Giáo trình Cơ sở kỹ thuật đồ hoạ cung cấp cho người học những kiến thức như: Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản; Các thuật toán tô màu; Phép biến đổi trong đồ họa hai chiều; Windowing và clipping; Đồ họa ba chiều. Mời các bạn cùng tham khảo!
UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ ĐỒNG THÁP GIÁO TRÌNH CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐỒ HOẠ MÔN HỌC/ MÔ ĐUN: MĐ 18 NGÀNH, NGHỀ: THIẾT KẾ ĐỒ HỌA TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG/TRUNG CẤP (Ban hành kèm theo Quyết định số /QĐ-CĐCĐ ngày tháng năm 2017 Hiệu trƣởng trƣờng Cao đẳng Nghề Đồng Tháp) Đồng Tháp, năm 2017 TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu thuộc loại sách giáo trình nên nguồn thơng tin đƣợc phép dùng ngun trích dùng cho mục đích đào tạo tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh bị nghiêm cấm LỜI GIỚI THIỆU Trƣớc bùng nổ công nghệ số với phát triển nhu cầu nghệ thuật thị hiếu thẩm mỹ công chúng thúc đẩy mạnh mẽ xu hƣớng lĩnh vực sáng tạo ứng dụng, có ngành thiết kế đồ họa Câu châm ngôn “trăm nghe không thấy” cho thấy ý nghĩa lớn hình ảnh việc chuyển tải thơng tin Hình ảnh đƣợc cảm nhận nhanh dễ dàng hơn, đặc biệt trƣờng hợp bất đồng ngôn ngữ Do khơng có ngạc nhiên mà từ xuất máy tính, nhà nghiên cứu cố gắng sử dụng để phát sinh ảnh hình Và ngày nay, khả phát sinh hình ảnh máy tính đạt tới mức máy tính ngày hỗ trợ khả đồ họa tốt Giáo trình “Cơ sở kỹ thuật đồ họa” bám sát nội dung chƣơng trình chi tiết nhà trƣờng ban hành gồm chƣơng: Chƣơng Giới thiệu thuật tốn vẽ tơ đƣờng Chƣơng Các thuật tốn tơ màu Chƣơng Phép biến đổi đồ họa hai chiều Chƣơng Windowing clipping Chƣơng Đồ họa ba chiều Nhằm cung cấp cho sinh viên sở lý thuyết đồ hoạ máy tính từ đơn giản nhƣ thuật tốn vẽ đƣờng thẳng, đƣờng trịn, đa giác đến kỹ thuật phức tạp nhƣ: xén tỉa, phép biến đổi đồ hoạ, kỹ thuật tô màu Tuy tham khảo nhiều tài liệu nhƣng chắn giáo trình có hạn chế định mong nhận đƣợc góp ý q thầy cơ, q đồng nghiệp để giáo trình hồn thiện Xin chân thành cảm! Đồng Tháp, ngày… tháng… năm 2020 Chủ biên Lƣơng Phụng Tiên i MỤC LỤC TRANG LỜI GIỚI THIỆU i CHƢƠNG 1: GIỚI THIỆU THUẬT TỐN VẼ VÀ TƠ CÁC ĐƢỜNG CƠ BẢN 1 Tổng quan: Hệ tọa độ giới thực, hệ tọa độ thiết bị hệ tọa độ chuẩn: 2.1 Hệ tọa độ giới thực: 2.2 Hệ tọa độ thiết bị 2.3 Hệ tọa độ chuẩn Thuật toán vẽ đoạn thẳng 3.1 Thuật toán DDA (Digital DifferentialAnalyzer) 3.2 Thuật toán Bresenham Thuật tốn vẽ đƣờng trịn 4.1 Thuật toán đơn giản 4.2 Thuật toán MidPoint 4.3 Vẽ đƣờng trịn thuật tốn Bresenham 11 4.4 Thuật toán vẽ Ellipse 13 4.5 Vẽ đƣờng conics số đƣờng cong khác 13 4.6 Vẽ đa giác 14 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƢƠNG 16 CHƢƠNG 2: CÁC THUẬT TỐN TƠ MÀU 17 Tổng quan 17 Các không gian màu 17 2.1 Không gian màu RGB 17 2.2 Không gian màu CMY 18 2.3 Không gian màu HSV 19 Các thuật tốn tơ màu 19 ii 3.1 Tô đơn giản 19 3.2 Tơ màu theo dịng qt (scan – line) 22 3.3 Phƣơng pháp tô màu dựa theo đƣờng biên 25 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƢƠNG 26 CHƢƠNG 3: PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA HAI CHIỀU 27 Tổng quan 27 Phép tịnh tiến (translation) 28 Phép biến đổi tỷ lệ (Scaling) 28 Phép quay (Rotation) 29 Phép đối xứng 31 Phép biến dạng (Shearing) 31 Phép biến đổi Affine ngƣợc 32 Một số tính chất phép biến đổi affine 33 Hệ tọa độ 33 10 Kết hợp phép biến đổi 34 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƢƠNG 36 CHƢƠNG 4: WINDOWING VÀ CLIPPING 37 Tổng quan 37 Các định nghĩa Windowing 38 Các thuật toán Clipping 40 3.1 Khái niệm: 40 3.2 Clipping điểm: 40 3.3 Clipping đoạn thẳng 40 3.3 Clipping đa giác 45 Phép biến đổi từ cửa sổ đến vùng quan sát 48 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƢƠNG 50 CHƢƠNG 5: ĐỒ HỌA BA CHIỀU 51 Tổng quan 51 iii Giới thiệu đồ họa chiều 52 Biểu diễn đối tƣợng chiều 54 Các phép biến đổi chiều 55 4.1 Hệ tọa độ bàn tay phải - bàn tay trái 55 4.2 Các phép biến đổi Affine sở 56 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƢƠNG 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 iv GIÁO TRÌNH MƠN HỌC Tên mơn học: CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐỒ HỌA Mã môn học: MH15KC6480216 Thời gian thực môn học: 60 (Lý thuyết: 30 giờ; Thực hành/ thực tập/thí nghiệm/ tập/thảo luận:28 giờ; Kiểm tra: giờ; Thời gian thi: giờ, hình thức: Lý thuyết) I Vị trí, tính chất, ý nghĩa vai trị mơn học: - Vị trí: Mơn học đƣợc bố trí sau ngƣời học học xong môn học chung; Mơn học đƣợc bố trí trƣớc mơn học chun sâu thiết kế, kĩ đồ họa - Tính chất: Là môn học kiến thức sở cho đồ họa, đa phƣơng tiện - Ý nghĩa vai trị mơn học: Mơn học cung cấp cho sinh viên lý thuyết đồ họa máy tính II Mục tiêu mơn học: - Về kiến thức: Trang bị cho ngƣời học kiến thức đồ họa, chuẩn bị cho môn học kỹ đồ họa; - Về kỹ năng: Trình bày đƣợc kiến thức đồ họa - Về lực tự chủ trách nhiệm: Rèn luyện đồ họa III Nội dung môn học: Thời gian Số TT Tên chƣơng mục Tổng số Lý thuyết Chƣơng 1: Giới thiệu thuật tốn vẽ tơ đƣờng 8 Chƣơng 2: Các thuật toán tô màu 4 Chƣơng 3: Phép biến đổi đồ họa hai chiều 12 6 Chƣơng clipping 16 4: Windowing Thực Kiểm hành tra v Chƣơng 5: Đồ họa ba chiều 15 Kiểm tra/thi kết thúc môn Cộng 60 30 28 vi Hình 4.9 Xét với biên trái đoạn thẳng P1P2 có hƣ ớng từ vào trong, nhƣ ng so với biên phải đoạn thẳng P’1P’2 lại có hướng từ cửa sổ 3.3 Clipping đa giác Làm đa giác đƣợc dùng ứng dụng vẽ đƣờng (linedrawing application) bị cắt cách xử lý đoạn thẳng thành phần thông qua thuật toán clipping đƣờng đƣợc thảo luận Một đa giác đƣợc xử lý theo cách đƣợc thu giảm loạt đoạn bị cắt (xem hình 4-10) Hình 4.10 Đa giác bị cắt thuật toán clipping đường Khi một biên đa giác định nghĩa vùng tơ, nhƣ hình 4-11 Một phiên thay đổi thuật toán clipping đƣờng đƣợc cần đến Trong trƣờng hợp này, nhiều vùng kép kín phải đƣợc tạo để định nghĩa biên cho vùng tơ (xem hình 4-11) 45 Hình 4.11 Một vùng có hình dạng, trước sau clipping Một kỹ thuật cho việc clipping đa giác, đƣợc phát triển Sutherland Hodgman, thực việc clipping cách so sánh đa giác với lần lƣợt biên cửa sổ Kết trả thuật toán tập đỉnh định nghĩa vùng bị cắt (vùng đƣợc tô với màu hay mẫu tô đó) Phƣơng pháp đƣợc thể hình 4-12 Hình 4.12 Clipping vùng đa giác cách dùng biên cửa sổ Các vùng đa giác đƣợc định nghĩa việc xác định dãy có thứ tự đỉnh Để cắt đa giác, so sánh lần lƣợt đỉnh với biên cửa sổ Các đỉnh nằm bên cạnh cửa sổ đƣợc giữ lại cho việc clipping với biên cửa sổ (xem hình 4-13) Hình 4.13 Clipping Khi đa giác lõm bị cắt cửa sổ hình chữ nhật, vùng bị cắt sau hình thành hai đa giác riêng biệt thật Vì thuật toán cắt vùng tạo danh sách đỉnh, vùng riêng biệt đƣợc nối lại đoạn thẳng nối 46 Một ví dụ hiệu ứng đƣợc thể hình 4-14 Hình 4.14 Clipping đa giác lõm hình (a) cửa sổ tạo hai vùng nối Ngoài vùng clipping hìnhtrong dạnghình đa giác (b) cịn có nhiều hình dạng khác (xem hình 4.15 4.16) Hình 4.15 Clipping vùng có hình dạng trịn Hình 4.16 Clipping dạng văn Thay lƣu giữ lại thông tin vùng đƣợc định nghĩa,, vùng cửa sổ đƣợc dùng để xóa bỏ thứ bên biên Những nằm bên ngồi đƣợc giữ lại (xem hình 4.17) 47 Hình 4.17 Các ví dụ tẩy xóa: (a) vùng cung cấp để nhãn; (b) Một vùng dùng để xóa phần hiển thị trước để tạo vùng trống cho nạp chồng ảnh lên Phép biến đổi từ cửa sổ đến vùng quan sát Khi tất điểm, đoạn thẳng, văn vừa bị cắt, chúng đƣợc ánh xạ lên vùng vùng quan sát để hiển thị Phép biến đổi đến vùng quan sát đƣợc thực để vị trí tọa độ liên hệ đƣợc giữ lại Trong hình 4-18, điểm vị trí (xw, yw) cửa sổ đƣợc ánh xạ vị trí (xv, yv) vùng quan sát Để trì đặt liên hệ tƣơng tự vùng quan sát nhƣ cửa sổ, cần: Ta viết lại phƣơng trình (4-10) (4-11) nhƣ phép tính biến đổi rõ ràng cho tọa độ xv yv: Các phép tính biến đổi từ cửa sổ - đến - vùng quan sát đƣợc viết chặt chẽ nhƣ sau: 48 Phép biến đổi bao gồm hai phép biến đổi tỉ lệ tịnh tiến Các hệ số tỉ lệ sx sy phụ thuộc vào kích thƣớc liên hệ cửa sổ vùng quan sát Các hệ số tỉ lệ phải đối tƣợng muốn đƣợc bảo tồn cân đối (đồng dạng) chúng đƣợc ánh xạ đến vùng quan sát Khi cửa sổ vùng quan sát có kích thƣớc (sx = sy = 1), khơng có thay đổi kích thƣớc đối tƣợng đƣợc biến đổi Giá trị xvmin yvmin cho biết hệ số tịnh tiến để di chuyển đối tƣợng vào vùng quan sát Các chuỗi kí tự đƣợc quản lí theo hai cách chúng đƣợc ánh xạ đến vùng quan sát Việc ánh xạ đơn giản bảo tồn kích thƣớc kí tự, chí vùng quan sát đƣợc mở rộng hay thu nhỏ lại so với cửa sổ Phƣơng pháp đƣợc dùng đến văn đƣợc tạo với font chuẩn – bị thay đổi Trong hệ thống mà có cho phép thay đổi kích thƣớc kí tự chuẩn, định nghĩa chuỗi đƣợc đặt cửa sổ tƣơng tự nhƣ từ gốc Đối với kí tự đƣợc hình thành đoạn thẳng, việc ánh xạ đến vùng quan sát đƣợc thực nhƣ dãy phép biến đổi đƣờng (xem hình 4-18) Hình 4.17 Một điểm vị trí (xw, yw) cửa sổ ánh xạ đến điểm (xv, yv) vùng quan sát Việc ánh xạ thực cho tỷ lệ tương quan hai vùng tương tự 49 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƢƠNG Cho cửa sổ ABCD có tọa độ A(20, 20); B(90,20); C(90,70); D(20,70) Xét clipping đoạn thẳng P1(10,30); P2(80,90) sử dụng thuật toán Cohen - Sutherland Cho window ABCD biết A(5,5); B(9,5); C(9,9); D(5,9) Sử dụng giải thuật Liang Barsky để cắt đƣờng thẳng P1P2 với P1(4,12); P2(8,8) Sử dụng thuật toán Sutherland – Hodgemand tìm đa giác sau bị xén (hình bên dƣới) Tìm ảnh, cắt lấy phần ảnh (mỗi ảnh lấy lần), ghép phần sau cắt xong lại cho ảnh có nghĩa 50 CHƢƠNG 5: ĐỒ HỌA BA CHIỀU Mã chƣơng: MH 15 -05 Giới thiệu: Các đối tƣợng giới thực phần lớn đối tƣợng ba chiều, nên việc thể đối tƣợng ba chiều máy tính cơng việc cần thiết để đƣa tin học gần gũi với thực tế Cũng giống nhƣ cách biểu diễn đối tƣợng ba chiều mặt phẳng khác (nhƣ máy ảnh, camera, ), biểu diễn máy tính phải tuân theo quy luật phối cảnh, sáng, tối, nhằm giúp ngƣời xem tƣởng tƣợng lại hình ảnh cách gần Ngồi biểu diễn máy tính có ƣu giúp ta quan sát đối tƣợng nhiều góc cạnh khác nhau, khoảng cách khác Chƣơng giới thiệu số kĩ thuật biểu diễn đối tƣợng ba chiều máy tính, từ đối tƣợng đơn giản nhƣ hình khối, đa diện, đến đối tƣợng tƣơng đối phức tạp nhƣ mặt đƣợc tìm hiểu chƣơng trƣớc Mục tiêu: Học xong chương người học có khả năng: - Hiểu đƣợc đồ họa chiều - Trình bày cách biểu diễn đối tƣơng chiều - Các phép biến đổi khơng gian chiều Nội dung chính: Tổng quan Khi mơ hình hóa hiển thị cảnh ba chiều, ta cần phải xem xét nhiều khía cạnh vấn đề khác khơng đơn giản thêm vào tọa độ thứ ba cho đối tƣợng Bề mặt đối tƣợng xây dựng nhiều tổ hợp khác mặt phẳng mặt cong Ngồi ra, đơi cần mô tả số thông tin bên đối tƣợng Các công cụ hỗ trợ đồ họa (graphics package) thƣờng cung cấp số hàm hiển thị thành phần bên trong, đƣờng nét tiêu biểu hiển thị phần đối tƣợng ba chiều 51 (solid object) Ngoài ra, phép biến đổi hình học thƣờng đƣợc sử dụng nhiều đa dạng đồ họa ba chiều so với đồ họa hai chiều Phép biến đổi hệ quan sát không gian ba chiều phức tạp nhiều so với không gian hai chiều phải chọn lựa nhiều tham số mô tả cảnh ba chiều xuất hình nhƣ Hình 5.1 Một cảnh đồ họa ba chiều Giới thiệu đồ họa chiều Các đối tƣợng giới thực phần lớn đối tƣợng chiều thiết bị hiển thị chiều Do vậy, muốn có hình ảnh chiều ta cần phải giả lập Chiến lƣợc chuyển đổi bƣớc Hình ảnh đƣợc hình thành từ từ, ngày chi tiết Qui trình hiển thị ảnh chiều nhƣ sau Biến đổi từ hệ tọa độ đối tƣợng sang hệ tọa độ giới thực (Modelling transformation) Mỗi đối tƣợng đƣợc mô tả hệ tọa độ riêng đƣợc gọi Hệ tọa độ đối tƣợng Có cách mơ hình hóa đối tƣợng: - Solid modeling : mô tả vật thể (kể bên trong) - Boudary representation : quan tâm đến bề mặt đối tƣợng Các đối tƣợng đƣợc biểu diễn mơ hình Wire-Frame 52 Nhận thấy biểu diễn đối tƣợng, ta chọn gốc tọa độ đơn vị đo lƣờng cho việc biểu diễn thuận lợi Thƣờng ngƣời ta chuẩn hóa kích thƣớc đối tƣợng biểu diễn Boudary representation cho phép xử lý nhanh silid modeling cho hình ảnh đầy đủ xác thực - Loại bỏ đối tƣợng khơng nhìn thấy đƣợc (Trivial Rejection) - Loại bỏ đối tƣợng hoàn toàn khơng thể nhìn thấy cảnh Thao tác giúp ta lƣợc bỏ bớt đối tƣợng không cần thiết giảm chi phí xử lý + Chiếu sáng đối tƣợng (Illumination): Gán cho đối tƣợng màu sắc dựa đặc tính chất tạo nên chúng nguồn sáng tồn cảnh Có nhiều mơ hình chiếu sáng tạo bóng : constant-intensity, Interpolate, + Chuyển từ word space sang eye space (Viewing Transformation) Thực phép biến đổi hệ tọa độ để đặt vị trí quan sát (viewing position) gốc tọa độ mặt phẳng quan sát (viewing plane) vị trí mong ƣớc Hình ảnh hiển thị phụ thuộc vào vị trí quan sát góc nhìn Hệ qui chiếu có gốc đặt vị trí quan sát phù hợp với hƣớng nhìn thuận lợi cho xử lý thật + Loại bỏ phần nằm viewing frusturn (Clipping) Thực việc xén đối tƣợng cảnh để cảnh nằm gọn phần khơng gian hình chóp cụt giới hạn vùng quan sát mà ta gọi viewing frustum Viewung frustum có trục trùng với tia nhìn, kích thƣớc giới hạn vùng ta muốn quan sát + Chiếu từ eye space xuống screen space (Projection) Thực việc chiếu cảnh chiều từ khơng gian quan sát xuống khơng gian hình Có phƣơng pháp chiếu: - Chiếu song song 53 - Chiếu phối cảnh - Khi chiếu ta phải tiến hành việc khử mặt khuất để nhận đƣợc hình ảnh trung thực Khử mặt khuất cho phép xác định vị trí (x,y) hình thuộc đối tƣợng cảnh - Chuyển đối tƣợng sang dạng pixel (Rasterization) - Hiển thị đối tƣợng (Display) Biểu diễn đối tƣợng chiều Một phƣơng pháp thông dụng đơn giản để mơ hình hóa đối tƣợng mơ hình khung nối kết Một mơ hình khung nối kết gồm có tập đỉnh tập cạnh nối đỉnh Khi thể mơ hình này, đối tƣợng ba chiều rỗng khơng giống thực tế Để hồn thiện hơn, ngƣời ta dùng kỹ thuật tạo bóng loại bỏ đƣờng mặt khuất Với mơ hình khung nối kết, hình dạng đối tƣợng ba chiều đƣợc biểu diễn hai danh sách (list) : danh sách đỉnh (vertices) danh sách cạnh (edges) nối đỉnh Danh sách đỉnh cho biết thơng tin hình học vị trí đỉnh, cịn danh sách cạnh xác định thơng tin kết nối, cho biết cặp đỉnh tạo cạnh Chúng ta quan sát vật thể ba chiều đƣợc biểu diễn mơ hình khung nối kết nhƣ sau : Hình 5.2 Vật thể ba chiều biểu diễn mơ hình khung nối kết 54 Hình 5.3 Bảng danh sách cạnh đỉnh biểu diễn vật thể Các phép biến đổi chiều 4.1 Hệ tọa độ bàn tay phải - bàn tay trái Hệ tọa độ theo qui ƣớc bàn tay phải : để bàn tay phải cho ngón hƣớng theo trục z, nắm tay lại, tay chuyển động theo hƣớng từ trục x đến trục y Hệ tọa tọa độ theo qui ƣớc bàn tay trái : để bàn tay phải cho ngón hƣớng theo trục z, nắm tay lại, ngón tay chuyển động theo hƣớng từ trục x đến trục y Hệ tọa độ (Homogeneous Coordinates) : Mỗi điểm (x,y,z) không gian Descartes đƣợc biểu diễn bốn tọa độ không gian chiều thu gọn (hx,hy,hz,h) Ngƣời ta thƣờng chọn h=1 Các phép biến đổi tuyến tính tổ hợp phép biến đổi sau : tỉ lệ, quay, biến dạng đối xứng Các phép biến đổi tuyến tính có tính chất sau : - Gốc tọa độ điểm bất động - Ảnh đƣờng thẳng đƣờng thẳng - Ảnh đƣờng thẳng song song đƣờng thẳng song song - Bảo toàn tỉ lệ khoảng cách - Tổ hợp phép biến đổi có tính phân phối 55 4.2 Các phép biến đổi Affine sở - Phép tịnh tiến: Hình 5.4 Phép tịnh tiến - Phép biến đổi tỉ lệ : Hình 5.5 Phép biến đổi tỉ lệ - Phép quay quanh trục z: - Phép quay quanh trục x - Phép quay quanh trục y - Phép đối xứng qua trục x, y z Hình 5.6 Phép quay quanh trục z Hình 5.7 Phép quay quanh trục Hình 5.8 Phép quay quanh trục y 56 - Phép biến dạng: 57 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƢƠNG Tìm vị trí hình chữ nhật ABCD với A(1, 2, 1), B(3, 2, 1), C(3, 4, 3), D(1, 4, 3) sau phép quay góc α =45o quanh góc tọa độ Tìm vị trí hình chữ nhật ABCD với A(1, 2, 1), B(3, 2, 1), C(3, 4, 3), D(1, 4, 3) sau phép quay góc α =30o quanh điểm M(1, 1, 1) Tìm vị trí hình chữ nhật A(1, 2, 1), B(3, 2, 1), C(3, 4, 3), D(1, 4, 3) sau phép quay góc α =45o quanh trục x’ song song x qua (1, 1, 1) 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Tấn Hùng, Huỳnh Quyết Thắng Kỹ thuật đồ họa NXB Khoa học kỹ thuật, Hà nội [2] VERA B ANAND, Đồ họa máy tính Mơ hình hóa hình học Nhà xuất Thành Phố Hồ Chí Minh [3] Vũ Mạnh Tƣờng, Dƣơng Anh Đức, Trần Đan Thƣ, Lý Quốc Ngọc Giáo trình Nhập môn đồ họa xử lý ảnh 59 ... (6, 2), (6 ,-2 ), (2 ,-6 ), (-2 ,-6 ), (-6 ,-2 ), (- 6,2), (-2 ,6) 3 (3,5); (5, 3), (5 ,-3 ), (3 ,-5 ), (-3 ,-5 ), (-5 ,-3 ), (- 5,3), (-3 ,5) 4 (4,4); (4, 4), (4 ,-4 ), (4 ,-4 ), (-4 ,-4 ), (-4 ,-4 ), (- 4,4), (-4 ,4) 4.3... sau: (y-y1)/( x-x1) = ( y2-y1)/( x2-x1) (y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1) (x2-x1)y=(y2-y1)x + y1(x2-x1) - x1(y2-y1) y = ((y2-y1)/(x2-x1))x + y1 - ((y2-y1)/(x2-x1))x1 y = kx + m k = (y2-y1)/(x2-x1) Độ... giải thuật Midpoint P = 5/4 – R = -5 x = 0; y = i Pi xi yi (x, y) -5 (0,6); (0,6); (0, -6 ); (0, -6 ); (6,0); (-6 ,0); (6,0); (-6 ,0) -2 (1,6); (6, 1), (6 ,-1 ), (1 ,-6 ), (-1 ,-6 ), (-6 ,-1 ), (- 6,1), (-1 ,6)