Đang tải... (xem toàn văn)
Tổ chức EXP và tập đoàn Toán học Việt Nam Chuyên san EXP và tập đoàn Toán học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp HCM 1 Đề thi Giải tích A2 Bộ đề này được thực hiện dựa trên chương trì.
Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Đề thi Giải tích A2 Bộ đề thực dựa chương trình hợp tác tổ chức EXP Toantin.org, hai thuộc khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp.HCM Tổ chức EXP Toantin.org Mọi góp ý đề thi xin gửi email: thienquocdongphuc@gmail.com Cảm ơn bạn Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho không gian metric 𝐸 tập 𝐴 ⊂ 𝐸 Chứng minh 𝐴̅ = Å ∪ 𝜕𝐴 Trong đó, 𝜕𝐴 tập hợp điểm biên 𝐴 𝐴̅ tập điểm dính 𝐴 Å tập điểm 𝐴 Câu 2: Trong ℝ2 với chuẩn Euclid, cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥 + 𝑦 ≤ 4} a) Tìm điểm điểm biên b) Tập 𝐷 có tập đóng khơng? Chứng minh điều c) Tập 𝐷 có tập compact khơng? Chứng minh điều Câu 3: Cho: 𝑥2 + 𝑦2 , (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) 𝑓(𝑥; 𝑦) = {𝑥 + 𝑦 𝑎 , (𝑥; 𝑦) = (0; 0) Tìm 𝑎 để hàm 𝑓 liên tục (0; 0) Câu 4: Trong ℝ2 với chuẩn Euclid, cho 𝑇 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ (𝑥; 𝑦) ⟼ 3𝑥 + 2𝑦 Chứng minh 𝑇 ánh xạ tuyến tính liên tục tìm ‖𝑇‖ Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 𝑦 − 5𝑦 a) Hàm 𝑓 có liên tục (0; 1) khơng? b) Hàm 𝑓 có khả vi Fréchet (0; 1) khơng, tính 𝑓 ′ (0; 1)(ℎ; 𝑘)? Câu 2: Các giới hạn sau có tồn khơng, tính giới hạn có: 𝑥3𝑦 + 𝑦 a) lim (𝑥; 𝑦)→(0; 0) 𝑥 + 2𝑦 b) lim (𝑥 + 𝑦) cos (𝑥; 𝑦)→(0; 0) 𝑥 Câu 3: Chứng minh +∞ ∑ 𝑛=1 cos(2𝑛 + 1)𝑥 𝑛4 hội tụ ℝ Câu 4: Tìm cực trị địa phương 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 − 6𝑥𝑦 + 8𝑦 + Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Trong ℝ với chuẩn Euclid; cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥 + 2𝑦 ≤ 1} a) Tập 𝐷 có đóng khơng? Chứng minh điều b) Tập 𝐷 có mở khơng? Chứng minh điều c) Tập 𝐷 có compact khơng? Chứng minh điều Câu 2: Cho: 𝑥4𝑦3 , (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) 𝑓(𝑥; 𝑦) = {2𝑥 + 𝑦 𝑎 , (𝑥; 𝑦) = (0; 0) Tìm 𝑎 để 𝑓 liên tục (0; 0) Câu 3: Cho 𝐸 không gian metric, (𝐹, ‖∙‖𝐹 ) không gian định chuẩn Tập hợp ánh xạ liên tục bị chặn 𝑓 ∶ 𝐸 → 𝐹 ký hiệu 𝐶𝐵 (𝐸; 𝐹) Chứng minh 𝐶𝐵 (𝐸; 𝐹) không gian định chuẩn với chuẩn ‖𝑓‖ = sup‖𝑓(𝑢)‖𝐹 𝑢∈𝐸 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Trong ℝ2 với chuẩn Euclid; cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥 + 𝑦 ≤ 1} a) Tập 𝐷 có đóng khơng? Chứng minh điều b) Tập 𝐷 có mở khơng? Chứng minh điều c) Tập 𝐷 có compact khơng? Chứng minh điều Câu 2: Cho: 𝑥2𝑦3 , (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) 𝑓(𝑥; 𝑦) = {𝑥 + 𝑦 𝑎 , (𝑥; 𝑦) = (0; 0) Tìm 𝑎 để 𝑓 liên tục (0; 0) Câu 3: Trong ℝ2 với chuẩn Euclid, cho 𝑇 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ (𝑥; 𝑦) ⟼ 3𝑥 − 4𝑦 Chứng minh 𝑇 ánh xạ tuyến tính liên tục tìm ‖𝑇‖ Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Trong ℝ2 với chuẩn Euclid, cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥 + 𝑦 ≤ 1} a) Tập 𝐷 có đóng khơng? Chứng minh điều b) Tập 𝐷 có mở khơng? Chứng minh điều c) Tập 𝐷 có compact khơng? Chứng minh điều Câu 2: Cho: 𝑥4𝑦3 + 𝑦, (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) 𝑓(𝑥; 𝑦) = {𝑥 + 𝑦 𝑎 , (𝑥; 𝑦) = (0; 0) Tìm 𝑎 để 𝑓 liên tục (0; 0) Câu 3: Trong ℝ2 với chuẩn Euclid, cho 𝑇 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ (𝑥; 𝑦) ⟼ 5𝑥 + 4𝑦 Chứng minh 𝑇 ánh xạ tuyến tính liên tục tìm ‖𝑇‖ Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: 𝑥𝑚𝑦𝑚 , (𝑥; 𝑓(𝑥; 𝑦) = {√2𝑥 + 3𝑦 , (𝑥; a) Cho 𝑚 = Hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet (0; 0) khơng? b) Cho 𝑚 > Hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet (0; 0) không? Câu 2: Cho 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ 2𝑥 − 3𝑦 𝑥𝑦 (𝑒 − 1) , 𝑓(𝑥; 𝑦) = { 𝑥 + 𝑦2 , a) Hỏi 𝑓 có liên tục (0; 0) khơng? 𝜕𝑓 𝜕𝑓 (𝑥; 0); (0; 𝑦) b) Tính 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑦) ≠ (0; 0) 𝑦) = (0; 0) (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) (𝑥; 𝑦) = (0; 0) Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: a) Tính ∇𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥𝑦 b) Cho 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 ; 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) Chứng minh 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ( ) + 2( ) = ( ) +( ) 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Câu 2: Chứng minh hàm số 𝑥𝑦 , (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) 𝑓(𝑥; 𝑦) = {𝑥 + 𝑦 , (𝑥; 𝑦) = (0; 0) liên tục (0; 0), có đạo hàm theo hướng khác ⃗0 𝑥 𝑦 Câu 3: Cho 𝑓(𝑥; 𝑦) = cos cos Tìm khai triển Taylor cấp (phần dư có đạo hàm cấp 3) 𝑓 xung quanh (𝜋; 𝜋) ≈ (3.14; 3.14) tính giá trị gần 𝑓(3.13; 3.15) Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: 𝑋 = 𝐶[0; 1] = {𝑓: [0; 1] → ℝ liên tục} Cho 𝑓; 𝑔 ∈ 𝑋, ta định nghĩa 𝑑1 (𝑓; 𝑔) = ∫ |𝑓(𝑡) − 𝑔(𝑡)|𝑑𝑡 , 𝑑2 = sup |𝑓(𝑡) − 𝑔(𝑡)| 𝑡∈[0,1] a) Chứng minh 𝑑1 𝑑2 metric 𝑋 b) Cho 𝐸 = {𝑓 ∈ 𝑋 ∶ 𝑓(0) = 0} Chứng minh 𝐸 tập đóng (𝑋; 𝑑2 ) c) Cho 𝑓𝑛 = (𝑛 + 1)𝑥 𝑛 − 𝑛𝑥 𝑛+1 Chứng minh c1) 𝑓𝑛 hội tụ 𝑓 = (𝐶[0; 1]; 𝑑1 ) c2) 𝑓𝑛 không hội tụ 𝑓 = (𝐶[0; 1]; 𝑑2 ) Câu 2: Cho ℝ∗ = {𝑧 ∈ ℝ; 𝑧 ≥ 0} Xét 𝑑(𝑥; 𝑦) = |𝑥𝑒 𝑥 − 𝑦𝑒 𝑦 |, 𝑥; 𝑦 ≥ ∗ (ℝ a) Chứng minh ; 𝑑) không gian metric (0; b) Cho 𝐴 = 1) Chứng minh 𝑎 = điểm dính 𝐴 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: +∞ Xét chuỗi số ∑ 𝑛=1 Chứng minh chuỗi số hội tụ tính giá trị −1 4𝑛2 Câu 2: Khảo sát hội tụ chuỗi sau +∞ a) ∑ 𝑛=1 +∞ 𝑛2 + 𝑛(3𝑛 + 1) 𝑛−1 𝑛 ) b) ∑ ( 𝑛+2 𝑛=1 +∞ c) ∑ 𝑛=1 +∞ (−1)𝑛 √𝑛 − sin 𝑛 𝑛2 d) ∑(−1)𝑛 𝑛=1 √ln 𝑛 𝑛+1 Câu 3: +∞ Cho chuỗi số dương ∑ 𝑎𝑛 hội tụ 𝑛=1 +∞ a) Chứng minh rằng: 𝑝 > chuỗi ∑ 𝑎𝑛𝑝 hội tụ 𝑛=1 +∞ b) Cho 𝑝 ∈ (0; 1), tìm ví dụ để thấy ∑ 𝑎𝑛𝑝 phân kỳ 𝑛=1 10 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑒 𝑥𝑦 − , 𝑥≠0 𝑓(𝑥; 𝑦) = { 𝑥 𝑦 , 𝑥=0 a) Chứng minh 𝑓 liên tục (0; 0) b) Hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet (0; 0) không? Câu 2: a) Cho: 𝑦−𝑥 𝑧−𝑥 ) 𝑢 = 𝐹( ; 𝑥𝑦 𝑥𝑧 Chứng minh rằng: 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 b) Cho: 𝑦 𝑧 𝑢 = 𝑥3𝐹 ( ; ) 𝑥 𝑥 Chứng minh rằng: 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑥 +𝑦 +𝑧 = 3𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Câu 3: Cho 𝑥 𝑦 hàm ẩn theo 𝑡 xác định phương trình 𝑥3 + 𝑒 𝑥 = 𝑡2 + 𝑡 { 2 𝑦𝑡 + 𝑦 𝑡 − 𝑡 + 𝑦 = và, 𝑧 = 𝑒 𝑥 cos(𝑦) Tính 𝑑𝑧⁄𝑑𝑡 𝑡 = Câu 4: Khai triển Taylor đến cấp 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑒 𝑥 cos(2𝑦) điểm (0; 𝜋) Câu 5: Cho chuỗi hàm: +∞ ∑ 𝑛𝑥𝑒 −𝑛𝑥 , vvới 𝑥 ≥ 𝑛=1 a) Chứng minh chuỗi hàm hội tụ [1; +∞) b) Chứng minh chuỗi hàm không hội tụ [0; 1] 17 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho (𝑋; 𝑑) không gian metric Cho 𝑎 ∈ 𝑋 𝑟 số thực dương Chứng minh cầu 𝐵(𝑎; 𝑟) tập mở 𝑋 Câu 2: Cho 𝐶([0; 1]) không gian hàm 𝑓: [0; 1] ⟶ ℝ liên tục Cho 𝑓 ∈ 𝐶([0; 1]) Đặt: ‖𝑓‖1 ≔ ∫ 𝑥 ∙ |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥 ‖𝑓‖2 ≔ sup 𝑥 ∙ |𝑓(𝑥)| 𝑥∈[0; 1] a) Chứng minh ‖∙‖1 ‖∙‖2 chuẩn 𝐶([0; 1]) b) Cho 𝑇 ∶ (𝐶([0; 1]); ‖∙‖2 ) ⟶ (𝐶([0; 1]); ‖∙‖1 ) thỏa 𝑇(𝑓) = 𝑓 Chứng minh 𝑇 ánh xạ tuyến tính liên tục c) Cho 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑛𝑒 −𝑛𝑥 Tính ‖𝑓𝑛 ‖1 ‖𝑓𝑛 ‖2 d) Hỏi 𝑓𝑛 có hội tụ 𝑛 → +∞ (𝐶([0; 1]); ‖∙‖1 ) khơng? e) Hỏi 𝑓𝑛 có hội tụ 𝑛 → +∞ (𝐶([0; 1]); ‖∙‖2 ) không? 18 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑓: ℝ2 ⟶ ℝ thỏa: |𝑓(𝑥; 𝑦)| ≤ 𝑥 + 𝑦 Chứng minh 𝑓 khả vi Fréchet (0; 0) Câu 2: a) Cho: 𝑦 𝑢 = 𝑥𝑦 + 𝑥 ∙ 𝐹 ( ) 𝑥 Chứng minh: 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑥∙ +𝑦∙ = 𝑥𝑦 + 𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑦 b) Cho: 𝑦 𝑧 𝑢 = 𝑥3 ∙ 𝐹 ( ; ) 𝑥 𝑥 Chứng minh: 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑥∙ +𝑦∙ +𝑧∙ = 3𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Câu 3: Cho 𝑥 𝑦 hàm ẩn theo 𝑡 xác định phương trình: 𝑥3 + 𝑒 𝑥 = 𝑡2 + 𝑡 { 2 𝑦𝑡 + 𝑦 𝑡 − 𝑡 + 𝑦 = và, 𝑧 = 𝑒 𝑥 cos(𝑦) Tính 𝑑𝑧⁄𝑑𝑡 𝑡 = Câu 4: Cho 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑛2 𝑥(1 − 𝑥 )𝑛 , ≤ 𝑥 ≤ a) Chứng minh (𝑓𝑛 ) hội tụ điểm hàm 𝑓 = b) Hỏi (𝑓𝑛 ) có hội tụ 𝑓 = hay không? Câu 5: Trong ℝ2 , cho 𝑥 = (𝑥1 ; 𝑥2 ) 𝑦 = (𝑦1 ; 𝑦2 ); ta định nghĩa: 𝑑(𝑥; 𝑦) = max{|𝑥1 − 𝑦1 |; |𝑥2 − 𝑦2 |} a) Chứng minh (ℝ ; 𝑑) không gian metric b) Cho (𝑧𝑛 ) ∈ ℝ2 dãy Cauchy (ℝ2 ; 𝑑) Chứng minh dãy (𝑧𝑛 ) hội tụ (ℝ2 ; 𝑑) c) Cho 𝑋 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 |𝑥 + 𝑦 = 1} Chứng minh 𝑋 tập đóng (ℝ2 ; 𝑑) 19 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑢 ∶ ℝ3 ⟶ ℝ hàm biến Xét hàm 𝑓 ∶ ℝ3 ⟶ ℝ thỏa: ∙ 𝑢(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∙ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ) 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑢2 (𝑥; 𝑦; 𝑧) + Chứng minh 𝑓 khả vi Fréchet (0; 0; 0) Câu 2: Chứng minh tồn hàm ẩn 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) gần điểm (0; 0; 1) cho: 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑧 − 𝑦𝑧 = Tính: 𝜕𝑧 𝜕𝑧 (0; 0) (0; 0) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Câu 3: Cho hàm hai biến 𝐹(𝑥; 𝑦) thỏa 𝐹(𝑡𝑢; 𝑡𝑣) = 𝑡 ∙ 𝐹(𝑢; 𝑣) với 𝑡; 𝑢; 𝑣 Chứng minh: 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝑥 +𝑦 = ∙ 𝐹(𝑥; 𝑦) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Câu 4: Khai triển Taylor đến cấp 𝑓(𝑥; 𝑦) = ln(𝑥𝑦) quanh (1; 1) Câu 5: Cho 𝐶([0; 1]) không gian hàm liên tục [0; 1] Cho 𝑓; 𝑔 ∈ 𝐶([0; 1]), ta đặt: 𝑑(𝑓; 𝑔) ≔ sup |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)| 𝑥∈[0; 1] a) Chứng minh 𝑑 metric 𝐶([0; 1]) b) Chứng minh 𝐷 = {𝑓 ∈ 𝐶([0; 1]) | 𝑑(𝑓; 0) ≤ 1} tập đóng, bị chặn Chứng minh 𝐷 khơng tập compact c) Cho 𝑓 ∈ 𝐶([0; 1]) dãy hàm (𝑓𝑛 ) thỏa: 𝑓(𝑥) , 𝑥≥ 𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = { 1 𝑓( ), 𝑥 ∈ [0; ] 𝑛 𝑛 Chứng minh lim 𝑑(𝑓𝑛 ; 𝑓) = 𝑛⟶∞ d) Cho dãy hàm (𝑓𝑛 ) thỏa: 𝑡 ∈ [0; ] 𝑛 𝑡 ∈ [ ; 1] 𝑛 Chứng minh (𝑓𝑛 ) hội tụ điểm 𝑓 [0; 1] Chứng minh (𝑓𝑛 ) không hội tụ 𝑓 [0; 1] e) Cho dãy hàm (𝑓𝑛 ) ∈ 𝐶([0; 1]) thỏa: |𝑓𝑛 (𝑥)| ≤ , ∀𝑥 ∈ [0; 1], ∀𝑛 ∈ ℤ∗ 𝑛 Đặt: 𝑠𝑛 = 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝑓𝑛 (𝑥) Chứng minh dãy hàm (𝑠𝑛 ) hội tụ [0; 1] 𝑛 → +∞ − 𝑛𝑡, 𝑓𝑛 (𝑡) = { , 20 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑋 = 𝐶[0; 1] = {𝑓 ∶ [0; 1] → ℝ liên tục} Cho 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑋, ta định nghĩa 𝑑∞ = sup |𝑓(𝑡) − 𝑔(𝑡)| 𝑡∈[0; 1] a) Chứng minh 𝑑∞ metric 𝑋 b) Cho 𝐸 = {𝑓 ∈ 𝑋 ∶ 𝑓(1) = 1} Chứng minh 𝐸 tập đóng (𝑋, 𝑑∞ ) c) Hỏi 𝐸 có tập bị chặn (𝑋, 𝑑∞ ) không? d) Cho 𝑓𝑛 ∈ 𝑋 thỏa 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 (1 − 𝑥) với 𝑥 ∈ [0; 1] Hỏi {𝑓𝑛 } có dãy Cauchy (𝑋; 𝑑∞ ) không? Câu 2: Cho hàm 𝑥𝑦 , 𝑥 + 𝑦 ≠ 𝑓(𝑥; 𝑦) = {𝑥 + 𝑦 , 𝑥 + 𝑦 = Hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet (0; 0) không? Câu 3: Cho 𝐹 ∶ ℝ2 → ℝ thỏa 𝐹(𝑡𝑢; 𝑡𝑣) = 𝑡 𝐹(𝑢; 𝑣), ∀𝑡, 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ Chứng minh 𝑥 𝐹𝑥𝑥 + 2𝑥𝑦𝐹𝑥𝑦 + 𝑦 𝐹𝑦𝑦 = 2𝐹 Câu 4: Cho 𝑢 = 𝑓(𝑥; 𝑦); 𝑣 = 𝑔(𝑥; 𝑦) thỏa 𝑓(0; 1) = 1; 𝑔(0; 1) = −1 𝑢3 + 𝑥𝑣 = 𝑦 { 𝑣 + 𝑦𝑢 = 𝑥 Tính ∇𝑢(0; 1) ∇𝑣(0; 1) Câu 5: Cho dãy hàm {𝑓𝑛 } thỏa 𝑛𝑥 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑛𝑥 , 𝑥≥0 𝑒 a) Chứng minh {𝑓𝑛 } hội tụ [1; +∞) b) Hỏi {𝑓𝑛 } có hội tụ [0; 1] khơng? 21 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑋 = 𝐶[0; 1] = {𝑓 ∶ [0; 1] → ℝ liên tục} Cho 𝑓; 𝑔 ∈ 𝑋, ta định nghĩa 𝑑∞ = sup |𝑓(𝑡) − 𝑔(𝑡)| , 𝑡∈[0; 1] 𝑑1 (𝑓; 𝑔) = ∫ |𝑓(𝑡) − 𝑔(𝑡)|𝑑𝑡 a) Chứng minh 𝑑∞ 𝑑1 metric 𝑋 b) Cho 𝐸 = {𝑓 ∈ 𝑋 ∶ 𝑓(1) = 1} Chứng minh 𝐸 tập đóng (𝑋; 𝑑∞ ) c) Hỏi 𝐸 có tập đóng (𝑋; 𝑑1 ) khơng? Câu 2: Trong ℝ2 , cho 𝑑(𝑥; 𝑦) = |𝑥1 − 𝑦1 | + |𝑥2 − 𝑦2 | với 𝑥 = (𝑥1 ; 𝑥2 ) 𝑦 = (𝑦1 ; 𝑦2 ) a) Chứng (ℝ2 ; 𝑑) khơng gian metric đầy đủ b) Cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑥} Chứng minh 𝐷 tập compact (ℝ2 ; 𝑑) Câu 3: Chứng minh dãy Cauchy không gian metric (𝑋; 𝑑) ln bị chặn Câu 4: Cho (𝑋; 𝑑𝑋 ) (𝑌; 𝑑𝑌 ) không gian metric Hàm 𝑓 ∶ (𝑋; 𝑑𝑋 ) → (𝑌; 𝑑𝑌 ) hàm liên tục Cho 𝑈 tập đóng (𝑌; 𝑑𝑌 ) Chứng minh 𝑓 −1 (𝑈) đóng (𝑋; 𝑑𝑋 ) 22 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) = |𝑥𝑦|𝑚 , 𝑚>0 Với giá trị khác 𝑚 > 0, hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet (0; 0) không? Câu 2: Cho 𝐹 ∶ ℝ2 → ℝ thỏa 𝐹(𝑡𝑢; 𝑡𝑣) = 𝑡 𝐹(𝑢; 𝑣), ∀𝑡; 𝑢; 𝑣 ∈ ℝ Đặt 𝑢 = 𝑟 𝐹(𝑥; 𝑦), với 𝑟 = √𝑥 + 𝑦 Chứng minh 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝐹 𝜕 2𝐹 + = ( + ) + 12𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Câu 3: Tìm cực trị hàm 𝐹(𝑥; 𝑦) = 2𝑥 − 24𝑥𝑦 + 16𝑦 Câu 4: Chứng minh phương trình 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑧 − 𝑦𝑧 = biến đổi thành 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) điểm gần (0; 0; 1) Tính 𝑧𝑥 (0; 0) 𝑧𝑦 (0; 0) Câu 5: ∞ 𝑛𝑥 𝑛 Cho chuỗi hàm ∑ Chứng minh chuỗi hàm hội tụ (−∞; −𝑐] với 𝑐 > (𝑛 + 1)(1 + 𝑥 𝑛 ) 𝑛=1 23 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho ánh xạ 𝑑 ∶ ℝ+ × ℝ+ → ℝ xác định sau 𝑥2 𝑦2 𝑑(𝑥; 𝑦) = | − |, 𝑥; 𝑦 > + 𝑥2 + 𝑦2 a) Chứng minh (ℝ; 𝑑) không gian metric b) Chứng minh (ℝ; 𝑑) không đầy đủ Câu 2: Trong ℝ2 , cho 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥1 − 𝑦1 | + |𝑥2 − 𝑦2 | với 𝑥 = (𝑥1 ; 𝑥2 ) 𝑦 = (𝑦1 ; 𝑦2 ) a) Chứng (ℝ2 ; 𝑑) không gian metric đầy đủ b) Cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑥} Chứng minh 𝐷 tập compact (ℝ2 ; 𝑑) Câu 3: Cho 𝐷 tập compact không gian metric (𝑋; 𝑑) Chứng minh 𝐷 tập bị chặn Câu 4: Cho 𝐷 tập mở không gian metric (𝑋; 𝑑) Chứng minh tập 𝐷1 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝑥 ∉ 𝐷} tập đóng 24 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝐷 tập mở ℝ3 Cho 𝐸; 𝐹 hai trường vector 𝑢 trường vô hướng xác định khả vi 𝐷 Chứng minh a) ∇ × (𝑢𝐹) = 𝑢(∇ × 𝐹) − 𝐹 × ∇𝑢 b) ∇ (𝐸 × 𝐹) = 𝐹 (∇ × 𝐸) − 𝐸 (∇ × 𝐹) Câu 2: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 𝑥 𝑦 (1 − 𝑥 − 𝑦) miền 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑥 + 𝑦 ≤ Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi sau ∞ a) ∑ 𝑛=0 ∞ b) ∑ 𝑛=2 sin(2𝑛 + 1)𝑥 √2𝑛 + với 𝑥 ∈ ℝ, 𝑛 ln2 (𝑛) Câu 4: Cho dãy hàm 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑛2 𝑥(1 − 𝑥 )𝑛 ; 𝑥 ∈ [0; 1] Chứng tỏ 𝑓𝑛 (𝑥) hội tụ điểm hàm 𝑛 tiến đến vơ Tính lim ∫0 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 𝑛→∞ Câu hỏi điểm cộng: Hỏi dãy hàm (𝑓𝑛 ) có hội tụ hàm hay khơng? Giải thích sao? 25 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho ánh xạ 𝑑 ∶ ℝ × ℝ → ℝ xác định sau 𝑑(𝑥; 𝑦) = |√𝑥 + 1𝑒 2𝑥 − √𝑦 + 1𝑒 2𝑦 | a) Chứng minh (ℝ; 𝑑) không gian metric b) Chứng minh (ℝ; 𝑑) không đầy đủ Câu 2: Trong ℝ2 , cho 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥1 − 𝑦1 | + |𝑥2 − 𝑦2 | với 𝑥 = (𝑥1 ; 𝑥2 ) 𝑦 = (𝑦1 ; 𝑦2 ) a) Chứng (ℝ2 ; 𝑑) khơng gian metric đầy đủ b) Cho 2 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 + 𝑒 −𝑥 −𝑦 } Chứng minh 𝐷 tập compact (ℝ2 ; 𝑑) Câu 3: Cho 𝐷 tập compact không gian metric (𝑋; 𝑑) Chứng minh 𝐷 tập đóng bị chặn Câu 4: Cho dãy hàm {𝑓𝑛 } thỏa + 3𝑛𝑥 𝑓𝑛 (𝑥) = + 2𝑛𝑥 a) Chứng {𝑓𝑛 } hội tụ điểm hội tụ [1; ∞) b) Chứng minh {𝑓𝑛 } không hội tụ [0; 1] 26 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: a) Tính vi phân tồn phần hàm số 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥√𝑥 + 𝑦 điểm 𝑀(1; 2) b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cong (𝐸) ∶ 𝑧 = 𝑥 ln(2𝑥 + 𝑦) điểm 𝑀(1; −1; 0) Câu 2: Biết 𝑢 = 𝑓(𝑥; 𝑦), 𝑥 = 𝑒 𝑟 cos 𝑡 ; 𝑦 = 𝑒 𝑟 sin 𝑡 Hãy chứng minh đẳng thức sau 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 −2𝑟 ( ) +( ) =𝑒 [( ) + ( ) ] 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑟 𝜕𝑡 𝑧 Câu 3: Cho 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) hàm ẩn xác định hệ thức 𝑧 + 𝑥𝑒 𝑦 + = 𝜕𝑧 𝜕𝑧 (0; 1) (0; 1) a) Áp dụng định lý hàm ẩn để tính 𝜕𝑥 𝜕𝑦 b) Áp dụng kết trên, tính gần gía trị 𝑓(0.01; 0.99) Câu 4: a) Tìm cực trị địa phương 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦 miền 𝑥 + 4𝑦 < b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦 với điều kiện 𝑥 + 4𝑦 = c) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦 với điều kiện 𝑥 + 4𝑦 ≤ Câu 5: Cho hàm số 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ xác định sau 𝑥 sin 𝑦 , (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) 𝑓(𝑥; 𝑦) = {√𝑥 + 𝑦 , (𝑥; 𝑦) = (0; 0) a) Chứng minh hàm số liên tục 𝐴(0; 0) b) Tính đạo hàm riêng phần cấp 𝑓 𝐴(0; 0) c) Hàm số có khả vi Fréchet 𝐴(0; 0)? Hãy giải thích 27 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho (ℝ; 𝑑) không gian metric Xét hàm 𝑑1 ∶ ℝ × ℝ → ℝ xác định 𝑑1 (𝑥; 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| + 𝑑(𝑥; 𝑦), 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ Chứng minh (ℝ; 𝑑1 ) không gian metric Câu 2: Trong (ℝ2 ; 𝑑) không gian metric thông thường Chứng minh 𝐴 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 |𝑥 + 3𝑦 ≤ 1} tập đóng khơng compact Câu 3: Cho dãy hàm xác định 𝑛𝑥 𝑓𝑛 (𝑥) = , 𝑥 ∈ [0; 1], 𝑛∈ℕ 2020 + 𝑛2 𝑥 a) Chứng dãy hàm {𝑓𝑛 }𝑛∈ℕ hội tụ điểm b) Chứng minh dãy hàm {𝑓𝑛 }𝑛∈ℕ không hội tụ Câu 4: Ký hiệu 𝐶[0; 1] tập hợp tất hàm số thực liên tục [0; 1] Cho ánh xạ 𝑓 ∶ 𝐶[0; 1] → ℝ xác định 𝑓(𝑥) = 𝑥(1), 𝑥 ∈ 𝐶[0; 1] Chứng 𝑓 khơng liên tục không gian metric (𝐶[0; 1]; 𝑑) với 𝑑 cho 𝑑(𝑥; 𝑦) = ∫ |𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)|𝑑𝑡 , 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐶[0; 1] 28 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Khảo sát hội tụ chuỗi sau: a) +∞ 2𝑛2 + 4𝑛 − ∑ 5𝑛 + 7𝑛2 + 𝑛=1 b) +∞ ∑(−1)𝑛 𝑛=1 2𝑛2 + 4𝑛 − 5𝑛4 + 7𝑛2 + Câu 2: Xét hàm số 𝑓(𝑥; 𝑦) = sin(𝑥𝑦) 𝑒𝑥 𝑦 + 𝑦4 Tìm miền xác định hàm số Hàm số có liên tục miền xác định hay khơng? Có khả vi hay khơng? Câu 3: Xét hàm 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 3𝑥 𝑦 − 3𝑦 𝑧 điểm 𝑃 = (1; 2; −1) Tìm đạo hàm theo hướng 𝑓 theo hướng 𝑃 tới điểm 𝑄 = (3; −1; 5) Theo hướng giá trị hàm 𝑓 tăng hay giảm? Chú ý vector theo hướng có chiều dài Câu 4: Cho 𝑓 ∶ 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ hàm khả vi liên tục theo biến (𝑥; 𝑦) Đặt 𝜕𝑔 𝜕𝑓 𝜕𝑓 (1; 2) biết (8; −5) = 3; (8; −5) = 𝑔(𝑠; 𝑡) = 𝑓(2𝑠 + 3𝑡; 3𝑠 − 4𝑡) Tính 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Câu 5: Tìm điểm cực đại cực tiểu hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 − 12𝑦 + Câu 6: Cho hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 Hãy phác họa đồ thị hàm Phương pháp dùng ma trận Hesse có cho kết luận cực trị địa phương hàm hay khơng? Vì sao? 29 Chun san EXP tập đồn Toán học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Hãy vẽ hình cầu đơn vị đóng khơng gian định chuẩn (ℝ2 ; ‖∙‖∞ ), ‖𝑥‖∞ = max{|𝑥1 |; |𝑥2 |} với 𝑥 = (𝑥1 ; 𝑥2 ) ∈ ℝ2 Câu 2: Hãy cho dãy để thấy bị chặn khơng Cauchy Câu 3: Cho 𝐴 𝐵 tập không gian metric (𝑋; 𝑑) Chứng minh ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ B Câu 4: Cho dãy hàm xác định 𝑥 √𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = với 𝑥 ∈ [0; 1] 𝑛 ∈ ℕ 2021 + 𝑛2 𝑥 (a) Chứng minh dãy hàm {𝑓𝑛 }𝑛∈ℕ hội tụ điểm [0; 1] (b) Chứng minh dãy hàm {𝑓𝑛 }𝑛∈ℕ không hội tụ [0; 1] 30 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Khảo sát hội tụ chuỗi số +∞ 𝑛3 3𝑛 ∑ 𝑛! 𝑛=1 Câu 2: Xét hàm số 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ 𝑓(𝑥; 𝑦) = { 𝑥 𝑦 cos 𝑥+𝑦 , 𝑥4 + 𝑦6 , (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) (𝑥; 𝑦) = (0; 0) Hàm số liên tục đâu, sao? Câu 3: Xét hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 ln(𝑦 + 1) a) Tính xấp xỉ tuyến tính 𝑓 gần điểm 𝑎 = (1; 0) b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc đồ thị 𝑓 điểm 𝑎 c) Tính đạo hàm 𝑓 theo vector 𝑣 = ( ; ) 𝑎, tức 𝐷𝑣 𝑓(𝑎) 10 10 d) Giải thích hàm 𝑓 khả vi Frechét 𝑎 Tính giá trị đạo hàm 𝑣, tức 𝑓 ′ (𝑎)(𝑣) Xấp xỉ tuyến tính câu a) tốt theo nghĩa cụ thể nào? Câu 4: Cho 𝑓 ∶ ℝ → ℝ, (𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ3 , 𝑣 = 𝑓 ((𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )2 ) 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 ; ; 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 b) Chứng minh 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 [( ) + ( ) + ( ) ] (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑓 ′ ((𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )2 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Câu 5: Cho hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 4𝑥𝑦 a) Tìm điểm cực đại cực tiểu địa phương hàm 𝑓 b) Hàm 𝑓 có giá trị lớn giá trị nhỏ hình tam giác với đỉnh (0; 0); (1; 0); (1; 1) hay không? Nếu có tìm giá trị a) Tính 31 ... Chứng minh rằng: