(SKKN HAY NHẤT) hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: " HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG HÌNH TOẠ ĐỘ KHƠNG GIAN" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phân : ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài : Trong việc dạy học tốn ta ln coi mục đích chủ yếu tập tốn hình thành phát triển tư toán học , tạo cho học sinh vốn kiến thức vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì việc xây dựng hình thành cho học sinh phương pháp giải dạng toán cần thiết Trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông hay thi tuyển sinh vào trường Đại học , Cao đẳng ,Trung học chuyên nghiệp thường xuất toán phương pháp tọa độ khơng gian Có thể nói tốn phương pháp tọa độ khơng gian đa dạng phong phú Cực trị hình học phương pháp tọa độ không gian dạng tốn khó địi hỏi học sinh vừa phải biết tư hình học vừa phải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ không gian Trong năm học 2012- 2013 phân công giảng dạy lớp 12 trước dạy chương phương pháp tọa độ không gian thân trăn trở : làm để học sinh đọc đề thi thấy xuất câu cực trị hình học khơng gian học sinh không cảm thấy sợ Với suy nghĩ chuẩn bị chuyên đề xem đề tài cải tiến phương pháp dạy học : “ Hướng dẫn học sinh giải số toán cực cải trị hình học hình tọa độ khơng gian “ II Phạm vi ứng dụng Đề tài áp dụng vào giảng dạy lớp 12B, 12 2012- 2013 E trường THPT Ba Đình năm học Phần GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : A Cơ sở lý luận: Trong chương trình hình học 12 phương pháp tọa độ không gian tập trung chủ yếu vào dạng tốn xác định tọa điểm thỏa mãn điều kiện cho trước, lập phương trình đường thẳng ,mặt phẳng việc cung cấp nội dung phương pháp cần thiết B Cơ sở thực tiễn : Đối với học sinh : Khi chưa cải tiến phương pháp lớp 10/45 em tập trung làm tập dạng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đối với giáo viên : Sách giáo khoa bỏ qua dạng tập này, số tài liệu có điểm qua khơng có tính chất hệ thống Bài tốn : TÌM TOẠ ĐỘ ĐIỂM THỎA MÃN HỆ THỨC Dạng1: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cho: T = aMA2 + bMB2 + cMC2 lớn (nhỏ nhất) Cách giải: Gọi G điểm thỏa mãn : T biểu diễn: + a.GA2 + b.GB2 + c.GC2 = +) Nếu a + b + c > ta có Tmin +) Nếu a + b + c < ta có Tmax MGmin MGmin M hình chiếu G lên (P) M hình chiếu G lên (P) Các ví dụ: Ví dụ 1: a, Trong khơng gian với hệ Oxyz cho mặt phẳng B(3; 2; 2); C(1; 1; -1) Tìm điểm M : x –y – 2z = điểm A(1; 3; 1); cho T = MA2 + 2MB2 + MC2 nhỏ b, Trong không gian với hệ Oxyz cho : x – y + 2z = điểm A(1; 2; -1); B(3; 1; -2); C(1; -2; 1) Tìm M cho P = MA2 - MB2 - MC2 lớn Lời giải: a Giả sử G thỏa mãn: T = MA2 + 2MB2 + MC2 = = 4MG2 + GA2 + 2GB2 + GC2 Vì G, A, B, C cố định nên T nhỏ MG nhỏ vng góc G mặt phẳng M hình chiếu Gọi d đường thẳng qua G vng góc với Tọa độ M nghiệm hệ: b Gọi G điểm thỏa mãn: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MA2 - MB2 - MC2 = = -MG2 + GA2 – GB2 – GC2 Vì G, A, B, C cố định nên P lớn MG nhỏ vuông góc G lên (P) M(2; -2; -2) M hình chiếu Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ Oxyz, cho ba điểm A(3; 1; 1); B(7; 3; 9); C(2; 2; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y – z + = Tìm (P) điểm M cho nhỏ Lời giải: Gọi I điểm thỏa mãn Ta có = Do đó, I (P) nhỏ MI nhỏ nhất, suy M hình chiếu Dạng 2: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho (MA + MB )min, A Cách giải * Tìm max cho MA + MB M + Nếu A, B khác phía (P) P MA + MBmin M, A, B thẳng hàng B + Nếu A, B phía (P) Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P) Có MA + MB = MA1 + MB Do A1 B khác phía (P) nên (MA + MB) (MA1 + MB) B A M, A1, B thẳng hàng M P A1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com * Tìm cho max + Nếu A, B khác phía (P) Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P), ta có: = max = A1B M, A1, B thẳng hàng A Từ tìm toạ độ điểm M + Nếu A, B phía (P) max = AB M P A1 thẳng hàng B Ví dụ 1: Cho A(1; 1; 2); B(2; 1; -3) mặt phẳng (P): 2x + y -3z – = Tìm điểm M thuộc (P) cho (MA + MB) nhỏ Lời giải: Xét vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) ta có: tA.tB = (2.1 + – 3.2 + 5).(2.2 + – 3.(-3) -5) = -72 < Vậy A, B khác phía (P) Đường thẳng AB qua A(1; 1; 2) nhận có phương trình: làm véc tơ phương, suy AB Gọi N giao điểm AB (P), suy tọa độ điểm N nghiệm hệ: Ta chứng minh MA + MB nhỏ M N Thật vậy, lấy M ta có MA + MB Dấu “=” xảy M N Vậy Ví dụ 2: Cho A(-7; 4; 4); B(-6; 2; 3) mặt phẳng (P): 3x – y -2tA+ 19 = Tìm điểm M B thuộc (P) cho AM + BM nhỏ Lời giải: M A LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) ta có: tA.tB = 98 > Suy A, B phía (P) Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P) MA + MB = MB + MA1 Mà MB + MA1 BA1 MB + MA1min = BA1 B, M, A1 thẳng hàng Hay Lập phương trình đường thẳng BA1, giải hệ tìm toạ đội điểm M Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho A(1; 2; 3); B(4; 4;5) Viết phương trình đường thẳng AB, tìm giao điểm P đường thẳng AB (Oxy) Chứng minh rằng: Với Q biểu thức có giá trị lớn Q Lời giải: A Phương trình đường thẳng AB: B Giao điểm đường thẳng AB với (Oxy) nghiệm hệ: P P Q biểu thức có giá trị lớn Q P Thật vậy, ta có tA.tB = > 0, suy A, B phía (Oxy) Với ba điểm Q, A, B ta có: Dấu “=” xảy A, Q, B thẳng hàng Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho A(-3; 5; -5); B(5; -3; 7) mặt phẳng (P): x + y + z = Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2 nhỏ Lời giải: Gọi H trung điểm AB, suy H có toạ độ H(1; 1; 1) Tam giác MAB có trung tuyến MH nên MA2 + MB2 = 2MH2 + Do MA2 + MB2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hình chiếu H (P) P(P) có véc tơ pháp tuyến O Mà Vậy M(0;0;0) MA2 + MB2 nhỏ nhất, MA2 + MB2 = OA2 + OB2 = 142 Bài tập áp dụng: Trong không gian với hệ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5); B(1; 4; 3); C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M điểm thay đổi (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA2 + MB2 + MC2 Trong không gian Oxyz cho A(1; 2; 3); B(3; 4; -1) mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y + 2z + = Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho : MA2 + MB2 nhỏ Trong không gian Oxyz cho A(-1; 3; -2); (0; 1; 0); C(1; 0; -2) Tìm điểm M mP(P): x + y + z + = cho tổng MA2 + 2MB2 + 3MC2 có giá trị nhỏ Trong khơng gian Oxyz cho A(-1; 3; -2); B(-3; 7; -18) mp(P): 2x – y + z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ Cho A(1; 2; 2); B(5; 4; 4) mp(P): 2x + y – z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho MA2 + MB2 nhỏ Dạng 3: Trong không gian với hệ Oxyz cho hai điểm A, B đường thẳng (d) Tìm điểm M (d) cho MA + MB nhỏ nhất, lớn Cách giải: Tìm điểm M (d) cho MA + MB nhỏ Bước 1: Tìm toạ độ điểm A1, B1 theo thứ tự hình chiếu vng góc A, B lên (d) Bước 2: Tính độ dài AA1, BB1 từ tìm điểm N số ( Gọi N điểm chia theo tỷ số Bước 3: Chứng minh (MA + MB) M trùng với N chia véc tơ ) theo tỷ B A A1 A2 N B (d ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thật vậy: Gọi A2 điểm thuộc mặt phẳng (B; (d)), A2, B khác phía (d) thoả mãn: A2, N, B thẳng hàng Dấu “=” xảy Ví dụ: Cho A(1; 1; 0); B(3; -1; 4) đường thẳng (d): Tìm điểm M (d) cho MA + MB nhỏ Lời giải: Đường thẳng (d) có phương trình tham số là: x = -1 + t; y = – t; z = -2 + 2t, +, Gọi A1 hình chiếu vng góc A lên d, suy A1 thuộc d Vì Vậy A1(0; 0; 0) +, Gọi B1 hình chiếu vng góc B lên d Vì Vậy, điểm N chia véc tơ theo tỉ số = -1 A2 +, Ta chứng minh (MA + MB) Thật vậy, gọi A2 điểm thuộc mặt phẳng M A1 xác dịnh bới B d (A2 B khác phía d)A N B d B thoả mãn AA1 = A2A1; LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thẳng hàng Vậy MA + MB = MA2 + MB Dấu “=” xảy Ví dụ: Trong hệ Oxyz cho điểm A(1; 5; 0); B(3; 3; 6) đường thẳng Một điểm M that đổi nhỏ Xác định vị trí M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị Lời giải: 2PABM = AB + MA + MB có véc tơ phương: +, A1 hình chiếu A AA1 +, B1 hình chiếu B BB1 nên +, Gọi N điểm chia theo tỉ số - (N nằm A1 B1) (N trung điểm A1B1) +, Ta chứng minh MA + MB Thật vậy, gọi A2 điểm thuộc mặt phẳng xác định (B; ( với thoả mãn )), A2 B khác phía đối B A A1  N M B1 LUAN VAN CHAT LUONG downloadA : add luanvanchat@agmail.com A2, N, B thẳng hàng Vậy MA + MB + MA2 + MB Dấu “=” xảy Ví dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho A(2; 0; 3) ; B(2; -2; -3) : Chứng minh A, B ( M thuộc đường thẳng ) nằm mặt phẳng Tìm điểm cho MA4 + MB4 đạt giá trị nhỏ Lời giải: Phương trình đường thẳng AB: Phương trình Gọi I giao điểm AB ta có: ) Vậy AB ( ) cắt I nên A, B đồng phẳng Có: trung điểm AB , IA + IB = AB Khi MA4 + MB4 Suy MA4 MB4 nhỏ M Bài toán 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng : Cho hai điểm phân biệt A B Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa B cách A khoảng lớn Cách giải: Gọi H hình chiếu A lên (P), tam giác ABH vng H max = AB Khi (P) mặt phẳng qua B vng góc với AB Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm B(1; 2; -1) cách gốc toạ độ khoảng lớn 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải: Gọi H hình chiếu A mp(P) cần tìm, max = OB Vậy mp(P) qua B(1; 2; -1) nhận làm véc tơ pháp tuyến Vậy mp(P) có phương trình: 1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1) = Dạng 2: Cho điểm A đường thẳng khơng qua A Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cho khoảng cách từ A đến mp(P) lớn Cách giải: A Gọi H hình chiếu vng góc A mp(P), K hình chiếu vng góc A đường thẳng max = AK Vậy mp(P) cần tìm mặt phẳng chứa với AK Hay (P) chứa  P H K vng góc vng góc với mp(AK; ) Ví dụ: Cho ba điểm A(1; 1; 1); B(2; 1; 0); C(2; 0; 2) Viết phương trình mặt phẳng hai điểm B, C cách điểm A khoảng lớn qua Lời giải: Mặt phẳng cần tìm chứa BC vng góc với mp(ABC) Ta có Toạ độ véc tơ pháp tuyến mp(ABC) Suy mp( ) có véc tơ pháp tuyến Vậy phương trình mặt phẳng ( ) -5(x – 2) + 2(y – 1) + Z = hay -5x + 2y + z + = Dạng : Cho đường thẳng d điểm A không thuộc d Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A , song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Cách giải : Bước : Gọi I hình chiếu vng góc A d Tìm tọa độ điểm I Bước : Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta có IH IHmax = IA H A Vậy (P) qua A nhận IA Suy làm vec tơ pháp tuyến 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bước : Viét phương trình mặt phẳng (P) Ví dụ : Trong khơng gian với hệ tọa độ O xyz choA(10;2;-1) đường thẳng d có phương trình : Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A , song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Lời giải: Áp dụng phương pháp giải ta tìm phương trình mặt phẳng (P) : 7x + y -5z -77 = Dạng 4: Cho hai đường thẳng phương trình mặt phẳng ( ) chứa , phân biệt không song song với Viết tạo với góc lớn Lời giải: Vẽ đường thẳng song song với cắt K Gọi A điểm cố định H hình chiếu A mp( ) Ta có góc ( ) góc AKH Kẻ AT Khi tam giác HKT vng T, nên cos AKH = Vậy góc AKH lớn HK = KT hay Góc lớn góc AKT = ( , (khơng đổi) 2) Khi mặt phẳng ( ) cần tìm có véc tơ phơng Do véc tơ pháp tuyến mp( ) Ví dụ: Cho hai đường thẳng chứa tạo với Viết phương trình mặt phẳng ( ) góc lớn Lời giải: Ta tháy hai đường thẳng phân biệt không song song với Theo kết tốn , suy Do véc tơ pháp tuyến mp( ) Vậy phương trình mp( ) -2x -2(y - 1) + 2z = hay x + y - z - = Dạng : Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ Cách giải: Bước 1: Gọi M(x0; y0; x0) thuộc (d); mặt phẳng (P) chứa (d) nên điểm M thuộc (P) Phương trình mp(P): A(x – x0) + B(y – y0) + c(z – z0) = (A2 + B2 + C2 ) Bước 2: mp(P) có véc tơ pháp tuyến: 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (Q) có véc tơ pháp tuyến: Gọi góc (P) (Q) Ta có Bước 3: (P) chứa (d) nên cos biểu thị liên quan A, B, C Tìm giá trị lớn Ví dụ: Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng (d): tạo với mp(Q): 2x – y – 2z – = góc nhỏ Hướng dẫn giải: Áp dụng kết tốn tìm = Suy cos lớn Vậy mp(P) có phương trình x + y – z + = Bài tập áp dụng: Trong không gian với hệ Oxyz cho điểm A(2; 5; 3), đường thẳng d: Viết phương trình mp(P) chứa (d) cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Cho d1: d2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 đồng thời tạo với d2 góc nhỏ Trong khơng gian với hệ Oxyz cho d: Viết phương trình mp(P) chứa d tạo với mp(Oxy) góc nhỏ Bài tốn : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Cho mặt phẳng ( ) điểm A thuộc ( ), điểm B khác A Tìm đường thẳng nằm ( ) qua A cách B khoảng nhỏ Cách giải: Gọi H hình chiếu vng góc B Vậy khoảng cách lớn Khi ,ta thấy d(B; B đường thẳng qua A có véc tơ phương Gọi T hình chiếu ) = BH P H A H  13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com B ( ) , ta thấy Vậy khoảng cách BH nhỏ BT A T để viết phơng trình đường thẳng hay đường thẳng qua ta có hai cách : +, Tìm hình chiếu vng góc T B qua A T , từ viết phương trình đường thẳng +, Tìm toạ độ véc tơ phương đường thẳng : Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua A(1;1;1) vng góc với đường thẳng cách điểm B(2;0;1) khoảng lớn Lời giải: Gọi ( ) mặt phẳng qua A vng góc với Khi đường thẳng ’ nằm mặt phẳng ( ) qua A cách B khoảng lớn Theo tốn trên, ta có Vậy phương trình đường thẳng Dạng 2: Cho mặt phẳng điểm A thuộc nằm Tìm đường thẳng nằm bé nhất, lớn , đường thẳng d không song song hay qua A tạo với đường thẳng d góc Cách giải: Vẽ đường thẳng qua A song song với d Trên đường thẳng lấy điểm B khác A cố định Hình chiếu vng góc B theo thứ tự H K Ta có: (d, Vậy (d, hay ) = BAH; sin(d, )= ) nhỏ , đường thẳng AK Ta thấy véc tơ phương đường thẳng A d A P  K H , tạo với d góc lớn 900 có véc tơ phương Dạng : Cho mặt phẳng điểm A thuộc ,đường thẳng d không song song với , không nằm , khơng qua A Tìm đường thẳng nằm mặt phẳng qua A cho khoảng cách đường thẳng d lớn Cách giải: d B d’ C H 14  LUAN VAN CHAT LUONG download : addP luanvanchat@agmail.com A Gọi d’ đường thẳng qua A song song với d B giao điểm d với mp Gọi H hình chiếu vng góc B mặt phẳng (d’, ) Khoảng cách d BH Gọi C hình chiếu vng góc B d’ Ta thấy ,nên BH lớn Khi đường thẳng có véc tơ phương , T hình chiếu vng góc A d Có thể thay véc tơ Bài tập áp dụng: Trong không gian với hệ Oxyz viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 1; 2) vng góc với d2: đồng thời tạo với trục Oz góc Trong khơng gian với hệ Oxyz, cho d1: nhỏ hai điểm A(1; 1; 0); B(2; 1; 1) Viết phương trình đường thẳng d2 qua A vng góc với d1 cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d2 lớn Phần : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Kết : Khi chưa thực đề tài cảm thấy học sinh hay vướng mắc giải toán cực trị hình học khơng gian Sau nghiên cứu thực giảng dạy theo đề tài gây hứng thú học tập cho học sinh giúp học sinh giải nhiều khó dạng tốn thường xuất đề thi đại học ,cao đẳng trung học chuyên nghiệp Giải dạng tập giúp học sinh rèn luyện khả tư cho học sinh ,phát huy tỉnh tích cực sáng tạo học toán nữagiúp học sinh hệ thống kiến thức phương pháp giải để học sinh tự tin bước vào kỳ thi Thực tế thực đề tài chất lượng học sinh nâng lên rõ rệt Lớp Số HS Điểm 8-10 Điểm 6.5 Điểm đến đến 6.5 Điểm Điểm đến dưới 12 B 45 13.3 13 28.9 22 48.9 9.8 0 12E 45 17.8 15 33.3 19 42.2 6.7 0 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài học kinh nghiệm : Việc lựa chọn phương pháp , hệ thống kiến thức rèn cho học sinh khả tư cần thiết Trong thực tế nhiều học sinh tiếp thu phương pháp nhanh việc trình bày chưa chặt chẽ giáo viên cần sửa cho học sinh cách tỉ mỉ Trên mộy số kinh nghiệm rút từ thực tế giảng dạy mơn tốn lớp 12 năm học 2012-2013 Trong khn khổ có hạn đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót , mong cấp lãnh đạo bạn đồng nghiệp trao đổi góp ý để đề tài đầy đủ hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn trường THPT nói chung ,trường THPT Ba Đình nói riêng 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... học không gian học sinh không cảm thấy sợ Với suy nghĩ chuẩn bị chuyên đề xem đề tài cải tiến phương pháp dạy học : “ Hướng dẫn học sinh giải số tốn cực cải trị hình học hình tọa độ khơng gian. .. pháp tọa độ khơng gian Có thể nói tốn phương pháp tọa độ không gian đa dạng phong phú Cực trị hình học phương pháp tọa độ khơng gian dạng tốn khó địi hỏi học sinh vừa phải biết tư hình học vừa... pháp tọa độ không gian Trong năm học 2012- 2013 phân công giảng dạy lớp 12 trước dạy chương phương pháp tọa độ không gian thân trăn trở : làm để học sinh đọc đề thi thấy xuất câu cực trị hình học