ĐỀ THIHỌCSINHGIỎI12
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y =
1
1
2
x
mxx
1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C
1
) 2đ
b) Tìm trên 2 nhánh của (C
1
) 2 diểm A và B
sao cho AB bé nhất 2đ
2) Xác định m để hàm số có y
CĐ
, y
CT
và y
CĐ
.y
CT
> 0 1đ
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình:
6
2
33
111 xxx
2đ
b) Tìm x, y Z thoả m
ãn
2đ
yyxxlog
y
3732
2
8
2
2
2
Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số
0
2
sin
xdx
eI
x
n
(n = 1, 2, )
a) CMR:
, ,n
n
e
I
n
21
2
2
3đ
b) Tính
n
n
Ilim
1đ
Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp 1
2
2
2
2
b
y
a
x
có a > b
Xét M
o
(X
o
, Y
o
) E ; O là gốc toạ độ
1) CMR: a OM
b
2đ
2) CMR: tiếp tuyến với E tại M
O
(x
0
> 0;y
0
> 0)cắt chiều dương OX và
OY ở A, B thì tồn tại vị trí M
O
để độ dài AB min.
2đ
Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp SABC có góc tam diện đỉnh S vuông
và SA = 1; SB = 2; SC = 3. M là 1 điểm thuộc ABC. Gọi P là tổng các
khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để P
min
.
Hướng dẫn đáp án:
Bài 1:
1) m = 1:
a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x +
1
1
x
TXĐ: R - {-1) 0,5đ
b) y' = 1
2
1
1
x
y' = 0
khi x = -2 hoặc x = 0 dấu y'
- 2 -1 0 x 0,25đ
Hàm số đồng biến trong (-, -2) (0 + ) hàm số nghịch biến trên (-2,
-1) (-1, 0)
Có x
LĐ
= -2, y
CĐ
= -3 và x
CT
= 0 y
CT
= 1 0,5đ
Tiệm cận: đứng x = -1 vì
1
1
1
x
xlim
x
+
-
-
+
Tiệm cận xiên y = x vì
1
1
x
lim
x
= 0
Bảng biến thiên:
1
x
y'
y
-
-
2
-
1
0
+
+
0
-
0
+
-
-
-
+
+
-
3
Vẽ đồ thị (0,5d) y
x
- 3
b) Gọi A nhánh phải; B nhánh trái. 0,5đ
A (-1 +, -1 + +
1
) và (-1 -, -1 - -
1
) với và dương
BA
2
= AB
2
= ( + )
2
+ ( + )
2
2
1
1
= ( + )
2
22
2
12
24
1
11
= 8
4
+ 8
2
8
8
=>
288
min
AB
1điểm
-
1
-
1
-
2
1
0
y = x
tại = =
4
2
1
4
44
2
2
1
1
2
1
1 ;A
4
44
2
2
1
1
2
1
1 ;B 0,5đ
Bài 2:
a) x = 1 không phải nghiệm phương trình 0,5đ
chia 2 vế cho
6
2
1
x
ta có:
1
1
1
1
1
66
x
x
x
x
đặt )t(
x
x
t 0
1
1
6
ta có: 01
1
t
t t
2
- t -1 = 0
)i¹lot(t
2
51
2
51
0,5đ
1
2
51
2
51
1
1
66
x
x
x
1
2
51
2
51
1
2
51
1
6
6
6
x 1đ
b) Nhận xét rằng: x
2
+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2 2
log
2
(x
2
+ 2x + 3) 1 x R 0,75đ
điều kiện cần phải có
8+
7+3+
2
2
y
yy -
1
2
1
y 1 y Z y = 1 0,5đ
x
2
+ 2x + 3 2 x = -1 0,5đ
BPT có nghiệm
1
1
y
x
( Z) 0,25
Bài 3: Đặt
0
2
nxdxsin.eI
x
n
nxcos
n
nxdxsin,dxxedueu
xx
1
2
22
0
0
22
21
nxdxcosxe
n
xncose
n
I
xx
n
1,0đ
0
22
2
11
1
nxdxcosxeJ;J
n
e.)(
n
I
x
nn
n
n
=>
nn
n
n
J
nn
e
J
nn
e)(
I
21211
22
1,0đ
mặt khác có:
000
222
dxxeJnxdxcosxenxdxcosxeJ
x
n
xx
n
=
n
e
I
e
n
22
2
2
1
1,0đ
Do
0
2
0
2
22
n
e
vµ
n
e
nên I
n
0 theo nguyên lí kẹp (1đ)
Bài 4:
1) 2 điểm: từ M
O
E 1
2
2
2
2
b
y
a
x
OO
và OM
2
=
22
OO
yx
và từ a > b ta có: 1,0đ
1=
2
2
0
2
2
0
+
b
y
a
x
2
2
0
2
2
0
+
b
y
b
x
2
b
2
0
2
0
+ yx
(1)
và 1=
2
2
0
2
2
0
+
b
y
a
x
2
2
0
2
2
0
+
a
y
a
x
2
a
2
0
2
0
+ yx
(2)
từ (1) và (2) a
2
OM
2
b
2
a OM b 1,0đ
2) Đường thẳng AB có dạng 1
n
y
m
x
với A(m,o); B(n,o)
theo t/c tiếp tuyến 1
2
2
2
2
n
b
m
a
=> 0,5đ
vậy AB
2
= m
2
+ n
2
= (m
2
+ n
2
).1 =
=
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
a
m
n
b
n
m
ba
n
b
m
a
nm
0,5đ
a
2
+ b
2
+ 2ab = (a + b)
2
dấu = có khi
2
2
2
2
2
2
a
m
n
b
n
m
1
2
2
2
2
22
n
b
m
a
anbm
AB
min
= a + b khi
abbn
abam
2
2
1đ
Bài 5: Đặt ASM = , BSM = , CSM =
Ta có: P = sin + 2sin + 3sin
S
M
sẽ tính được sin
2
+ sin
2
+ sin
2
= 2 0,5đ
sin + sin + sin sin
2
+ sin
2
+ sin
2
= 2
=> sin + sin -1 1- sin
2(sin + sin) - 2 1- sin 0,5đ
2sin + 3sin + sin 2 + 1 = 3 1,0đ
P
min
= 3 khi sin = sin
2
; sin = sin
2
; sin = sin
2
0,5đ
=> sin = 0, sin = sin = 1 = 90
0
, = 90
0
, = 0
0
P
min
= 3 khi M C.
A
B
C
. nhánh trái. 0,5đ
A ( -1 +, -1 + +
1
) và ( -1 - , -1 - -
1
) với và dương
BA
2
= AB
2
= ( + )
2
+ ( + )
2
2
1
1
=.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 18 0' (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y =
1
1
2
x
mxx