Thông tin tài liệu
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "CÁCH GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong q trình dạy học mơn vật lý, tập vật lý có tầm quan trọng đặc biệt Hiện để việc thực tốt chương trình sách giáo khoa dạy theo phương pháp đổi có hiệu việc hướng dẫn học sinh phân loại, nắm vững phương pháp làm tốt tập chương trình sách giáo khoa góp phần không nhỏ việc thực thành công công tác dạy học theo chương trình đổi Theo nghị TW khóa VIII rõ “Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục – đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh…” Căn vào yêu cầu giáo dục phát triển, vào mục tiêu đào tạo, giáo dục học sinh trường THPT Đặng Thai Mai, để khắc phục khó khăn định hướng phương pháp giải tốn Vật lý, tơi mạnh dạn đưa “một số đề xuất cách giải toán động lực học chương trình vật lý THPT” giúp học sinh có sở kiến thức tốt để giải toán học khác lĩnh hội tốt kiến thức vật lý phổ thông B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận Trong thực tế dạy học mơn Vật Lý tập vật lý hiểu vấn đề đặt đòi hỏi phải giải nhờ suy luận lôgic phép toán thực nghiệm dựa sở định luật phương pháp vật lý Hiểu theo nghĩa rộng vấn đề xuất nghiên cứu tài liệu giáo khoa tập học sinh Sự tư cách tích cực luôn việc vận dụng kiến thức học để giải tập Bài toán “ Động lực học” chương trình sách giáo khoa Vật lý lớp 10 toán quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức toán sở để học sinh tiếp nhận kiến thức phần học sau Tuy vậy, học sinh lúng túng khái niệm trừu tượng việc phân tích lực tác dụng định hướng giải tập học sinh cịn gặp nhiều khó khăn II Thực trạng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Đặng Thai Mai trường THPT thành lập 10 năm (từ năm 2001) Ngay từ ngày đầu thành lập, trường THPT Đặng Thai Mai trường bán công, đầu vào học sinh thấp Khả tiếp thu kiến thức học sinh nhiều hạn chế, đặc biệt môn thuộc lĩnh vực tự nhiên môn Vật lý Bắt đầu từ năm 2010, trường trở thành trường cơng lập, đầu vào học sinh có phần tốt không đồng khối lớp lớp chất lượng học sinh không Là giáo viên trẻ, trường, nhà trường tin tưởng giao cho dạy khố cơng lập trường Tuy vậy, tơi khó khăn tiếp cận đối tượng học sinh trường Đối tượng học sinh lớp A 2, A3 mơn tốn nên kéo theo kĩ giải tập vật lý khả tư trừu tượng tượng vật lý thực tế chưa có Khi tơi hướng dẫn học sinh giải tốn SGK theo lý thuyết SGK vật lý 10 số học sinh tiếp thu vận dụng giải tốn 2% lớp Đứng trước khó khăn trên, nghiên cứu, đưa đề xuất cách giải toán động lực học đưa vào giảng dạy lớp Ở lớp, vận dụng linh hoạt bước giải tốn để học sinh tiếp thu tốt nội dung học III Giải pháp tổ chức thực Cơ sở lý thuyết Động lực học nghiên cứu mối quan hệ biến đổi trạng thái chuyển động vật nguyên nhân làm biến đổi trạng thái chuỵển động Phần nghiên cứu đến mối quan hệ gia tốc hướng tâm chất điểm, hệ chất điểm với lực tác dụng lên Các phương pháp động lực học rút áp dụng lên Vì thế, nói “vật”, ta hiểu vật chất điểm Cơ sở động lực học vĩ mô định luật Newton nguyên lí Galileo 1.1 Các định luật Newton Cơ sở động lực học định luật Newtơn Issac Newtơn-nhà Vật lý người Anh (1642-1727) Trong cơng trình “Các tiên đề tốn học triết học tự nhiên” công bố năm 1687 ông phát biểu định luật vật lý cổ điển, thiết lập định luật vạn vật hấp dẫn, nghiên cứu tán sắc ánh sáng khởi thảo sở phép tính vi phân tích phân a Định luật I Newtơn: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định luật: Khi chất điểm cô lập (không chịu tác động từ bên ngồi) đứng n, tiếp tục đứng yên, chuyển động chuyển động thẳng - Chất điểm đứng yên: - Chất điểm chuyển động thẳng đều: Cả hai trạng thái vận tốc chất điểm không thay đổi Tổng quát: Ý nghĩa định luật I Newton: Định luật I Newton cho ta cách tìm, xác định hệ quy chiếu qn tính hệ quy chiếu mà định luật I Newton nghiệm Rõ ràng cách xác định hệ quy chiếu theo cách đơn giản dựa vào định luật lượng Do đó, định luật I Newton gọi định luật quán tính Cịn xu hướng bảo tồn vận tốc vật gọi quán tính b Định luật II Newtơn: * Khái niệm lực: Lực đại lượng vật lý đặc trung cho tác dụng vật vào vật khác, số đo tác động học đối tượng khác tác động vào vật Số đo đặc trung cho hướng độ lớn lực tác dụng Lực kí hiệu F (Force) Trong hệ SI, lực có đơn vị Newtơn (N) Lực đại lượng vectơ khái niệm động lực học -Công thức định nghĩa lực: - Phương lực : cho biết phương tác dụng -Chiều lực : cho biết chiều tác dụng -Độ lớn : cho biết độ mạnh yếu (cường độ) tác dụng -Điểm đặt : cho biết vị trí (điểm) chịu tác dụng * Khái niệm khối lượng Mọi vật có xu hướng bảo tồn trạng thái chuyển động ban đầu Thuộc tính gọi quán tính vật Mức quán tính vật đặt trưng đại lượng vật lý, khối lượng Ta nói, khối lượng số đo mức quán tính vật mức hấp dẫn vật vật khác Trong hệ SI, đơn vị đo khối lượng kilogam (kg) đơn vị * Phát biểu định luật II Newton: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi vật chịu tác dụng ngoại lực , thu gia tốc thuận với lực tỉ lệ nghịch với khối lượng vật Nếu vật chịu tác dụng nhiều lực Khi phương trình trở thành: theo hướng lực, tỉ lệ hợp lực tất lực thành phần Định luật II Newton phát biểu coi sở động lực học chất điểm c Định luật III Newtơn: Phát biểu: Lực tương tác lẫn hai vật cặp lực trực đối, nghĩa chúng giá, ngược chiều độ lớn Định luật Newton lực không xuất riêng lẻ mà xuất theo cặp động lực-phản lực (cặp lực trực đối) Nói cách khác, lực xuất có tương tác qua lại hai hay nhiều vật với Trong tương tác hai vật A B Nếu A tác dụng lực lực lên A lên B, B gây 1.2 Phương pháp động lực học a Phương pháp động lực học - nguyên tắc Phương pháp động lực học phương pháp sử dụng phương trình động lực học để giải tốn chuyển động Đối với chất điểm, hệ quy chiếu quán tính, định luật Newton Khi sử dụng phương pháp định luật Newton định luật II phương trình (định luật I coi trường hợp riêng định luật II), định luật III sử dụng phương trình phụ giúp ta loại bỏ cặp lực tương hỗ để đơn giản hóa cách giải Nếu hệ gồm nhiều hạt, ta phải viết cho hạt phương trình định luật II Newton giải hệ phương trình Vì phương trình định luật II Newton phương trình vecto nên để thuận tiện cho tính tốn ta phải biến phương trình thành phương trình vơ hướng Muốn vậy, ta chọn hệ trục tọa độ thích hợp (thông thường chọn hệ tọa độ Dercastes) chiếu phương trình vecto xuống trục tọa độ Do đó, thay cho việc giải hệ phương trình vecto, ta giải hệ phương trình vơ hướng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b Trình tự giải toán phương pháp động lực học Để giải toán động lực học ta thực theo bước sau: Bước 1: Đọc kỹ ra, phân tích tượng học xảy toán để thấy mối liên hệ lực, để vẽ chiều lực (ví dụ khơng biết chiều trượt vật, ta chiều lực ma sát trượt) Xác định cá kiện ẩn số Vẽ hình biểu diễn đầy đủ lực tác dụng lên hạt hình vẽ Bước 2: Viết cho hạt phương trình động lực học dạng vecto (tức phương trình định luật Newton) Trong phương trình phải viết đầy đủ lực tác dụng lên hạt Bước 3: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp chiếu phương trình vecto lên trục tọa độ, ta hệ phương trình vơ hướng Việc chon hệ trục tọa độ nguyên tắc tùy ý, song nên chọn sa cho chiếu phương trình vecto xuống trục chọn có dạng đơn giản Nếu ẩn số nhiều số phương trình vơ hướng thu ta phải tìm thêm phương trình phụ Đó phương trình liên hệ lực phương trình liên hệ đặc trưng động học vận tốc, gia tốc, quãng đường, hạt hạt Việc tìm phương trình phụ dể dang bước phân tíc tượng học xảy tiến hành kỹ lưỡng Bước 4: Khi tổng số phương trình vơ hướng phương trình phụ ẩn số tốn ta tiến hành giải phương trình để tìm ẩn số -Nếu biết lực, ta xác đình đại lượng động học (bài tốn thuận): Tính gia tốc suy vận tốc vị trí phương pháp tích phân -Nếu biết chuyển động, ta tính lực tác dụng (bài toán nghịch) Bước 5: Kiểm tra biện luận Các biện pháp tổ chức thực Trong động lực học, người ta chia làm hai loại toán sau đây: Bài toán thuận động lực học biết chuyển động chất điểm, xác định lực gây chuyển động Bài toán ngược động lực học biết lực tác dụng lên chất điểm điều kiện ban đầu chuyển động, xác định chuyển động chất điểm 2.1 Bài toán thuận động lực học Để giải loại toán này, trước tiên cần phải xác định gia tốc chất điểm, sau áp dụng cơng thức để tìm lực tác dụng lên chất điểm 2.2 Bài toán ngược động lực học LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Để giải toán ngược cần xác định cụ thể lực tác động lên chất điểm, sau áp dụng tìm gia tốc mà chất điểm thu Nếu biết vận tốc vị trí ban đầu chất điểm cách lấy tích phân gia tốc a ta xác định vận tốc tọa độ chất điểm theo thời gian, nghĩa biết phương trình chuyển động phương trình quĩ đạo chất điểm 2.3 Một số ví dụ để vận dụng cách giải toán động lực học Bài :Hai vật A B trượt mặt bàn nằm ngang nối với dây không giãn, khối lượng không đáng kể Khối lượng vật m A = 2kg, mB = 1kg, ta tác dụng vào vật A lực F = 9N theo phương song song với mặt bàn Hệ số ma sát hai vật với mặt bàn m= 0,2 Lấy g = 10m/s2 Hãy tính gia tốc chuyển động Bài giải: Bước 1: Hiện tượng học: Hai nối với dây giãn trượt mặt nằm ngang vật không phẳng Các lực tác dụng lên vật: Vật A: Trọng lực lực tác dụng , phản lực vng góc , lực căng dây , lực ma sát , Vật B: Trọng lực lực tác dụng , phản lực vng góc , lực căng dây , lực ma sát , Vì dây không giãn, nên vật chuyển động gia tốc Bỏ qua khối lượng dây, nên lực căng tác dụng lên vật Chiều chuyển động chiều mà lực F tác dụng lên vật Do đó, lực ma sát có chiều hình vẽ Bước 2: Viết phương trình động lực học dạng vecto: *Đối với vật A ta có: (1) * Đối với vật B: (2) Bước 3: Chọn hệ trục hình vẽ: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com T1 =T2 =T a1 = a2 = a fms =kN = kmg P = mg - Chiếu (1) lên Ox, ta được: F T1 F1ms = m1a1 - Chiếu (1) lên Oy, ta được: -P1+N1 = F- T - k1g = m1a (3) m1g + N1 = (4) - Chiếu (2) lên Ox, ta có: T2 F2ms = m2a2 - Chiếu (2) lên Oy, ta được: -P2 + N2 = T- F2ms = m2a m2g + N2 = (5) (6) Bước 4: Cộng (3) (5) ta được: F k(m1 + m2)g = (m1+ m2)a Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, cơng thức, kết ta thấy hồn tồn phù hợp Bài tốn cho số, kết khơng có đặc biệt nên khơng cần phải chứng minh Bài :Hai vật khối lượng m = 1kg nối với sợi dây không giãn khối lượng không đáng kể Một vật chịu tác động lực kéo hợp với phương ngang góc = 300 Hai vật trượt mặt bàn nằm ngang góc = 300 Hệ số ma sát vật bàn 0,268 Biết dây chịu lực căng lớn 10 N Tính lực kéo lớn để dây không đứt Lấy = 1,732 Bài giải: Bước 1: Hiện tượng vật nối với khơng giãn mặt phẳng nằm học: Hai dây trượt ngang Các lực tác dụng lên vật: Vật 1: Trọng lực , phản lực vng góc lực tác dụng hợp với phương ngang góc , lực căng dây , lực ma sát , LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vật 2: Trọng lực , phản lực vng góc tác dụng hợp với phương ngang góc , lực căng , lực ma sát , lực Vì dây khơng giãn, nên vật chuyển động gia tốc Bỏ qua khối lượng dây, nên lực căng tác dụng lên vật Chiều chuyển động chiều mà lực F tác dụng lên vật Do đó, lực ma sát có chiều hình vẽ Bước 2: Viết phương trình động lực học dạng vecto: *Đối với vật ta có: (1) *Đối với vật ta có: (2) Bước 3: Ta có: T1 = T2 = T a1 = a2 = a m1 = m = m Chiếu (1) lên Oy, ta được: Fsin 300 P1 + N1 = Chiếu (1) xuống Ox, ta được: F.cos 300 T1 F1ms = m1a1 Mà F1ms = k N1 = k(mg Fsin 300) F.cos 300 T1=k(mg Fsin 300) = m1a1 (3) Chiếu (2) lên Oy, ta được: P2 + N2 = Chiếu (2) xuống Ox, ta được: T F2ms = m2a2 Mà F2ms T2 k m2g = m2a2 (4) = k N2 = km2g Bước 4: Từ (3) (4), suy : : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy Fmax = 20 N Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, công thức, kết ta thấy hồn tồn phù hợp Bài tốn cho số, kết khơng có đặc biệt nên khơng cần phải chứng minh Bài : Cần tác dụng lên vật m =3kg mặt phẳng nghiêng góc lực F để vật nằm yên, hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng k =0,2; biết vật có xu hướng trượt xuống Lấy g =10m/s2 Bài giải: Bước 1: Hiện tượng học: Vật chuyển động theo mặt phẳng nghiêng Vật: Trọng lực , phản lực vng góc , lực ma sát , lực tác dụng Bước 2: Áp dụng định luật II Newtơn ta có : (1) Bước 3: Chọn hệ trục Oxy hình vẽ.: Fms = kN = k(mgcox + F sin) -Chiếu phương trình (1) lên trục Oy, ta được: N Pcox Fsin = N = Pcox + F sin -Chiếu phương trình (1) lên trục Ox, ta : Psin F cox Fms = F cox = Psin Fms = mg sin kmg cox kF sin Bước 4: Từ (2), suy ra: 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, công thức, kết ta thấy hồn tồn phù hợp Bài tốn cho số, kết khơng có đặc biệt nên khơng cần phải chứng minh Bài :Hai vật A B có khối lượng m A = 600g, mB = 400g nối với sợi dây nhẹ khơng dãn vắt qua rịng rọc cố định hình vẽ Bỏ qua khối lượng rịng rọc lực ma sát dây với ròng rọc Lấy g = 10m/s Tính gia tốc chuyển động mối vật Bài giải: Bước 1: Hiện tượng học: Hai vật A B nối với sợi dây nhẹ khơng giãn, vắt qua rịng rọc cố định Các lực tác dụng lên vật: Vật A: Trọng lực , lực căng Vật B: Trọng lực , lực căng Vì dây khơng giãn nên hai vật chuyển động gia tốc, bỏ qua khối lượng ròng rọc lực ma sát dây ròng rọc nên lực căng tác dụng lên hai vật Vì mA > mB nên thả vật A xuống vật B lên Các lực có chiều hình vẽ: Bước 2: Viết phương trình động lực học dạng vecto: (1) (2) Bước 3: Ta có: TA = TB = T ; aA = aB = a Chiếu (1) lên trục x, ta được: (3) 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chiếu (2) lên trục y, ta được: (4) Bước 4: Từ (3) (4), suy ra: Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, công thức, kết ta thấy hồn tồn phù hợp Bài tốn cho số, kết khơng có đặc biệt nên không cần phải chứng minh Bài 5: Một hệ gồm ba vật khối lượng m 1, m2, m3 treo hai rịng rọc sợi dây khơng co dãn hình bên Giả sử khối lượng rịng rọc sợi dây khơng đáng kể Bỏ qua ma sát dây ròng rọc Hãy xác định gia tốc vật lực căng sợi dây Bài giải Bước 1: Hiện tượng học: Ba vật 1, treo hai rịng rọc sợi dây khơng dãn Các lực tác dụng lên vật: Vật 1: Trọng lực , lực căng Vật 2: Trọng lực , lực căng Vật 3: Trọng lực , lực căng Các vật có chiều chuyển động hình vẽ: Chọn chiều dương trục Ox hướng xuống độ (vị trí O) chọ rịng rọc thứ vị trí đổi theo thời gian Vị trí m1 x1, m2 x2, ròng rọc thứ hai x0 hình vẽ Gốc tọa khơng thay m3 x3, Bước 2: Các phương trình động lực học dạng vecto: (1) (2) (3) Bước 3: Chiếu phương trình (1), (2), được: (3) lên Ox, ta (4) 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (5) (6) Do rịng rọc khơng có khối lượng dây không dãn nên dễ dàng suy rằng: (7) (8) Ta có ẩn số a1, a2, a3, T1, T2, T3, mà có phương trình, ta cần tìm thêm phương trình Ta thấy rằng: vật bị nối với qua sợi dây nên chuyển động chúng có ràng buộc lẫn nhau, hay nói gia tốc chúng có mối quan hệ với Ta tìm mối quan hệ Gọi r bán kính rịng rọc Do sợi dây l l2 khơng giãn nên ta có phương trình biểu diễn độ dài sợi dây sau: (9) (10) Lấy phương trình (9) nhân cộng với phương trình (10), ta được: Lấy đạo hàm hai lần theo thời gian phương trình (với só r, l1, l2), ta được: hay (11) Bước 4: Lấy (4) trừ (5) (6), ta : (12) Lấy (5) trừ (6), ta được: (13) Giải hệ ba phương trình (11), (12), (13), ta tìm : (14) Thay (14) vào (13) ta tìm : (15) Thay (15) (14) vào (11) ta tìm : 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (16) Thay (16) vào (4) ta tìm lực căng : Từ (7) (8), suy ra: Bước 5: Nếu m1=m2+m3 m2=m3 a1=a2=a3=0 hệ vật đứng yên Kiểm tra lại thứ nguyên, công thức ta thấy kết hoàn toàn phù hợp Bài 6: Cho hệ vật gồm hai vật có khối lượng m m2 đặt mặt nằm ngang khơng ma sát hình vẽ Hệ số ma sát hai vật k Tác dụng lực F=bt vào vật theo phương ngang Trong suốt trình, vật ln vật Tính thời điểm t mà từ vật bắt đầu trượt vật 2 Bài giải Kí hiệu lực ma sát tác dụng lên vật và Ta không quan tâm đến trọng lực vật phản lực theo phương thẳng đứng, chúng vng góc với phương chuyển động hệ, nên ta khơng vẽ lên hình Bước 1: Trước trước điểm t0, hai vật dính liền chuyển động Sau thời diểm t0, vật trượt vật F cực đại tai t0, nên sau thời điểm t0, F2 không tăng Trong lực tác dụng lên vật F=bt tiếp tục tăng Các lực tác dụng lên vật: Vật 1: Lực ma sát lên vật 1) Vật 2: Lực ma sát (vật tác dụng x (vật tác dụng lên vật 2) Lực F=bt tác dụng lên vật 1, kéo theo vật chuyển động Bước 2: Viết phương trình động lực học dạng vecto: Đối với hệ hai vật hệ quy chiếu đứng yên: (1) 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gắn hệ phi quán tính k' với vật 2: Phương trình động lực học hệ k': (2) Bước 3: Chọn trục tọa độ hình vẽ Chiếu (1) lên trục x, ta được: Tại t=t0 a=a0: (3) Chiếu (2) lên trục x, ta được: Tại t=t0 a=a0 Lại có: (4) Bước 4: Thay (3) vào (4), ta được: Bước 5: Ta thấy k, m1, m2, g b số Vậy t0=const Kiểm tra lại thứ nguyên, công thức ta thấy kết hoàn toàn phù hợp C KẾT LUẬN CHUNG I Kết đề tài nghiên cứu Việc giải toán phần “Động lực học chất điểm” chủ yếu dựa hai phương pháp bản: + Phương pháp lượng + Phương pháp động lực học chất điểm 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp động lực học chất điểm phân tích tượng học xảy toán để thấy mối liên hệ chuyển động hạt hệ, mối liên hệ lực, giải thích tượng học xảy hay tính tốn để tìm kết Ngồi cách dùng lực trực quan biểu thị vec tơ Trong trình thực trường THPT Đặng Thai Mai, lớp trực tiếp giảng dạy Tôi hướng dẫn học sinh giải số toán động lực học theo đề xuất Kết quả, khả học sinh phân tích lực giải tốn tăng lên rõ rệt Cụ thể sau: Lớp 10A2 10A3 Số lượng 35/44 (79,5%) 33/42 (78,6%) II Ý kiến đề xuất Trong chương trình lớp 10, giải tốn phương pháp động lực học có nhiều ưu điểm sở để học sinh giải nhiều tốn khác Vì vậy, giáo viên giảng dạy lớp nên rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh tốt Đề tài cịn nhiều hạn chế nên tơi mong đóng góp ý kiến chân thành đồng chí tổ chun mơn ban Giám hiệu nhà trường với đề tài 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... chức thực Trong động lực học, người ta chia làm hai loại toán sau đây: Bài toán thuận động lực học biết chuyển động chất điểm, xác định lực gây chuyển động Bài toán ngược động lực học biết lực tác... tốc vật lực căng sợi dây Bài giải Bước 1: Hiện tượng học: Ba vật 1, treo hai rịng rọc sợi dây khơng dãn Các lực tác dụng lên vật: Vật 1: Trọng lực , lực căng Vật 2: Trọng lực , lực căng Vật. .. dục học sinh trường THPT Đặng Thai Mai, để khắc phục khó khăn định hướng phương pháp giải tốn Vật lý, tơi mạnh dạn đưa “một số đề xuất cách giải tốn động lực học chương trình vật lý THPT? ?? giúp học
Ngày đăng: 10/10/2022, 05:24
Xem thêm:
