SKKN NGUYỄN ĐÌNH QUÝ 2021

Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÚ HOÀ TRƢỜNG THCS TRẦN HÀO TỔ : TOÁN - TIN – THỂ DỤC - - MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN TÊN SÁNG KIẾN HƢỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH  Tên tác giả: NGUYỄN ĐÌNH QUÝ Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trƣờng THCS TRẦN HÀO Tháng năm 2021 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số toán hình PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÚ HỒ TRƯỜNG THCS TRẦN HÀO TỔ : TOÁN - TIN – THỂ DỤC - MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN TÊN SÁNG KIẾN HƢỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH  Tên tác giả: NGUYỄN ĐÌNH QUÝ Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trƣờng THCS TRẦN HÀO Hoà Quang Nam, tháng năm 2021 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Cấp Huyện Kính gửi: - Hội đồng xét duyệt sáng kiến Huyện Phú Hòa - Hội đồng xét duyệt sáng kiến Trƣờng THCS Trần Hào 1.Tên sáng kiến: HƢỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH Tác giả sáng kiến: - Họ tên : NGUYỄN ĐÌNH QUÝ - Ngày, tháng, năm sinh: 19/11/1967 ; Giới tính: Nam - Email: nguyendinhquy007.tic@gmail.com - Điện thoại: 0373902625 - Chức vụ: Giáo viên - Trình độ chun mơn: Đại học Sư phạm Tốn - Cơ quan, đơn vị: Trường Trung học sở Trần Hào - Địa chỉ: Hòa Quang Nam - Phú Hòa - Phú Yên Đồng tác giả sáng kiến: (không ) Chủ đầu tư tạo sáng kiến: ( Khơng có) Các tài liệu kèm theo: 5.1 Biên họp Hội đồng sáng kiến cấp sở 5.2 Quyết định việc công nhận sáng kiến cấp sở Hòa Quang Nam, ngày 09 tháng 03 năm 2020 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (Chữ ký họ tên) Nguyễn Đình Quý Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: HƢỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Trong mơn học trường THCS mơn tốn mơn quan trọng nói khó Ở trường THCS , học ba phân mơn tốn học , Số học, Đại số Hình học Trong ba phân mơn học sinh thường gặp khó khăn việc giải tập Hình học - Trong tìm phương pháp giải tốn Hình học ,ta gặp số tốn mà khơng vẽ thêm đường phụ bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố cho việc giải tốn trở nên thuận lợi hơn, dễ dàng Thậm chí có phải vẽ thêm yếu tố phụ để có lợi cho việc giải tốn điều kiện khó khăn phức tạp - Kinh nghiệm thực tế cho thấy , khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ , mà sáng tạo giải tốn , bỡi việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải tốn cách ngắn gọn công việc tùy tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình Nhiều người giáo viên tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ khơng thể giải thích rõ cho học sinh hiểu lại vẽ vậy, học sinh hỏi giáo viên: Tại cô (thầy) lại nghĩ cách vẽ đường phụ , ngồi cách vẽ cịn có cách vẽ khác không? Hay : Tại vẽ giải tốn ? Gặp phải tình , thật người giáo viên phải vất để giải thích mà có hiệu không cao , học sinh không nghĩ cách làm gặp tốn tương em chư biết cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy thấy : Để giải vấn đề cách triệt để , mặt khác lại nâng cao lực giải toán bồi dưỡng khả tư tổng quát cho học sinh , tốt ta nên trang bị cho em sở việc vẽ thêm đường phụ số phương pháp thường dùng vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết toán Hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ , từ em tiếp xúc với số tốn , em chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải cho toán , hiệu cao - Đã có nhiều tài liệu , sáng kiến viết vẽ thêm đường phụ Hình học , tác giả nêu số cách nêu chưa đầy đủ không rõ kẽ thêm đường phụ - Vì tơi viết sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình” nhằm giải vấn đề đặt Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình Mô tả giải pháp cũ thƣờng làm: - Trong q trình giảng dạy mơn hình học trường THCS tơi nhận thấy nhiều học sinh cịn lúng túng làm tập chứng minh hình học, mhất tập cần phải vẽ thêm đường phụ Khi làm tập dạng này, hầu hết học sinh khơng nghĩ đến việc vẽ đường phụ, vẽ đường phụ cách mị mẫn, chí cịn có học sinh cịn vẽ đường phụ sai - Về phía giáo viên chữa tập dạng thường nêu cách vẽ đường phụ, sau gợi ý để em chứng minh, giáo viên chưa phân tích cặn kẽ để học sinh hiểu lại phải kẽ thêm đường phụ vậy; vẽ thêm đường phụ có ích lợi cho việc chứng minh - Do học sinh phần lớn khơng khỏi lúng túng , chí bế tắc gặp toán phải kẽ thêm đường phụ - Vấn đề định hướng cho học sinh vẽ đường phụ chứng minh hình học giúp em dần hình thành phương pháp suy luận, phát triển tư lô gíc, óc tìm tịi sáng tạo thơng qua việc giải tập hình học điều tơi cảm thấy cần phải làm - Xuất phát từ điều thiết thực đó, tơi đề xuất sáng kiến “ hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình ” để nghiên cứu áp dụng trình dạy học Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu áp dụng thử : 05/09/2019 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình Nội dung 5.1 Mô tả giải pháp cải tiến Việc giúp học sinh có hứng thú học ham thích học mơn Tốn hình u cầu cần thiết ; giáo viên cần giúp học sinh thấy nắm vững yêu cầu vẽ đường phụ a) Các yêu cầu vẽ đƣờng phụ:  Vẽ đường phụ phải có mục đích giúp học sinh chứng minh toán.Dựng đường phụ phải đường có phép dựng hình xác định  Đường phụ điểm  Đường phụ đường thẳng, đoạn thẳng  Đường phụ đường phân giác  Kẽ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối liên hệ để giải toán  Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ  Đường phụ đường vng góc ,để tạo nửa tam giác đều, tam giác vuông cân, tạo hai tam giác nhau…… Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình b) Các biện pháp phân tích tìm cách vẽ đƣờng phụ:  Kẽ thêm đoạn thẳng : - Kẽ thêm đoạn thẳng làm xuất hai tam giác nhau, tam giác cân,tam giác - Kẽ thêm đoạn thẳng đoạn thẳng khác : Lấy trung điểm đoạn thẳng Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho có hình vẽ Dựa vào tốn quen thuộc, định lý tính chất học, học sinh nguyên cứu giả thiết kết luận tốn, tìm điểm tương đồng từ vễ đường phụ thích hợp để đưa toán cần giải toán quen thuộc Bài toán 1: Cho  C (AB = AC).Gọi AH đường cao tam giác, BD phân giác góc ABC Biết góc A 1080 Chứng minh : BD = 2AH A D B H C a) Hƣớng dẫn học sinh vẽ thêm đƣờng phụ: Để vẽ đừng phụ trước hết ta cần phân tích cặn kẽ đề để xem phải vẽ đường phụ vẽ đường phụ ? - Xuất phát từ kết luận BD = 2AH ,để chứng minh BD =2AH BD AH khơng nằm đường thẳng, khơng có quan hệ đường trung bình cạnh thứ ba chưa có đoạn thẳng 1/2BD để chứng minh đoạn thẳng AH, chưa có đoạn thẳng 2AH để chứng minh đoạn thẳng BD, nên khơng thể suy BD = 2AH mà không vẽ thêm đường phụ - Vấn đề đặt phải vẽ thêm đường phụ để đạt mục đích chứng minh BD = 2AH Đến phần lớn suy luận theo hai hướng : - Hướng1:Tạo đoạn thẳng 2AH chứng minh đoạn thẳng BD - Hướng 2:Tạo đoạn thẳng BD chứng minh đoạn thẳng AH - Giả sử theo hướng thứ nhất: Tạo đoạn thẳng 2AH chứng minh đoạn thẳng BD - Đến lại nảy sinh vấn đề tạo đoạn thẳng cho có lợi ,để liên hệ với giả thiết với Nhận thấy  C cân A nên đường cao AH trung tuyến phân giác.Sử dụng kết AH trung tuyến  C ,thì ta tạo đoạn thẳng sau : Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình - Trên tia đối AC lấy điểm E cho AE = AC Nối EB dễ thấy BE = 2AH Ta chứng minh BD = 2AH Điều không khó khăn Giải: Trên tia đối AC lấy điểm E cho AE = AC Nối EB E Xét CBE có HB = HC (gt) , AE = AC (cách dựng) Do AH đường trung bình CBE Nên BE  AH Và BE // AH  AEˆ B  CAˆ H  1080  54 A (1) D 180  1080  36 Mặt khác  C cân A nên Bˆ  Cˆ  B 36  54 (2) Xét BDC có ADˆ B  Cˆ  DBˆ C  36  Từ (1) (2) suy BDE cân B  D  BE C H Do BD = 2AH (đpcm) +) Giả sử theo hƣớng thứ hai: Tạo đoạn thẳng BD chứng minh đoạn thẳng AH - Vấn đề tạo đoạn thẳng có lợi ? có nhiều cách tạo đoạn thẳng BD lấy trung điểm BD; tạo đường trung bình BD Căn vào giả thiết AH trung tuyến  C tạo đường trung bình DC có lợi sử dụng trung điểm H BC A - Do đường phụ tạo sau : tamgiác Gọi E trung điểm DC Khi HE đường trung bình DC  HE  BD D E B H C Việc chứng minh HE = HA khơng khó khăn , ta cần HAˆ E  AEˆH  540 xong b)Nhận xét : - Khi hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ ,giáo viên kết hợp phương pháp phân tích lên - Giáo viên khơng nên áp đặt suy nghĩ cách vẽ hình cho học sinh mà nên gợi ý ,tạo tình có vấn đề để học sinh tự giải nhằm phát huy tính sáng tạo lực suy diễn học sinh Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình Bài tốn 2: Cho M điểm nằm hai điểm A B Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, ta dựng tam giác AMC BMD Gọi E F trung điểm AD BC Chứng minh : EF = CD a/ Nhận xét : Kết luận toán dạng với kết luận tốn Nhìn từ góc độ vẽ thêm đường phụ hai tốn dạng với giáo viên cần hướng dẫn tốn ,tức có hai hướng vẽ thêm hình : - Tạo đoạn thẳng CD chứng minh đoạn thẳng EF - Tạo đoạn 2EF chứng minh đoạn thẳng CD  Bản thân giải tập vẽ thêm sau: Gọi I, K, G trung điểm MC, MD, AB Dễ thấy IK = 1 CD CD 2 cần chứng minh : IK = EF Điều suy từ GEEF  MKI (c.g.c) EF = b)Một số cách vẽ thêm đường phụ tập CD (đpcm) D C E K I F A M B G - Sau giảng lại tốn cho học sinh tơi Gợi ý cho em theo hai hướng : - Tạo đoạn thẳng CD chứng minh đoạn thẳng EF - Tạo đoạn 2EF chứng minh đoạn thẳng CD Kết bất ngờ ; cách vẽ học sinh cịn có nhiều cách vẽ thêm hình khác lời giải D Cụ thể như: C Cách 1: gọi I, K, H trung điểm Của AC, AM, AB Dễ thấy IE = CD ta chứng Minh IEK  FEH (c.g.c)  EF  IE  EF  CD (đpcm) A E I F K M H B Cách : tương tự cách lấy trung điểm đoạn thẳng BD, MB, BA Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình c)Tiểu luận: - Qua tốn thấy sức sáng tạo học sinh lớn ,vậy hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ - Giáo viên khơng nên áp đặt suy nghĩ cho học sinh mà giáo viên nên hướng dẫn , định hướng để học sinh tìm cách vẽ đường phụ chứng minh toán Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình Bài tập 3: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy AB kéo dài đoạn BD = AB Gọi CE trung tuyến tam giác ABC Chứng minh : CE = CD A E B C M D - phân tích Từ kết luận toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm CD Muốn chứng tỏ đoạn thẳng nửa đoạn thẳng khác cách làm chia đoạn thẳng chuyển toán chứng minh hai đoạn thẳng Gọi M trung điểm đoạn thẳng CD ,ta có CM = MD, ta phải chứng minh CE = CM CE = DM Chọn CE = CM - Tổng hợp : Nối B với trung điểm M CD ta chứng minh EC  MBC Thì ta suy CE = CM điều phải chứng minh Việc hướng dẫn học sinh kẽ đường phụ dựa vào phân tích tổng hợp  Phƣơng pháp kẽ thêm đƣờng phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối liên hệ dể giải toán: Bài toán 4: Trên hai cạnh AB, AC ABC lấy hai điểm D, E cho BD = CE ,kéo dài DE cắt BC F Chứng minh AB FE  AC FD A D E F B C a)Nhận xét: Không thể chứng minh trực tiếp AB FE khơng phải cạnh tương  AC FD ứng hai tam giác đồng dạng ,cũng Khơng thể dùng tính chất đường phân giác để 10 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình suy Do để chứng minh AB FE ta phải dùng tỉ số trung giang để biến  AC FD đổi AB ? Hãy liệt kê tỉ số đó? Những hình AC AB FE hình vẽ khơng có tỉ số Do phải kẽ thêm đường phụ AC FD - Vấn đề đặt tỉ số - Đường phụ kẽ thêm phải cần đạt mục đích : - Vận dụng giả thiết toán - Biến đổi tỉ số AB FE đường phụ cần phải vẽ thêm phải AC FD đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước A b)Một số hướng vẽ đường phụ: D Cách 1: E Từ D kẽ đường thẳng song song với AC cắt BC M ta có : AB DB EC FE    AC DM DM FD Cách : Từ D kẽ đường thẳng song song BC cắt AC M AB DB EC FE Ta có    AC MC MC FD F B M A M D E F B C A Cách : Từ E kẽ đường thẳng song song AB cắt BC K Ta có C D AB EK EK FE    AC CE BD FD E F B K C A Cách : Từ E kẽ đường thẳng song song BC cắt AB I AB IB IB FE    Ta có AC CE BD FD D E I F B C c)Tiểu luận: Chỉ thông qua số định hướng nhỏ học sinh tự tìm cách vẽ đường phụ 11 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình  Phƣơng pháp dựa vào biến đổi đại số để xác định đƣờng phụ Bài tốn 5: Cho  C có ˆ  2ˆ Chứng minh BC2 = AC2 + AC AB Hướng dẫn: - Các định lý tính chất giúp ta có cơng thức liên quan đếncơng thức cần chứng minh ? HS : câu trả lời định lý Pitago cơng thức gần với công thức GV: Hướng dẫn học sinh loại bỏ định lý Pitago khơng tạo góc vng có liên quan đến độ dài ba cạnh GV: Ngồi định lý Pitago cịn có cách không? Câu trả lời định lý talét tam giác đồng dạng - Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa dạng tỷ số để gắn vào tam giác đồng dạng C  AC  AC AB  BC  AC. AC  AB   BC AC AC AC  AB Hay   AC  AB BC AB BC - GV nói tốn quen thuộc việc chứng minh hệ thức a.b = c.d dựa vào tam giác đồng dạng cách tạo đoạn thẳng AB + AC -Từ học sinh nghĩ cách đưa hai cách vẽ đặt liên tiếp cạnh AB đoạn AC đặt cạnh AC đoạn AB - Chọn đặt cạnh kề để vận dụng giả thiết ˆ  2ˆ ? Từ ta có lời giải D Giải: Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AB Khi ABC cân A nên: ˆ D  Dˆ B Nên : ˆ C  2ˆ D  2Dˆ B ( góc ngồi ABD ) Xét ABC BDC có : ˆ C , Cˆ (chung) Nên ABC = BDC (g.g) ˆ C   Dˆ C   C C    C  AC.CD  AC. AC  AD   AC  AC AB CD BC B A Như việc dạy cho học sinh biết cách giải toán mà lời giải có kẽ thêm đường phụ khơng đơn đưa số giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững yêu cầu vẽ đường phụ, sau phân dạng tốn đưa vào gợi mở cho học sinh tìm lời giải cho cụ thể  Phƣơng pháp vẽ giao điểm hai đƣờng thẳng - Vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng nhằm làm xuất tam giác có mối liên hệ góc cạnh tam giác vẽ hình vẽ - Sử dụng ?Ta thường cách vẽ hai đối tượng liên quan ( đoạn thẳng, đường thẳng tam giác…) thường chưa có mối liên hệ độ dài , góc 12 C Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình Bài tốn : Cho C có ˆ  90 , AB < AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ tia Bx vng góc với BC ; tia lấy điểm D cho BD = BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , vẽ tia By vng góc với BA ; tia lấy điểm E cho BE = BA Chứng minh DA  EC Phân tích : D D A A B C E H.a H B E C K H.b - Để chứng minh DA  EC , ta sử dụng tính chất từ song song song song đến vng góc, khó tìm đường thẳng thứ ba hình vẽ có quan hệ vng góc song song với DA EC ( H a) – Ta nghĩ đến việc chứng minh góc tạo bỡi hai đường thẳng 900 Như cần vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng Kéo dài DA cắt BC EC theo thứ tự H K ( H b) Ta phải chứng minh Kˆ C  90 - Ta dễ dàng chứng minh D  EBC(c  g  c) suy Dˆ   Cˆ E nên để chứng minh Cˆ   90 ta chứng minh Cˆ  ˆ D ˆ D  90 - Để chứng minh Cˆ  ˆ D ta so sánh cắp góc hai tam giác D KC Rõ ràng hai tam giác có hai cặp góc nên ta dễ dàng tìm lời giải toán Giải : (H b) Gọi H , K theo thứ tự giao điểm DA với BC EC Xét D EC có : AB = BE (gt) ˆ D  E ˆ C ( phụ  ˆC)  AD = BC (gt) Suy D = EC (c-g-c) Do Dˆ   Cˆ E Xét H D HKC có Dˆ   Cˆ E ( cmt) ˆ   K ˆ C (đối đỉnh) D Nên H D ~ HKC (g.g) suy Kˆ C  ˆ D  900 hay HK  EC Vậy DA  EC (đpcm) 13 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình Nhận xét : Rõ ràng ta không vẽ thêm giao điểm khó tìm lời giải toán Việt vẽ thêm giao điểm đường thẳng làm xuất mối liên hệ góc hai tam giác việc chứng minh toán trở nên đơn giản nhiều Bài toán Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB Vẽ tia Ax By vng góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax Đường vng góc với OC O cắt By D Chứng minh CD = AC + BD Phân tích : + Để chứng minh CD = AC + BD (H.a) ta cần tìm đoạn thẳng trung gian để so sánh Từ ta thấy có hai hướng giải quyết: - Một ,trên CD lấy điểm I cho CI = CA (H.b) Như ta cần phải chứng minh DI = DB Nhưng để chứng minh điều lại không đơn giản - Hai , kéo dài CO cắt DB E (H.c) Dễ dàng chứng minh AC = BE CD = DE từ suy điều phải chứng minh x D C A x x Ha B D D I C O y y y C O A Hb B A O Hc B E Giải : (H.c) Gọi E giao điểm CO DB Xét OAC OBE có : ˆ C  ˆ E  900 ; OA = OB (gt) ; ˆ C  ˆ E (đ.đ) Nên OAC = OBE (g-c-g) suy AC = BE OC = OE Xét OCD OED có : OC = OE (cmt) ˆ C  D ˆ E  90 ; OD ( chung) D Nên OCD = OED (c- g-c) suy CD =DE Mà DE = BD + BE = BD + AC Vậy CD = AC + BD Nhận xét : Nhờ vẽ thêm giao điểm ta làm xuất tam giác , từ suy đoạn thẳng Hơn xuất đoạn thẳng trung gian ED làm cho việc chứng minh trở nên đơn giản nhiều 14 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình  Phƣơng pháp kẽ thêm đƣờng phân giác - Kẽ thêm đường phân giác nhằm làm xuất hai góc nhau, hai tam giác nhau, tam giác cân , tam giác đều,… - Sử dụng nào? Ta thường dùng cách vẽ muốn gắn hai đối tượng lien quan (đoạn thẳng,đường thẳng, tam giác …) vào hai tam giác có liên hệ góc cạnh Bài tốn Cho ABC có ˆ  60 Tia phân giác góc B cắt AC D , tia phân giác góc C cắt AB E Cứng minh : BC = BE + CD Phân tích: Gọi I giao điểm BD CE (Ha) ta dễ dàng tính : ˆC  120 ; ˆE  CˆD  60 Để chứng minh BC = BE + CD ta thấy có hai hướng giải sau: - Trên cạnh BC lấy điểm M cho BE = BM (Hb) từ cần chứng minh CD = CM Vì ˆC  120 ; ˆE  CˆD  60 - Nếu gọi M giao điểm tia phân giác ˆC với cạnh BC ˆM  CˆM  60 ,suy ˆE  ˆ; CˆM  CˆD Từ ta dễ dàng tìm lời giải Ở ta trình bày cách thứ hai A A E D E I C B H.a B A D D I M H.b C E I B M H.c C Giải : (H.c) Gọi I giao điểm BD CE Ta có ta có ˆ  Cˆ  1800  600  1200 Suy ˆ   Cˆ  1800 :  600  ˆC  1800  600  1200 Và EIˆB  DIˆC  60 ( t/c góc ngồi tam giác  C ) Kẽ tia phân giác góc BIC cắt BC M,suy BIˆM  MIˆC  60 Xét BIE BIM có: IBˆ E  IBˆ M (gt), BI cạnh chung , EIˆB  BIˆM  60 Do BIE = BIM (g-c-g) suy BE = BM (1) Chứng minh tương tự CID = CIM (g-c-g) suy CD = CM (2) Từ (1) (2) suy BC = BM + CM = BE + CD Nhận xét: Vì IˆC  120 , EIˆB  DIˆC  60 nên việc vẽ tia phân giác góc BIC ta thấy xuất cặp góc Từ xuất tam giác 15 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình  Phƣơng pháp kẽ thêm đoạn thẳn tạo tam giác - Mục đích : Đây phương pháp đặc biệt , tạo them vào hình vẽ cạnh ,các góc giúp cho việc giải tốn thuận lợi Để tạo thêm vào hình vẽ cạnh , góc ta vẽ tam giác cân đặc biệt tam giác - Sử dụng nào? - Chúng ta thường sử dụng phương pháp tam giác hình vẽ có tam giác cân với góc có số đo cho trước - Đối với tập tính số đo góc ,trước tiên ta cần ý đến tam giác chứa góc có số đo xác định như: * Tam giác cân có góc xác định * Tam giác * Tam giác vng cân * Tam giác vng có góc nhọn biết hay cạnh góc vng nửa cạnh huyền … Sau ta nghĩ đến việc tính góc cần tìm thong qua mối lien hệ với góc hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu (Thường với mối lien hệ tam giác rút góc tương ứng chúng nhau) Bài toán 9: Cho ABC cân A, ˆ  20 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Tính Cˆ D Phân tích (H.a) A A A A A E D E B H.a C K D D B C H.b B C H.c D D B H.d C B E C H.e Dễ tính ˆ  Cˆ  800  600  200  600  ˆ Ta nghĩ đến dựng tam giác ,chẳng hạng dựng tam giác BCE Cˆ E  80  60  20 Dễ chứng minh: +) DC  CEAc.g.c  CˆD  EAˆ C +) E  EC c.c.c   EAˆ B  EAˆ C Từ ACˆ D  AEˆ C  EAˆ B  BAˆ C  10 Giải : ˆ 180  20 180     80 2 Dựng điểm E thuộc miền BC cho BEC , hiển nhiên BC = BE = EC Cách 1: (H.a) BC cân A nên ˆ C  Cˆ   16 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình Và CˆE  CDˆ E  ˆ C  600 Suy CˆE  Cˆ  CˆE  800  600  200 Xét DC & CEA có AD = EC ( = BC) , CˆE  Cˆ D  200 , AC ( cạnh chung) Nên DC  CEAc.g.c  CˆD  EAˆ C (1) Xét EB & AEC có : AB = AC ( gt) BE = CE ( BEC đều) , AE ( cạnh chung) Nên E  EC c.c.c   EAˆ B  EAˆ C  AEˆ C  EAˆ B  BAˆ C  10 (2) Từ (1) (2) ACˆ D  10 Cách Dựng K nằm khác phía với B AC cho KC AK = KC = AC Cˆ   Cˆ  ˆ C  600 , Dˆ   600  200  800 Xét KD & BAC có AK = AB ( = AC) , Dˆ   ˆ C  800 , AD = BC (gt) Nên KD  BAC c.g.c  KD  AC & ˆ D  BAˆ C  200 Do DKˆ C  AKˆ C  AKˆ D  600  200  400 Ta lại có KC = KD (=AC) CD cân K ˆD 180   Cˆ D  Dˆ C   70 Vậy ACˆD  CˆD  Cˆ  700  600  100 Nhận xét: - So với cách cách dài phức tạp - Có thể dựng ED ( E C nằm khác phía AB) (H.d); dựng BE ( E C nằm phía AB ) (H.e) Bài tốn 10: Cho ABC vng cân A điểm E nằm tam giác cho ˆ C  Cˆ   150 Tính ˆ   Phân tích: (H.a) - Ta có ˆ   ˆ C  ˆ C  900  150  75O  600  150 - Từ ta nghĩ đến việt tạo tam giác cạnh AE ( H b) cạnh AB ( H.c) B B B D D E A H.a E C A H.b E C A C H.c 17 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình Giải : Ta có ˆ   ˆ C  ˆ C  900  150  75O ˆ C  Cˆ   450 C vuông cân A nên  * Cách ( Hb) Vì E nằm góc ABC nên ˆ   450 Suy ˆ   1800  ˆ   ˆ   1050  ˆ   600 Dựng điểm D nằm E cho DE AD = AE = DE Dˆ   ˆ D  Dˆ   600 Vì E nằm góc ABC nên ˆ   450 ˆ    ˆ   180   ˆ   1050   ˆ   60   Do ˆ D  900  150  600  150 Xét DAB & EAC có AD = AE ( DE ), ˆ D  Cˆ E  150 , AB = AC (gt) Nên DAB  EAC(c  g  c)  BD  CE ˆ D  Cˆ  150 ˆ D  Cˆ   150 ) ABD cân D (  nên Dˆ   1800  2ˆ D  1800  2.150  1500 Suy Dˆ   360  Dˆ   Dˆ   3600  1500  60   1500   Ta có  D   Dc  g  c  Vì DA = DE ( C đều), Dˆ   Dˆ   1500 , BD ( cạnh chung) Nên ˆ D  Dˆ   150 Vậy ˆ   ˆ D  ˆ D  600  150  750 Cách (H 16c) Dựng D cho D D C nằm phía đường thẳng AB Suy ˆ D  60 AB = AD = BD Ta có ˆ D  900  ˆ D  ˆ C  900  600  150  150 Xét Xét AEC & AED có : AE ( cạnh chung) , ˆ C  ˆ D  150 , AC = AD ( = AB) Nên AEC  AED (c-g-c)  C  D ˆ D  ˆ C  1500 Mà EC =EA ( AEC cân E)  EA  ED Xét BEA & BED có BA = BD , EA = ED ( cmt) BE ( cạnh chung) Nên   D(c  c  c)  ˆ   Dˆ   ˆ D 150   750 2 Nhận xét : - Cách dài khó hiểu cách - Việc tạo tam giác nhằm tạo góc cạnh 18 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình  Phƣơng pháp kẽ thêm đƣờng vng góc nhằm tạo nửa tam giác Ta thường dùng cách toán cho góc có số đo 300, 600, 1200, 300, 1500 - Nếu góc 300 600 ta vẽ đường vng góc tạo tam giác vng có góc 300 600 - Nếu cho góc 1200 1500 ta thường tính góc kề bù với góc kẽ đường vng góc nhằm tạo tam giác vng có chứa góc kề bù Bài tốn 11 Cho C có ˆ  120 , AB = 10 cm , AC = 15 cm Tính BC B B 10 10 x 120 A H.a 15 C H 1200 15 A H.b C Phân tích : - Dễ thấy : ˆ x  1800  120  600 (H.a) nên ta nghĩ đến việc kẽ đường vng góc với AC nhằm tạo nửa tam giác - Kẽ BH  x (H.b) H vuông H có ˆ   60 nên AH = AB:2 = cm.Từ dễ dàng tìm lời giải Giải : (H b) Kẽ BH  C Vì ˆ C  90 nên A nằm H C Ta có ˆ   60 Tam giác vng AHC (vng H) có ˆ   60 Nên AH =AB/2 = 10/2 = cm Vì A nằm H C nên HC = AH + AC = + 15 = 20 cm Các tam giác BHA BHC vuông H nên áp dụng định lý Pitago ta có : BH2 = AB2 – AH2 = 102 – 52 = 75 BC2 = BH2 +HC2 = 75 + 202 = 475  BC  475 cm  Kẽ đƣờng vng góc nhằm tạo tam giác vng cân Ta thường dùng cách tốn cho góc có số đo 45 , 1350 Bài tốn 12 Cho C có AB  16 2cm , BC = 20 cm ,   450 Tính AC Phân tích: Theo giả thiết AB  16 2cm , ˆ  450 nên ta nghĩ đến việc tạo tam giác vng có AB cạnh huyền, Kẽ AH  C ta thấy HB vuông H ,từ ta dễ dàng tìm lời giải A B 45 H C 19 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình Giải : Kẽ AH  C , HB vng H có ˆ  450 nên tam giác vuông cân Tại H  AH  HB Áp dụng định lý pitago cho tam giác vuông AHB AHC Ta có : HA2  HB2  AB2 hay 2HA2  2HB  16   2.162  AH  HB  16 cm Vì BH < BC ( 16 < 20) nên H nằm B C Suy HC = BC – HB = 20 – 16 = cm Áp dụng định lý pitago cho HC ta có C  H  HC  162  42  272  AC  272  16, 49cm * Kết sáng kiến Trong trình dạy học hình học, tơi áp dụng sáng kiến khơng dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi tốn mà linh hoạt dạy cho học sinh đại trà Tuy lúc đầu em cịn ngại học hình nói chung sợ tốn chứng minh Hầu học sinh có ý thức làm tìm lời giải dừng lại khơng suy nghĩ thêm sau có kết tốn , thỏa mãn với Song qua thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng sáng kiến dạy học sinh theo ý tưởng ,đến nay, Hầu hết em tham gia hưởng ứng cách tích cực , chủ động vận dụng kiến thức thành thạo làm số dạng toán Trong tiết học, góp phần tạo thân thiện thầy trị mơi trường giáo dục Giúp đa số HS khơng cịn hời hợt với mơn Tốn hình nữa; gây hứng thú học tập cho học sinh Giúp học sinh nắm vững chất kiến thức, khắc sâu mở rộng nâng cao kiến thức cho học sinh , giúp học sinh biết vẽ hình theo yêu cầu đề ,biết trường hợp cần vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán * Sản phẩm đƣợc tạo từ giải pháp: +Thực tế sử dụng sáng kiến giảng dạy cho học sinh, kết cho thấy học sinh có ý thức thi đua học tập,rất hào hứng phát biểu suy nghĩ ,tìm tịi,phát riêng cách giải khác thấy tinh thần học tập em sôi ,khấn khởi hơn, khả tự nghiên cứu toán học phát huy cách tích cực,kết học tập mơn tốn, hình học có nhiều tiến + Tỉ lệ HS tích cực, hứng thú học Tốn hình so với điều tra, theo dõi ban đầu vượt 70% + Tỉ lệ HS yếu giảm dần so với đầu năm học, từ 30% lại từ đến 4% HS yếu 20 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình 5.2 Khả áp dụng (phạm vi áp dụng) sáng kiến Giải pháp thực chủ yếu dạy lớp với tiết Tốn hình Với chương trình giáo dục điều kiện kinh tế xã hội nay, sáng kiến áp dụng rộng rãi cho tất học sinh khối lớp từ khối đến khối trường THCS việc giảng dạy mơn Tốn hình Tuy nhiên khơng phải tiết dạy Tốn hình áp dụng Chính vậy, dạy phụ đạo bồi đưỡng , cần cho tốn có yếu tố vẽ thêm đường phụ để đạt hiệu cao trình giảng dạy 5.3 Đánh giá lợi ích kinh tế, xã hội sáng kiến : Với sáng kiến “Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình” - Học sinh phát huy tính tích cực, hứng thú học tập tiết học, góp phần tạo thân thiện thầy trò - Giúp đa số HS khơng cịn hời hợt với mơn Tốn hình ; làm cho em có nhu cầu lĩnh hội điều bổ ích từ kiến thức học tốn Do nhiều học sinh khơng cịn chán học lười làm tập - Chất lượng giảng dạy mơn Tốn nâng cao - Góp phần đổi phương pháp dạy học - Giải pháp tiếp tục nghiên cứu triển khai thực giảng dạy thường xuyên khối lớp từ khối đến khối trường Trung học sở Tóm lại:, Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình ; GV truyền niềm đam mê, hứng thú học tập cho HS nhận phản hồi tích cực từ phía em Đây động lực, mục tiêu để người dạy tiếp tục áp dụng tìm tịi đổi phương pháp dạy học Đồng thời đáp ứng yêu cầu Bộ Sở Giáo dục đề việc dạy học phát triển lực HS thời đại ngày * Cam kết: Tôi cam đoan điều khai thật không chép vi phạm quyền Xác nhận đơn vị Tác giả sáng kiến Nguyễn Đình Quý 21 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình TRƢỜNG THCS TRẦN HÀO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT SKKN Độc lập – Tự – Hạnh phúc Hòa Quang Nam, ngày 13 tháng 03 năm 2021 PHIẾU ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP TỔ Tên sang kiến : HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH VẼ THÊM CÁC YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH Đơn vị :Trường THCS Trần Hào Bảo vệ trước hội đồng sáng kiến trường THCS Trần Hào theo định số trường THCS Trần Hào Họ tên người đánh giá: / QĐ NGUYỄN ĐÌNH QUÝ Chức danh hội đồng :Thành viên hội đồng sáng kiến trường THCS Trần Hào.Bảng cho điểm tiêu chí đánh giá TT Tên tiêu Điểm chuẩn Điểm đánh Hệ giá TVHĐ số Tính 10 2 Khả áp dụng 10 Hiệu 10 Tổng số điểm đánh Xếp loại giá nhân hệ số Tổng I Tổng số điểm tối đa: 50 điểm - Từ 25 điểm trể lên sáng kiến công nhận - Dưới 25 điểm sáng kiến không công nhận II Trình bày rõ ý kiến nhận xét , đánh giá theo nội dung Tínhmới:……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Phạm vi ápdụng:………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Hiệu kinh tế xã hội:………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… T/M.Tổ TRƯỞNG 22 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình TRƢỜNG THCS TRẦN HÀO CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT SKKN Độc lập – Tự – Hạnh phúc Hòa Quang Nam, ngày 13tháng 03 năm 2021 PHIẾU ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP TRƢỜNG Tên sang kiến : HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH VẼ THÊM CÁC YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH Đơn vị :Trường THCS Trần Hào Bảo vệ trước hội đồng sáng kiến trường THCS Trần Hào theo định số trường THCS Trần Hào / QĐ Họ tên người đánh giá: NGUYỄN ĐÌNH QUÝ Chức danh hội đồng :Thành viên hội đồng sáng kiến trường THCS Trần Hào.Bảng cho điểm tiêu chí đánh giá TT Tên tiêu Điểm chuẩn Điểm đánh Hệ giá TVHĐ số Tính 10 2 Khả áp dụng 10 Hiệu 10 Tổng số điểm đánh Xếp loại giá nhân hệ số Tổng I Tổng số điểm tối đa: 50 điểm - Từ 25 điểm trể lên sáng kiến công nhận - Dưới 25 điểm sáng kiến khơng cơng nhận II Trình bày rõ ý kiến nhận xét , đánh giá theo nội dung Tínhmới:……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Phạm vi ápdụng:………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Hiệu kinh tế xã hội:………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… T/M HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG CHỦ TỊCH 23 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình TRƢỜNG THCS TRẦN HÀO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT SKKN Độc lập – Tự – Hạnh phúc Hòa Quang Nam, ngày 13 tháng 03 năm 2021 PHIẾU ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP HUYỆN Tên sang kiến : HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH VẼ THÊM CÁC YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH Đơn vị :Trường THCS Trần Hào Bảo vệ trước hội đồng sáng kiến trường THCS Trần Hào theo định số trường THCS Trần Hào / QĐ Họ tên người đánh giá: NGUYỄN ĐÌNH QUÝ Chức danh hội đồng :Thành viên hội đồng sáng kiến trường THCS Trần Hào.Bảng cho điểm tiêu chí đánh giá TT Tên tiêu Điểm chuẩn Điểm đánh Hệ giá TVHĐ số Tính 10 2 Khả áp dụng 10 Hiệu 10 Tổng số điểm đánh Xếp loại giá nhân hệ số Tổng I Tổng số điểm tối đa: 50 điểm - Từ 25 điểm trể lên sáng kiến công nhận - Dưới 25 điểm sáng kiến không cơng nhận II Trình bày rõ ý kiến nhận xét , đánh giá theo nội dung Tínhmới:……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Phạm vi ápdụng:………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Hiệu kinh tế xã hội:………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… T/M HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN CHỦ TỊCH 24 ... GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH  Tên tác giả: NGUYỄN ĐÌNH QUÝ Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trƣờng THCS TRẦN HÀO Hoà Quang Nam, tháng năm 2021 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để... Tác giả sáng kiến Nguyễn Đình Quý 21 Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình TRƢỜNG THCS TRẦN HÀO CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT SKKN Độc lập – Tự... sáng kiến cấp sở Hịa Quang Nam, ngày 09 tháng 03 năm 2020 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (Chữ ký họ tên) Nguyễn Đình Quý Hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ để giai số tốn hình CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA