Đang tải... (xem toàn văn)
BÁO CÁO GIỮA KỲ CHỦ ĐỀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ GIẢNG VIÊN PGS TS KIỀU PHƯƠNG CHI Lớp TGT 20 1 Học viên Lê Minh Thiện Mã số CH02201011 I – Thặng Dư và Ứng Dụng Mối liên hệ giữa hệ số và tổng của c.
BÁO CÁO GIỮA KỲ CHỦ ĐỀ: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ GIẢNG VIÊN: PGS.TS.KIỀU PHƯƠNG CHI Lớp TGT 20.1 Học viên: Lê Minh Thiện Mã số: CH02201011 I – Thặng Dư Ứng Dụng Mối liên hệ hệ số tổng chuỗi lũy thừa - Xét chuỗi lũy thừa c z z0 n n 0 n Giả sử bán kính hội tụ R Khi đó, tổng f z cn z z0 c0 c1 z z0 c2 z z0 n n 0 c0 f z0 , c1 f ' z0 , , cn Ta có: f n n z0 n! z z0 n! f n z0 n! z z0 n chuỗi Taylor n hàm thực kết nói chung khơng đúng, chẳng hạn x21 f x e neu x 0 neu x Dễ dàng tính chuỗi Taylor triệt tiêu Đối với hàm phức kết trình bày mục sau: II - ĐỊNH LÝ TAYLOR Định lý 1: Nếu z z0 R z0 , Bây giờ, cho hàm chỉnh f chỉnh hình Khi đó, chuỗi hàm f z0 Vấn đề đặt phải f chỉnh hình f z chỉnh hình z z0 R Page of 10 f z n 0 cn z z0 f cn n z0 n! Trong 2 i f z zz z z0 r n n 1 dz , r R z0 R z0 r R Chứng minh: Lấy tùy ý cho Chọn r>0 cho Theo cơng thức tích phân Cauchy ta có f 2 z z0 r z z z0 Ta có: Vì f z dz z z r : z z0 r z0 z z0 z0 1 z z0 Do k z0 z0 k z z 1 z z0 k 1 Thế z0 z k z z0 Vì chuỗi hội tụ nên r nên 2 r f z n dz z0 z z0 2 k 0 f z (z z ) r n 1 dz Để ý 2 f z0 f z dz cn ( z z0 )n1 n ! r n Bởi cơng thức tích phân Cauchy cho đạo hàm Đo Page of 10 f cn z0 n n 0 Ví dụ: Khai triển Taylor hàm f n Ta có: 1 2n n! z n 1 2z i f z z i z n với z i / Vì 1 n n f z z 1 n 1 n0 i Với n z 1 1 i III – ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM CHỈNH HÌNH Ta biết hàm phân tính f, g f=g điểm phân biệt f=g C Theo cơng f , g H D C D thức tích phân Cauchy, f g D f g D Nhờ khai triển Taylor ta chứng minh kết sau nói xác định hàm chỉnh hình dãy hội tụ miền D z D Định Lý: Giả sử D miền n dãy (không dừng) hội tụ tới a D Khi đó, f , g H D f z g zn n với n f g D h z f z g z h H D Chứng minh: Đặt Khi Ta cần chứng minh h D h H D Vì a D nên h z cn z a c0 c1 z a c2 z a n n0 z a r0 d a, D h z 0 Từ n với n zn a , với tính liên tục c h a h D suy Vì Với h z z a (c1 c2 z a c3 z a ) z a h1 z Page of 10 z h z 0 Từ zn a n không dạy dừng suy zn a với n Do đó, từ n suy h a 0 h1 zn Do c1 Tiếp tục trình ta nhận cn với n, tức là: h z z a r0 d a, D Với Với b D tùy ý Khi đó, D miền nên tồn đường cong L nối a, b Do đó, ta xây dựng D D , ri đĩa i D cho a a0 , a1 , a2 , , am b với L va ri thỏa mãn: 1) 1 Di Di 1 h b 0 2) h=0 Di Vì Vậy h D Ví dụ: Cho D z C : z 1 f z n g zn f,g hàm chỉnh hình D Giả sử ni zn , n 1, 2,3, 2n với n, Chứng minh f=g D Kết luận cịn hay khơng ta thay zn i , n 1, 2, ? 2n ni i D z £ : z 1 zn D 2n Giải: Vì với n nên từ f z n g zn f , g H D với n suy f=g D định lý zn i 2n zn D Vì vậy, khơng thể dùng định lý để kết luận f=g Nếu f z g zn f , g H D D Thực tế, tồn f, g cho n với n i f z sin g z f g D Thật vậy, lấy z Khi f , g D với z zn f zn sin i sin 2n 1 g zn i 2n với n Tuy nhiên, rõ ràng f g D Page of 10 Câu hỏi: cho nhận xét f, g khơng chỉnh hình D dãy zn a D zn dừng CHUỖI LAURENTZ III- Định Nghĩa: Chuỗi có dạng c zz n n n (1.26) Được gọi chuỗi Laurentz tâm z0 c z z0 n n c z z0 n 0 n n phần chuỗi n phần chuỗi Rõ ràng, chuỗi khơng có phần chuỗi Taylor IV- Định Lý: Nếu hệ số cn chuỗi (1.26) thỏa mãn: lim sup n cn r R x Lim sup n n cn Thì miền hội tụ hình vành khăn (1.27) r z z0 R V – Định Lý Laurentz Định lý sau cho phép khai triển hàm chỉnh hình thành chuỗi Laurentz hình vành khăn VI – Định Lý: Nếu f z f z cn Trong 2 i chỉnh hình c zz n n n f z zz z z0 r z z0 R n 1 dz , r R Ví dụ: Khai triển Laurentz hàm f z z z hình vành khăn z Page of 10 Giải: Ta có f z Với 1 z 2 z 3 z 2 ta có 1 1 2n n 1 n 2n.z z z 1 z n0 z n0 z Với z 3 ta có 1 1 z n n z n 3n 1 z 3 1 z n 0 n 0 Vì n0 n0 f z 2n.z n1 z n 3n 1 Với 2 z 3 ĐIỂM BẤT THƯỜNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH Định Nghĩa: giả sử hàm f xác định miền D Điểm a £ gọi điểm bất thường 0 za r f tồn r>0 cho hình vành khăn nằm D, f chỉnh hình za r hình vành khăn mà khơng thể mở rộng chỉnh hình hình trịn Như vậy, f chình hình hình vành khăn Tồn Tồn 0 za r có khả sau: lim f z L £ z a lim f z z a Không tồn Khi a gọi cực điểm f lim f z z a Khi a gọi điểm bất thường cốt yếu f Xét khai triển Laurentz a f hình vành khăn f z c z a n n n Page of 10 0 za r Nếu tồn lim f z L £ z a tồn r cho M sup f z 0 z a Cn Từ f z 2 i zz z z0 Cn Suy n 1 dz M n Với r n 0, 1, 2 thì, n 1, 2, 3 cho ta nhận Cn Vậy f z cn z a n n 0 Chỉnh hình a Như ta có định lý sau: Định Lý: Nếu tồn lim f z L £ z a a điểm thường Định Lý: Xét khai triển Laurentz a f hình vành khăn f z c z a n 0 za r n n a cực điểm tồn m>0 cho C m Ck với k0 cho Ck a điểm bất thường cốt yếu f z z 1 z i z i Ví dụ: cực điểm bậc 3 Khi -1 cực điểm bậc 1; I cực điểm bậc -I HÀM NGUYÊN VÀ HÀM PHÂN HÌNH Định Nghĩa: Hàm f chỉnh hình tồn mặt phẳng phức C gọi hàm nguyên Ví dụ: đa thức hàm nguyên Page of 10 z Các hàm e ,sin z,cos z hàm nguyên Đối với hàm nguyên z xảy khả sau lim f z a C a) Tồn z , hay điểm thường f Khi f bị chặn C, f hàm định lý Louvile lim f z b) Nếu z f đa thức lim f z c) Nếu z không tồn f hàm siêu việt Định Nghĩa: hàm f chỉnh hình miền D trừ số điểm bất thường cực điểm gọi hàm phân hình Định Lý: Mọi hàm phân hình miền D biểu diễn dạng thương hai hàm chỉnh hình D LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 0 za r Giả sử f chỉnh hình hình vành khăn Khi đó, xét tích phân f z dz 2 i Trong chu tuyến trơn ( trơn khúc) tùy ý, vây quanh a nằm hình vành khăn Khi đó, áp dụng định lý Cauchy cho miền đa liên ta có tích phân khơng phụ thuộc vào ? Vì , ta có định sau: Định Nghĩa: Thặng dư f a res f , a f z dz 2 i (1) R z Định Nghĩa: Nếu f chỉnh hình hình vành khăn thặng dư f 1 res f , f z dz f z dz 2 i 2 i (2) res f , a Nhận xét: từ định lý Cauchy suy f chỉnh hình a Từ định lý laurentz ta suy kết sau: Định lý: 1) Nếu 2) Nếu f z C z a n n res f , a C1 f z C z n n hình vành khăn n n res f , a C1 hình vành khăn 0 za r 0 za r Page of 10 thì Định lý sau cho cách tính thặng dư cực điểm Định Lý: 1) Nếu a cực điểm bậc res f , a lim z a f z z a 2) Nếu a cực điểm bậc m m m 1 lim z a f z z a m 1 ! res f , a f z Ví dụ 1: Tính thặng dư hàm Ta có: z=1 cực điểm bậc nên z 1 z res f ,1 Lim z 1 f z Lim z 1 z 1 z 1 z=1 z=i z i 1 i Ta có z=I cực điểm bậc nên res f , i 21 1 Lim z i f z Lim 2 1 ! zi z i z 1 1 i z f z ze Ví dụ 2: tính thặng dư hàm z=0 Ta có z=0 điểm bất thường cốt yếu 2n f z z3 n n 0 n ! z 24 res f ,0 C1 4! Vì CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN ĐỊNH LÝ: Giả sử f chỉnh hình miền D trừ hữu hạn điểm bất thường z1 , z2 , , zn miền Khi n f z dz 2 i res f , zk k 1 (1) z , z , , zn D D Trong chu tuyến trơn D cho Định Lý: Nếu f chỉnh hình C trừ hữu hạn điểm bất thường z1 , z2 , , zn n res f , z k 1 k (2) DÙNG THẶNG DƯ TÍNH TÍCH PHÂN Page of 10 Mục nghiên cứu số ứng dụng thặng dư để tính tích phân thực phức dz I z 1 z i Ví dụ: Tính tích phân chu tuyến trơn khơng qua 1, i f z z 1 z i Giải: Đặt 1 res f ,1 res f , i 2 i 1 i Ta có Ta xét trường hợp sau I f z dz 1,i D Nếu định lý Cauchy i D Nếu D định lý (1) ta có I f z dz 2 ires f ,1 Nếu 2 i 1 i i D va D định lý (1) ta có 2 i I f z dz 2 ires f , i 1 i i D va D Nếu định lý (1) ta có I f z dz 2 i res f , i res f ,1 2 i 1 i Page 10 of 10 2 i 1 i
