(SKKN HAY NHẤT) giảng dạy phần phương trình lượng giác

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "GIẢNG DẠY PHẦN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phần thứ nhất: Mở Đầu Lý chọn đề tài I, Lý pháp chế: - Căn vào yêu cầu mục tiêu hệ thống giáo dục thường xuyên ngành giáo dục bậc phổ thơng trung học - Căn vào tình hình học tập học sinh hệ phổ thông trung học việc học tập môn Đại số giải tích II, Cơ sở lý luận: - Kinh nghiệm giảng dạy số nhà Tốn học trình bày tài liệu III, Cơ sở thực tiễn - Những thuận lợi khó khăn q trình giảng dạy mơn Đại só giải tích phần phương trình lượng giác Mục đích nghiên cứu: - Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn rút kinh nghiệm trình giảng dạy Nhiệm vụ nghiên cứu: I, Nhiệm vụ: Những nội dung phần phương trình lượng giác: - Phương trình lượng giác bản: + Phương trình: sinx = a + Phương trình: cosx = a + Phương trình: tanx = a + Phương trình: cotx = a - Một só phương trình lượng giác thường gặp: + Phương trình bậc hàm số lượng giác + Phương trình bậc hai hàm số lượng giác + Phương trình bậc sinx cosx - Áp dụng để giải hệ phương trình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com II, Yêu cầu: - Học sinh nắm rõ công thức biến đổi lượng giác lớp 10 học + Công thức cộng + Công thức nhân đôi + Công thức biến đổi tích thành tổng biến đổi tổng thành tích - Nhớ cơng thức nghiệm phương trình lượng giác - Biết phân biệt dạng phương trình lượng giác - Nắm phương pháp chung để giải phương trình - Biết kết hợp nghiệm Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh khối 11 bậc phổ thông trung học Phương pháp nghiên cứu: - Tham khảo tài liệu - Tham gia đầy đủ lớp học bồi dưỡng sở giáo dục tổ chức, buổi sinh hoạt tổ, nhóm chun mơn Thời gian nghiên cứu: - Trong suốt trình phân công giảng dạy khối 11 bậc phổ thông trung học Phần thứ hai: Nội dung A, Kiến thức có liên quan: Công thức cộng: cos(a  b) = cosa cosb + sina sinb cos(a + b) = cosa cosb  sina sinb sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb tan(a  b) = tana  tanb 1 tantanb LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tan(a + b) = tana  tanb 1 tanatanb Công thức nhân đôi: cos2a = cos2a  sin2a = 2cos2a  =  2sin2a sin2a = 2sinacosa tan2a = tga  tg a Công thức hạ bậc: cos2a =  cos 2a sin2a =  cos 2a Cơng thức biến đổi tích thành tổng: cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] [cos(a sinasinb =  b)  cos(a + b)] sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] Công thức biến đổi tổng thành tích: Cosa + cosb = 2cos ab ab cos 2 Cosa  cosb = 2sin ab ab sin 2 Sina + sinb = 2sin ab ab cos 2 Sina + sinb = 2cos ab ab sin 2 B, Nội dung: I, Phương trình lượng giác bản: Lý thuyết: Phương trình: sinx = a  x =  + k2, kZ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com x =    + k2, k  Z Hay: sinx = a  x = arcsin + k2, kZ x =   arcsin + k2, k  Z Đặc biệt: sinx = -1  x =  + k2, k  Z  sinx =  x =  + k2, k  Z sinx =  x = k, kZ Phương trình: cosx = a  x =   + k2, kZ Hay: cosx = a  x =  arccos + k2, k  Z Đặc biệt: cosx =  x = k2 ,kZ cosx = 1 x =  + k2, k  Z cosx =  x =  + k, k  Z Phương trình: tanx = a  x =  + k, kZ Hay tanx = a  x = arctan + k, k  Z Phương trình: cotx = a  x =  + k, kZ Hay cotx = a  x = arccot + k, k  Z Bài tập: Bài tập1: Giải phương trình sau: a ) sin x  b) cos  x  250    2 c) co t  x     d ) tan  x  150   3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết quả:    x   k a)  (k  Z )  x    k    c) x    k (k  Z ) 24  x  800  k1800 b)  0  x  55  k180 d ) x  150  k1800 (k  Z ) (k  Z ) Chú ý: Khi giải cần lưu ý dùng đơn vị Radian, dùng đơn vị độ, không dùng hai đơn vị câu Bài tập2: Gải phương trình sau: a ) sin  x  150   b) cos  x  1  2 c) tan  x    với 1200  x  1200 với   x   với    x 2 Kết quả: a ) x  300 ;  1050 ; 750  5  5 b) x    ;   ;   ;   6 6  4 2 c) x    ;   ;  9 Chú ý: Với dạng sau giải phương trình xong cần tìm nghiệm phù hợp với yêu cầu tốn Bài tập3: Giải phương trình sau: a ) sin  x  1  sin  x   b) sin x  cos x c) tan  3x    cot x  d ) sin x  cos5 x  Kết quả: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  x   k 2 a)  (k  Z )  x     k 2 3      x  10  k b)  (k  Z )  x    k  c ) x  2    k    x   k 2 d)   x    k 2  (k Z) Chú ý: Các câu: b, c, d cần biến đổi hàm số lượng giác ( dùng công thức góc phụ nhau) Bài tập 4: Giải phương trình sau: a ) 2sin x  sin x  b) sin 2 x  cos 3x  c) tan x.tan x  2  d ) sin  x     2 x   cos      4  Kết quả:  x  k a)  (k  Z )  x   3  k 2    xk  b) (k  Z )   x   k    k (k  Z ) 12 2 4   x  105  k 21 d)  (k  Z )  x   18  k 4  95 19 c) x  Chú ý: Cần chọn phương pháp phù hợp để giải phương trình cách nhanh Cụ thể câu a: đưa phương trình tích Câu d: dùng cơng thức hạ bậc II, Một số phương trình lượng giác thường gặp: Lý thuyết: 1, Phương trình bậc hàm số lượng giác: Dạng: at + b = (1) Trong a, b số (a  0), t hàm số lượng giác LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cách giải: Chuyển vế chia hai vế phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình dạng 2, Phương trình đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác: Dạng: at + bt + c = Trong a, b, c, số (a  0) t hàm số lượng giác 3, Phương trình bậc sinx cosx: Dạng: asinx + bcosx = c (1) Với a, b, c  R; (a + b  0) Cách giải:  1  Đặt a a  b2 b sin x  a  b2 a   2  cos   a b  b   sin   a  b cos x  a2  b2 ta phương trình:  1  cos  sin x  sin  cos x   sin  x     c c a  b2 c a  b2 (*) Phương trình phương trình lượng giác Bài tập: Bài tập1: Giải phương trình sau: a ) cos x   b) tan x   c) cos x  3cos x   d ) cos x  sin x   Kết quả:  a ) x    k 2 , (k  Z )  x  k 2 c)  (k  Z )  x     k 2  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com    x   k b)  , (k  Z )  x  4  k  d) x    k 2 , ( k  Z ) Bài tập 2: Giải phương trình sau: a ) 3sin x  cos x  b) 2sin x  cos x  c) sin x  sin x  d ) 5cos x  12sin x  13 Kết quả: a ) x    k 2 4   sin   ; cos    , 5  5   x  12  k 2 b)   x  13  k 2  12 , (kZ) (kZ) c) x    k 2   ; cos    sin    ,(kZ) 5  d) x    k 12 5   sin    ; cos    ,(kZ) 13 13   Chú ý: tuỳ đặt theo lý thuyết có số lại khơng nên dập khn q máy móc nên tìm cách giải phù hợp loại ( cụ thể câu b, c) Bài tập 4: Giải phương trình sau: a )  sin x  cos x   2sin x   b) sin x  cos x  4sin x cos x   c) sin x  12  sin x  cos x   12  d ) sin x  cos3 x  Kết quả: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com   x    k 2    a )  x    k 2     x     k 2  , (k  Z )    cos     2    x   k 2  c) , (k  Z )   x    k 2  x  k 2 b)  , (k  Z )  x  3  k 2   x  k 2 d)  , (k  Z )  x    k 2  Chú ý: Khi giải phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ đặt: t = sinx + cosx, với t  hay: t = sinx - cosx, với t  Bài tập 5: Giải phương trình sau:   a ) 3sin x  8sin x cos x   cos x  b) 4sin x  3 sin x  cos x  c) sin x  sin x  cos x    d ) 2sin x   sin x cos x     cos x  1 Cách giải: Để giải phương trình có bước: Bước 1: kiểm tra điều kiện: cosx  (hay sinx  0) Bước 2: Chia vế cho cosx (hay sinx) để đưa phương trình bậc hai tanx ( hay cotx) Kết quả: a,  3 8  k  x  arctan     x    k , (k  Z ) 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b,    x   k    x  arcsin  k 2    x    arcsin  k 2  c,  x  k  x  arctan(5)  k , (k  Z )  d, , (k  Z )    x    k , (k  Z )   x     k  Bài tập 6: Giải phương trình sau: 1) cos x  5sin x   (1) 2) tan x  tan x   (2) 3) 2sin x  cos x  sin x  (3) 4) tan x.tan x  tan x  tan x (4) 5) 2sin x  cos x sin x  sin x cos x  cos3 x  6) sin x  2cotx  (5) (6) Giải: 1, sin x  2 (VN ) (1)  2sin x  5sin x    sin x      x    k 2   , (k  Z )  x  7  k 2  2,     tan x  1 x   k (2)   tan x    , (k  Z )    x   arctan  k , (k  Z )   3, 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3  sin x  1 x  k 2   ,( k  Z ) (3)  2sin x  2sin x  sin x    sin x       x   k 2   4, (4)  tan x 2tan x 2tan x  tan x  1 tan x 1 tan2 x  tan x  1  tan x  tan x  tan x   tan x    x  k   tan x  1(lo¹i)     x  arctan(3)  k ,(k Z)   tan x  3 5, (5)  tan x  tan x  tan x     tan x   x   k   , (k  Z )  tan x    x   arctan  k   6, (6)  tan x 2   tan x    tan x tan x  tan x  tan x  tan x    tan x   3 tan x  tan x   (VN ) x   k , ( k  Z ) Chú ý: Với tập cần biến đổi phương trình chứa hàmn số lượng giác III, Một số phương trình lượng giác khác: Cách giải: + Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng + Dùng cơng thức biến đổi tổng thành tích + Dùng công thức hạ bậc + Đưa phương trình tích 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Áp dụng tính chất: A  A2  B    B  + Áp dụng tính chất:  A  M  hay A  M   A  M  B  N  hay B  N    B  N A  B  M  N  Ví dụ: Bài tập 1: Giải phương trình: 1, cosxcos7x = cos3xcos5x (1) 2, sin2x + sin4x = sin6x (2) 3, sin x  sin x  sin 2 x  sin x (3) 4, sin x  cos3 x  cos x (4) Chú ý: Dùng công thức biến đổi tích tổng, tổng tích, cơng thức nhân đôi, công thức hạ bậc sử dụng đẳng thức lượng giác Giải: 1,  cos x  cos x  1   cos8x  cos x    cos8 x  cos x    x  k    kZ  x  k x  k    kZ 2, 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com    2sin x cos x  2sin x cos3 x  sin x  cos x  cos x   sin x   cos x  cos x     x  k x  k    x  k  k  Z     kZ    xk   x  k 2  3,  3   cos x  cos x  cos x  cos x    2 2  cos8 x  cos x  cos x  cos x  cos x cos x  cos x cos x cos x   cos x  cos x    x   k    x  k   x  k    k Z   x  k  x  k    k Z 4,     sin x  cos x   sin x  sin x cos x  cos x   cos x  sin x   sin x  cos x    sin x cos x    sin x  cos x   cos x  sin x  (a) sin x  cos x   sin x  cos x  sin x cos x   (b)  3  *  a   cos  x     x  k  kZ 4  *  b   t  2t   0, t  sin x  cos x  t  2  t  1 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  sin x  cos x  1  x  k 2   x     k 2     cos  x    4   k Z Vậy phương trình (4) có nghiệm: x 3   k , x  k 2 , x    k 2  k Z Bài tập 2: Giải phương trình sau: a ) cos x cos x  cos 3x cos x b) sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos x c) sin x  sin x  sin x  d ) tan x  tan x  tan x Giải tương tự tập Kết quả:   x  k a)  , (k  Z ) x  k     x  k c)  , (k  Z )  x     k  2  x    k 2  b)  , (k  Z ) x    k   d) Đk:    x   k     x   k     x   k   Nghiệm: xk  Bài tập 3: Giải phương trình sau: a ) sin x  sin 2 x  sin x  sin x  b) sin x  cos x   cos x c) cos x  sin10 x  Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi Kết quả: 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com    x   k    a )  x   k , (k  Z )   x    k  10      x  10  k b)  , (k  Z )  x    k     x    k c)  , (k  Z ) x    k   12 Bài tâp 4: Giải phương trình sau: a )   sin x    tan x    tan x b) tan x  tan x  sin x cos x c) tan x  cot x  2cot x Kết quả: a) Đk:  x   k b) Đk:    x   k  x    k   c) Đk: xk  Nghiệm: 3   x   k (k Z)   x  k Nghiệm:  Nghiệm: xk x    k (k Z) (k Z) Chú ý: Với dạng tập cần phải có điều kiện Bài tập5: Giải phương trình sau: a ) sin x  sin x  cos x b)  2sin x sin x  3cos x c) 2sin x cos x   cos x  sin x  Kết quả: 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com    x   k a)  , (k  Z ) x    k   16 b) x  k  , ( k  Z ) 3   x   k 2 c)  , (k  Z )  x     k  IV, Áp dụng giải hệ phương trình lượng giác: Cách giải: * Cách 1: Giải phương trình hệ tìm nghiệm chung phương trình * Cách 2: Giải phương trình đơn giản hệ thay nghiệm tìm vào phương trình cịn lại để tìm nghiệm hệ Ví dụ: Bài tập 1: Giải phương hệ trình sau: 1,  2sin x  (1)   tan x  (2) 2, cos x   sin x  3, cos x  cos x    3x cos  cos x 4, cos x  cos x   2 sin x  3cos x Giải: 1, * Cách 1: - Giải (1) ta    x   k 2 (a )  k Z được:  3 x   k 2 (b)  - Giải (2) ta được: x   l  l  Z  (c ) Ta thấy (a) bị chứa (c) l = 2k 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (b )  x   1     2k   2  khơng có giá trị chung với (c) Vậy nghiệm hệ phương trình là: x   l  l  Z  * Cách 2: - Giải (1) ta    x   k 2 (a )  k Z được:  3 x   k 2 (b)  - Thay vào (2) ta thấy (a) ln thoả mãn (2) cịn (b) khơng thoả mãn (2), (k  Z) Vậy nghiệm hệ phương trình là: x   l  l  Z  Tương tự: 2, x  k 2 , (k Z) 3, x  k 4 , (k Z) 4, x   k , (k Z) Bài tập 2: Giải phương trình sau: 1, 2, cos x  3sin x  (*)   tan x  cot x  2sin  x   4  3,  cos x  cos x    cos x 4,  cos x  cos x    cos x 5, 2sin x  3cos8 x  Giải: 1, Đánh giá hai vế dựa vào tính chất hàm số lượng giác, đưa giải hệ phương trình 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vì cos2x  nên 2cos2x Vì sin2x  nên 3sin25x + Do (*) cos x   sin x    (*.a ) (*.b) Phương trình (*.a) có nghiệm x = k (k Z) Thay vào (*.b) ta thấy thoả mãn Vậy nghiệm (*) là: x = k (k  Z) Tương tự: 2, x   k 2 , (k Z) 3, x   k , (k Z) 4, x   k , (k Z) 5, Vô nghiệm Phần thứ ba: Kết luận Đối với tốn có liên quan đến phương trình lượng giác giảng dạy giáo viên cần: + Nhắc lại công thức biến đổi học lớp 10 + Nêu cơng thức nghiệm phương trình lượng giác + Nêu phương pháp chung để giải loại tập + Sau giải phương trình xong cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm phương trình C KIẾN NGHỊ: * Thời gian phân phối cịn cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh * Cần bổ sung tập hệ phương trình * Cần bổ sung tài liệu tham khảo cho thầy 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... nghiệm trình giảng dạy Nhiệm vụ nghiên cứu: I, Nhiệm vụ: Những nội dung phần phương trình lượng giác: - Phương trình lượng giác bản: + Phương trình: sinx = a + Phương trình: cosx = a + Phương trình: ... trình: tanx = a + Phương trình: cotx = a - Một só phương trình lượng giác thường gặp: + Phương trình bậc hàm số lượng giác + Phương trình bậc hai hàm số lượng giác + Phương trình bậc sinx cosx... dụng giải hệ phương trình lượng giác: Cách giải: * Cách 1: Giải phương trình hệ tìm nghiệm chung phương trình * Cách 2: Giải phương trình đơn giản hệ thay nghiệm tìm vào phương trình cịn lại