ĐỀ THI CHỌN HOCSINHGIỎI TỈNH 12
(Thêi gian lµm bµi 180 phót)
Bài 1: Cho hệ phương trình:
83
22
axyyx
axyyx
Với điều kiện nào của a thì hệ có nghiệm.
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh:
tanCtanBAtan
3
1
sinsinsin
3
2
CBA
Bài 3: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm:
mxx
4
4
cos1cos
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao bằng h.
(P) là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC, (P) cắt SB,SC,SD lần lượt
,,,
,, DCB
.
1. h ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó
,
C thuéc c¹nh SC khi ®ã tÝnh diÖn tÝch
thiÕt diÖn.
2. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp
,,,
DCSAB
.
Bµi 5:
a, b, c lµ ba sè thùc
0
chøng minh r»ng :
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
2
2
2
2
2
2
Sơ lợc đáp án đề thi chọn họcsinhgiỏi12
Năm học 2008-2009
Đáp án
Bài 1 (4 điểm)
83
22
axyyx
axyyx
83ayxxy
axyyx
Đặt
pxy
syx
điều kiện
PS 4
2
*
83aps
asp
đa về phơng trình
083
2
aatt
điều kiện để phơng trình có nghiệm
0
84032120834
22
aaaaaa
(1)
S
1
=
2
;
2
2
a
s
a
1/ a 8
s,p 0
S=
4
2
;4
2
a
p
a
thỏa mãn
2/a< 0
3
8
sp khi đó S= 0
2
;0
2
a
p
a
thỏa mãn
3/
0;4
3
8
psa
khi đó S=
2
;
2
a
p
a
thế vào
ps 4*
2
(
2
a
)
2
081348244
2
4
2
22
aaaaaa
a
8
3313
3
8
a
Vậy với những giá trị:
8
3313
3
8
a
hoặc a
8
Bài2 (4 điểm)
:
tanCtanBAtan
3
1
sinsinsin
3
2
CBA AAA tan
3
1
sin
3
2
+
0tansin
3
2
tan
3
1
3
2
CCCBBSinB
Vai trò nh nhau
Đăt f(x) = xxx tan
3
1
sin
3
2
x
2
,0
1
cos
3
1
cos
3
2
2
,
x
xxf =
1
cos
1
cos2
3
1
2
x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cosx+cosx+
3
cos
1
2
x
0
'
xf
f(x) hàm đồng
biến x
2
,0
f(x)
f(0) =o Thay x=A,x=B, x=C
A.B,C nhọn do đó f(A)>0;f(B)>0,f(C)>0 vậy bất đẳng thứ đợc chứng minh
Bài 3 (4 điểm )
mxx
4
4
cos1cos
Đặt t =
cosx điều kiện 1t Xét hàm số f(x)= t
4
+(1-t)
4
Tìm giá trị lớn và nhỏ nhất trên 1t
f(x)=4t
3
- 4(1-t)
3
f(x)=0 khi t=
2
1
f(1) =1; f(-1) = 17 ; f(
2
1
) =
8
1
vậy phơng trình có nghiệm 17
8
1
m
Mặt phẳng đi qua A vuông góc với SCsẽ cắt (SAC) theo
đờng cao AC của tam giác SAC muốn cho điểm C năm
trên SC thi góc SAC nhọn suy
ra
HSC <45
0
. Vậy ta có SH>HC
2
2
ah
2 gọi k là giao điểm của đờng cao SH của hình chóp với ACta có:
P
SCBD
SCP
//BDVậy (P) cắt (SBD) theo BD đi qua K và //BD .Nên (P) cát
hình chóp SABCD theo thiết diện là tứ giác ABCD có 2 đờng chéo vuông góc
là AC và BD (Do BD vuông góc (SAC vì BD//BD)
Vậy diện tích thiết diện ABCD là
S =
2
1
AC BD mà AC.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy ra
S
B
H
K
C
D
A
C
Bài 4 (5 điểm)
AC =
2
2
2
2
a
h
ha
=
22
2
2
ha
ah
Từ tính chất trực tâm tam giác SAC có : HK.HS = HA.HC
HK =
h
ah
SK
h
a
2
2
2
222
theo tính chất 2 tam giác đồng dạng SBD và SBD
2
2222
2
22
''
2
2''
h
aha
DB
h
ah
SB
SK
BD
DB
Vậy S =
22
222
22
2
ahh
aha
2/ Hình chóp SAB CD có chiều cao là SC với SC.SC = SH.SK( vì tứ giác
HCCK nội tiếp đợc) nên:
SC =
)2(2
2
22
22
ah
ah
Vầy thể tích hình chóp SABCD
2V =
3
1
SC.dt(ABCD)
=
3
1
)2(2
2
22
22
ah
ah
22
222
22
2
ahh
aha
=
22
2
222
26
2
ahh
aha
(ĐVTT)
Bài 5( 3 Điểm)
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
(1)
22
2
b
b
b
a
b
a
a
b
b
a
2.2
2
2
2
2
c
c
c
b
c
b
c
c
c
b
2.2
2
2
2
2
a
a
a
c
a
c
a
a
b
c
2.2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
2)(2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
(*)
Mặt khác
2
2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
3 3.
2
2
2
2
3
2
2
a
c
c
b
b
a
(**)
Cộng vế cho vế ta đợc (1) điều phải chứng minh
.
Sơ lợc đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12
Năm học 200 8- 2 009
Đáp án
Bài 1 (4 điểm)
83
22
axyyx
axyyx
83 ayxxy
axyyx
Đặt
pxy
syx
.
f(x)=4t
3
- 4 ( 1- t)
3
f(x)=0 khi t=
2
1
f (1) =1; f ( -1 ) = 17 ; f(
2
1
) =
8
1
vậy phơng trình có nghiệm 17
8
1
m
Mặt phẳng đi qua A vuông góc