } B c) B ( 16 ) = { 1; 2; 4;8;16 } d) Ư Ư ( 24 ) = { 1; 2;3; 4; 6;8;12; 24 } Bài Số bánh hộp 2;5 tương ứng số hộp Bài Số cốc trà sữa cửa hàng BC BC ƯC ( 16; 24 ) = { 0; 48; } ( 12;18 ) = { 0;36; } ( 16; 24 ) = { 1; 2; 4;8 } 5; 120 Bài Số học sinh tổ I lớp 6A học sinh thuvienhoclieu.com Trang 25 thuvienhoclieu.com Bài Số đồng chí đội văn nghệ 360 Bài 10 Số sách 42 đồng chí B ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT Bài a) Bài ƯCLN ( 42,30 ) = { 6} Bài a) ƯCLN b) ⇒ 10 ƯC ( 144, 420 ) = { 12} ( 60,132 ) = { 12} c) ⇒ ⇒ ⇒ c) ƯCLN d) ( 42,30 ) = { 1; 2;3 ;6 } b) ƯCLN ( 60 ,90 ) = { 30} ƯC ƯC ƯC ( 220, 240,300 ) = { 60} d) ƯCLN ( 144 , 420 ) = { 1; 2;3; 4;6;12 } ( 60,132 ) = { 1; 2;3; 4;6;12 } ( 60,90 ) = { 1; 2;3;5; 6;10;30 } ⇒ ƯC ( 220, 240,300 ) = { 1; 2;3; 4;5;6;10;12;15; 20;30;60 } x ∈ { 3; 4;6;12 } Bài Bài TH1: Bài a) c) Bài a) c) x = 165; y = TH2: x ∈ { 7;35} x ∈ { 34;68} b) x ∈ { 12;16; 48} x ∈ { 70} d) ( x; y ) = { ( 1;6 ) , ( 2; ) , ( 4;0 ) } b) ( x; y ) = { ( 10; ) , ( 0;0 ) } x = 55; y = 15 d) e) ( x; y ) = { ( 4;5 ) } ( x; y ) = { ( 0; ) , ( 2;0 ) } Bài n ∈ { 0;1;5} Bài 9.Có thể chia nhiều n ∈ { 4;5; 6;9} túi Trong có bi đỏ, thuvienhoclieu.com bi vàng Trang 26 x ∈ { 32} thuvienhoclieu.com 4m Bài 10 Bài 11 12 hàng, Mỗi hàng khối Bài 12 Mỗi công nhân trồng 25 13 em Mỗi hàng khối Đội có 12 23 em Mỗi hàng khối công nhân Đội có 13 cơng nhân Bài 13.14,15 chứng minh tương tự C BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Bài a) 40 f) 210 Bài 2.a) b) 48 g) 420 x ∈ { 0;30;60;90} Bài a) a = 35, b =28 c) 420 h) 2720 b) b) d) 693 k) 5460 x ∈ { 420;840} ( 84,3) ( 21,12 ) ; e) 3240 l) 990 Bài 24 ngày Bài lần ngày thuvienhoclieu.com Trang 27 21 em ... b) BCNN ( 15, 18 ) c) BCNN ( 84 ,1 08) d) BCNN ( 33, 44,55 ) ( 8, 18, 30 ) Lời giải 15 = 3.5 18 = 2.32 a) Ta có: ; BCNN ( 15, 18 ) = 2.32.5 = 90 84 = 3.7 1 08 = 22.33 b) Ta có: ; ( 84 ,1 08) = 22.33.7... hộp 12 Bài Năm Bình tu? ??i Tu? ??i mẹ Bình bội số tu? ??i Bình Tìm tu? ??i mẹ Bình biết 30 45 tu? ??i mẹ lớn nhỏ Lời giải Gọi x số tu? ??i mẹ Bình ( x ∈ Ν;30 < x < 45 ) Tu? ??i mẹ Bình bội số tu? ??i Bình nên Mà 30... ƯCLN ( 18, 30 ) ( 18, 30,15 ) b) ƯCLN d) ƯCLN thuvienhoclieu.com ( 24, 48) ( 24, 48, 36 ) Trang thuvienhoclieu.com Lời giải ( 18, 30 ) ( 24 , 48) a) ƯCLN Phân tích số thừa số nguyên tố 18 = 2.32