C4 h03 hinh chop deu

3 HÌNH CHĨP ĐỀU HÌNH CHĨP CỤT ĐỀU I KIẾN THỨC CƠ BẢN  Hình chóp co: - Đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác co chung một đỉnh - Đường thẳng qua đỉnh và vuông goc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao - Trong hình trên: hình chop ABCD tứ giác , ta gọi đo là hình chop tứ giác S.ABCD co đỉnh là S, đáy là  Hình chóp S.ABCD Hình chop ABCD SAB , các mặt bên là những tam giác cân S.ABCD là hình chop tứ co đáy là hình vng SBC SCD SDA , , và Ta gọi giác Hình chop là hình chop co đáy là mợt đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân co chung đỉnh - Chân đường cao của hình chop trùng với tâm của đường tròn qua các đỉnh của mặt đáy - Đường cao vẽ từ đỉnh của mỡi mặt bên của hình chop gọi là trung đoạn của hình chop đo  Hình chóp cụt Hình chop cụt là phần hình chop nằm giữa mặt phẳng đáy của hình chop và mặt phẳng song song với đáy và cắt hình chop – Mỡi mặt bên của hình chop cụt là mợt hình thang cân  Diện tích xung quanh hình chóp - Diện tích xung quanh của hình chop nữa tích của S xq = pd chu vi đáy với trung đoạn (p là nữa chu vi đáy; d là trung đoạn của hình chop) – Diện tích toàn phần của hình chop tởng của diện tích xung quanh và Stp = S xq + S diện tích đáy (S: diện tích đáy)  Thể tích hình chóp – Thể tích của hình chop mợt phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao V = S ×h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) III BÀI TẬP A.BCD Bài 1: Cho hình chop tam giác Gọi H là trung điểm CD Chứng minh: ( AHB ) CD a) vuông goc với mặt phẳng AC ^ BD b) A.BCD   a) Hình chop là hình chop tam giác nên tam giác CBD là tam giác các tam ACB, ACD, ADB là các tam giác cân A H là HB ^ CD;AH ^ CD trung điểm CD suy Vậy CD vuông goc với hai đường thẳng cắt ( AHB ) thuộc mặt phẳng nên CD ^ mp(AHB) b) Gọi E là trung điểm BD ta co AE ^ BD;CE ^ BD ( AEC ) Vậy BD vuông goc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng nên mp( AEC ) CD ^ mp(AEC) suy CD vuông goc với mọi đường thẳng tḥc Hay AC ^ BD Bài 2: Cho hình chop tứ giác Chứng minh a) SO vuông goc với b) mp( SAC ) S.ABCD mp( ABCD ) vuông goc với mp( ABCD ) Gọi O là giao điểm của AC và BD HD:a) Hình chop tứ giác bên S.ABCD nên co ABCD là hình vng, các cạnh ∆SBD OD = OB   Ta co là tam giác cân A co nên SO là đường cao của tam giác SO ⊥ BD hay Tương tự, ta co SO ⊥ AC SO vuông goc với hai đường thẳng cắt thuộc mp( ABCD ) SO ^ mp(ABCD ) nên b) Ta co Mà AC Ỵ mp(SAC ) BD ^ AC nên ; BD Ỵ mp(SBD) mp( SAC ) ⊥ mp ( SBD ) S.ABCD AB = 2cm SA = 4cm Bài 3: Cho hình chop tứ giác co , Tính đợ dài trung đoạn và chiều cao của hình chop này S.ABCD AB = 2cm HD: Hình chop tứ giác co , SA = 4cm ABCD , nên là hình vng và các cạnh bên Ta co AC = BD = AD + AB = 22 + 22 = 2 ; AC AO = = 2 Trong tam giác vuông SOA vuông O, theo Pytago ta co SO = SA2 − AO = 44 − ( 2) = Vậy chiều cao hình chop là 2cm Gọi H là trung điểm AB, ta co SH là trung đoạn của hình chop Trong tam giác SBH vuông H, theo Pytago ta co SH = SB + IB = 42 − 11 = 15 Vậy độ dài trung đoạn là 15cm Bài 4: Cho hình chop tam giác Tính chiều cao của hình chop S.ABC Hình chop tam giác S.ABC nên ABC AB = 3cm co , cạnh bên SA = 4cm là tam giác Gọi H là trung điểm AB, O là tâm tam giác ABC Ta co CH là đường cao tam giác ABC Trong tam giác CHB vuông H ta co 3 3 HC = CB − HB = −  ÷ = 2 2 ; 2 3 OC = CH = × = 3 Trong tam giác vuông SOC vng O ta co Vậy chiều cao của hình chop là SO = SC − OC = 42 − ( 3) = 13 13cm 12cm 8cm Bài 5: Mợt hình chop cụt co đáy lớn , đáy bé và cạnh 13cm 13cm Tính đợ dài trung đoạn và chiều cao của hình chop cụt bên đo HD: Hình chop cụt ta thấy mặt bên là AA 'D 'D hình thang cân Vẽ đường cao A 'E D 'F và , ta co A'E = D 'F = AD − A ' D ' 12 − = =2 2 Vậy độ dài trung đoạn là cm Khai triển hình chop cụt ta thấy Trong hình thang vuông OB = BD = 2; O ' B ' = 2 OBB 'O ' ; vẽ đường cao BI = OB − O ' B ' = 2 B 'I ta co Vậy đường cao hình chop cụt là B ' I = B ' B − BI = 13 − (2 ) = Bài 6: Cho hình chop tứ giác co độ dài cạnh đáy 8cm và đợ dài cạnh bên 5cm Tính diện tích toàn phần của hình chop HD: Trong tam giác vng SHB, theo pytago ta co ( S d = 8.8 = 64 cm Diện tích đáy là SH = SB − HB = 52 − = ) Diện tích xung quanh hình chop là S xq = pd = (8 + 8).3 = 48 cm ( ) Diện tích toàn phần hình chop ( Stp = S xq + S d = 64 + 48 = 112 cm ) Bài 7: Tính diện tích toàn phần của hình chop tứ BD = 12 2cm, SC = 10cm S.ABCD giác biết S.ABCD HD: Hình chop tứ giác ABCD là hình vng nên AD = AB , BD = AD + AB = AB = 12 ⇒ AB = 12 ta co co đáy Trong tam giác vuông Trong tam giác SOB SHB , theo pytago ta co SH = SB − HB = 10 − 62 = vuông O, theo Pytago ta SO = SB − OB = 102 − (6 2) = ( S d = 12.12 = 144 cm Diện tích đáy là Diện tích xung quanh hình chop là S xq = pd = (12 + 12).8 = 192 cm ( ) Diện tích toàn phần hình chop Stp = S xq + S d = 144 + 192 = 336 cm ( ) ) co Bài 8: Tính diện tích toàn phần của hình chop tam giác biết cạnh đáy 10cm, cạnh bên 13cm Bài giải SI ^ AB Tam giác BCA cân S co I, theo Pytago ta co  AB  2 ST = SB −  ÷ = 13 − = 12   Tam giác ABC là tam giác co cạnh là là h = CI = a 10 = =5 2 a = 10cm nên chiều cao tam giác S.ABC là hình chop nên chân đường cao H trùng với giao điểm ba đường 2 10 HC = CI = = 3 SH ^ CI trung tuyến của tam giác, ta co và Trong tam giác SHC vuông H, theo định lí Pytago ta co  10  HS = SC − CH = 13 −  ÷ ÷ ≈ 11,   2 Diện tích đáy là 1 S = CIAB = ×10 = 25 cm 2 ( )  10 + 10 + 10  S xq = pd =  ×12 = 180 cm ÷   ( ) Vậy diện tích toàn phần của hình chop là Stp = S xq + Sd = 11, + 180 = 191, cm ( ) Bài 9: Tính thể tích hình chop tứ giác biết độ dài 43cm cạnh đáy 6cm và độ dài cạnh bên Ta co AC = 62 + 62 = 2cm Suy FC = 2cm Áp dụng định lí pytago tam giác vuông EFC ta co EF = EC − FC = 43 − (3 2) = 43 − 18 = 25 = 5cm Diện tích tứ giác đáy Thể tích hình chop: S = 6.6 = 36cm 1 V = Sh = 36.5 = 60cm3 3 Bài 10: Tính thể tích hình chop tam giác biết chiều cao cạnh bên 4cm 12cm và S.ABC là hình chop nên chân đường cao H trùng với giao điểm ba đường HC = CI SH ^ CI trung tuyến của tam giác, ta co và Trong tam giác SHC vuông H, theo định lí pytago ta co HC = SC − SH = 42 − 12 = Suy CI = 3cm Tam giác ABC là tam giác đều, giả sử co cạnh là a nên chiều cao tam giác là 2h 2.3 a = =2 h= 3 mà CI là chiều cao tam giác ABC nên cạnh tam giác là hay AB = 3cm 1 S = CI AB = 3.2 = 3 cm 2 ( Diện tích đáy là ) 1 V = Sh = 3 × 12 = cm3 3 ( Thể tích hình chop là ) Bài 11: Tính thể tích hình chop tứ giác biết độ dài cạnh đáy 4cm và độ dài cạnh bên 24cm Bài giải E ABCD là hình chop tứ giác co đáy AB = 4cm ABCD là hình vng, co cạnh Ta co AC = 42 + 42 = 2cm Suy FC = 2cm Áp dụng định lí pytago tam giác vuông ta co EF = EC − FC = EFC 24 − (2 2) = 24 − = 16 = 4cm Chiều cao hình chop là 4cm Diện tích tứ giác đáy Thể tích hình chop S = 4.4 = 16cm 1 V = Sh = 16.4 ≈ 21,3cm3 3 Bài 12: Tính thể tích hình chop tam giác biết đợ dài cạnh bên và cạnh bên đáy 3cm Gọi H là trọng tâm tam giác Tam giác CDB ABC AD = DB = , HC cắt AB D, ta co 6cm vuông D, theo định lí Pytago, ta co 3 3 DC = BC − BD = −  ÷ = 2 2 và 2 3 HC = CD = × = 3 Tam giác SHC vuông H, ta co SH = SC − HC = ( 6)2 − ( 3) = Thể tích của hình chop là 11 11 3   V = S d h =  DC AB ÷.SH =  ÷ = cm3 ÷ 3 3 2   Bài 13: Tính thể tích hình chop tứ giác co trung đoạn 5cm và diện 80cm tích xung quanh HD: Diện tích xung quanh hình chop tứ giác co cạnh đáy là a cm, trung đoạn là 5cm: S xq = p ×d = 2a.5 = 80cm Ta co Hay a = 8cm AC = 82 + 82 = 2cm ⇒ BF = 2cm FI (vì là đường trung bình của tam giác ABC AB = a = 8cm ABC, tam giác co cạnh ) Ta co FI = 4cm Áp dụng định lí pytago tam giác vuông EFI ta co EF = EI − FI = 52 − = 3cm Thể tích hình chop 1 V = S ×h = 82.3 = 64cm3 3 Bài 14: Mợt hình chop cụt đường cao của mặt bên a ABCD.A ' B 'C ' D ' co các cạnh đáy a và 2a, a) Tính diện tích xung quanh b) Tính cạnh bên, đường cao của hình chop cụt Bài giải a) Diện tích xung quanh của hình chop cụt S xq = 1 ( p + p ) ×d = (4.2a + 4a )a = 6a 2 b) Khai triển hình chop cụt ta thấy mặt bên là hình thang cân ABA’B’ Vẽ đường cao A’H và B’K , ta co AH = BK = AB − A ' B ' a = 2 Trong hình thang vng OBB’O’ vẽ B 'I đường cao ta co OB = BD a = a 2; O ' B ' = 2 BI = OB − O ' B ' = a 2 Vậy đường cao hình chop cụt là 2 a 5 a 2 a B ' I = B ' B − BI =  −  = ÷ ÷ ÷ ÷     2 S.ABC Bài 15: Cho hình chop tam giác Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm ABC MNP các cạnh SA, SB, SC Chứng minh là hình chop cụt tam giác mp( MNP ) / / mp( ABC ) AB / / MN   BC / / NP Ta co ; nên Mặt khác, Suy · · SAB = SBC Tương tự Vậy S.ABC BNPC ABC MNP là hình chop tam giác nên , đo ; AMNB AMPC SA = SB = SC là hình thang cân là các hình thang cân là hình chop cụt tam giác Bài 15: Cho hình chop tứ giác co diện tích xung quanh diện tích toàn phần Chứng minh các mặt bên của hình chop là các tam giác vng cân Hình chop tứ giác giác cân S (1) S.ABCD co đáy là hình vng, các cạnh bên là các tam Gọi a là độ dài cạnh đáy, d là trung đoạn của hình chop Ta co S xq = pd = 2ad S xq = Mặt khác ; Stp = S xq + S d = 2ad + a   1 Stp ⇔ 2ad = 2ad + a ⇔ ad − a = ⇔ a  d − a ÷ = ⇔ d = a   2 ( ) GB = Gọi G là trung điểm AB suy a SG = Ta co SG là trung đoạn hình chop SGB Vậy tam giác co · ⇒ GSB = 45° vuông cân G Tương tự, ta co GB = SG = a Từ (1), (4) suy nên ∆SGB là tam giác (3) · BSA = 90° ∆ASB và µ = 90° G (2) · GSA = 45° Từ (2), (3) suy a (4) vuông cân S Tương tự ta chứng minh các cạnh bên của hình chop là tam giác vng cân TỰ LUYỆN Bài 1: Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp tứ S.ABCD giác (nếu làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ) a) Biết AB = 6cm , SI = 5cm b) Biết SH = 4cm , SB = 5cm c) Biết AB = 5cm , SB = 5cm O S.ABC Bài 2: Cho hình chóp tam giác Gọi tâm D, E, F AB, BC, CA ABC đường tròn ngoại tiếp trung điểm cạnh a) Chứng minh · · · SDO = SEO = SFO b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp 1) Nếu biết SO = 12cm AB = 10cm , OA = cm AB = 3cm 2) Nếu biết mặt bên tam giác đều, , 3) Nếu biết OC = 3cm · SDO = 600 Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Có SH = 15 cm, AB = 16 cm a) Tính trung đoạn, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình chóp H' trung điểm SH Cắt hình chóp mặt phẳng qua song song với mặt ( ABCD ) ABCD.A ' B 'C ' D ' phẳng đáy ta hình chóp cụt Tính diện tích xung quanh thể tich hình chóp cụt (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) b) Gọi H' KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ III BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 8: IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ... cân là hình chop cụt tam giác Bài 15: Cho hình chop tứ giác co diện tích xung quanh diện tích toàn phần Chứng minh các mặt bên của hình chop là các tam giác vng cân Hình chop tứ giác... IB = 42 − 11 = 15 Vậy độ dài trung đoạn là 15cm Bài 4: Cho hình chop tam giác Tính chiều cao của hình chop S.ABC Hình chop tam giác S.ABC nên ABC AB = 3cm co , cạnh bên SA = 4cm là tam... của hình chop là SO = SC − OC = 42 − ( 3) = 13 13cm 12cm 8cm Bài 5: Mợt hình chop cụt co đáy lớn , đáy bé và cạnh 13cm 13cm Tính đợ dài trung đoạn và chiều cao của hình chop cụt